Left-invariant (or right-invariant) measure on locally compact topological group
数学的解析 において 、 ハール測度は 局所的にコンパクトな位相群 のサブセットに「不変体積」を割り当て 、その結果としてそれらの群上の関数の 積分 を定義します。
この 測度は 1933年に アルフレッド・ハール によって導入されたが、 リー群に対するその特別なケースは1897年に アドルフ・フルヴィッツ によって「不変積分」という名前で 導入されていた。 [1] [2]ハール測度は 解析学 、 数論 、 群論 、 表現論 、 統計 学、 確率論 、 エルゴード理論 の多くの分野で用いられている 。
予選 を局所コンパクト・ ハウスドルフ 位相群 とする 。 の すべての開部分集合によって生成される -代数は ボレル代数 と呼ばれる 。ボレル代数の元は ボレル集合 と呼ばれる。が の元であり 、 が の部分集合である 場合 、 の左平行移動と右平行 移動 を g によって 次のように定義する。 ( G , ⋅ ) {\displaystyle (G,\cdot )} σ {\displaystyle \sigma } G {\displaystyle G} g {\displaystyle g} G {\displaystyle G} S {\displaystyle S} G {\displaystyle G} S {\displaystyle S}
左翻訳: g S = { g ⋅ s : s ∈ S } . {\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.} 正しい翻訳: S g = { s ⋅ g : s ∈ S } . {\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.} 左と右は、マップ ボレル セットをボレル セットに変換します。
のボレル部分集合上の 測度が 左並進不変で ある とは、すべてのボレル部分集合 とすべての 1つ
に対して、 μ {\displaystyle \mu } G {\displaystyle G} S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} g ∈ G {\displaystyle g\in G}
μ ( g S ) = μ ( S ) . {\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).} のボレル部分集合上の 測度が 右並進不変で ある とは、すべてのボレル部分集合 とすべての 1つ
に対して、 μ {\displaystyle \mu } G {\displaystyle G} S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} g ∈ G {\displaystyle g\in G}
μ ( S g ) = μ ( S ) . {\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}
ハールの定理 正の乗法定数 を除けば 、次の特性を満たす のボレル部分集合上には、一意に 可算加法 的で非自明な測度が 存在します。 μ {\displaystyle \mu } G {\displaystyle G}
この測度 は左並進不変です: すべてのボレル集合 に対して です 。 μ {\displaystyle \mu } μ ( g S ) = μ ( S ) {\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)} g ∈ G {\displaystyle g\in G} S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} 測度は 、すべてのコンパクト セット上で有限です。 すべてのコンパクト に対して、測度は有限です 。 μ {\displaystyle \mu } μ ( K ) < ∞ {\displaystyle \mu (K)<\infty } K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} この測度は ボレル集合上では 外正則で ある : μ {\displaystyle \mu } S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} μ ( S ) = inf { μ ( U ) : S ⊆ U , U open } . {\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.} この測度は 開集合上では 内部正則 である : μ {\displaystyle \mu } U ⊆ G {\displaystyle U\subseteq G} μ ( U ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ U , K compact } . {\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.} 上のこのような測度は 左ハール測度 と呼ばれる。上記の性質の結果として、任意 の空でない開部分集合 に対してが 非自明であることと、 が であることに 限って示される 。特に、 がコンパクトであれば は有限かつ正であるため、 正規化条件 を加えることで 上の左ハール測度を一意に指定できる 。 G {\displaystyle G} μ {\displaystyle \mu } μ ( U ) > 0 {\displaystyle \mu (U)>0} U ⊆ G {\displaystyle U\subseteq G} G {\displaystyle G} μ ( G ) {\displaystyle \mu (G)} G {\displaystyle G} μ ( G ) = 1 {\displaystyle \mu (G)=1}
完全に類推して、上の 右ハール測度 の存在と一意性も証明できる 。2つの測度は必ずしも一致しない。 G {\displaystyle G}
一部の著者は、ボレル集合ではなく ベール 集合上にハール測度を定義しています。ベール測度は自動的に正則となるため、正則性条件は不要になります。Halmos [3] は、コンパクト集合によって生成される -環 の元に対して非標準的な用語「ボレル集合」を使用し 、これらの集合上にハール測度を定義しています。 σ {\displaystyle \sigma }
左ハール測度はすべての -有限 ボレル集合に対して内部正則性条件を満たすが、 すべての ボレル集合に対して内部正則であるわけではない。例えば、単位 円 （その通常の位相）と 離散位相を 持つ 実数直線との積は、 積位相 を持つ局所コンパクト群であり 、この群上のハール測度は閉部分集合 に対して内部正則ではない 。（この垂直線分のコンパクト部分集合は有限集合であり、点は測度 を持つ ので、この垂直線分の任意のコンパクト部分集合の測度は である 。しかし、外部正則性を用いることで、この線分が無限測度を持つことを示すことができる。） σ {\displaystyle \sigma } { 1 } × [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{1\}\times [0,1]} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0}
左ハール測度の存在と一意性（スケーリングを除く）は、 アンドレ・ヴェイユ によって初めて完全な一般性をもって証明された。 [4] ヴェイユの証明は 選択公理 を用いており、 アンリ・カルタンは 選択公理を用いない証明を提示した。 [5] カルタンの証明もまた、存在と一意性を同時に証明している。カルタンの議論の簡略化され完全な説明は、 1963年に アルフセンによってなされた 。[6] 第二可算 局所コンパクト群に対する不変測度の特別なケースは、 1933年にハールによって示されていた。 [1]
例 が離散群 である 場合 、コンパクト部分集合は有限部分集合と一致し、 上の（左不変および右不変の）ハール測度は 計数測度 です 。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} 区間上で 値をとる 位相群上のハール測度は、 ルベーグ測度 のボレル部分集合への 制限に等しい 。これは次のように一般化できる。 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 1 {\displaystyle 1} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} R {\displaystyle \mathbb {R} } ( R n , + ) . {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).} 円群 上の ハール測度を定義するには、 から によって 定義される 関数を考える 。すると、 は によって定義される
。 ここで は 上のルベーグ測度である 。因子 は となるように選ばれる 。 μ {\displaystyle \mu } T {\displaystyle \mathbb {T} } f {\displaystyle f} [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} T {\displaystyle \mathbb {T} } f ( t ) = ( cos ( t ) , sin ( t ) ) {\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))} μ {\displaystyle \mu } μ ( S ) = 1 2 π m ( f − 1 ( S ) ) , {\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),} m {\displaystyle m} [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} ( 2 π ) − 1 {\displaystyle (2\pi )^{-1}} μ ( T ) = 1 {\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1} が乗法のもとでの正の実数 群である とき、 任意の正の実数 ボレル部分集合に対して ハール測度 は で与えられる
。例えば、 が区間 とすると 、 となる 。ここで、この区間に乗法群を作用させて、そのすべての要素に数 を乗じると 、区間 となる。 この 新しい区間を測定すると、 G {\displaystyle G} μ {\displaystyle \mu } μ ( S ) = ∫ S 1 t d t {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} μ ( S ) = log ( b / a ) {\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)} g {\displaystyle g} g S {\displaystyle gS} [ g ⋅ a , g ⋅ b ] . {\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].} μ ( g S ) = log ( ( g ⋅ b ) / ( g ⋅ a ) ) = log ( b / a ) = μ ( S ) . {\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).} が乗算を演算とする非ゼロの実数のグループである 場合、 非ゼロの実数の 任意のボレル部分集合に対してハール測度 が によって与えられます
。 G {\displaystyle G} μ {\displaystyle \mu } μ ( S ) = ∫ S 1 | t | d t {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt} S {\displaystyle S} 一般線型群 に対して 、任意の左ハール測度は右ハール測度であり、そのような測度の一つは で与えられる
。 ここでは 、すべての -行列の集合と同一視される 上のルベーグ測度を表す。これは 変数変換公式 から導かれる 。 G = G L ( n , R ) {\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )} μ {\displaystyle \mu } μ ( S ) = ∫ S 1 | det ( X ) | n d X {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX} d X {\displaystyle dX} R n 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}} n × n {\displaystyle n\times n} 前の3つの例を一般化すると、群が 滑らかな 群演算を 伴う の開部分多様体として表される場合、 上の左ハール測度 は で与えられます 。ここで 、 は の群単位元 、は における による左乗算の ヤコビ行列式 、は 上のルベーグ測度です 。これは 変数変換の公式 から導かれます 。右ハール測度も同様に与えられますが、 は による右乗算のヤコビ行列式となります 。 G {\displaystyle G} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} G {\displaystyle G} 1 | J ( x ⋅ ) ( e 1 ) | d n x {\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x} e 1 {\displaystyle e_{1}} G {\displaystyle G} J ( x ⋅ ) ( e 1 ) {\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})} x {\displaystyle x} e 1 {\displaystyle e_{1}} d n x {\displaystyle d^{n}x} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} J ( ⋅ x ) ( e 1 ) {\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})} x {\displaystyle x} 直交群 の場合 、そのハール測度は次のように構築できます (確率変数の分布として)。まず をサンプリングします。 これは、すべての要素が平均 0 で分散 1 の正規分布の IID サンプルである行列です。次に、 行列に グラム・シュミット過程を 適用します。結果の確率変数は に値を取り、その群の確率ハール測度に従って分布します。 [7] 特殊直交群は のハール測度の制限 の開部分群である ため、 への ハール測度は にハール測度を与えます (確率変数の用語で言えば、これは行列式が 1、つまり確率 1/2 の事象に条件付けることを意味します)。 G = O ( n ) {\displaystyle G=O(n)} A ∼ N ( 0 , 1 ) n × n {\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}} O ( n ) {\displaystyle O(n)} S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} O ( n ) {\displaystyle O(n)} O ( n ) {\displaystyle O(n)} S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} ユニタリ群 上のハール測度は、 の場合と同じ方法 で構築できます 。 特殊ユニタリ群 （ において測度0を持つ ）の場合、そのハール測度は次のように構築できます。まず、 上のハール測度（確率分布となるように1に正規化）からサンプルし 、 （ただし 、 はいずれかの角度）とします。次に、 上の一様分布から独立にサンプルします 。すると、 は 上のハール測度として分布します 。 O ( n ) {\displaystyle O(n)} U ( n ) {\displaystyle U(n)} G = S U ( n ) {\displaystyle G=SU(n)} U ( n ) {\displaystyle U(n)} A {\displaystyle A} U ( n ) {\displaystyle U(n)} e i θ = det A {\displaystyle e^{i\theta }=\det A} θ {\displaystyle \theta } k {\displaystyle k} { 1 , . . . , n } {\displaystyle \{1,...,n\}} e − i θ + 2 π k n A {\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A} S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} を、 の固定された に対する の形式の すべてのアフィン線型変換の集合とします。 関数 合成 の操作 と関連付けると 、 非可 換群になります。は 、群演算が となる 右半平面と同一視できます。 上の 左不変ハール測度 （それぞれ、右不変ハール測度 ）は、 の 任意のボレル部分集合に対して で 与えられます
。 これは、 が開部分集合である場合、 が 固定された に対して、 置換による積分 は
となり、 が固定され
た に対しては 、 G {\displaystyle G} A : R → R {\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } r ↦ x r + y {\displaystyle r\mapsto xr+y} x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } x > 0. {\displaystyle x>0.} G {\displaystyle G} ∘ {\displaystyle \circ } G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} ( 0 , ∞ ) × R = { ( x , y ) : x , y ∈ R , x > 0 } {\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}} ( s , t ) ∘ ( u , v ) = ( s u , s v + t ) . {\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).} μ L {\displaystyle \mu _{L}} μ R {\displaystyle \mu _{R}} G = ( 0 , ∞ ) × R {\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} } μ L ( S ) = ∫ S 1 x 2 d x d y {\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy} μ R ( S ) = ∫ S 1 x d x d y {\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy} S {\displaystyle S} G = ( 0 , ∞ ) × R . {\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .} S ⊆ ( 0 , ∞ ) × R {\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} } ( s , t ) ∈ G {\displaystyle (s,t)\in G} μ L ( ( s , t ) ∘ S ) = ∫ ( s , t ) ∘ S 1 x 2 d x d y = ∫ S 1 ( s u ) 2 | ( s ) ( s ) − ( 0 ) ( 0 ) | d u d v = μ L ( S ) {\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)} ( u , v ) ∈ G {\displaystyle (u,v)\in G} μ R ( S ∘ ( u , v ) ) = ∫ S ∘ ( u , v ) 1 x d x d y = ∫ S 1 s u | ( u ) ( 1 ) − ( v ) ( 0 ) | d s d t = μ R ( S ) . {\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).} 次元 の任意の リー群 において、左ハール測度は、 ルベーグ測度 のように、 任意の非零左不変 - 形式に関連付けることができます。右ハール測度についても同様です。これは、モジュラー関数 が 随伴表現 の 行列式 の絶対値として計算できることも意味します 。 d {\displaystyle d} d {\displaystyle d} ω {\displaystyle \omega } | ω | {\displaystyle |\omega |} 網掛けの面積が1平方単位です。 正の実数のハール測度を 標準双曲線 xy = 1 の正の枝の 面積 で表現するには、区間 [ a,b ], b > a > 0 で生成されたボレル集合を使用します。たとえば、 a = 1 で b = オイラー数 e の場合、面積は log (e/1) = 1 に等しくなります。次に、任意の正の実数 c について、区間 [ ca, cb ] 上の面積は log ( b / a ) に等しい ため、面積は正の実数を乗じても不変です。面積は、a が 0 に近づき、b が大きくなると、無限大に近づくことに注意してください 。 この ハール 測度を使用して対数関数を定義すると、 a は 1 に固定され、[b,1] 内の区間（0 < b < 1 ）上の面積は 負の面積 とみなされます。このように、測度は常に正またはゼロですが、対数は任意の実数値を取ることができます。
が非零四元数 群である 場合 、 は の開部分集合とみなすことができます 。ハール測度は によって 与えられ、 は におけるルベーグ測度を表し 、 は のボレル部分集合です 。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} μ {\displaystyle \mu } μ ( S ) = ∫ S 1 ( x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) 2 d x d y d z d w {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw} d x ∧ d y ∧ d z ∧ d w {\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} S {\displaystyle S} G {\displaystyle G} が素数 に対する 加法群である 場合、 が 測度 を 持つとすることでハール測度が与えられます 。ここでは - 進整数 の環です 。 G {\displaystyle G} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} a + p n O {\displaystyle a+p^{n}O} p − n {\displaystyle p^{-n}} O {\displaystyle O} p {\displaystyle p}
ハール測度の構築
コンパクト部分集合を用いた構成 ハール測度を構築する以下の方法は、本質的にはハールとヴェイユが使用した方法です。
空でない任意の 部分集合に対して、は その被覆 の左平行移動の最小数と 定義される （したがって、これは非負の整数または無限大である）。これはコンパクト集合 に対しては加法的ではないが 、 が 単位元 の十分に小さい開近傍である（および に依存 ） という、 互いに素なコンパクト集合に対してはという性質を持つ 。ハール測度の考え方は、が小さくなる につれての極限のようなものを取り 、すべての互いに素なコンパクト集合のペアに対して が加法的になるようにすることであるが、まず極限が無限大にならないように正規化する必要がある。したがって、 （群が局所コンパクトであるので存在する）空でない内部を持つコンパクト集合を固定し、コンパクト集合 に対して を定義する
。 S , T ⊆ G {\displaystyle S,T\subseteq G} S {\displaystyle S} [ T : S ] {\displaystyle [T:S]} S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} K ⊆ G {\displaystyle K\subseteq G} [ K : U ] + [ L : U ] = [ K ∪ L : U ] {\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]} K , L ⊆ G {\displaystyle K,L\subseteq G} U {\displaystyle U} K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} [ K : U ] {\displaystyle [K:U]} U {\displaystyle U} A {\displaystyle A} K {\displaystyle K}
μ A ( K ) = lim U [ K : U ] [ A : U ] {\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}} ここで、極限は、任意の近傍に最終的に含まれる単位元近傍の適切な有向集合上でとられます。極限が存在するような有向集合の存在は、 ティコノフの定理 を使用して示されます。
関数 は の互いに素なコンパクト部分集合上で加法的であり 、これはそれが正則 内容 であることを意味する。正則内容から、まず内部正則性によって開集合に拡張し、次に外部正則性によってすべての集合に拡張し、最後にそれをボレル集合に制限することで、 測度を構成することができる 。（開集合 の場合でも 、対応する測度は 上記の lim sup 公式で与えられる必要はない。問題は、 lim sup 公式で与えられる関数は一般に可算劣加法的ではなく、特にコンパクト閉包を持たない任意の集合上では無限大であるため、外部測度ではないということである。） μ A {\displaystyle \mu _{A}} G {\displaystyle G} μ A {\displaystyle \mu _{A}} U {\displaystyle U} μ A ( U ) {\displaystyle \mu _{A}(U)}
コンパクトにサポートされた関数を用いた構成 カルタンは、ハール測度を ラドン測度 （コンパクトに支えられた連続関数上の正の線型関数）として構築する別の方法を導入した。これは 、、、 が の部分集合ではなく、コンパクトに支えられた正の連続関数であるという点を除けば 、上記の構成と似ている 。この場合、 は、 がある に対して の左平行移動の 線型結合よりも小さい 数 の最小値であると定義する 。前と同様に、 を定義する。 A {\displaystyle A} K {\displaystyle K} U {\displaystyle U} G {\displaystyle G} [ K : U ] {\displaystyle [K:U]} c 1 + ⋯ + c n {\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}} K ( g ) {\displaystyle K(g)} c 1 U ( g 1 g ) + ⋯ + c n U ( g n g ) {\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)} U {\displaystyle U} g 1 , … , g n ∈ G {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}
μ A ( K ) = lim U [ K : U ] [ A : U ] {\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}} 。 極限が存在するという事実を証明するにはある程度の労力を要するが、その利点は、選択公理の使用を避けられること、そして副産物としてハール測度の一意性が得られることである。この汎関数は、 コンパクトに支えられた連続関数上の正線型汎関数に拡張され、ハール測度を与える。（極限は において線型であるが 、個々の項は 通常 において線型ではないことに注意されたい 。） μ A {\displaystyle \mu _{A}} K {\displaystyle K} [ K : U ] {\displaystyle [K:U]} K {\displaystyle K}
関数の平均値を用いた構成 フォン・ノイマンは関数の平均値を用いてハール測度を構成する手法を提示したが、これはコンパクト群に対してのみ有効である。その考え方は、コンパクト 群上の関数が与えられたとき、その左平行移動の 凸結合 （ただし ）が定数関数と最大で小さな数 だけ異なるというものである 。そして、 がゼロに近づくにつれて、これらの定数関数の値は極限に近づくことが示され 、この極限は関数 の平均値（または積分）と呼ばれる 。 f {\displaystyle f} ∑ a i f ( g i g ) {\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)} ∑ a i = 1 {\textstyle \sum a_{i}=1} ϵ {\displaystyle \epsilon } ϵ {\displaystyle \epsilon } f {\displaystyle f}
局所コンパクトだがコンパクトではない群の場合、コンパクトに支えられた関数の平均値はゼロなので、この構成はハール測度を与えません。しかし、群上の 概周期関数で 平均値を持つものについては、同様の構成が成り立ちます。ただし、ハール測度に関しては与えられません。
リー群の構成 n 次元リー群上では 、ハール測度は左不変な n 形式によって誘導される測度として容易に構成できる。これはハールの定理以前から知られていた。
正しいハール尺度 また、上記の正則性条件を満たし、コンパクト集合上で有限である、 右並進不変なボレル測度が（正の定数倍を除いて）唯一存在することも証明できるが、これは左並進不変な測度 と必ずしも一致する必要はない 。左ハール測度と右ハール測度は、いわゆる ユニモジュラー群 （下記参照）においてのみ同一である。しかし、と の 関係を見つけるのは非常に簡単である 。 ν {\displaystyle \nu } μ {\displaystyle \mu } μ {\displaystyle \mu } ν {\displaystyle \nu }
実際、ボレル集合 に対して、 の元の逆集合 を と表記する 。定義すると、 S {\displaystyle S} S − 1 {\displaystyle S^{-1}} S {\displaystyle S}
μ − 1 ( S ) = μ ( S − 1 ) {\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad } これは右ハール測度である。右不変性を示すには、定義を適用する。
μ − 1 ( S g ) = μ ( ( S g ) − 1 ) = μ ( g − 1 S − 1 ) = μ ( S − 1 ) = μ − 1 ( S ) . {\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad } 正しい尺度は一意であるため、 はの倍数となり 、 μ − 1 {\displaystyle \mu _{-1}} ν {\displaystyle \nu }
μ ( S − 1 ) = k ν ( S ) {\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,} すべてのボレル集合 に対して 、 は正の定数です。 S {\displaystyle S} k {\displaystyle k}
モジュラー関数 右ハール測度の左平行移動は右ハール測度である。より正確には、 が右ハール測度であるとき 、 群元 g の任意の固定された選択 に対して 、 ν {\displaystyle \nu }
S ↦ ν ( g − 1 S ) {\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad } も右不変である。したがって、ハール測度の定数倍係数を除いた一意性により、群から正の実数への 関数、 ハール係数 、 モジュラー関数 、または モジュラー指標 が存在し、任意のボレル集合に対して Δ {\displaystyle \Delta } S {\displaystyle S}
ν ( g − 1 S ) = Δ ( g ) ν ( S ) . {\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad } 右ハール測度は正のスケーリング係数まで明確に定義されているため、この方程式は、モジュラー関数が上記の方程式における右ハール測度の選択に依存しないことを示しています。
モジュラー関数は、 Gから 正の実数 の乗法群 への連続群準同型である 。 モジュラー関数が と等価であるとき 、あるいは同値として、ハール測度が左右不変であるとき、その群は ユニモジュラー群と呼ばれる。ユニモジュラー群の例としては、 アーベル群 、 コンパクト群 、 離散群 （例えば 有限群 ）、 半単純リー群 、 連結 冪零リー群 などがある。 [ 要出典 ] 非ユニモジュラー群の例としては、アフィン変換群が挙げられる。 1 {\displaystyle 1}
{ x ↦ a x + b : a ∈ R ∖ { 0 } , b ∈ R } = { [ a b 0 1 ] } {\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}} 実数直線上。この例は、 可解 リー群が必ずしもユニモジュラである必要はないことを示しています。この群では、左ハール測度は で与えられ 、右ハール測度は で与えられます 。 1 a 2 d a ∧ d b {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db} 1 | a | d a ∧ d b {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}
均質空間上の測度 局所コンパクト群が 同質空間 に対して推移的に作用する場合 、この空間が不変測度、あるいはより一般的には のある特性に対して となる性質を持つ半不変測度を持つかどうかを問うことができる 。 この ような測度が存在するための必要十分条件は、制限 が に等しいということである。 ここで、 と は それぞれ と のモジュラー関数である 。 [8] 特に、 上の不変測度が存在するのは、 のモジュラー関数 を に制限した場合のモジュラー関数 が の モジュラー関数である 場合に限る 。 G {\displaystyle G} G / H {\displaystyle G/H} μ ( g S ) = χ ( g ) μ ( S ) {\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)} χ {\displaystyle \chi } G {\displaystyle G} χ | H {\displaystyle \chi |_{H}} Δ | H / δ {\displaystyle \Delta |_{H}/\delta } Δ {\displaystyle \Delta } δ {\displaystyle \delta } G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} G / H {\displaystyle G/H} Δ {\displaystyle \Delta } G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} δ {\displaystyle \delta } H {\displaystyle H}
例 が群であり 、が上三角行列の部分群である 場合 、 のモジュラー関数は 非自明であるが、 のモジュラー関数は 自明である。これらの商は のいかなる指標にも拡張できない ため、商空間（1次元 実射影空間 と考えることができる ）は半不変測度さえも持たない。 G {\displaystyle G} S L 2 ( R ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G / H {\displaystyle G/H}
ハール積分 ルベーグ積分 の一般理論を用いると、 上の すべてのボレル可測関数の積分を定義することができる。この積分は ハール積分 と呼ばれ 、以下のように表される。 f {\displaystyle f} G {\displaystyle G}
∫ f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)} ハール測度は どこにありますか。 μ {\displaystyle \mu }
左ハール測度の1つの特性 は、 を の要素とすると 、次が成り立つことです。 μ {\displaystyle \mu } s {\displaystyle s} G {\displaystyle G}
∫ G f ( s x ) d μ ( x ) = ∫ G f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)} 上の 任意のハール積分関数に対して成り立つ 。これは 指示関数 に対しては即値である： f {\displaystyle f} G {\displaystyle G}
∫ 1 A ( t g ) d μ = ∫ 1 t − 1 A ( g ) d μ = μ ( t − 1 A ) = μ ( A ) = ∫ 1 A ( g ) d μ , {\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,} これは本質的に左不変性の定義です。
用途 数学年報 の同じ号で 、ハールの論文の直後に、 ジョン・フォン・ノイマン はハールの定理を使って、コンパクト群に限定された ヒルベルトの第5問題を 解きました。 [9]
が離散群でない限り、 非測定集合 の理論によれば、 選択公理を 仮定して、 の すべての 部分集合上で可算加法の左不変正則測度を定義することは不可能である 。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G}
抽象調和解析 ハール測度は局所コンパクト群上の 調和解析、特に ポンチャギン双対性 の理論で用いられる 。 [10] [11] [12] 局所コンパクト群上のハール測度の存在を証明するには、 上の左不変 ラドン測度を 示すだけで十分である 。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G}
数理統計学 数理統計学において、ハール測度は、変換のコンパクト群の 事前確率 である事前測度として用いられる。これらの事前測度は、 ワルドによる ベイズ手続き （またはベイズ手続きの極限） としての許容手続きの特徴づけを利用して、 許容手続き を構築するのに用いられる。例えば、 位置パラメータ を持つ分布族に対する右ハール測度は、 と 最も 同変である ピットマン推定量 をもたらす 。左ハール測度と右ハール測度が異なる場合、通常は右測度が事前分布として好まれる。正規分布のパラメータ空間上のアフィン変換群の場合、右ハール測度は ジェフリーズ事前 測度である。 [13] 残念ながら、右ハール測度であっても、主観情報を避ける事前測度を構築する他の方法と同様に、実用には推奨できない無駄な事前測度をもたらすことがある。 [14]
統計学におけるハール測度のもう一つの用途は 条件付き推論 である。条件付き推論では、ある統計量の標本分布はデータの別の統計量によって条件付けられる。不変量理論的条件付き推論では、標本分布は（ハール測度が定義されている）変換群の不変量によって条件付けられる。条件付けの結果は、不変量の使用順序や最大不変量の選択に依存する場合があり、 統計的 不変原理だけでは、（もし存在するとしても）一意に最良の条件付き統計量を選択できない。そのため、少なくとも別の原理が必要となる。
非コンパクト群については、統計学者は 従属群 を用いてハール測度の結果を拡張した。 [15]
ヴェイユの逆定理 1936年、 アンドレ・ヴェイユは 、あるグループが特定の 分離 特性を持つ左不変測度を持つ場合、 [3] グループ上に位相を定義することができ、グループの完備化は局所コンパクトであり、与えられた測度はこの完備化上のハール測度と本質的に同じであることを示し、ハールの定理の（ある種）逆を証明しました。
参照
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さらに読む ディーステル、ジョー 、 スパルスベリー、アンジェラ （2014年） 『ハール測度の喜び』 、Graduate Studies in Mathematics、第150巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、 ISBN 978-1-4704-0935-7 、 MR 3186070 ルーミス、リン （1953）『 抽象調和解析入門 』D. ヴァン・ノストランド社、 hdl ： 2027/uc1.b4250788 。 ヒューイット、エドウィン。ロス、ケネス A. (1963)、 抽象高調波解析。 Vol. I: 位相グループの構造。統合理論、群表現。 、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 115、ベルリン - ゲッティンゲン - ハイデルベルク: Springer-Verlag、 MR 0156915 ナハビン、レオポルド (1965)、 ハール インテグラル 、ニュージャージー州プリンストン: D. ヴァン ノストランド アンドレ・ヴェイユ 、 『基礎数論』 、アカデミック出版、1971年。
外部リンク 局所コンパクト位相群上のハール積分の存在と一意性 - Gert K. Pedersen著 局所コンパクト群上の不変測度の存在と一意性について - サイモン・ルビンスタイン＝サルゼド
![{\displaystyle \{1\}\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daaed32bc9c788ddab713d681ff6d64b2c08e0e8)
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![{\displaystyle [T:S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e122fdfa3769405929d766649f057d92d522609)
![{\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0c2333d5277120a30a4f48b829169b79806a67)
![{\displaystyle [K:U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d359f8cac3b2ec43436f11f8ee8e283c99957bb)
![{\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc384a8e77c4fdb08dec910b6121b61629299456)
