和集合論

いずれかの集合の要素の集合

2つの集合の和集合:
${\displaystyle ~A\cup B}$

3つの集合の和集合:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

A、B、C、D、E の和集合は、白い領域を除くすべてです。

集合論では、集合の集合の和集合（∪で表す）は、その集合に含まれるすべての要素の集合である。^[1]これは、集合を結合したり相互に関連付けたりするための基本的な操作の1つである。零集合の和集合はゼロ集合（ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$）の和集合を指し空集合と等しくなります。

この記事で使用されている記号の説明については、数学記号表を参照してください。

2つの集合の和集合

2つの集合AとBの和集合は、 Aに含まれる要素、Bに含まれる要素、またはAとBの両方に含まれる要素の集合である。^[2]集合構築記法 では、

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$. ^[3]

例えば、A = {1, 3, 5, 7}、B = {1, 2, 4, 6, 7}の場合、 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} となります。より複雑な例（2つの無限集合を含む）は次のようになります。

A = { xは1 より大きい偶数}

B = { xは1より大きい奇数}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

別の例として、9 は素数でも偶数でもないため、素数の集合{2、3、5、7、11、...} と偶数の集合{2、4、6、8、10、...} の和集合に含まれません。

集合は重複する要素を持つことはできないので^{[3] [4]}、集合{1, 2, 3}と{2, 3, 4}の和集合は{1, 2, 3, 4}となる。

有限和

複数の集合の和集合を同時にとることができます。例えば、3つの集合A、B、Cの和集合には、 Aのすべての要素、 Bのすべての要素、Cのすべての要素が含まれ、それ以外の要素は含まれません。したがって、xがA ∪ B ∪ Cの要素であるためには、x がA、B、Cの少なくとも1つに含まれる必要があります。

有限和集合は有限個の集合の和集合である。この句は和集合が有限集合であることを意味するものではない。^{[5] [6]}

表記

一般概念の表記法は多岐にわたります。有限集合の和集合は、しばしばまたは と書きます。任意の和集合の一般的な表記法には、、 、 などがあります。これらの最後の表記法は、集合 の和集合を指します。ここで、 Iは添字集合であり、は任意の⁠ ⁠に対して となる集合です。添字集合Iが自然数の集合である場合、級数における無限和の表記法に類似した という表記法が使用されます。^[7] ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

記号「∪」が他の記号の間ではなく前に置かれると、通常は大きなサイズで表示されます。

表記エンコード

Unicodeでは、unionは文字U+222A∪UNION で表さ れます。^[8] TeXでは、はからレンダリングされ、はからレンダリングされます。 ${\displaystyle \cup }$\cup ${\textstyle \bigcup }$\bigcup

任意の結合

最も一般的な概念は、任意の集合の集合の和集合であり、これは無限和集合と呼ばれることもある。Mが集合または集合を要素とするクラスである場合、 xがM の和集合の元となるための必要十分条件は、Mの少なくとも1つの元Aが存在し、 xがAの元となることである。^[7]記号で表すと：

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

この考え方は、前のセクションを包含します。例えば、A ∪ B ∪ Cは、集合 { A , B , C } の和集合です。また、Mが空集合である場合、 Mの和集合は空集合です。

正式な導出

ツェルメロ・フランケル集合論(ZFC) やその他の集合論では、任意の集合の和集合をとることができることが和集合公理によって保証されています。和集合公理とは、任意の集合 が与えられたとき、の要素とまったく同じ要素を持つ集合 が存在する、というものです。この公理は、の要素の要素を含むがそれより大きい可能性のある が存在する場合など、それほど具体的ではないことがあります。例えば、 の場合、には 1 と 2 が含まれるため、となる可能性があります 。これは、指定公理を使用しての要素とまったく同じ要素を持つ の部分集合を取得することで修正できます。次に、外延公理を使用して、この集合が一意であることを示します。読みやすくするために、 「は の和集合」または「 」を意味する二項述語を次のように定義します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\{\{1\},\{2\}\},}$ ${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Union} (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\bigcup Y}$

$${\displaystyle \operatorname {Union} (X,Y)\iff \forall x(x\in X\iff \exists y\in Y(x\in y))}$$

すると、「すべての に対して、の和集合となるような が唯一存在する」という命題を証明できます。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \forall Y\,\exists !X(\operatorname {Union} (X,Y))}$$

次に、定義による拡張機能を使用して、次のようにZFC の言語にユニオン演算子を追加できます。 ${\displaystyle \bigcup A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B=\bigcup A&\iff \operatorname {Union} (B,A)\\&\iff \forall x(x\in B\iff \exists y\in Y(x\in y))\end{aligned}}}$$

または同等:

$${\displaystyle x\in \bigcup A\iff \exists y\in A\,(x\in y)}$$

和集合演算子を定義した後、ペアリング公理を用いて一意の集合が存在することを示して を定義し、 を定義することで、二項和集合を定義できます。すると、有限和集合は次のように帰納的に定義できます。 ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle C=\{A,B\}}$ ${\displaystyle A\cup B=\bigcup \{A,B\}}$

$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{0}A_{i}=\varnothing {\text{, and }}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_{n}}$$

代数的性質

二項和は結合演算です。つまり、任意の集合⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$に対して ⁠ ⁠ となります。したがって、括弧は曖昧さなく省略できます。上記のどちらも⁠ ⁠と書くことができます。また、和は可換であるため、集合は任意の順序で書くことができます。^[9]空集合は和演算の単位元です。つまり、任意の集合⁠ ⁠に対して⁠ ⁠となります。また、和演算はべき等です。⁠ ⁠ 。これらの特性はすべて、論理和に関する類似の事実から生じます。 $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup A=A}$

交差は和集合に対して分配され 、和集合は交差に対して分配される^[2]集合⁠ ⁠の 冪集合は、和集合、交差、補集合によって与えられる演算とともに、ブール代数である。このブール代数において、和集合は、交差と補集合を用いて、次の式で表される 。ここで、上付き文字は、全体集合⁠ ⁠における補集合を表す。あるいは、交差も同様の方法で、和集合と補集合を用いて表すこともできる。これら2つの式を合わせてド・モルガンの法則と呼ぶ。^{[10] [11] [12]} $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ $${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ ${\displaystyle {}^{\complement }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$

歴史と語源

英語の「union （結合）」という単語は、中期フランス語で「一緒になる」という意味の言葉に由来し、これは古典期以降のラテン語の「 unionem （一体性）」に由来する。^[13]集合論における「union （結合）」の元々の用語はドイツ語の「Vereinigung 」で、1895年にゲオルク・カントールによって導入された。^{[14]数学における}「union of two sets（2つの集合の結合） 」という英語の用法は、少なくとも1912年にはジェームズ・ピアポントによって使われ始めた。^{[15] [16]}数学における「union」を表す記号は、1889年にジュゼッペ・ペアノが著書『算術原理』の中で、交差、集合の帰属、部分集合の表記法とともに導入した。^[17] ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \subset }$

参照

• 数学ポータル

• 集合の代数 – 集合に関する恒等式と関係
• 交替（形式言語理論） − 文字列の集合の和集合
• 和公理 – 公理的集合論における概念
• 非結合和 – 数学において、集合上の演算
• 包含・排他原理 – 組合せ論における計数技法
• 交差（集合論）  – いくつかの集合のすべてに共通する要素の集合
• 反復二項演算 – シーケンスに対する演算の繰り返し適用
• 集合の恒等式と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 素朴集合論 – 非公式集合論
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素

注記

1. Weisstein, Eric W. 「Union」. Wolfram Mathworld. 2009年2月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年7月14日閲覧。
2. 「集合演算 | 和集合 | 積集合 | 補集合 | 差集合 | 排他的 | 分割 | ド・モルガンの法則 | 分配法則 | デカルト積」。確率論講座。 2020年9月5日閲覧。
3. Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (2002-01-01). 基本集合論. アメリカ数学会. ISBN 9780821827314。
4. デハーン、レックス;コッペラーズ、トゥーン (2007-10-25)。データベース専門家のための応用数学。アプレス。ISBN 9781430203483。
5. Dasgupta, Abhijit (2013-12-11). 集合論：実点集合入門. Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545。
6. “有限集合の有限和は有限である”. ProofWiki . 2014年9月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年4月29日閲覧。
7. スミス, ダグラス; エッゲン, モーリス; アンドレ, リチャード・セント (2014-08-01).上級数学への移行. Cengage Learning. ISBN 9781285463261。
8. 「Unicode標準バージョン15.0 – 数学演算子 – 範囲: 2200–22FF」(PDF) . Unicode . p. 3.
9. Halmos, PR (2013-11-27). 素朴集合論. Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450。
10. 「MathCS.org - 実解析：定理1.1.4：ド・モルガンの法則」. mathcs.org . 2024年10月22日閲覧。
11. ドーア、アル;ルバスール、ケン。 ADS 集合論の法則。
12. 「集合代数 - Wikipedia（フリー百科事典）」www.umsl.edu . 2024年10月22日閲覧。
13. 「etymonlineによる「union」の語源」。etymonline 。2025年4月10日閲覧。
14. カントール、ゲオルグ (1895-11-01)。 「Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。46 (4): 481–512。土井:10.1007/BF02124929。ISSN  1432-1807。
15. ピアポント、ジェームズ (1912). 実変数関数論講義 第2巻. オスマニア大学、インドデジタル図書館. ギン・アンド・カンパニー.
16. オックスフォード英語辞典、「union ( n.2 )、意味III.17」、2025年3月、https://doi.org/10.1093/OED/1665274057
17. 「集合論と論理における記号の初期の使用」数学史. 2025年4月10日閲覧。

外部リンク

• 「集合の和集合」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ProvenMath の無限和と無限交差、集合論の公理から正式に証明されたド・モルガンの法則。

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