Algebraic term
数学 において 、 環 R の ユニポテント元 [1] rとは、 r − 1 がベキ 零元 となる元である 。言い換えれば、 ある nに対して ( r − 1) n がゼロとなる元である。
特に、 正方行列 Mが ユニポテント行列 となるのは、 その 特性多項式 P ( t ) が t − 1 のべき乗である 場合のみです。 したがって、ユニポテント行列の
すべての 固有値は 1 です。
準ユニポレントという 用語は 、たとえば、 すべての固有値が 1 の 根である 対角化可能な行列 など、あるべき乗がユニポレントであることを意味します。
代数群 の理論では、 ある自然な 群表現 において群元が単能的に作用する場合、その群元は 単能で ある。 単 能アフィン代数群は 、すべての要素が単能である群です。
意味
行列による定義 対角線上に ' を持つ 上三角行列 の 群を 考えます。これらは 行列 の群です [2] U n {\displaystyle \mathbb {U} _{n}} 1 {\displaystyle 1}
U n = { [ 1 ∗ ⋯ ∗ ∗ 0 1 ⋯ ∗ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ∗ 0 0 ⋯ 0 1 ] } . {\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.} そして、 単能群は ある の 部分群 として定義できる 。 スキーム理論 を用いると、この群は 群スキーム として定義できる。 U n {\displaystyle \mathbb {U} _{n}} U n {\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
Spec ( C [ x 11 , x 12 , … , x n n , 1 det ] ( x i i = 1 , x i > j = 0 ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)} アフィン群スキームは、それがこのスキームの閉群スキームである場合、単能です。
環理論による定義 アフィン 代数群 の元 xがユニポレントであるとは、 Gの アフィン座標環 A [ G ] 上の 関連する右変換演算子 r x が、 A [ G ]の 線型自己準同型 環の元として局所ユニポレントであるときである。(局所ユニポレントとは、 A [ G ]の任意の有限次元安定部分空間への制限が、 通常の環論的な意味でユニポレントであることを意味する。)
アフィン代数群は、そのすべての要素が単零であるとき、 単零群 と呼ばれる。任意の単零代数群は、 対角要素が1である上三角行列群の閉部分群と 同型であり、 逆に、 そのような部分群は単零群である。特に、任意の単零群は 冪零群 であるが、その逆は成り立たない（反例： GL n ( k )
の 対角行列）。
たとえば、 標準基底を持つ 上の の標準表現は 、固定ベクトル を持ちます 。 U n {\displaystyle \mathbb {U} _{n}} k n {\displaystyle k^{n}} e i {\displaystyle e_{i}} e 1 {\displaystyle e_{1}}
表現論による定義 ユニポテント群が アフィン多様 体に作用する場合、そのすべての軌道は閉じており、有限次元 ベクトル空間 に線型的に作用する場合、その固定ベクトルは非零である。実際、後者の性質はユニポテント群の特徴である。 [2] 特に、これは非自明な 半単純表現が 存在しないことを意味する。
例
あなた n もちろん、行列群は 単零である。 下中心級数を用いると U n {\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
U n = U n ( 0 ) ⊃ U n ( 1 ) ⊃ U n ( 2 ) ⊃ ⋯ ⊃ U n ( m ) = e {\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e} どこ
U n ( 1 ) = [ U n , U n ] {\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]} そして U n ( 2 ) = [ U n , U n ( 1 ) ] {\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]} には単零群が付随する。例えば、 では 、中心級数は行列群である。 n = 4 {\displaystyle n=4}
U 4 = { [ 1 ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 0 1 ] } {\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}} 、 、 、 そして U 4 ( 1 ) = { [ 1 0 ∗ ∗ 0 1 0 ∗ 0 0 1 0 0 0 0 1 ] } {\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}} U 4 ( 2 ) = { [ 1 0 0 ∗ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] } {\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}} U 4 ( 3 ) = { [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] } {\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}} 単能群のいくつかの誘導された例を示します。
G 1つの n 加法群は 埋め込みによって単能群となる。 G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
a ↦ [ 1 a 0 1 ] {\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}} 行列の掛け算は
[ 1 a 0 1 ] ⋅ [ 1 b 0 1 ] = [ 1 a + b 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}} したがって、これは群埋め込みである。より一般的には、 写像からの
埋め込みが存在する。 G a n → U n + 1 {\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}
( a 1 , … , a n ) ↦ [ 1 a 1 a 2 ⋯ a n − 1 a n 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 ] {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}} スキーム理論を用いると、 関数は 次のように与えられる。 G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
O : Sch o p → Sets {\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}} どこ
( X , O X ) ↦ O X ( X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}
フロベニウスの核 部分圏 上の 関数を考える 。部分関数が存在する 。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} Sch / F p {\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}} α p {\displaystyle \alpha _{p}}
α p ( X ) = { x ∈ O ( X ) : x p = 0 } {\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}} したがって、これはフロベニウス準同型 の核によって与えられます 。
標数0上の単能群の分類 標数 0において、 冪零リー代数 に関する単零代数群の適切な分類が存在する 。冪零リー代数とは、反復随伴作用が最終的に零写像に終結するような、何らかの の部分代数であることを思い出してほしい。行列で表現すると、これは の部分代数 であり 、 に対して となる行列であること を 意味する 。 g l n {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} n n {\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}} a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} i ≤ j {\displaystyle i\leq j}
すると、有限次元冪零リー代数と単冪代数群の カテゴリには同値性 がある。 [2] 261ページこれは ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ級数 を使って構成できる 。ここで有限次元冪零リー代数が与えられたとき、写像 H ( X , Y ) {\displaystyle H(X,Y)}
H : g × g → g where ( X , Y ) ↦ H ( X , Y ) {\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)} は 上のユニポテント代数群構造を与えます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
逆方向には、 指数写像は 任意の冪零正方行列を単冪行列へと写す。さらに、 U が可換単冪群である場合、指数写像は U のリー代数から U 自身への 同型写像 を誘導する。
任意の次元の代数的に閉じた体 上のユニポテント群は 原理的には分類可能ですが、実際には次元が大きくなるにつれて分類の複雑さが急速に増すため、 6 次元あたりで分類を諦める人もいます ( 誰が? ) 。
単能根号 代数群 G の 単 零根基は、 G の 根基 における単零元の集合である 。これは G の連結な単零正規部分群であり、他のそのような部分群をすべて含む。群は、その単零根基が自明であるとき、簡約的であると呼ばれる。G が簡約的であるとき、 その 根基はトーラスである。
代数群の分解 代数群は、単能群、乗法群、および アーベル多様体に分解できますが、どのように分解されるかは、その基底 体 の特性に依存します 。
特性0 特性0の上で、可換代数群の構造を線型代数群 と アーベル多様体 の構造に関連付ける、 優れた分解定理が存在する。 群の 短い完全列 が存在する [3] 8ページ G {\displaystyle G}
0 → M × U → G → A → 0 {\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0} ここで 、 はアーベル多様体、 は乗法型（つまり、 幾何学的には、 はトーラス群と の形の代数群の積 ）、 は単倹群です。 A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} μ n {\displaystyle \mu _{n}} U {\displaystyle U}
特性 p 基底体の標数が p のとき、代数群に対しても 同様のことが言える [3] 。すなわち、 最小の部分群が存在し、 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H}
G / H {\displaystyle G/H} 単能群である H {\displaystyle H} 乗法型の群による アーベル多様体の拡張です 。 A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} は、における 通約可能性 を除いて一意であり 、 同型性 を除いて一意です 。 G {\displaystyle G} A {\displaystyle A}
ジョーダン分解 完全体 上の線型代数群の任意の 元 g は、可換な単元 g u と 半単純 元 g s の積 g = g u g sとして一意に表すことができます。群 GL n ( C )の場合 、これは本質的に、任意の可逆 複素 行列が対角行列と上三角行列の積と共役であることを意味します。これは（多かれ少なかれ） ジョルダン・シュヴァレー分解 の乗法版です。
群に対するジョルダン分解のバージョンも存在します。完全体上の任意の可換線型代数群は、単能群と半単純群の積です。
参照
参考文献 ^ 「ユニポテント要素 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2024年9月23日 閲覧 。 ^ abc Milne, JS 線型代数群 (PDF) . pp. 252– 253, ユニポテント代数群。 ^ ab Brion, Michel (2016-09-27). 「同型性までの可換代数群」. arXiv : 1602.00222 [math.AG].
![{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce88e4038dfda44d7929124d20ee7522355e21df)
![{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f416a069728bba921863fa4f0aae18603cd206)
![{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f472ecf1c7b0790235720e85122ef1b49e3ba13e)
