Mathematical use of "for all"
全称量化 タイプ 量指定子 分野 数理論理学 声明 ∀ x P ( x ) {\displaystyle \forall xP(x)} のすべての値に対して が真である 場合、 は真です 。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} x {\displaystyle x} 象徴的な声明 ∀ x P ( x ) {\displaystyle \forall xP(x)}
数理論理学 において 、全称量化（ ぜんぞくかくか 、英: universal quantification）は 量指定子 の 一種であり 、 「任意の要素が与えられた場合 」、「 すべての 要素が与えられた場合」、 「 すべての 要素が与えられた場合」、または「 任意の 要素 が与えられた場合 」と 解釈さ れる論理定数である。これは、 述語 が議論領域 のすべての 要素 によって 満たさ れることを表す 。言い換えれば、これは、 ある 性質 または 関係を議論領域のすべての要素に 述語化すること である。これは、 全称量指定子の スコープ 内の述語が、 述語変数 のすべての 値に対して真であること を主張する 。
これは通常、 反転したA ( ) 論理演算子 記号 で表され、述語変数と共に使用される場合は 全称量化子 （「 ∀ x 」、「 ∀( x ) 」、または「 ( x ) 」のみで表されます）と呼ばれます。全称量化は、定義域の少なくとも1つの要素に対してプロパティまたは関係が成立することを主張する 存在 量化 （「存在する」） とは異なります。
量化全般については、量化（論理） の記事で解説されています 。全称量化子は、 Unicode では U+2200 ∀ FOR ALL としてエンコードされ、 LaTeX や関連する数式エディタでも同様に使用され ます。 \forall
基本 次のようなことが与えられていると仮定する。
2·0 = 0 + 0、2·1 = 1 + 1、2 ·2 = 2 + 2 、...、2 · 100 = 100 + 100、...など。
これは「and」が繰り返し用いられているため、無限 論理積のように見えます。しかし、「etc.」は 形式論理学 では接続詞として解釈できません 。代わりに、この文は次のように言い換える必要があります。
すべての自然数 nに対して、 2· n = n + n が成り立ちます 。
これは全称量化を使用した単一のステートメントです。
この記述は元の記述よりも正確であると言える。「など」には 自然数のみ が含まれており、それ以外は何も含まれていないと非公式に述べられているが、これは厳密には示されていない。一方、全称量化では自然数が明示的に言及されている。
この特定の例は 真です。なぜなら、 n の代わりに任意の自然数を代入でき、「2· n = n + n 」という命題が 真となるからです。対照的に、
すべての自然数 nに対して、2· n > 2 + n が成り立つ。
は偽で ある 。なぜなら、 nを 例えば1に置き換えると、「2·1 > 2 + 1」という命題は偽となるからである。「2· n > 2 + n 」が ほとんどの 自然数 n に対して真であることは重要ではない。 反例 が1つでも存在すれば、 全称量化が偽であることが証明できる。
一方、すべての 合成数 n に対して、2· n > 2 + n が
成り立ちます。これは、反例のいずれも合成数ではないためです。これは、 n が取り得る 値を指定する 議論領域 の重要性を示しています。 [注 1] 特に、議論領域が特定の述語を満たすオブジェクトのみで構成されるように制限されている場合、全称量化を行うには 論理条件文 が必要となることに注意してください。例えば、
すべての合成数 nに対して、2· n > 2 + n が成り立つ。
論理的 に は
すべての自然数 n について、 n が合成数であれば、 2· n > 2 + n となります。
ここで、「if ... then」構文は論理条件を示します。
表記 記号論理学 において 、全称量化記号 （ サンセリフ フォントで「 A 」を反転させたもの、Unicode U+2200）は全称量化を表すために使用されます。この記号は、1935年に ゲルハルト・ゲンツェン によって初めて使用されました。これは、 ジュゼッペ・ペアノ の 存在量化 表記（Eを反転させたもの）と、後に バートランド・ラッセル がペアノ表記法を使用したこととの 類推に基づいています 。 [1] ∀ {\displaystyle \forall } ∃ {\displaystyle \exists }
例えば、 P ( n ) が述語「2· n > 2 + n 」であり、 N が自然数の 集合 である場合、
∀ n ∈ N P ( n ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)} （偽の）記述である
「すべての自然数 nに対して、 2· n > 2 + n が成り立ちます 。」 同様に、 Q ( n ) が「 n は合成語である」という 述語である場合、
∀ n ∈ N ( Q ( n ) → P ( n ) ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}} は（真の）声明である
「すべての自然数 n について、 n が合成数であれば、 2· n > 2 + n です。」 数量化の表記法のいくつかのバリエーション（すべての形式に適用される）については、 数量詞の 記事を参照してください。
プロパティ
否定 全称量化関数の否定は、全称量化子を 存在量化子 に変換し、量化式を否定することによって得られる。つまり、
¬ ∀ x P ( x ) is equivalent to ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)} ここで は 否定 を表します 。 ¬ {\displaystyle \lnot }
例えば、 P ( x )が 命題関数 「 x は結婚している」である場合 、 すべての生きている人間の 集合 Xに対して、普遍量化
生きている人 x が与えられれば、その人は結婚している
書かれている
∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)} この記述は誤りです。
生きている人x がいれば、その人は結婚している というわけではない。
あるいは象徴的に言えば：
¬ ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)} 。 関数 P ( x ) が Xの すべての 要素 に対して真でない場合 、少なくとも1つの要素に対して命題が偽となる。つまり、 の否定は論理的に「 未婚の
生存者 x が存在する」、つまり以下の式と等価である。 ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}
∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)} 「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚している人は存在しない」）と「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚していない人が存在する」）を混同するのは誤りです。
¬ ∃ x ∈ X P ( x ) ≡ ∀ x ∈ X ¬ P ( x ) ≢ ¬ ∀ x ∈ X P ( x ) ≡ ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}
その他の接続詞 全称（存在）量指定子は、 他のオペランドが影響を受けない限り、 論理接続詞 ∧ 、 ∨ 、 → 、 ↚間を変化なく移動します。 [2] つまり、
P ( x ) ∧ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) P ( x ) ∨ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) → ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) → Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) ↚ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↚ Q ( y ) ) P ( x ) ∧ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) ∨ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) P ( x ) → ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) → Q ( y ) ) P ( x ) ↚ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↚ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}} 逆に、論理接続詞 ↑ 、 ↓ 、 ↛ 、 ← の場合、量指定子は反転します。
P ( x ) ↑ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↑ Q ( y ) ) P ( x ) ↓ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↓ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) ↛ ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ↛ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) ← ( ∃ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∀ y ∈ Y ( P ( x ) ← Q ( y ) ) P ( x ) ↑ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↑ Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ P ( x ) ↓ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↓ Q ( y ) ) P ( x ) ↛ ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ↛ Q ( y ) ) P ( x ) ← ( ∀ y ∈ Y Q ( y ) ) ≡ ∃ y ∈ Y ( P ( x ) ← Q ( y ) ) , provided that Y ≠ ∅ {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}
推論の規則 推論規則と は 、仮説から結論への論理的過程を正当化する規則です。全称量化子を用いた推論規則はいくつかあります。
普遍的具体化は 、命題関数が普遍的に真であると知られているならば、それは論議宇宙の任意の要素に対しても真でなければならないという結論を導き出す。これは記号的に次のように表される。
∀ x ∈ X P ( x ) → P ( c ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)} ここで、 c は議論領域の完全に任意の要素です。
普遍一般化は、 命題関数が談話領域の任意の要素に対して真であるならば、それは普遍的に真でなければならないと結論付ける。象徴的に言えば、任意の c に対して、
P ( c ) → ∀ x ∈ X P ( x ) . {\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).} 要素 c は完全に任意でなければなりません。そうでない場合、論理は成り立ちません。c が 任意ではなく、談話領域の特定の要素である場合、P( c ) は命題関数の存在量化のみを意味します。
空集合 慣例により、式 P ( x )に関係なく、 式は常に真です 。 「空虚な真理」を参照してください。 ∀ x ∈ ∅ P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}
ユニバーサルクロージャー 論理式φの普遍閉包とは、φ中のすべての自由変数に普遍量化子を付加することで得られる、自由変数を含まない論理式で ある 。 例えば 、
P ( y ) ∧ ∃ x Q ( x , z ) {\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)} は
∀ y ∀ z ( P ( y ) ∧ ∃ x Q ( x , z ) ) {\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))} 。
副次的に 圏論と 基本トポイ 理論 では、普遍量化子は 冪集合 間の 関数 の 右随伴関数 、 集合間の関数の 逆像 関数として理解できる。同様に、 存在量化子は 左随伴関数 である 。 [3]
集合 について 、 その 冪集合 を と表記する。集合 との間の 任意の関数に対して 、冪集合間の 逆像 関数 が存在する。これは f の余域の部分集合をその定義域の部分集合に戻す関数である。この関数の左随伴関数は存在量指定子であり 、右随伴関数は全称量指定子である 。 X {\displaystyle X} P X {\displaystyle {\mathcal {P}}X} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} f ∗ : P Y → P X {\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X} ∃ f {\displaystyle \exists _{f}} ∀ f {\displaystyle \forall _{f}}
つまり、 は、各部分集合 に対して、 によって与えられる 部分集合を与える 関数である。 ∃ f : P X → P Y {\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y} S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} ∃ f S ⊂ Y {\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}
∃ f S = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X . f ( x ) = y ∧ x ∈ S } , {\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},} の像に ある もの 。同様に、普遍量化子は、各部分集合 に対して、 によって与えられる 部分集合を与える 関数である。 y {\displaystyle y} S {\displaystyle S} f {\displaystyle f} ∀ f : P X → P Y {\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y} S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} ∀ f S ⊂ Y {\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}
∀ f S = { y ∈ Y | ∀ x ∈ X . f ( x ) = y ⟹ x ∈ S } , {\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},} の下の原像 が に含まれる もの 。 y {\displaystyle y} f {\displaystyle f} S {\displaystyle S}
一階述語論理 で使用される量指定子のより一般的な形式は、 関数 fを 、真と偽の値を保持する2要素の集合となる 唯一の関数とする ことで得られ、部分集合 Sは 述語が 成り立つ部分集合であり 、 ! : X → 1 {\displaystyle !:X\to 1} P ( 1 ) = { T , F } {\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}} S ( x ) {\displaystyle S(x)}
P ( ! ) : P ( 1 ) → P ( X ) T ↦ X F ↦ { } {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}} ∃ ! S = ∃ x . S ( x ) , {\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),} が空でない場合は真であり 、 S {\displaystyle S}
∀ ! S = ∀ x . S ( x ) , {\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),} S が X でない場合は偽になります。
上記の全称量化子と存在量化子は、 前層カテゴリ に一般化されます。
参照
注記 ^ 談話領域を定量化された文で使用する方法の詳細については、「 定量化（論理）」の 記事を参照してください。
参考文献 ^ ミラー、ジェフ. 「集合論と論理における記号の初期の使用」. 様々な数学記号の初期の使用 . ^ つまり、変数が 以下の同値式の 式に自由に現れない場合 y {\displaystyle y} P ( x ) {\displaystyle P(x)} ^ Saunders Mac Lane 、Ieke Moerdijk（1992） Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 58ページ参照
外部リンク ウィクショナリーの「every」の辞書定義
