Statistical measure of how far values spread from their average
平均は同じだが分散が異なる2つの母集団からの標本の例。赤い母集団の平均は100、分散は100（SD=10）で、青い母集団の平均は100、分散は2500（SD=50）です。ここで、SDは標準偏差の略です。 確率論 と 統計学 において 、 分散とは、 確率変数 の 平均からの偏差 の二乗の 期待値 です 。 標準偏差 （SD）は、分散の平方根として得られます。分散は、 分散 の尺度であり、一連の数値が平均値からどれだけ離れているかを示す尺度です。分散は 分布 の第二 中心モーメント であり、 確率変数とそれ自身との 共分散で あり 、多くの場合 、、、、、 またはで表されます 。 [1] σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} s 2 {\displaystyle s^{2}} Var ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} V ( X ) {\displaystyle V(X)} V ( X ) {\displaystyle \mathbb {V} (X)}
分散を分散の尺度として用いる利点は、 期待絶対偏差 などの他の分散尺度よりも代数的な処理が容易なことです。例えば、無相関の確率変数の和の分散は、それらの分散の和に等しくなります。実用上、分散の欠点は、標準偏差とは異なり、その単位が確率変数の単位と異なることです。そのため、計算終了後は、分散の尺度として標準偏差が報告されることが多いのです。もう一つの欠点は、多くの分布において分散が有限ではないことです。
「分散」と呼ばれる概念は2つあります。1つは前述の通り、理論的な 確率分布 の一部であり、方程式によって定義されます。もう1つの分散は、観測値集合の特性です。観測値から分散を計算する場合、それらの観測値は通常、現実世界のシステムから測定されます。システムのすべての観測値が存在する場合、計算された分散は母集団分散と呼ばれます。ただし、通常はサブセットのみが利用可能であり、そこから計算された分散は標本分散と呼ばれます。標本から計算された分散は、母集団全体の分散の推定値とみなされます。母集団分散の推定値を計算する方法は複数あり、以下のセクションで説明します。
2種類の分散は密接に関連しています。その関連性を理解するために、理論的な確率分布を仮説的な観測値の生成器として使用できることを考えてみましょう。ある分布を用いて無限数の観測値を生成すると、その無限集合から計算される標本分散は、その分布の分散方程式を用いて計算された値と一致します。分散は統計学において中心的な役割を果たしており、それを用いた概念としては、 記述統計 、 統計的推論 、 仮説検定 、 適合度 、 モンテカルロサンプリング などがあります。
任意の分布（2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9）の分散の幾何学的視覚化： 頻度分布が構築されます。 分布の重心はその平均を与えます。 各値と平均値の差に等しい辺を持つ正方形が各値に対して形成されます。 正方形を長方形に配置し、その一辺を値の数 n に等しくすると、もう一辺は分布の分散 σ 2 になります。
意味 確率変数の分散は 、 平均からの偏差の二乗 の 期待 値 です 。 この定義には、 離散的 、 連続的 、 どちらでもない 、あるいは混合的なプロセスによって生成される確率変数が含まれます。分散は、確率変数とそれ自身との 共分散 と考えることもできます。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} μ = E [ X ] {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]} Var ( X ) = E [ ( X − μ ) 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}
Var ( X ) = Cov ( X , X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).}
分散は、 を生成する確率分布の2番目の キュムラント とも等価です。分散は通常 、あるいは や 、 あるいは記号的に 、 あるいは単に （「 シグマ スクエアード」と発音します）と表されます。分散の式は次のように展開できます。 X {\displaystyle X} Var ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} V ( X ) {\displaystyle V(X)} V ( X ) {\displaystyle \mathbb {V} (X)} σ X 2 {\displaystyle \sigma _{X}^{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} Var ( X ) = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 − 2 X E [ X ] + E [ X ] 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] E [ X ] + E [ X ] 2 = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] 2 + E [ X ] 2 = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}
言い換えれば、 Xの分散は、 X の2乗の平均から X の平均の2乗を引いたものに等しい。この式は、 浮動小数点演算 を用いた計算には使用すべきではない。なぜなら、式の2つの要素の大きさが近い場合、 破滅的な相殺 が生じるからである 。数値的に安定した他の代替方法については、 分散を計算するアルゴリズムを 参照のこと。
離散確率変数 確率変数の生成器が 確率質量関数 を持つ 離散 的で ある場合、 X {\displaystyle X} x 1 ↦ p 1 , x 2 ↦ p 2 , … , x n ↦ p n {\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}
Var ( X ) = ∑ i = 1 n p i ⋅ ( x i − μ ) 2 , {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}
ここで 期待値は、 μ {\displaystyle \mu }
μ = ∑ i = 1 n p i x i . {\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}
(このような離散 加重分散が 、合計が 1 でない重みによって指定される場合、重みの合計で割ります。)
等確率の値の集合の分散は 次のように表される。 n {\displaystyle n}
Var ( X ) = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}
ここで 平均値は、 μ {\displaystyle \mu }
μ = 1 n ∑ i = 1 n x i . {\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}
等確率の値の集合の分散は、 平均を直接参照することなく、点同士の距離の二乗偏差で表現することができる。 [2] n {\displaystyle n}
Var ( X ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 1 2 ( x i − x j ) 2 = 1 n 2 ∑ i ∑ j > i ( x i − x j ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}.}
絶対連続確率変数 確率変数が 確率密度関数 を持ち 、 対応する 累積分布関数 である場合、 X {\displaystyle X} f ( x ) {\displaystyle f(x)} F ( x ) {\displaystyle F(x)}
Var ( X ) = σ 2 = ∫ R ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ R x 2 f ( x ) d x − 2 μ ∫ R x f ( x ) d x + μ 2 ∫ R f ( x ) d x = ∫ R x 2 d F ( x ) − 2 μ ∫ R x d F ( x ) + μ 2 ∫ R d F ( x ) = ∫ R x 2 d F ( x ) − 2 μ ⋅ μ + μ 2 ⋅ 1 = ∫ R x 2 d F ( x ) − μ 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}
あるいは同等に、
Var ( X ) = ∫ R x 2 f ( x ) d x − μ 2 , {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}
ここで の 期待値は μ {\displaystyle \mu } X {\displaystyle X}
μ = ∫ R x f ( x ) d x = ∫ R x d F ( x ) . {\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}
これらの式では、と に関する積分はそれぞれ ルベーグ積分 と ルベーグ・スティルチェス 積分
です 。 d x {\displaystyle dx} d F ( x ) {\displaystyle dF(x)}
関数が 任意の有限区間で リーマン積分可能 である 場合、 x 2 f ( x ) {\displaystyle x^{2}f(x)} [ a , b ] ⊂ R , {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}
Var ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f ( x ) d x − μ 2 , {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}
ここで積分は 不定リーマン積分 である。
例
指数分布 パラメータ λ > 0の 指数分布は 、 区間 [0,∞)において 確率密度関数 が与えられる 連続分布である 。その平均は次のように示される。 f ( x ) = λ e − λ x {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}} E [ X ] = ∫ 0 ∞ x λ e − λ x d x = 1 λ . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}
部分積分を 使用し 、すでに計算された期待値を利用すると、次のようになります。 E [ X 2 ] = ∫ 0 ∞ x 2 λ e − λ x d x = [ − x 2 e − λ x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 2 x e − λ x d x = 0 + 2 λ E [ X ] = 2 λ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}
したがって、 X の分散は 次のように与えられる。 Var ( X ) = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = 2 λ 2 − ( 1 λ ) 2 = 1 λ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}
フェアダイ 公平な 6面サイコロは、1から6までの出目がそれぞれ1/6の等確率で現れる離散確率変数 X としてモデル化できる 。X の期待値 は、したがって、 X の分散 は、 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) / 6 = 7 / 2. {\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.} Var ( X ) = ∑ i = 1 6 1 6 ( i − 7 2 ) 2 = 1 6 ( ( − 5 / 2 ) 2 + ( − 3 / 2 ) 2 + ( − 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 2 ) 2 + ( 3 / 2 ) 2 + ( 5 / 2 ) 2 ) = 35 12 ≈ 2.92. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}
n 面 サイコロの 出目 X の分散の一般的な式は Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n i 2 − ( 1 n ∑ i = 1 n i ) 2 = ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 − ( n + 1 2 ) 2 = n 2 − 1 12 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}
よく使われる確率分布 次の表は、一般的に使用されるいくつかの確率分布の分散を示しています。
確率分布の名前 確率分布関数 平均 分散 二項分布 Pr ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle \Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}} n p {\displaystyle np} n p ( 1 − p ) {\displaystyle np(1-p)} 幾何分布 Pr ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p {\displaystyle \Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p} 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} ( 1 − p ) p 2 {\displaystyle {\frac {(1-p)}{p^{2}}}} 正規分布 f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 {\displaystyle f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}^{2}}} μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 均一分布（連続） f ( x ∣ a , b ) = { 1 b − a for a ≤ x ≤ b , 0 for x < a or x > b {\displaystyle f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}} a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} ( b − a ) 2 12 {\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}} 指数分布 f ( x ∣ λ ) = λ e − λ x {\displaystyle f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}} 1 λ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}} 1 λ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}} ポアソン分布 f ( k ∣ λ ) = e − λ λ k k ! {\displaystyle f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}} λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }
プロパティ
基本的なプロパティ 平方が正またはゼロなので、分散は非負です。 Var ( X ) ≥ 0. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}
定数の分散はゼロです。 Var ( a ) = 0. {\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}
逆に、確率変数の分散が0の場合、それは ほぼ確実に 定数です。つまり、常に同じ値を持ちます。 Var ( X ) = 0 ⟺ ∃ a : P ( X = a ) = 1. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}
有限性の問題 コーシー分布 のように、分布が有限の期待値を持たない場合、分散も有限にはならない。しかし、分布によっては 、 期待値が有限であっても、分散が有限ではない場合がある。例えば 、 指数 が k {\displaystyle k} 1 < k ≤ 2. {\displaystyle 1<k\leq 2.}
分解 分散分解または全分散の法則 の一般的な公式は次の通り である。 と が 2つの確率変数であり、 の分散が 存在する場合、 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
Var [ X ] = E ( Var [ X ∣ Y ] ) + Var ( E [ X ∣ Y ] ) . {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}
与えられた の条件 付き 期待 値 と 条件付き分散 は、次のように理解できる。 確率変数 Yの任意の特定の値 y が与えられた場合、 事象 Y = y が与えられたときの条件付き期待値が与えられる 。この量は特定の値 y に依存する関数である 。この同じ関数を確率変数 Y で評価したものが条件付き期待値である。 E ( X ∣ Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} Var ( X ∣ Y ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid Y)} E ( X ∣ Y = y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)} g ( y ) = E ( X ∣ Y = y ) {\displaystyle g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)} E ( X ∣ Y ) = g ( Y ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y).}
特に、 が対応する確率を持つ 可能な値を仮定する離散確率変数である場合 、全分散の式において、右辺の最初の項は Y {\displaystyle Y} y 1 , y 2 , y 3 … {\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\ldots } p 1 , p 2 , p 3 … , {\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,}
E ( Var [ X ∣ Y ] ) = ∑ i p i σ i 2 , {\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}
ここで 、同様に、右辺の2番目の項は σ i 2 = Var [ X ∣ Y = y i ] {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}
Var ( E [ X ∣ Y ] ) = ∑ i p i μ i 2 − ( ∑ i p i μ i ) 2 = ∑ i p i μ i 2 − μ 2 , {\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}
ここで 、およびで ある。したがって、全分散は次のように与えられる。 μ i = E [ X ∣ Y = y i ] {\displaystyle \mu _{i}=\operatorname {E} [X\mid Y=y_{i}]} μ = ∑ i p i μ i {\textstyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}}
Var [ X ] = ∑ i p i σ i 2 + ( ∑ i p i μ i 2 − μ 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}
同様の式が 分散分析 にも適用され、対応する式は次のようになる。
M S total = M S between + M S within ; {\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};}
ここでの 二乗平均は二乗平均を指します。 線型回帰 分析では、対応する式は次のようになります。 M S {\displaystyle {\mathit {MS}}}
M S total = M S regression + M S residual . {\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.}
これは分散の加法性からも導き出すことができます。合計（観測）スコアは予測スコアとエラー スコアの合計であり、後者の 2 つは無相関であるためです。
偏差の二乗和（平方和、 ）についても同様の分解が可能です。 S S {\displaystyle {\mathit {SS}}} S S total = S S between + S S within , {\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},} S S total = S S regression + S S residual . {\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.}
CDFからの計算 非負確率変数の母分散は、 累積分布関数 F を用いて
次のように表すことができます。
2 ∫ 0 ∞ u ( 1 − F ( u ) ) d u − [ ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( u ) ) d u ] 2 . {\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}
この式は、密度 ではなく CDF を 簡単に表現できる場合に分散を計算するために使用できます。
特性特性 確率変数の 2次 モーメント は、その1次モーメント（つまり平均）を中心としてとったときに最小値、すなわち となる。逆に、連続関数が すべての確率変数 X に対して を満たす場合、それは必然的に （a > 0 ）の 形をとる 。これは多次元の場合にも当てはまる。 [3] a r g m i n m E ( ( X − m ) 2 ) = E ( X ) {\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)} φ {\displaystyle \varphi } a r g m i n m E ( φ ( X − m ) ) = E ( X ) {\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)} φ ( x ) = a x 2 + b {\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}+b}
測定単位 期待絶対偏差 とは異なり 、変数の分散は、変数自体の単位の2乗を単位とします。例えば、メートル単位で測定された変数の分散は、メートルの2乗で測定されます。このため、データセットを記述する際には、分散よりも 標準偏差 または 二乗平均平方根偏差を用いる方が好まれることが多いです。サイコロの例では 、 標準偏差は√2.9 ≈ 1.7 となり 、 期待 絶対偏差の1.5よりもわずかに大きくなります。
標準偏差と期待絶対偏差はどちらも、分布の「広がり」を示す指標として用いることができます。標準偏差は期待絶対偏差よりも代数的な処理が容易であり、分散とその一般化 共分散とともに、理論統計学において頻繁に用いられます。しかし、期待絶対偏差は、 測定の異常 や過度に 裾の厚い分布 に起因する 外れ値の 影響を受けにくいため、より 頑健な 傾向があります 。
伝搬
定数による加算と乗算 分散は 位置パラメータ の変化に対して 不変で ある。つまり、変数のすべての値に定数を加えても、分散は変化しない。 Var ( X + a ) = Var ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}
すべての値が定数でスケーリングされる場合、分散は その定数の 2 乗で スケーリングされます。 Var ( a X ) = a 2 Var ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}
2つの確率変数の和の分散は次のように与えられる。 Var ( a X + b Y ) = a 2 Var ( X ) + b 2 Var ( Y ) + 2 a b Cov ( X , Y ) Var ( a X − b Y ) = a 2 Var ( X ) + b 2 Var ( Y ) − 2 a b Cov ( X , Y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}
共分散 は どこにあるか 。 Cov ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}
線形結合 一般に、確率変数 の合計の場合 、分散は次のようになります。
一般的な ビエネメの恒等式
も参照してください 。 N {\displaystyle N} { X 1 , … , X N } {\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}} Var ( ∑ i = 1 N X i ) = ∑ i , j = 1 N Cov ( X i , X j ) = ∑ i = 1 N Var ( X i ) + ∑ i , j = 1 , i ≠ j N Cov ( X i , X j ) , {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}
これらの結果から、線形結合 の分散は 次のようになります。
Var ( ∑ i = 1 N a i X i ) = ∑ i , j = 1 N a i a j Cov ( X i , X j ) = ∑ i = 1 N a i 2 Var ( X i ) + ∑ i ≠ j a i a j Cov ( X i , X j ) = ∑ i = 1 N a i 2 Var ( X i ) + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ N a i a j Cov ( X i , X j ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}
確率変数 が となる
場合、それらは 無相関で あると言われます 。前述の式から直ちに分かるように、確率変数 が無相関である場合、それらの和の分散はそれらの分散の和に等しくなります。つまり、記号的に表現すると、 X 1 , … , X N {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}} Cov ( X i , X j ) = 0 , ∀ ( i ≠ j ) , {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),} X 1 , … , X N {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}
Var ( ∑ i = 1 N X i ) = ∑ i = 1 N Var ( X i ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}
独立確率変数は常に無相関であるため（ 共分散 § 無相関と独立性 を 参照）、上記の式は特に確率変数 が独立している場合に成立します。したがって、和の分散が分散の和と等しくなるためには独立性は十分ですが、必須ではありません。 X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
線形結合の分散の行列表記 を確率変数 の列ベクトルとして 定義し 、を スカラー の列ベクトルとして定義する 。したがって、は これらの確率変数の 線形結合 であり、は の 転置を 表す 。また、 を の 共分散行列 とする 。 の分散は 次のように与えられる。 [4] X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} c {\displaystyle c} n {\displaystyle n} c 1 , … , c n {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}} c T X {\displaystyle c^{\mathsf {T}}X} c T {\displaystyle c^{\mathsf {T}}} c {\displaystyle c} Σ {\displaystyle \Sigma } X {\displaystyle X} c T X {\displaystyle c^{\mathsf {T}}X}
Var ( c T X ) = c T Σ c . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(c^{\mathsf {T}}X\right)=c^{\mathsf {T}}\Sigma c.}
これは、平均の分散が（1の列ベクトルで）次のように表せることを意味する。
Var ( x ¯ ) = Var ( 1 n 1 ′ X ) = 1 n 2 1 ′ Σ 1. {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\bar {x}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}1'X\right)={\frac {1}{n^{2}}}1'\Sigma 1.}
変数の合計
他の分散の尺度よりも分散が優先される理由の 1 つは、相関のない ランダム変数の合計 (または差) の分散 が、それらの分散の合計であるためです。
Var ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).}
この命題はビエネメの 公式 [5] と呼ばれ 、1853年に発見されました [6] [7]。この公式は、変数が 独立で あるというより強い条件がしばしば用いられます が、無相関であれば十分です。したがって、すべての変数が同じ分散σ 2 を持つ場合、 n で割ることは線形変換であるため、この公式は直ちにそれらの平均の分散が
Var ( X ¯ ) = Var ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n Var ( X i ) = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n . {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}
つまり、 nが増加すると平均の分散は減少します。この平均の分散の式は、 中心極限定理 で使用される標本平均の 標準誤差 の定義に使用されます 。
最初の主張を証明するには、次のことを示せば十分である。
Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).}
一般的な結果は帰納法によって導かれる。定義から始めると、
Var ( X + Y ) = E [ ( X + Y ) 2 ] − ( E [ X + Y ] ) 2 = E [ X 2 + 2 X Y + Y 2 ] − ( E [ X ] + E [ Y ] ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}}
期待値演算子 の線形性と、 X と Y の独立性（または無相関性）の仮定を使用すると 、これは次のようにさらに単純化されます。
Var ( X + Y ) = E [ X 2 ] + 2 E [ X Y ] + E [ Y 2 ] − ( E [ X ] 2 + 2 E [ X ] E [ Y ] + E [ Y ] 2 ) = E [ X 2 ] + E [ Y 2 ] − E [ X ] 2 − E [ Y ] 2 = Var ( X ) + Var ( Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} {\left[X^{2}\right]}+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} {\left[Y^{2}\right]}-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}}
一般に、 n 個の変数の合計の分散は、それらの 共分散 の合計です 。
Var ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Cov ( X i , X j ) = ∑ i = 1 n Var ( X i ) + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n Cov ( X i , X j ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right).}
（注：2番目の等式は、Cov( X i 、 X i ) = Var( X i ) という事実から生じます 。）
ここで、 は 共分散 で あり、独立確率変数（存在する場合）に対しては0となります。この式は、和の分散は、成分の共分散行列のすべての要素の和に等しいことを示しています。次の式は、和の分散は共分散行列の対角成分の和に、その上三角成分（または下三角成分）の和の2倍を加えたものであることを示しています。これは、共分散行列が対称であることを強調しています。この式は、 古典検定理論 における クロンバックのα 理論で用いられています。 Cov ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (\cdot ,\cdot )}
したがって、変数の分散が σ 2 で、異なる変数の 平均 相関が ρ である場合、それらの平均の分散は
Var ( X ¯ ) = σ 2 n + n − 1 n ρ σ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho \sigma ^{2}.}
これは、平均の分散が相関の平均とともに増加することを意味します。言い換えれば、相関のある観測値を追加しても、独立した観測値を追加した場合ほど 平均の不確実 性を低減する効果はありません。さらに、変数が単位分散を持つ場合、例えば標準化されている場合、これは次のように単純化されます。
Var ( X ¯ ) = 1 n + n − 1 n ρ . {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho .}
この式は、古典的検定理論におけるスピアマン・ブラウン予測式 で用いられている 。平均相関が一定であるか収束する限り、 nが 無限大になると ρ に収束する。したがって、等相関または収束する平均相関を持つ標準化変数の平均の分散は、次のように表される。
lim n → ∞ Var ( X ¯ ) = ρ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\rho .}
したがって、多数の標準化変数の平均の分散は、それらの平均相関とほぼ等しくなります。これは、 大数の法則 によれば独立変数の標本平均は収束するとされていますが、相関のある変数の標本平均は一般に母平均に収束しないことを示しています。
ある基準に照らして許容できる観測値がいくつあるかを事前に知らずに標本を採取する場合があります。そのような場合、標本サイズ Nは確率変数であり、その変動は X の変動に加算されます 。つまり、 [8]は 全分散の法則 から導かれます 。 Var ( ∑ i = 1 N X i ) = E [ N ] Var ( X ) + Var ( N ) ( E [ X ] ) 2 {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left[N\right]\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} \left[X\right])^{2}}
N が ポアソン分布 に従う 場合 、 推定値 n = N が成り立ちます。したがって、 の推定値はとなり 、次の式 が成り立ちます （ 標本平均の標準誤差 を 参照）。 E [ N ] = Var ( N ) {\displaystyle \operatorname {E} [N]=\operatorname {Var} (N)} Var ( ∑ i = 1 n X i ) {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)} n S x 2 + n X ¯ 2 {\displaystyle n{S_{x}}^{2}+n{\bar {X}}^{2}} SE ( X ¯ ) = S x 2 + X ¯ 2 n {\displaystyle \operatorname {SE} ({\bar {X}})={\sqrt {\frac {{S_{x}}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}}
変数の加重合計 スケーリング特性とビエネメの公式は、共 分散 Cov( aX , bY )= abCov ( X , Y ) の性質と相まって、次のことを意味する。
Var ( a X ± b Y ) = a 2 Var ( X ) + b 2 Var ( Y ) ± 2 a b Cov ( X , Y ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (aX\pm bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)\pm 2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y).}
これは、変数の重み付け和において、重みが最も大きい変数が全体の分散に対して不均衡に大きな重みを持つことを意味します。例えば、 X と Yが無相関で、 X の重みが Y の重みの2倍である場合、 X の分散の重みは Y の分散の重みの4倍になります 。
上記の式は、複数の変数の加重合計に拡張できます。
Var ( ∑ i n a i X i ) = ∑ i = 1 n a i 2 Var ( X i ) + 2 ∑ 1 ≤ i ∑ < j ≤ n a i a j Cov ( X i , X j ) {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}
変数の積
独立変数の積 2つの変数XとYが 独立で ある場合、それらの積の分散は [9]で与えられる。 Var ( X Y ) = [ E ( X ) ] 2 Var ( Y ) + [ E ( Y ) ] 2 Var ( X ) + Var ( X ) Var ( Y ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).}
同様に、期待値の基本的な性質を用いると、次のように表される。
Var ( X Y ) = E ( X 2 ) E ( Y 2 ) − [ E ( X ) ] 2 [ E ( Y ) ] 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.}
統計的従属変数の積 一般に、2 つの変数が統計的に依存している場合、それらの積の分散は次のように表されます。 Var ( X Y ) = E [ X 2 Y 2 ] − [ E ( X Y ) ] 2 = Cov ( X 2 , Y 2 ) + E ( X 2 ) E ( Y 2 ) − [ E ( X Y ) ] 2 = Cov ( X 2 , Y 2 ) + ( Var ( X ) + [ E ( X ) ] 2 ) ( Var ( Y ) + [ E ( Y ) ] 2 ) − [ Cov ( X , Y ) + E ( X ) E ( Y ) ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}
任意の関数 デルタ 法は 、2次の テイラー展開 を用いて、1つ以上の確率変数の関数の分散を近似する。 確率変数の関数のモーメントについてはテイラー展開を 参照のこと。例えば、1変数の関数の近似分散は次のように表される。
Var [ f ( X ) ] ≈ ( f ′ ( E [ X ] ) ) 2 Var [ X ] {\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}
ただし、 fは 2 回微分可能であり、 X の平均と分散は 有限であるものとします。
母分散と標本分散
昨日の一日を通しての降雨量のような現実世界の観測は、通常、起こり得るすべての観測値を網羅した完全な集合とはなり得ません。そのため、有限集合から計算された分散は、起こり得る観測値の全母集団から計算された分散とは一般的に一致しません。これは、 推定 式を用いて、限られた観測値集合から平均と分散を 推定する ことを意味します。推定値は、潜在的な観測値の全 母集団から観測バイアスなく抽出された n個 の 観測値の 標本 関数です 。この例では、標本は、対象地域内にある利用可能な雨量計から得られた昨日の降雨量の実際の測定値の集合となります。
母平均と母分散の最も単純な推定量は、単に標本の平均と分散、 標本平均 と （補正されていない）標本分散 です。これらは 一貫性のある推定量 （標本数が増えるにつれて母集団全体の値に収束する）ですが、改善することができます。最も単純な方法では、標本分散は （標本）平均の 偏差 の二乗和を標本数 nで割って計算されます 。ただし、 n 以外の値を使用すると 、さまざまな方法で推定量を改善できます。分母の一般的な4つの値は n、 n - 1、 n + 1、および n - 1.5です。n は 最も単純（標本の分散）であり、 n - 1はバイアスを排除し、 [10] n + 1 は正規分布の 平均二乗誤差を最小化し、 [11] n - 1.5は正規分布の標準偏差の不偏推定におけるバイアスをほぼ排除します 。 [ 12 ]
まず、真の母平均が不明な場合、標本分散（真の平均の代わりに標本平均を使用）は 偏りのある推定値 になります。つまり、分散を係数 ( n − 1) / n で過小評価します。この係数を修正して、標本平均の偏差の二乗和を n ではなく n -1 で割ったものを ベッセル補正 と呼びます 。 [10]結果として得られる推定値は偏りがなく、 （修正）標本分散 または 偏りのない標本分散 と呼ばれます 。分散の推定に使用されたのと同じ標本以外の方法で平均が決定される場合、この偏りは発生せず、分散は（独立に既知の）平均の周りの標本の分散として安全に推定できます。
第二に、標本分散は一般に、 標本分散と母集団分散の 平均二乗誤差を 最小化するものではありません。偏りを補正すると、状況は悪化することがよくあります。補正された標本分散よりも優れたパフォーマンスを発揮するスケール係数を選択することは常に可能ですが、最適なスケール係数は母集団の 過剰尖度（ 平均二乗誤差：分散を参照）に依存し、偏りが生じます。これは常に、不偏推定値を縮小すること（ n − 1よりも大きな数で割ること）から成り、 収縮推定値 の簡単な例です 。つまり、不偏推定値をゼロに向かって「収縮」させるのです。正規分布の場合、 n − 1または n ではなく n + 1で割ると、平均二乗誤差が最小化されます。 [11]ただし、結果として得られる推定値には偏りがあり、 偏りのある標本分散 として知られています 。
母集団分散 一般に、 N 個の 有限 母集団 の 母分散は、 値 x i によって次のように表される。 σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i 2 − 2 μ x i + μ 2 ) = ( 1 N ∑ i = 1 N x i 2 ) − 2 μ ( 1 N ∑ i = 1 N x i ) + μ 2 = E [ x i 2 ] − μ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2}\end{aligned}}}
ここで、母平均は 、 は 期待値 演算子です 。 μ = E [ x i ] = 1 N ∑ i = 1 N x i {\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}} E [ x i 2 ] = ( 1 N ∑ i = 1 N x i 2 ) {\textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)} E {\textstyle \operatorname {E} }
母分散は [13]を使って計算することもできる。
σ 2 = 1 N 2 ∑ i < j ( x i − x j ) 2 = 1 2 N 2 ∑ i , j = 1 N ( x i − x j ) 2 . {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}
（右辺は合計に重複した項がありますが、中央の辺は合計する項が一意の項のみです。）これは、 1 2 N 2 ∑ i , j = 1 N ( x i − x j ) 2 = 1 2 N 2 ∑ i , j = 1 N ( x i 2 − 2 x i x j + x j 2 ) = 1 2 N ∑ j = 1 N ( 1 N ∑ i = 1 N x i 2 ) − ( 1 N ∑ i = 1 N x i ) ( 1 N ∑ j = 1 N x j ) + 1 2 N ∑ i = 1 N ( 1 N ∑ j = 1 N x j 2 ) = 1 2 ( σ 2 + μ 2 ) − μ 2 + 1 2 ( σ 2 + μ 2 ) = σ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
母集団の分散は、生成確率分布の分散と一致します。この意味で、母集団の概念は、無限母集団を持つ連続確率変数に拡張することができます。
標本分散
偏った標本分散 多くの実用的状況において、母集団の真の分散は 事前に 分かっておらず、何らかの方法で計算する必要があります。非常に大規模な母集団を扱う場合、母集団内のすべてのオブジェクトを数えることは不可能であるため、計算は 母集団の 標本に対して行う必要があります。 [14]これは一般に 標本分散 または 経験分散 と呼ばれます 。標本分散は、連続分布の分散をその分布の標本から推定する際にも適用できます。
N 個の母集団から n 個の 値 Y1 , ..., Yn を 置換した標本 （ n < N） を抽出し 、この標本に基づいて分散を推定する。 [15]標本データの分散を直接取ると、 偏差の二乗 の平均が得られる 。 [16]
S ~ Y 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) 2 = ( 1 n ∑ i = 1 n Y i 2 ) − Y ¯ 2 = 1 n 2 ∑ i , j : i < j ( Y i − Y j ) 2 . {\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right)-{\overline {Y}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j\,:\,i<j}\left(Y_{i}-Y_{j}\right)^{2}.}
（この式の導出については、「母分散」のセクションを参照してください。）ここで、 は 標本平均 を表します 。 Y ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}} Y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n Y i . {\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}.}
Y i は ランダムに選択される ため、 と はどちらも 確率変数 です。これらの期待値は 、母集団から得られる サイズ nのすべての可能な標本 { Y i } の集合を平均することで評価できます。 これは以下の式を与えます。 Y ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}} S ~ Y 2 {\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}} S ~ Y 2 {\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}} E [ S ~ Y 2 ] = E [ 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − 1 n ∑ j = 1 n Y j ) 2 ] = 1 n ∑ i = 1 n E [ Y i 2 − 2 n Y i ∑ j = 1 n Y j + 1 n 2 ∑ j = 1 n Y j ∑ k = 1 n Y k ] = 1 n ∑ i = 1 n ( E [ Y i 2 ] − 2 n ( ∑ j ≠ i E [ Y i Y j ] + E [ Y i 2 ] ) + 1 n 2 ∑ j = 1 n ∑ k ≠ j n E [ Y j Y k ] + 1 n 2 ∑ j = 1 n E [ Y j 2 ] ) = 1 n ∑ i = 1 n ( n − 2 n E [ Y i 2 ] − 2 n ∑ j ≠ i E [ Y i Y j ] + 1 n 2 ∑ j = 1 n ∑ k ≠ j n E [ Y j Y k ] + 1 n 2 ∑ j = 1 n E [ Y j 2 ] ) = 1 n ∑ i = 1 n [ n − 2 n ( σ 2 + μ 2 ) − 2 n ( n − 1 ) μ 2 + 1 n 2 n ( n − 1 ) μ 2 + 1 n ( σ 2 + μ 2 ) ] = n − 1 n σ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\tilde {S}}_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)}^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
ここで、 セクションで導出される は、 および の独立性による母分散および です 。 σ 2 = E [ Y i 2 ] − μ 2 {\textstyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} [Y_{i}^{2}]-\mu ^{2}} E [ Y i Y j ] = E [ Y i ] E [ Y j ] = μ 2 {\textstyle \operatorname {E} [Y_{i}Y_{j}]=\operatorname {E} [Y_{i}]\operatorname {E} [Y_{j}]=\mu ^{2}} Y i {\textstyle Y_{i}} Y j {\textstyle Y_{j}}
したがって、は 母集団分散の推定値を与えます が、 の期待値は 母集団分散（真の分散）よりもその係数分だけ小さくなるため 、係数 だけ偏りがあります。このため、 は 偏りのある標本分散 と呼ばれます 。 S ~ Y 2 {\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}} σ 2 {\textstyle \sigma ^{2}} n − 1 n {\textstyle {\frac {n-1}{n}}} S ~ Y 2 {\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}} S ~ Y 2 {\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}
不偏標本分散 この偏りを補正すると、 次のように表される 不偏標本分散 が得られます。 S 2 {\displaystyle S^{2}}
S 2 = n n − 1 S ~ Y 2 = n n − 1 [ 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) 2 ] = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}
どちらの推定値も、文脈によってバージョンが決定できる場合は、単に標本分散 と呼ばれることがあります 。同じ証明は、連続確率分布から抽出された標本にも適用できます。
n − 1 という項の使用は ベッセル補正 と呼ばれ 、 標本共分散 や 標本標準偏差 （分散の平方根）にも用いられます。平方根は 凹関数で あるため、分布に依存する負のバイアス（ ジェンセンの不等式 による）が生じ、その結果、ベッセル補正を用いた補正標本標準偏差はバイアスを持ちます。 標準偏差の不偏推定は技術的に複雑な問題ですが、正規分布の場合、 n − 1.5 という項を用いると ほぼ不偏推定値が得られます。
不偏標本分散は 関数 f ( y 1 , y 2 ) = ( y 1 − y 2 ) 2 /2の U統計量 であり、これは母集団の2要素サブセットにわたって2標本統計量を平均することによって得られることを意味します。
例 数値の集合{10、15、30、45、57、52、63、72、81、93、102、105}について、この集合が何らかの測定におけるデータ母集団全体である場合、分散は、この集合の平均からの偏差の二乗和を集合の要素数である12で割った値である母分散932.743となります。集合が母集団全体からの標本である場合、不偏標本分散は、標本の平均からの偏差の二乗和を12ではなく11で割った値である1017.538として計算できます。Microsoft Excel の関数VAR.Sは不偏標本分散を算出し、関数VAR.Pは母分散を表します。
標本分散の分布 標本分散は確率変数 の関数であるため、 それ自体が確率変数であり、その分布を調べるのは自然なことです。Y i が 正規分布 からの独立した観測値である 場合 、 コクランの定理に よれば、不偏標本分散 S 2 は尺度 カイ二乗分布 に従うことが示されます（ 漸近的性質 と 初等的証明 も参照）。 [17] ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 {\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}
ここで σ 2 は母分散である。この直接的な帰結として、 E ( S 2 ) = E ( σ 2 n − 1 χ n − 1 2 ) = σ 2 , {\displaystyle \operatorname {E} \left(S^{2}\right)=\operatorname {E} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)=\sigma ^{2},}
そして [18]
Var [ S 2 ] = Var ( σ 2 n − 1 χ n − 1 2 ) = σ 4 ( n − 1 ) 2 Var ( χ n − 1 2 ) = 2 σ 4 n − 1 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]=\operatorname {Var} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{{\left(n-1\right)}^{2}}}\operatorname {Var} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}
Y i が独立かつ同一に分布するが、必ずしも正規分布するとは限らない 場合、 [19]
E [ S 2 ] = σ 2 , Var [ S 2 ] = σ 4 n ( κ − 1 + 2 n − 1 ) = 1 n ( μ 4 − n − 3 n − 1 σ 4 ) , {\displaystyle \operatorname {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2},\quad \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]={\frac {\sigma ^{4}}{n}}\left(\kappa -1+{\frac {2}{n-1}}\right)={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right),}
ここで、 κ は 分布の 尖度、 μ 4 は4次 中心モーメント です。
大数の法則 の条件が 観測値の2乗に対して成り立つ場合、 S 2は σ 2 の 整合的な推定値 となる 。この推定値の分散は漸近的にゼロに近づくことがわかる。漸近的に等価な式は、Kenney and Keeping (1951:164)、Rose and Smith (2002:264)、およびWeisstein (nd) に示されている。 [20] [21] [22]
サミュエルソンの不等式 サミュエルソンの不等式 は、標本平均と（偏りのある）分散が計算されていると仮定して、標本内の個々の観測値が取り得る値の境界を示す結果である。 [23] 値は限界内に収まらなければならない。 y ¯ ± σ Y ( n − 1 ) 1 / 2 . {\displaystyle {\bar {y}}\pm \sigma _{Y}(n-1)^{1/2}.}
調和平均と算術平均との関係 [24] によれば 、正の実数の サンプル{ y i }に対して、
σ y 2 ≤ 2 y max ( A − H ) , {\displaystyle \sigma _{y}^{2}\leq 2y_{\max }(A-H),}
ここで、 y max はサンプルの最大値、 A は算術平均、 H は サンプルの 調和平均 、はサンプルの (偏りのある) 分散です。 σ y 2 {\displaystyle \sigma _{y}^{2}}
この境界は改善され、分散は
σ y 2 ≤ y max ( A − H ) ( y max − A ) y max − H , σ y 2 ≥ y min ( A − H ) ( A − y min ) H − y min , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}&\leq {\frac {y_{\max }(A-H)(y_{\max }-A)}{y_{\max }-H}},\\[1ex]\sigma _{y}^{2}&\geq {\frac {y_{\min }(A-H)(A-y_{\min })}{H-y_{\min }}},\end{aligned}}}
ここで ymin は サンプルの最小値である。 [25]
分散の等価性の検定 標本が正規分布している場合、 分散の等価性に関するF検定 と カイ 二乗検定は適切です。非正規分布の場合、2つ以上の分散の等価性に関する検定はより困難になります。
いくつかのノンパラメトリック検定が提案されており、Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey検定、Capon検定、 Mood検定 、Klotz検定、Sukhatme検定などが挙げられます。Sukhatme検定は2つの分散に適用され、両方の 中央値 が既知でゼロであることが必要です。Mood検定、Klotz検定、Capon検定、Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey検定も2つの分散に適用されます。これらの検定では中央値が未知であっても構いませんが、2つの中央値が等しいことが必要です。
レーマン検定は、2つの分散のパラメトリック検定です。この検定にはいくつかのバリエーションが知られています。分散の等価性に関する他の検定としては、ボックス検定、ボックス・アンダーソン検定、モーゼス検定などがあります。
ブートストラップ法 や ジャックナイフ法 などの再サンプリング法は、 分散の等価性を検定するために使用できます。
慣性モーメント 確率分布の分散は、 古典力学 における 、直線に沿った対応する質量分布の、その質量中心の周りの回転に関する 慣性モーメントに類似している。 [26] この類似性から、分散のようなものは 確率分布 の モーメント と呼ばれる。 [26]共分散行列は、多変量分布の 慣性モーメントテンソル と関連している。共分散行列が n 個の点 からなる雲の慣性モーメントは、 次のように与えられる [ 要出典 ]。 Σ {\displaystyle \Sigma } I = n ( 1 3 × 3 tr ( Σ ) − Σ ) . {\displaystyle I=n\left(\mathbf {1} _{3\times 3}\operatorname {tr} (\Sigma )-\Sigma \right).}
物理学と統計学における慣性モーメントの違いは、直線上に集まった点については明らかです。多くの点が x軸に近く、x 軸に沿って分布していると仮定します。共分散行列は次のようになります
。 Σ = [ 10 0 0 0 0.1 0 0 0 0.1 ] . {\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}10&0&0\\0&0.1&0\\0&0&0.1\end{bmatrix}}.}
つまり、 x方向の分散 が 最も大きい。物理学者はこれを x軸 周りの モーメントが低いとみなす ので、慣性モーメントテンソルは I = n [ 0.2 0 0 0 10.1 0 0 0 10.1 ] . {\displaystyle I=n{\begin{bmatrix}0.2&0&0\\0&10.1&0\\0&0&10.1\end{bmatrix}}.}
半分散 半 分散は 分散と同じ方法で計算されますが、平均値を下回る観測値のみが計算に含まれます。 これは、様々な応用分野で特定の指標として説明されることもあります。歪んだ分布の場合、半分散は分散では得られない追加情報を提供します。 [27] Semivariance = 1 n ∑ i : x i < μ ( x i − μ ) 2 {\displaystyle {\text{Semivariance}}={\frac {1}{n}}\sum _{i:x_{i}<\mu }{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}}
半分散に関連する不等式については、 チェビシェフの不等式 § 半分散を 参照してください。
語源 分散 という用語は、 ロナルド・フィッシャー が1918年に発表した論文 「メンデル遺伝の仮定に基づく親族間の相関」 で初めて導入された 。 [28]
利用可能な統計の大部分は、 人間の測定 値が平均値からどのようにずれるかが 正規誤差の法則 に非常に近いことを示している。したがって、変動性は 平均二乗誤差 の 平方根 に対応する 標準偏差 によって一様に測定できる。2つの独立した変動原因があり、それらが均一な母集団において標準偏差 および を持つ分布を生み出す可能性がある場合 、 両方の原因が同時に作用すると、分布の標準偏差は になることがわかる 。したがって、変動原因を分析する際には、変動性の尺度として標準偏差の二乗を扱うことが望ましい。この量を分散と呼ぶことにする。 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 1 2 + σ 2 2 {\displaystyle {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}
一般化
複素変数の場合 が スカラー 複素数値 のランダム変数で、値が の場合、 その分散は です。 ここでは の 複素 共役 です 。この分散は実スカラーです。 x {\displaystyle x} C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} E [ ( x − μ ) ( x − μ ) ∗ ] , {\displaystyle \operatorname {E} \left[(x-\mu )(x-\mu )^{*}\right],} x ∗ {\displaystyle x^{*}} x . {\displaystyle x.}
ベクトル値確率変数の場合
マトリックスとして が ベクトル 値の確率変数で、値が と にある 場合 、列ベクトルとして考えれば、分散の自然な一般化は となります。 ここで 、 とは X の転置であり 、行ベクトルも同様です。結果は 半正定値正方行列で、一般に 分散共分散行列 （または単に 共分散行列 ）と呼ばれます 。 X {\displaystyle X} R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} E [ ( X − μ ) ( X − μ ) T ] , {\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\mathsf {T}}\right],} μ = E ( X ) {\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)} X T {\displaystyle X^{\mathsf {T}}}
が ベクトルで複素数値のランダム変数で、値が の場合、 共 分散行列は 次のようになります。ここで、 は [ 引用が必要 ] の 共役転置 です 。この行列は半正定値で正方行列でもあります。 X {\displaystyle X} C n , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n},} E [ ( X − μ ) ( X − μ ) † ] , {\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\dagger }\right],} X † {\displaystyle X^{\dagger }} X . {\displaystyle X.}
スカラーとして ベクトル値確率変数の分散のもう一つの一般化は 、行列ではなくスカラー値となる 一般化分散 であり、共分散行列の 行列式 である。一般化分散は、点の平均を中心とした多次元の散布度と関連していることが示される。 [29] X {\displaystyle X} det ( C ) {\displaystyle \det(C)}
スカラー分散の式 を考察し、これを確率変数とその平均との間の ユークリッド距離 の2乗、あるいは単にベクトル とそれ自身 のスカラー積として 解釈することで、異なる一般化が得られる。この結果、 となり、これは 共分散行列の トレース となる。 Var ( X ) = E [ ( X − μ ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]} ( X − μ ) 2 {\displaystyle (X-\mu )^{2}} X − μ {\displaystyle X-\mu } E [ ( X − μ ) T ( X − μ ) ] = tr ( C ) , {\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{\mathsf {T}}(X-\mu )\right]=\operatorname {tr} (C),}
参照 無料辞書のウィクショナリーで 「variance」 を調べてください。
差異の種類
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![{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1b41598b8e8f45f57c1550ebb8d5c7ab8e1210)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55622d2a1cf5e46f2926ab389a8e3438edb53731)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a9f8a8fef3eadeae1fffda36eaafb13d2fbcf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaea988ed1efdf962e37d57a8eb05cb1b6ca85da)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16929783780dae7bb2272902a6ee9345436b481)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df94d1e04be55285495cdd70755f439ef7ead6c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a34e6570e22517596b887949af797b1c824799a)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5064d28d7da067a7a675ae68d992b83bc339c32)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1b6a74f544d9422366dc015805d67149030ec7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a476607e0a4d7f3ba660d8f260abd520b2ffbed)
![{\displaystyle f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49d9ce0f31f14565d14be7083c467987eb0823f)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d096b66af734c89681ab5cb61b24fbea63a48669)
![{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc52b9938aac880c80b76dfe0bacc302c1d0f1d3)
![{\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f02e555171b20f14167f31a43ad480f720a6fa6)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069ee9f564216faf173487039b77447b1ef07da2)
![{\displaystyle \mu_{i}=\operatorname{E} [X\mid Y=y_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df777aa646f81fb52b31a3e13f983747fac39dd)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5653ed0b0a55e26b4763766d3e118bc05ed569f4)
![{\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73eef824f2fbc50de74a86a8a272ea9f894f5d73)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da5a8bce49b7c5571b1f52fd82229eb4fa1977a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f68b26d8eddd872d85cb9b846a7b8253c30a18)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} {\left[X^{2}\right]}+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} {\left[Y^{2}\right]}-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} （Y）\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b05ebe531ec88cb2d661433c5cce683c816b52b)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left[N\right]\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} \left[X\right])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6964bc1704783f6ecc80ed1370b84719c52e4b86)
![{\displaystyle \operatorname {E} [N]=\operatorname {Var} (N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09780cf49339279202c5155f367541bd5978065)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217846baaed2d1a73bd83728419c8199c66c06f0)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f81d984aa103aed089cc56c27406c845fa50da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f71664172a74f8d3dbf6f1b17addf168e55f11)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c58412ffa8fdf818b89bafb3318c4ace7cd8e9b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf5e7c309258e29ff565904c330bebd000ca4f4)
![{\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0708485ad21c14cc61f7362b541ec051259965)
![{\textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047142dbd47b7305aed1b4b65530ce6e8e9e9a3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca29071d5a79cff68f7bc625535c70fb52a2188)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\tilde {S}}_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)}^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a41e704653d1a637c02cac7338e615038504f8)
![{\textstyle \sigma ^{2}=\オペレーター名 {E} [Y_{i}^{2}]-\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576fabda8f2071ae145c54421c8d3140e5ce3d1e)
![{\textstyle \オペレーター名 {E} [Y_{i}Y_{j}]=\オペレーター名 {E} [Y_{i}]\オペレーター名 {E} [Y_{j}]=\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c406ba73149488a80669d078b4e6d7a82de6fcf4)
![{\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7aceabda7de5a66183e73abc088ff3ac4e3e5b)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]=\operatorname {Var} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{{\left(n-1\right)}^{2}}}\operatorname {Var} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479af870c1e7c8943e0acaf40c63cfb6ba46d87)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2},\quad \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]={\frac {\sigma ^{4}}{n}}\left(\kappa -1+{\frac {2}{n-1}}\right)={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3df338ff9496ec301869054c8032cc7f01a86f9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}&\leq {\frac {y_{\max }(AH)(y_{\max }-A)}{y_{\max }-H}},\\[1ex]\sigma _{y}^{2}&\geq {\frac {y_{\min }(AH)(A-y_{\min })}{H-y_{\min }}},\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68571303bf4c209679c20acc01d930b7d5bf2b43)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(x-\mu )(x-\mu )^{*}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cc7933557809745e2928b688000d26478bde22)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\mathsf {T}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18539d8224803a675561d173f864a4b057c06758)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\dagger }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831fb74a056029a49d2ffe06cd2e6be7f572eff)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e01a0d2205e0db3118b14c3f6f06cfc5addc52)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{\mathsf {T}}(X-\mu )\right]=\operatorname {tr} (C),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fd455b28bcb0a13414514d34a9d90ded7cc144)
