重み（表現理論）

Concept in Lie algebra representation theory

数学の表現論の分野において、体F上の代数Aの重みは、 AからFへの代数準同型、あるいはそれと同値な、 F上のAの1次元表現である。これは、群の乗法指標の代数的類似物である。しかし、この概念の重要性は、リー代数の表現への応用、ひいては代数群やリー群の表現への応用に由来する。この文脈において、表現の重みは固有値の概念の一般化であり、対応する固有空間は重み空間と呼ばれる。

動機と一般的な概念

同じ体上の行列の集合Sが与えられ、各行列が対角化可能で、そのうちの任意の2つが可換である場合、 Sのすべての要素を同時に対角化することが常に可能である。^{[注 1]同様に、}有限次元ベクトル空間Vの互いに可換な半単純線型変換の任意の集合Sに対して、次からなるVの基底が存在する。 ${\displaystyle n\times n}$ Sのすべての元の同時固有ベクトル。これらの共通固有ベクトルv ∈ Vのそれぞれは、自己準同型集合Sによって生成されるEnd( V  )の部分代数U上の線型汎関数を定義する。この汎関数は、 Uの各元にその固有ベクトルv上の固有値を関連付ける写像として定義される。この写像は乗法的であり、恒等写像を 1 に写す。したがって、これはUから基底体への代数準同型である。この「一般化固有値」は、重みの概念のプロトタイプである。

この概念は群論における乗法的指標の考え方と密接に関連しており、これは群Gから体Fの乗法的群への準同型χである。したがって、χ : G → F ^{× は}χ ( e ) = 1 （ただしeはGの単位元）を満たし、

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$Gのすべてのg、hについて。

実際、G が F上のベクトル空間Vに作用する場合、 Gのあらゆる要素に対する同時固有空間が存在するならば、それはG上の乗法特性、すなわち群の各要素のこの共通固有空間上の固有値を決定します。

乗法特性の概念は、χ : G → F ^{× を}線形写像χ : A → Fに置き換えることによって、F上の任意の代数Aに拡張できます。

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

Aの任意のa、bに対して成り立つ。代数A がF上のベクトル空間Vから任意の同時固有空間に作用する場合、これはAの各要素にその固有値を割り当てるAからFへの代数準同型に対応する。

A がリー代数（ヤコビ恒等式を満たす双線型反対称括弧を持つ非結合代数）の場合、指標の乗法性を要求する代わりに、任意のリー括弧を対応する交換子にマッピングする必要があります。しかし、Fは可換であるため、これは単にこのマップがリー括弧上で消えなければならないことを意味します：χ ([ a、b ]) = 0。体F上のリー代数gの重みは、 g内のすべてのx、yについてλ([ x、y ]) = 0 となる線型マップ λ: g → Fです。リー代数gの任意の重みは導出代数[ g、g ]上で消えるため、アーベル リー代数g /[ g、g ]上の重みになります。したがって、重みは主にアーベル・リー代数にとって重要であり、可換線形変換の空間の一般化された固有値という単純な概念に還元されます。

Gがリー群または代数群である場合、乗法指標 θ: G → F ^{× は、}微分によってそのリー代数に重みχ = dθ: g → Fを誘導します。（リー群の場合、これはGの単位元での微分であり、代数群の場合は微分の概念を用いた抽象化です。）

半単純リー代数の表現論における重み

を の複素半単純リー代数とカルタン部分代数とします。この節では、 の有限次元表現を分類する「最大重みの定理」を定式化するために必要な概念について説明します。特に、「支配的積分元」の概念について説明します。表現自体は、上記のリンク先の記事で説明されています。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

表現の重み

リー代数sl(3,C)の表現の重みの例

を、例えば0 の体上のベクトル空間V上のリー代数の表現とし、を 上の線型汎関数とする。ここではのカルタン部分代数である。このとき、 ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$重みλVの重み空間は、次式で与えられる部分空間である。 ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$。

表現V（表現は、しばしば、写像 ではなく、リー代数の元が作用するベクトル空間Vと略される）の重みは、対応する重み空間が非ゼロとなるような線型関数 λ である。重み空間の非ゼロ元は重みベクトルと呼ばれる。つまり、重みベクトルは の元の作用に対する同時固有ベクトルであり、対応する固有値は λ で与えられる。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Vがその重み空間の直和である場合

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

Vは​重みモジュール。固有基底が存在すること、つまり、同時に対角化可能な行列が存在することに相当します対角化可能な行列を参照）。

Gがリー代数 を持つ群である場合、 Gのすべての有限次元表現はの表現を誘導します。Gの表現の重みは、単に の関連付けられた表現の重みになります。群表現の重みとリー代数表現の間には微妙な違いがあり、2 つのケースでは整数条件の概念が異なります。以下を参照してください。(整数条件は群の場合の方がより制限が厳しく、リー代数のすべての表現が群の表現から来るわけではないことを反映しています。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ルートベクトルの作用

の 随伴表現 に対して、表現が作用する空間はリー代数そのものである。この場合、非零の重みはルート、重み空間はルート空間、そして重みベクトル（したがって の要素）はルートベクトルと呼ばれる。具体的には、カルタン部分代数上の線型汎関数は、の非零の重みが存在するときルートと呼ばれる。 ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

すべて について。根の集合は根系を形成します。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

表現論の観点から、根と根ベクトルの意味は、次のような基本的だが重要な結果である。が の表現であり、vが重み を持つ重みベクトルであり、X が根 を持つ根ベクトルである場合、 ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

のすべてのHに対して成り立ちます。つまり、は零ベクトルか重み を持つ重みベクトルのいずれかです。したがって、 の作用は、重み を持つ重み空間を重み を持つ重み空間に写像します。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \sigma (X)(v)}$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$

例えば、、または を複素化した場合、ルートベクトルは代数を張り、重み 、 、をそれぞれ持ちます。カルタン部分代数は によって張られ、 の作用は重み空間を分類します。 の作用は重み の重み空間を重み の重み空間に写像し、 の作用は重み の重み空間を重み の重み空間に写像し、 の作用は重み空間をそれ自身に写像します。重みと重み空間を持つ基本表現では、はゼロ、は に写像され、はゼロ、は に写像され、 は各重み空間をそれ自身に写像します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {H,X,Y}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +1}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle H}$

積分要素

代数的積分元（三角格子）、支配的積分元（黒点）、およびsl(3,C)の基本重み

を の根によって生成されるの実部分空間とする。ここで は線型汎関数の空間であり、 への双対空間である。計算においては、ワイル群、すなわち根に直交する超平面についての反射に対して不変な内積を選ぶのが便利である。そして、この内積を用いて の部分空間 と同一視することができる。この同一視により、根に関連付けられたコルートは次のように与えられる 。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

ここで、ベクトルの内積を表す。この内積に加えて、ルートシステムの議論では山括弧表記が一般的に用いられ、山括弧は次のように定義される。ここでの山括弧は対称ではなく、最初の引数のみで線形であるため、内積ではない。山括弧表記を内積と混同しないように注意する必要がある。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta .}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

ここで、 の元について2つの異なる整数性の概念を定義します。これらの定義の理由は単純です。 の有限次元表現の重みは最初の整数性条件を満たしますが、G がリー代数 を持つ群である場合、 Gの有限次元表現の重みは2番目の整数性条件を満たします。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

要素が代数的に整列しているかどうかは、 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

すべての根 に対して成り立つ。この条件の根拠は、の -部分代数の標準基底におけるH元とコルートが同一視できることである。^[1]の基本的な結果より、任意の有限次元表現における の固有値は整数でなければならない。上述のように、 の任意の有限次元表現の重みは代数的に整数であると結論づけられる。^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

基本重みは、 単純根に関連付けられたコルートの集合の双対の基底を形成するという性質によって定義される。つまり、基本重みは条件によって定義される。 ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

ここで、 は単純根である。したがって、ある元が代数的に整列している場合、かつその元が基本重みの整列結合である場合に限り、その元は代数的に整列している。 ^[3]すべての-整数重みの集合はにおける格子であり、 の重み格子と呼ばれ、 と表記される。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

図はリー代数 の例を示しており、その根系は 根系 である。2つの単純根とが存在する。最初の基本重み はに直交し、 の半分に直交投影されなければならない。についても同様である。重み格子は三角格子である。 ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

今、リー代数がリー群Gのリー代数であると仮定する。すると、の各tに対してが成り立つとき、 は解析的に整列( G 積分)であるという。この定義を行う理由は、 の表現がGの表現から生じるとき、その表現の重みはG積分となるからである。^[4] Gが半単純である場合、すべてのG積分重みの集合は部分格子P ( G ) ⊂ P ( ) である。G が単連結である場合、P ( G ) = P ( ) である。Gが単連結でない場合、格子P ( G ) はP ( )よりも小さく、それらの商はGの基本群と同型である。^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ ${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

重み空間上の半順序

正の根が、、およびの場合、網掛けされた領域は、 ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \lambda }$

ここで、重みの集合に半順序を導入し、これを用いて の表現を記述する最大重みの定理を定式化します。R は根の集合であることを思い出してください。ここで、正の根の集合 を固定します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R^{+}}$

の 2つの元とを考える。ここでは主に、とが整数である場合について考えるが、この仮定はこれから導入する定義には必須ではない。ここで、が非負の実係数を持つ正根の線形結合として表せる場合、はよりも高いと言い、 と書く。 ^[6]これは、大まかに言えば、「高い」とは正根の方向を意味する。同様に、はよりも「低い」と言い、 と書く。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$ ${\displaystyle \mu -\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

これは単なる部分的な順序付けです。が より大きくも小さくもないということは簡単に起こり得ます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

支配的な体重

整数元が優勢であるとは、各正の根 に対してとなることです。同様に、が優勢であるとは、基本重みの非負整数の組み合わせとなることです。この場合、優勢整数元は60度セクターに存在します。優勢であるということは、ゼロより大きいということとは異なります。右図の灰色の領域は120度セクターであり、優勢整数元に対応する60度セクターを厳密に包含していることに注意してください。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A_{2}}$

すべての正根に対してとなるすべての λ (必ずしも整数ではない) の集合は、与えられた正根の集合に関連付けられた基本 Weyl チャンバーとして知られています。 ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$

最高重量の定理

の表現の重みは、 の他のすべての重みが より低い場合、最高重みと呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$

の有限次元既約表現を分類する理論は「最高重み定理」によって定義される。この定理によれば^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

（１）すべての既約（有限次元）表現は最高の重みを持ち、

（２）最も高い重みは常に支配的な代数的整数要素である。

（３）同じ最高重みを持つ２つの既約表現は同型であり、

（４）すべての主要な代数的整数元は、既約表現の最高の重みである。

最後の点は最も難しい点です。表現はVerma モジュールを使用して構築できます。

最も重いモジュール

の表現（必ずしも有限次元ではない）Vは、 のすべての正のルート空間の作用によって消滅する重みベクトルv ∈ Vによって生成される場合、最高重みモジュールと呼ばれます。最高重みを持つすべての既約-モジュールは必然的に最高重みモジュールですが、無限次元の場合、最高重みモジュールは既約である必要はありません。各— 必ずしも支配的または整数ではない — に対して、最高重み λ を持つ唯一の（同型を除いて）単純な最高重み -モジュールが存在し、 L (λ)と表記されますが、このモジュールは、λ が支配整数でない限り無限次元です。最高重み λ を持つ各最高重みモジュールは、 Verma モジュールM (λ)の商であることが示されます。これは、Verma モジュールの定義における普遍性プロパティの単なる言い換えです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

すべての有限次元の最高重みモジュールは既約ではない。^[8]

参照

• リー代数の有限次元表現の分類
• 連結コンパクトリー群の表現論
• 最高重量カテゴリー
• 根系

注記

1. 実際、代数的に閉じた体上の可換行列の集合が与えられれば、それらは対角化可能であると仮定する必要なく、同時に三角形化可能である。

参考文献

1. Hall 2015 定理7.19と式(7.9)
2. ホール 2015 提案 9.2
3. ホール 2015 提案 8.36
4. ホール 2015 提案 12.5
5. ホール 2015 系 13.8 および系 13.20
6. ホール 2015 定義 8.39
7. ホール 2015 定理 9.4 および 9.5
8. これは、ホール2015の命題6.13（の証明）と、半単純リー代数の有限次元表現の完全還元可能性に関する一般的な結果から導かれる。

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論 入門.数学大学院テキスト, 数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.。
• グッドマン、ロー; ウォラック、ノーランR. (1998)、『古典群の表現と不変量』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66348-9。
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• ハンフリーズ、ジェームズ・E.（1972a）、リー代数と表現論入門、ビルクハウザー、ISBN 978-0-387-90053-7。
• ハンフリーズ、ジェームズ・E.（1972b）、線形代数群、大学院数学テキスト、第21巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90108-4、MR  0396773
• ナップ、アンソニー・W.（2002）、リー群入門（第2版）、ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-4259-4。

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