ヴァンデルモンド行列

Matrix of geometric progressions

線形代数学において、ヴァンデルモンド行列は、アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドにちなんで名付けられた、各行に等比数列の項を持つ行列である。 ${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}}$

の要素は、すべてのゼロベースのインデックスとに対して、数 のj^乗です。^[1]一部の著者は、ヴァンデルモンド行列を上記の行列の転置として定義しています。 ^{[2] [3]} ${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

正方ヴァンデルモンド行列（ ）の行列式は、ヴァンデルモンド行列式またはヴァンデルモンド多項式と呼ばれる。その値は以下の通りである。 ${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq m}(x_{j}-x_{i}).}$

すべてが異なる（2 つが等しくない）場合にのみ、これはゼロ以外となり、Vandermonde 行列は逆行列になります。 ${\displaystyle x_{i}}$

アプリケーション

多項式補間問題とは、与えられたデータ点に対して を満たす多項式を求めることです。この問題は、ヴァンデルモンド行列を用いて線形代数の観点から以下のように再定式化できます。 は、行列乗算 を用いて点における の値を計算します。ここで、 は係数のベクトル、 は値のベクトルです（どちらも列ベクトルとして表記されます）。 ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}.}$$と が異なる場合、 Vは非零の行列式を持つ正方行列、すなわち可逆行列となる。したがって、Vとyが与えられれば、方程式 の係数を解くことで必要な を求めることができる。 ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Va=y}$

${\displaystyle a=V^{-1}y}$。

つまり、多項式の係数から値への写像は行列Vによる全単射な線型写像であり、補間問題は唯一の解を持つ。この結果はユニソルブ定理と呼ばれ、多項式 に対する中国剰余定理の特別な場合である。

統計学において、この式は、ヴァンデルモンド行列が多項式回帰の設計行列であることを意味します。 ${\displaystyle Va=y}$

数値解析において、この方程式をガウス消去法で単純に解くと、計算量O( n ³ )のアルゴリズムが得られる。ヴァンデルモンド行列の構造を利用すると、ニュートンの差分法^[4]（またはラグランジュの補間公式^{[5] [6] ）を使用してこの方程式をO(} n ² )時間で解くことができ、これによりUL因数分解も得られる。結果として得られるアルゴリズムは、が悪条件であっても、非常に正確な解を生成する。^[2]（多項式補間を参照）。 ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ ${\displaystyle V}$

ヴァンデルモンド行列式は対称群の表現論で用いられる。^[7]

値が有限体に属する場合、ヴァンダーモンド行列式はムーア行列式とも呼ばれ、 BCH コードやリード・ソロモン誤り訂正コードの理論において重要な特性を持ちます。 ${\displaystyle x_{i}}$

離散フーリエ変換は、特定のヴァンデルモンド行列、すなわちDFT行列によって定義されます。ここで、は1のn乗根となるように選択されます。高速フーリエ変換は、この行列と時間ベクトルの積を計算します。^[8]詳細については、多点多項式評価に関する記事を参照してください。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

量子ホール効果の物理理論において、ヴァンデルモンド行列式は、充填係数1のラフリン波動関数がスレーター行列式に等しいことを示しています。しかし、分数量子ホール効果においては、充填係数が1と異なる場合には、この関係は成立しなくなります。

多面体の幾何学において、ヴァンデルモンド行列は巡回多面体の任意の -面の正規化された体積を与える。具体的には、が に対応する 巡回多面体の -面 である場合、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

行列式

正方ヴァンデルモンド行列の行列式はヴァンデルモンド多項式またはヴァンデルモンド行列式と呼ばれる。その値は多項式である。

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

すべてが異なる場合にのみ、ゼロ以外になります。 ${\displaystyle x_{i}}$

ヴァンデルモンド行列式は、以前は判別式と呼ばれることもあったが、現在の用語では、多項式の判別式は根のヴァンデルモンド行列式の平方である。ヴァンデルモンド行列式はにおける交代形であり、2つを交換すると符号が変わるため、 の位数に依存する。対照的に、判別式は位数に依存しないため、ガロア理論によれば、判別式はの係数の多項式関数となる。 ${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)^{2}}$ ${\displaystyle p(x)}$

行列式の公式は、以下の3つの方法で証明されます。最初の証明は、多項式の性質、特に多変数多項式の一意な因数分解の性質を利用します。概念的には単純ですが、抽象代数の初等的ではない概念を含んでいます。2番目の証明は、ベクトル空間における基底変換と線形写像の行列式という線型代数の概念に基づいています。その過程で、ヴァンデルモンド行列のLU分解を計算します。3番目の証明はより初等的ですが、より複雑で、基本的な行と列の演算のみを使用します。

最初の証明: 多項式の性質

最初の証明は多項式の性質に依存します。

ライプニッツの公式によれば、は整数係数を持つ の多項式である。-番目の列のすべての項の全次数は である。したがって、ライプニッツの公式によれば、行列式のすべての項の全次数は である。 ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};}$

(つまり、行列式はこの次数の同次多項式です)。

に対してを に代入すると、2つの等しい行を持つ行列が得られ、その行列式は零となる。したがって、因子定理において行列式を一変数とみなすことは、がの約数であることを意味する。したがって、すべての および に対して、がの約数であることがわかる。 ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$

これをさらに強化して、 の約数すべての積が の約数であることを示す。確かに、を因数とする多項式とすると、ある多項式について、が の別の因数である場合、をに代入すると はゼロになる。 この代入後、因数がゼロにならないため、はゼロになる。したがって、因数定理により、は を で割り切れ、 は をで割り切れる。 ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle p=(x_{i}-x_{j})\,q,}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{l}.}$ ${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}\neq \{x_{k},x_{l}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\,(x_{k}-x_{l})}$ ${\displaystyle p.}$

このプロセスを1から繰り返していくと、すべての積で割り切れることがわかります。 ${\displaystyle \det(V),}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle i<j;}$

${\displaystyle \det(V)=Q\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

ここでは多項式です。すべての と の積は同じ次数 なので、この多項式は実際には定数です。この定数は の対角要素の積が であり、これはのすべての因数の第一項を取ることで得られる単項式でもあるため、1となります。これにより が証明され、証明は完了します。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$ ${\displaystyle Q=1,}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

第二の証明：線形写像

F を、 Fに係数を持つ最大n 次の多項式の全集合とFベクトル空間を含む体とする。 ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n+1}}$

を⁠ ⁠のすべての多項式を⁠ ⁠におけるその値の組に写す線形写像とします。つまり、 ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle x_{i},}$

${\displaystyle \phi (p)\mapsto (p(x_{0}),p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))}$。

ヴァンデルモンド行列は、およびの標準基底に関する行列である。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle F^{n+1}.}$

の基底を変えることは、ヴァンデルモンド行列に基底変換行列M（右から）を掛けることに等しい。Mの行列式が ${\displaystyle P_{n}}$1 .

多項式, , , … はそれぞれ次数 0, 1, …, nの単項式である。これらの単項式基底上の行列は、（単項式が次数の増加順に並べられている場合）上三角行列Uであり、その対角要素はすべて 1 である。したがって、この行列は行列式が 1 である基底変換行列である。この新しい基底上の の行列は、 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n-1})\end{bmatrix}}}$。

したがって、ヴァンデルモンド行列式はこの行列の行列式に等しくなり、対角要素の積になります。

これにより、望ましい等式が証明されます。さらに、VのLU 分解はとなります。 ${\displaystyle V=LU^{-1}}$

3番目の証明：行と列の操作

3 番目の証明は、行列の列に別の列のスカラーとの積を追加しても行列式は変化しないという事実に基づいています。

したがって、最初の列を除く各列について、前の列に を掛けたものを減算しても、行列式は変化しません。（これらの減算は、まだ変化していない列を減算するため、最後の列から開始して行う必要があります。）これにより、行列式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

ラプラス展開の公式を第1行目に適用すると、 が得られる。 ${\displaystyle \det(V)=\det(B)}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

の- 行目のすべての要素はの因数を持つので、これらの因数を取り去ると、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x_{i+1}-x_{0}}$

${\displaystyle \det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')}$、

ここで、 は のヴァンダーモンド行列です。このプロセスをこの小さなヴァンダーモンド行列に対して繰り返すと、最終的にとなるすべての の積としての目的の表現が得られます。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle i<j}$

ヴァンデルモンド行列の階数

• m × n の長方形ヴァンデルモンド行列で、m ≤ n となる行列のランクが m となるのは、すべてのx i が異なる場合_のみです。
• m × n の長方形ヴァンデルモンド行列で、m ≥ n となるものがランクnを持つのは、異なるx _iがn個ある場合のみです。
• 正方ヴァンデルモンド行列は、x _iが異なる場合のみ逆行列が成り立つ。逆行列の明示的な公式は既知である（下記参照）。^{[9] [3]}

一般化

ヴァンダーモンド行列の列が、 ではなく、各列が次数 である一般多項式 である場合、つまりである場合、はの頭係数であり、はヴァンダーモンド行列式です。 ${\textstyle 1,x,x^{2},...}$ ${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$ ${\textstyle 0,1,...,n}$ ${\displaystyle V=[p_{i}(x_{j})]_{i,j\in 0:n}}$ $${\displaystyle \det V(x_{0:n})=\left(\prod _{k}c_{k}\right)\Delta (x)}$$ ${\textstyle c_{0},...,c_{n}}$ ${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$ ${\displaystyle \Delta (x)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

証拠

${\textstyle \det V(x_{0:n})}$は のときは常にゼロであり、 の次数なので​​ の倍数です。先頭の定数を求めるには、 の項の係数を計算します。係数は です。 ${\textstyle x_{j}=x_{k}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\textstyle \prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})}$ ${\textstyle x_{0}^{0}\dots x_{n}^{n}}$ ${\textstyle c_{0}\dots c_{n}}$

エルミート共役を掛け合わせると、 $${\displaystyle \det \left[\sum _{l}p_{j}(z_{l})p_{k}(z_{l})^{*}\right]=\left(\prod _{k}|c_{k}|^{2}\right)|\Delta (z)|^{2}=\det \left[\sum _{l}p_{l}(z_{j})p_{l}(z_{k})^{*}\right]}$$

定理 （Tao 2012、251ページ^[10]）—を固定し、極限では、 ${\textstyle x}$ ${\textstyle y\to 0}$ $${\displaystyle \det[e^{x_{i}y_{j}}]={\frac {1}{1!\dots n!}}\Delta (x)\Delta (y)+o(\Delta (y))}$$ ${\textstyle y}$

証拠

証拠

または の場合、行列式は 0 なので、の何らかのべき級数 という形式になります。 ${\textstyle x_{j}=x_{k}}$ ${\textstyle y_{j}=y_{k}}$ $${\displaystyle \det[e^{x_{i}y_{j}}]=C(x,y)\Delta (x)\Delta (y)}$$ ${\textstyle C(x,y)}$ ${\textstyle x,y}$

左辺は の形の和である。これをテイラー展開して展開する。 を固定すると、級数は0 の近傍で一様収束する。 $${\displaystyle \sum _{\sigma }(-1)^{|\sigma |}e^{\sum _{i}x_{i}y_{\sigma (i)}}}$$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

の定数項を求めるには、項 の係数を計算するだけです。これは です。 ${\textstyle C(x,y)}$ ${\textstyle x_{0}^{0}y_{0}^{0}\dots x_{n}^{n}y_{n}^{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{1!\cdots n!}}}$

行列式の対称性により、 の次に最低べきの項はの形式となり、のようになります。 ${\textstyle C(x,y)}$ ${\textstyle a(x_{0}y_{0}+\dots +x_{n}y_{n})}$ ${\textstyle o(1)}$ ${\textstyle y\to 0}$

逆ヴァンデルモンド行列

応用編で説明したように、を満たす多項式補間問題は、行列方程式 と等価であり、その唯一の解 を持ちます。この補間問題を解く他の既知の公式は、唯一の と等価でなければならない ため、逆行列 の明示的な公式を与える必要があります。特に、ラグランジュ補間は、逆行列 の列が ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{bmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}^{-1}=L={\begin{bmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{bmatrix}}}$$

ラグランジュ多項式の係数である

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

ここで、 です。これは簡単に証明できます。多項式はに対してを満たすことが明らかなので、積、つまり単位行列を計算できます。 ${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$ ${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$

合流型ヴァンデルモンド行列

前述のように、ヴァンデルモンド行列は、次数 の多項式の係数を値（ただし、は異なる点）に基づいて求める線形代数補間問題を記述します。 が異なっていない場合は、この問題は一意に解けません（対応するヴァンデルモンド行列は特異行列です）。しかし、重複する点における導関数の値を指定すれば、この問題は一意に解けます。例えば、次の問題です。 ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

ここで、 はを満たすすべての に対して一意の解を持ちます。一般に、 は（必ずしも異なるとは限らない）数であり、簡単のため、等しい値は隣接していると仮定します。 ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ ${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

ここで 、とが異なる。対応する補間問題は ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$ ${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

この問題に対応する行列は合流型ヴァンデルモンド行列と呼ばれ、次のように表される。^[11]ならば、（ と表記）に対して一意となる。 ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$ ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

このヴァンデルモンド行列の一般化により、ヴァンデルモンド行列は非特異となり、方程式系には唯一の解が存在する。また、ヴァンデルモンド行列の他のほとんどの性質も備えている。その行は、元のヴァンデルモンド行の（ある位数の）微分である。

上式を導く別の方法は、 が互いに近づくにつれてヴァンデルモンド行列の極限を取ることです。例えば、 の場合を得るには、元のヴァンデルモンド行列の2行目から1行目を減算し、 とします。これにより、合流型ヴァンデルモンド行列の対応する行が得られます。これにより、与えられた値と導関数を持つ一般化補間問題が、異なる点を持つ元のケースの極限として導かれます。 を与えることは、小さい に対してを与えることと同様です。幾何学者は、配位空間 のコンパクト化として知られる、合流点を接線に沿って追跡する問題を研究してきました。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

参照

• コンパニオン行列 § 対角化可能性
• シュール多項式– 一般化
• 交互行列
• ラグランジュ多項式
• ヴロンスキアン
• 行列のリスト
• 有限体上のムーア行列式
• ヴィエタの公式

参考文献

1. Roger A. HornとCharles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis , Cambridge University Press. 6.1節を参照。
2. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). Matrix Computations (第4版). The Johns Hopkins University Press. pp.  203– 207. ISBN 978-1-4214-0859-0。
3. Macon, N.; A. Spitzbart (1958年2月). 「ヴァンダーモンド行列の逆行列」.アメリカ数学月刊誌. 65 (2): 95–100 . doi :10.2307/2308881. JSTOR  2308881.
4. Björck, Å.; Pereyra, V. (1970). 「ヴァンダーモンド方程式系の解」.アメリカ数学会誌. 24 (112): 893– 903. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0290541-1 . S2CID  122006253.
5. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「Section 2.8.1. Vandermonde Matrices」. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版). ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8。
6. ヴァンダーモンド行列の逆行列 (2018)、https://proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Vandermonde_Matrix
7. フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論 入門.大学院数学テキスト、数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103. 講義 4 では、ヴァンデルモンド行列式の役割を含む対称群の表現論を復習します。
8. Gauthier, J. 「n個の任意の点における高速マルチポイント評価」サイモンフレーザー大学、技術報告書（2017年）。
9. Turner, L. Richard (1966年8月). ヴァンダーモンド行列の逆行列とその応用(PDF) .
10. タオ, テレンス (2012). 『ランダム行列理論の話題』 . 数学大学院研究科. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-7430-1。
11. Kalman, D. (1984). 「一般化ヴァンダーモンド行列」.数学マガジン. 57 (1): 15– 21. doi :10.1080/0025570X.1984.11977069.

さらに読む

• Ycart、Bernard (2013)、「数学的エポニミーの事例: ヴァンデルモンド行列式」、Revue d'Histoire des Mathématiques、13、arXiv : 1204.4716、Bibcode :2012arXiv1204.4716Y。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vandermonde_matrix&oldid=1327655046"