セットでフィルター

Family of subsets representing "large" sets

数学において、集合上のフィルターとは、スーパーセットと有限交差に関して閉じた部分集合の族である。この概念は位相幾何学に由来し、点の近傍が空間上のフィルターを形成する。フィルターは1937年にアンリ・カルタンによって導入され^{[1] [2]}、位相幾何学におけるフィルターに関する論文で説明されているように、その後ニコラ・ブルバキは著書『Topologie Générale』の中で、1922年にEH・ムーアとハーマン・L・スミスによって開発された関連するネットの概念の代替としてフィルターを用いた。フィルターはモデル理論や集合論にも応用されている。

集合上のフィルタは後に順序フィルタへと一般化されました。具体的には、集合上のフィルタは包含順序のべき乗集合上の順序フィルタです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

フィルターの双対という概念は理想です。超フィルターはフィルターの特に重要なサブクラスです。

意味

集合 が与えられたとき、のフィルタはの部分集合の集合であり、次のようになる: ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle F}$は上向きに閉じている：がかつとなるような場合、 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle F}$は有限交差の下で閉じている: , ^[a]、そしてであれば。 ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {F}}}$

あ適切な（または非退化）フィルタとは、べき集合の部分集合として適切なフィルタである（つまり、唯一の不適切なフィルタは、すべての可能な部分集合からなる である）。上方閉包により、フィルタが適切であるためには、空集合を含まない必要がある。^[4]多くの著者は、フィルタは定義により適切でなければならないという慣例を採用している。^[6][7][8][9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

と が同じセット上の2つのフィルタで、 が成り立つとき、 は（または のサブフィルタ）よりも粗い^[10]と言われ、 は（または のサブフィルタ）よりも細かい^[10]と言われる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$またはスーパーフィルタ^[11]に従属する）。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

例

• シングルトン集合は、上の自明なフィルタまたは非離散フィルタと呼ばれる。^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\}}$ ${\displaystyle X}$
• が のサブセットである場合、 のサブセットが のスーパーセットであるものは主フィルタを形成します。^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• が位相空間での近傍集合は のフィルタ、つまり の近傍フィルタ^[13]または近傍フィルタ^[14]になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$
• さまざまな「大きさ」の条件から多くの例が生じます。
  • が集合である場合、のすべてのコ有限部分集合（すなわち、 の補集合が有限であるような集合）の集合は 上のフィルタ、すなわちフレシェフィルタ^{[12] [15] [5]}（またはコ有限フィルタ^[13]）である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • 同様に、 が集合である場合、の余算可能部分集合（補集合が可算な部分集合）はフィルタを形成し、この余算可能フィルタ^{[14]はフレシェフィルタよりも精緻である。より一般的には、}任意の基数に対して、補集合が高々基数 である部分集合はフィルタを形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
  • が距離空間、例えば の場合、の共有界部分集合（その補集合が有界集合であるもの）は 上のフィルタを形成する。^[16] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • が完備測度空間（例えば、ルベーグ測度を持つ）である場合、のコンヌル部分集合、すなわち、その補集合が測度 0 である部分集合は 上のフィルタを形成します。（非完備測度空間の場合、必ずしも測度 0 の測度可能部分集合に含まれる部分集合を取ることができます。） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • 同様に、 が測度空間である場合、その補集合が有限測度の測度可能な部分集合に含まれる部分集合は 上のフィルタを形成します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • が位相空間である場合、の補集合 （つまり、その補集合が貧弱 であるもの）は 上のフィルタを形成します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • 自然密度が1である部分集合は、フィルタを形成する。^[17] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 正則非可算基数のクラブフィルタは、 のクラブ サブセットを含むすべてのセットのフィルタです。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• が 上のフィルタの族であり が上のフィルタである場合、 は上のフィルタであり、コワルスキーフィルタと呼ばれる。^[18] ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$

プリンシパルフィルターとフリーフィルター

上のフィルタのカーネルは、内の のすべてのサブセットの共通部分です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

上のフィルタは、特に単純な形式、すなわち、ある固定された部分集合 に対してのスーパーセットを正確に含む形式の場合、主フィルタ^[3]（またはアトミックフィルタ^[13] ）と呼ばれます。 のとき、これは不適正フィルタを生成します。がシングルトンのとき、このフィルタ（ を含むすべての部分集合から構成される）は に関連付けられた基本フィルタ^[3]（または離散フィルタ^[19]）と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle Y=\varnothing }$ ${\displaystyle Y=\{y\}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

フィルタが主となるのは、 の核がの要素である場合であり、その場合、 はその核のスーパーセットから構成される。^[20]有限集合上では、すべてのフィルタが主である（核を定義する交差が有限であるため）。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

フィルタは、カーネルが空の場合自由であると言われ、そうでない場合は固定である（そして がカーネルの要素である場合、によって固定される）。^[21]集合上のフィルタが自由であるのは、それが上のフレシェフィルタを含む場合のみである。^[22] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

上の2つのフィルタとが噛み合うのは、 のすべての要素が のすべての要素と交差する場合です。^[23]上のすべてのフィルタについて、 上のフィルタ（の自由部分）と（の主部分）の一意のペアが存在し、 は自由、は主、 であり、 とは噛み合いません。主部分はのカーネルによって生成される主フィルタであり、自由部分はの要素から構成され、カーネルから任意の数の要素が削除される可能性があります。^[22] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

フィルタが可算深度であるとは、 の任意の可算部分集合の核が に属する場合である。^[14] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

注文フィルターとの対応

集合 上のフィルタの概念は、より一般的な半順序集合 上のフィルタの概念の特殊なケースです。定義により、半順序集合 上のフィルタとは、 の部分集合 のうち、上向きに閉じている（ かつ であるとき）かつ下向きである（ のすべての有限部分集合はに下限を持つ）ものです。集合 上のフィルタは、包含順序付けされた冪集合 上のフィルタと同じです。 ^[b] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\in F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

フィルターの構造

フィルターの交差

が 上のフィルタ族である場合、その共通部分は上のフィルタである。共通部分は上のフィルタ集合における包含関係によって部分的に順序付けられた最大の下界演算であり、 上のフィルタに完全な格子構造を与える。^{[14] [24]} ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

共通部分は、それぞれとして記述できる部分集合で構成されます。 ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

サブセットのファミリーによって生成されたフィルター

部分集合族 が与えられたとき、 を含む 上の最小フィルタ（包含の意味で）が存在する。これは、 を含む上のすべてのフィルタの共通部分（最大の下限）として構成できる。このフィルタはによって生成されるフィルタと呼ばれ、のフィルタ部分基底と呼ばれる。^[25] ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$

生成されたフィルタはより明示的に記述することもできる。は有限交差で閉じ、次に上向きに閉じることによって得られる。つまり、はいくつかのに対してとなるような部分集合から構成される。^[11] ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y}$ ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}}$

これらの演算はカーネルを保存するので、が適切なフィルタであるためには有限交差特性を持つ必要がある。つまり、の有限部分族の交差は空ではない。^[16] ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

包含順序付けされたフィルタの完全格子において、フィルタ族の最小上限はによって生成されるフィルタである。^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$

2つのフィルタとメッシュが適切である場合に限ります。^[23] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\rangle }$

フィルターベース

を のフィルタとする。のフィルタ基底はの上方閉包となるような部分集合の族、すなわち があるに対して となるような部分集合からなるものである。^[6] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq Y}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$

この上方閉包は、 が下向きである、すなわち、が空でなく、すべての に対してとなるような が存在する場合に限り、フィルタである。^{[6] [13]}この場合、はプレフィルタとも呼ばれ、上方閉包は生成されたフィルタ にも等しい。^[16]したがって、 のフィルタ基底であることは、のフィルタ部分基底であることよりも強い性質である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

例

• が位相空間での近傍フィルタのフィルタ基底は の近傍基底と呼ばれ、同様に、 の近傍フィルタのフィルタ部分基底は の近傍部分基底と呼ばれます。近傍フィルタの定義により、の開近傍は常に の近傍基底を形成します。 において、の周りの正の半径の閉球も の近傍基底を形成します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• を無限集合とし、がの部分集合から成り、その部分集合は1点を除くすべての点を含むとします。すると、は上のフレシェフィルタの部分基底となり、これは共有限部分集合 から成ります。有限交差におけるその閉包はフレシェフィルタ全体ですが、部分基底を含むフレシェフィルタのより小さな基底も存在します。例えば、 の部分集合は有限奇数を除くすべての点を含みます。実際、フレシェフィルタのあらゆる基底から任意の部分集合を削除すると、フレシェフィルタの別の基底が得られます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
• が位相空間の場合、 の稠密開部分集合は有限交差の下で閉じているため、のフィルタ基底を形成する。これらの開部分集合が生成するフィルタは、どこにも稠密でない部分集合の補集合から構成される。 において、 を零稠密開部分集合に制限すると、同じフィルタの別のフィルタ基底が得られる。^[要出典] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$
• 同様に、が位相空間である場合、稠密な開部分集合の可算な交差は、近似部分集合のフィルタを生成するフィルタ基底を形成します。 ${\displaystyle X}$
• を集合とし、をに値を持つネット、すなわち、定義域が有向集合である族とする。の末尾のフィルタ基底はの集合から構成され、 の有向性によって下向きに閉じている。生成されたフィルタは、イベンチュアリティフィルタまたはの末尾のフィルタと呼ばれる。シーケンシャルフィルタ^[26]または ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \{x_{j},j\geq i\}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{n})}$基本フィルタ^[9]トポロジーにおけるフィルタの応用において基本的なものです。^[13][27]
• すべてのπシステムはフィルターベースです。

サブセット上のフィルタのトレース

が 上のフィルタで の場合、上の のトレースはであり、これはフィルタである。^[15] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}}$

関数によるフィルターの画像

を関数とします。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

が の部分集合族である場合、 によるその像は次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}}$$

上のフィルタのによる画像フィルタは、生成されたフィルタ として定義されます。^[28]が射影的であれば、はすでにフィルタです。一般的な場合、はフィルタ基底であり、したがって はその上方閉包です。^[29]さらに、 が のフィルタ基底であれば、はのフィルタ基底です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$

およびのカーネルはによってリンクされています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$ ${\displaystyle f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$

フィルターの製品

集合の族と各フィルタが与えられたとき、積集合上の積フィルタは、およびの集合によって生成されるフィルタとして定義される。ここで、は積集合から番目の成分への射影である。^{[12] [30]この構成は}積位相に似ている。 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}^{-1}(A)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

それぞれが のフィルタ基底である場合、 のフィルタ基底は集合によって与えられ、は有限個を除くすべての に対してとなる族である。[ ^{12] [31]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle (A_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

参照

• 位相空間の公理的基礎、フィルタによる位相空間の定義
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 収束空間、フィルターを用いた位相空間の一般化
• フィルター量指定子
• ウルトラフィルター – 最大限適切なフィルター
• 汎用フィルタ、集合論的強制で使用されるフィルタの一種

注記

1. の零部分集合の共通部分はそれ自身である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
2. 上のフィルタは 上の順序フィルタであることは明らかです。逆に、を 上の順序フィルタとします。これは定義により上方閉包です。有限交差の下で閉包性を確認します。が からの部分集合の有限族である場合、 は下方閉包により における下限を持ち、これは となるようなものです。すると となり、したがって上方閉包により となります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}}$ ${\displaystyle B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}}$ ${\displaystyle A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}}$

引用

1. カルタン 1937a.
2. カルタン 1937b.
3. Császár 1978、56ページ。
4. シェクター 1996、100ページより。
5. ウィラード 2004、p.78より。
6. Dolecki & Mynard 2016、29ページ。
7. ジョシ 1983年、241ページ。
8. Köthe 1983、11ページ。
9. シューベルト 1968年、48ページより。
10. Schubert 1968、49ページ。
11. シェヒター 1996、102ページより。
12. ブルバキ 1987、57–68 ページ。
13. Joshi 1983、242ページ。
14. Dolecki & Mynard 2016、p. 30。
15. シェクター 1996、103ページより。
16. シェクター 1996、104ページ。
17. Jech, Thomas (2006). 『集合論：第三千年紀版、改訂・拡張版』 ベルリン・ニューヨーク: Springer Science & Business Media. p. 74. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939。
18. シェクター、1996 年、100–130 ページ。
19. ウィランスキー 2013、44ページ。
20. Dolecki & Mynard 2016、33ページより。
21. シェクター 1996、16ページ。
22. Dolecki & Mynard 2016、34ページより。
23. Dolecki & Mynard 2016、31ページより。
24. シューベルト 1968年、50ページ。
25. Császár 1978、57ページ。
26. Dolecki & Mynard 2016、35ページ。
27. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、5ページ。
28. ジョシ 1983年、246ページ。
29. Dolecki & Mynard 2016、37ページ。
30. Dolecki & Mynard 2016、39ページ。
31. Köthe 1983、14ページ。

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジー 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol. 4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063。
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190。
• バリス、スタンリー; サンカッパナヴァル、ハナマンタゴウダ P. (2012). 『普遍代数講座』（PDF） . シュプリンガー出版社. pp.  127– 135. ISBN 978-0-9880552-0-92022年4月1日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
• アンリ・カルタン（1937a）。 「テオリ・デ・フィルター」。科学アカデミーの会合を完了します。205 : 595–598 .
• アンリ・カルタン（1937b）。 「濾過と限外濾過」。科学アカデミーの会合を完了します。205 : 777–779 .
• チャザール、アコス(1978)。一般的なトポロジ。翻訳はチャザール、クララ。ブリストル イングランド: アダム ヒルガー社、 55 ～ 59ページ 。ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011。
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. pp.  29– 39. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• ジョシ, KD (1983).一般位相幾何学入門. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. pp.  241– 248. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750。
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。11 ～ 15ページ 。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (2021年10月20日). 「弱フィルタと超フィルタについて：知識表現からの（そして知識表現のための）集合論」Logic Journal of the IGPL . 31 : 68–95 . doi :10.1093/jigpal/jzab030.
• MacIver R., David (2004年7月1日). 「解析とトポロジーにおけるフィルタ」(PDF) . 2007年10月9日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。(トポロジーとメトリック空間におけるフィルターの入門的なレビューを提供します。)
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011).位相ベクトル空間. 純粋数学と応用数学（第2版）. ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. pp.  2– 5. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、pp.  100– 105. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• シューベルト、ホルスト（1968年）『位相幾何学』ロンドン：マクドナルド社、  pp.48-51 . ISBN 978-0-356-02077-8OCLC  463753 。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. pp.  77– 84. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上の集合の族 ${\displaystyle \Omega }$ v t e
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督 ​ ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数 （半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム （ディンキンシステム）				場合にのみ ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数 （𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター （フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） ${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） ${\displaystyle \cap }$				一度もない
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き ​	有限 交差	有限 結合	相対的な 補語	補完 する ${\displaystyle \Omega }$	可算 交差点	可算和 集合	含む ${\displaystyle \Omega }$	含む ${\displaystyle \varnothing }$	有限 交差 特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Filter_on_a_set&oldid=1325391811"