角速度

Direction and rate of rotation

角速度
一般的な記号	ω
SI単位	rad⋅s −1
SI基本単位で	s −1
示量的？	はい
示量的？	はい（剛体のみ）
保存的？	いいえ
座標変換における挙動	擬ベクトル
他の量からの導出	ω = d θ / d t
次元	${\displaystyle {\mathsf {T}}^{-1}}$

物理学において、角速度（記号ωまたはギリシャ文字の小文字オメガ）は、角周波数ベクトル[1]とも呼ばれ、 ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$物体^の角位置または向きが時間とともにどのように変化するか、つまり物体が回転軸を中心にどれだけ速く回転（自転または公転）するか、そして軸自体がどれだけ速く方向を変えるかを表す擬似ベクトル表現です。^[2]

擬似ベクトルの大きさは、角速度（または角周波数）、つまり物体が回転（自転または公転）する角速度を表します。擬似ベクトルの方向は、瞬間的な回転面または角変位に垂直です。 ${\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }$

角速度には2つの種類があります。

• 軌道角速度は、点物体が固定された原点の周りをどれだけ速く回転するか、つまり、原点に対する角度位置の時間変化率を指します。^[要出典]
• スピン角速度は、剛体が固定された回転軸の周りをどれだけ速く回転するかを指し、軌道角速度とは対照的に、原点の選択に依存しません。

角速度は単位時間あたりの角度の次元を持ちます。これは線速度に類似しており、距離の代わりに角度が使用され、時間は共通です。角速度のSI単位はラジアン/秒ですが^[3]、度/秒（°/s）も一般的です。ラジアンは無次元量であるため、角速度のSI単位は次元的には秒の逆数、s ^{-1に等しくなりますが、}ヘルツ単位の回転速度（s ^-1に等しい）との混同を避けるため、rad/sが推奨されます。^[4]

角速度の方向は、慣習的に右手の法則によって指定され、時計回りの回転（回転面から見た場合）を意味します。反転（-1を乗算）すると、大きさは変わりませんが、軸が反対方向に反転します。^[5]

例えば、静止衛星は赤道上空を恒星日ごとに1周します（24時間で約360度）。^[a]角速度の大きさ（角速度）ω = 360°/24 h = 15°/h（または2π rad/24 h ≈ 0.26 rad/h）、角速度の方向（単位ベクトル）は地球の自転軸（地心座標系では⁠ ⁠ ）に平行です。角度をラジアンで測定する場合、線速度は半径と角速度の積です。軌道半径が ${\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}$ ${\displaystyle v=r\omega }$地球の中心から42,000 km の場合、衛星の宇宙における接線速度はv =42,000 km × 0.26/h ≈時速11000km。衛星は地球の自転（地球の自転と同じ方向）に 沿って順行するため 、角速度は正です。

点粒子の軌道角速度

2次元粒子

原点Oに対するPにおける粒子の角速度は、速度ベクトルvの垂直成分によって決まります。

半径⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$での円運動の最も単純なケースでは、位置はx軸からの角変位によって与えられ、軌道角速度は時間に対する角度の変化率です。⁠ ⁠ 。をラジアンで測定すると、円の周りの正のx軸から粒子までの弧長は⁠ ⁠ ⁠、線速度は⁠ ⁠ ⁠となるため、⁠ ⁠となります ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ell =r\phi }$ ${\displaystyle \textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ ${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$

平面内を移動する粒子の一般的なケースでは、軌道角速度は、選択された原点に対する位置ベクトルが角度を「掃引」する速度です。図は、原点から粒子への位置ベクトルを、その極座標とともに示しています。（すべての変数は時間の関数です。）粒子の線速度は、半径に平行なラジアル成分と、半径に垂直なクロスラジアル（または接線）成分に分割されます。ラジアル成分がない場合、粒子は原点の周りを円を描くように移動しますが、クロスラジアル成分がない場合、粒子は原点から直線的に移動します。ラジアル運動では角度は変化しないため、線速度のクロスラジアル成分のみが角速度に寄与します。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Vert }+\mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$

角速度ωは、時間に対する角度位置の変化率であり、横方向速度から次のように計算できます。ω = d ϕ d t = v ⊥ r . {\displaystyle \omega ={\frac {d\phi}{dt}}={\frac {v_{\perp}}{r}}.}

ここで、横方向速度は⁠ ⁠の符号付きの大きさであり、反時計回りの運動の場合は正、時計回りの運動の場合は負です。線速度を極座標で表すと、大きさ（線速度）と動径ベクトルに対する角度が得られます。これらの用語では、⁠ ⁠ となり、ω = v sin ⁡ ( θ ) r となります 。{\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.} ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

これらの式は、時間に対する原点までの距離の関数、およびベクトルとx軸の間の角度の関数として、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$を行うことで導出できます。すると、次の式は次の式と等しくなります（円筒座標における 単位ベクトルを参照）。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$がわかっているので、速度のラジアル成分は、ラジアル単位ベクトルであるため、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\dot {r}}}$で与えられ、垂直成分は、垂直単位ベクトルであるため、次のように与えられると結論付けます。 ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

2次元では、角速度はプラスまたはマイナスの符号を持つ数値であり、方向を示すものではありません。通常、半径ベクトルが反時計回りに回転する場合は符号が正、時計回りに回転する場合は負とされます。したがって、角速度は擬スカラーと呼ばれることがあります。擬スカラーとは、1つの軸を反転したり、2つの軸を入れ替えたりするなどのパリティ反転によって符号が変化する数値量です。

3次元の粒子

軌道角速度ベクトルは、角度位置の時間変化率と、瞬間的な角変位面を符号化します。この場合（反時計回りの円運動）、ベクトルは上向きです。

3次元空間では 、運動粒子の位置ベクトルrが再び存在します。ここで、軌道角速度は擬似ベクトルであり、その大きさはrが角度を掃引する速度（単位時間あたりのラジアン）であり、その方向はrが角度を掃引する瞬間的な平面（つまり、 rとvが張る平面）に垂直です。ただし、任意の平面に垂直な方向が2つあるため、角速度の方向を一意に特定するには追加の条件が必要です。従来、右手の法則が使用されます

擬ベクトルを、 rとvが張る平面に垂直な単位ベクトルとすると、右手の法則が満たされます（つまり、角変位の瞬間的な方向は、⁠ ⁠の上端から見て反時計回りです）。上記の2次元の場合と同様に、この平面で極座標をとると、軌道角速度ベクトルは次のように定義できます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

ここで、⁠ ⁠は ${\displaystyle \theta }$⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {r} }$と⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$の間の角度です。外積で表すと、次のようになります

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^[6]

上記の式から、接線速度は次のように求められます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

剛体または基準フレームの回転角速度

3つの線形独立な単位座標ベクトルの回転フレームが与えられた場合、各瞬間において、3つのベクトルすべてが同じ角速度と同じ角度方向（時計回りまたは反時計回り）で回転する共通の軸（回転軸と呼ばれる）が常に存在します。このようなフレームでは、各ベクトルは一定のスカラー半径を持つ運動粒子と見なすことができます。このような粒子の集合は剛体と呼ばれます

オイラーの回転定理によれば、回転系において、3つの線形独立な単位ベクトルの1つの選択から得られる回転軸は、他の選択の場合と同じである。つまり、系には1つの瞬間的な回転軸があり、 その周りをすべての点が同じ角速度と同じ角方向（時計回りまたは反時計回り）で回転する。系または剛体のスピン角速度は、この共通角速度の大きさを持ち、右手の法則に従って共通回転軸に沿った方向を持つ擬似ベクトルとして定義される（つまり、反時計回りの回転の場合は軸に沿って「上向き」を指し、時計回りの回転の場合は「下向き」を指す）。

3次元を超える空間次元では、スピン角速度を擬似ベクトルとして解釈することは有効ではない。 ただし、反対称階2テンソルとして知られるより一般的なタイプのオブジェクトによって特徴付けられる場合がある

フレームの角速度ベクトルの加算も、通常のベクトル加算（直線運動の合成）によって定義され、ジンバルのように回転を分解するのに役立ちます。ベクトルのすべての成分は、移動フレームを定義するパラメータ（オイラー角または回転行列）の微分として計算できます。一般的な場合と同様に、加算は可換です。 ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

フレーム内で固定された参照点を選択した場合、フレーム内の任意の点の速度は次のように与えられます。 ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}$

物体固定フレームの基底ベクトルの成分

固定点Oの周りを回転する剛体を考えます。物体に固定され、共通の原点がOにあるベクトルの直交集合からなる参照フレームを物体内に構築します。フレームと物体の両方のOの周りのスピン角速度ベクトルは、 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

ここで、回転によるフレームベクトルの時間変化率です。 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3}$

この式は、軌道角速度の式と互換性がありません

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

この式はOの周りの一点の角速度を定義するのに対し、このセクションの式はフレームまたは剛体に適用されます。剛体の場合、単一の式 で物体内のすべての粒子の運動を考慮する必要があります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

オイラー角の成分

緑色でオイラーフレームを示す図

スピン角速度擬ベクトルの成分は、レオンハルト・オイラーによって、オイラー角と中間フレームを用いて初めて計算されました。

• 基準フレームの1つの軸（歳差運動軸）
• 基準フレームに対する移動フレームの節の線（章動軸）
• 移動フレームの1つの軸（固有回転軸）

オイラーは、角速度擬ベクトルのこれらの3つの軸への投影は、対応する角度の微分であることを証明しました（これは、瞬間的な回転を3つの瞬間的なオイラー回転に分解することと同等です）。したがって、次のようになります。 ^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

この基底は正規直交基底ではなく、使いにくいですが、基底を変更するだけで、速度ベクトルを固定座標系または移動座標系に変更できます。例えば、移動座標系に変更する場合：

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

ここで、は移動体に固定された座標系の単位ベクトルです。この例は、オイラー角のZXZ表記法を使用して作成されています。^[要出典] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

テンソル

角速度テンソルは、次のように定義される歪対称行列です。

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

上記のスカラー要素は、角速度ベクトルの成分に対応します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

これは無限小回転行列です。線形写像Ωは外積 として機能します。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

ここで、は位置ベクトルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

時間差を掛けると、角変位テンソルになります。

参照

• 角加速度
• 角周波数
• 角運動量
• 面速度
• ジャイロスコープ
• ピストン運動方程式
• 等長変換
• 直交群
• 剛体力学
• 渦度

注記

1. 恒星日は太陽日より約4分短く、23時間56分04秒ですが、この例では簡略化のため24時間と仮定しています。

参考文献

1. カミングス、カレン；ハリデイ、デイビッド（2007年）『物理学を理解する』ニューデリー：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ワイリー・インディア社への再版許可。pp. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2。(UP1)
2. 「角速度｜回転運動、角運動量、トルク｜ブリタニカ」www.britannica.com 。 2024年10月5日閲覧。
3. テイラー、バリー・N.（2009年）国際単位系（SI）（2008年改訂版）DIANE Publishing。p. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7。27ページからの抜粋
4. 「特別な名称と記号を持つ単位；特別な名称と記号を組み込んだ単位」
5. Hibbeler, Russell C. (2009). 工学力学.アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：ピアソン・プレンティス・ホール. pp. 314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6.(EM1)
6. Singh, Sunil K. 角速度. ライス大学. 2021年5月21日閲覧– OpenStax経由.
7. KSHEDRIH: レオンハルト・オイラー（1707–1783）と剛体力学

• Symon, Keith (1971).力学. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1997).力学. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.

外部リンク

• A college text-book of physics By Arthur Lalanne Kimball (Angular Velocity of a particle)
• Pickering, Steve (2009). "ω Speed of Rotation [Angular Velocity]". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.

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