商環

Reduction of a ring by one of its ideals

抽象代数の一分野である環論において、商環は因子環、差環^[1]あるいは留数類環とも呼ばれ、群論における商群や線型代数における商空間^{[2] [3]}と非常によく似た構成である。これは普遍代数の一般的な設定から見た商の具体的な例である。⁠ ⁠の環と両側イデアルから始めて、特殊演算と演算の対象となる ⁠ ⁠ の剰余類を要素とする新しい環、商環⁠ ⁠が構成される。(商環の表記法ではほとんどの場合分数スラッシュ" ⁠ ⁠ "が使用される。水平線を区切りとして環をイデアルの上に積み重ねることは珍しく、一般的には避けられる。) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle /}$

商環は、整域のいわゆる「商体」または分数の体とは異なり、局所化によって得られるより一般的な「商環」とも異なります。

正式な商環の構築

⁠ ⁠の環と両側イデアルが与えられたとき、次のように同値関係を定義できます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ が⁠ ⁠内にある場合のみ。 ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle I}$

イデアルの性質を用いると、 が合同関係であることを確認するのは難しくありません。 ⁠ ⁠の場合、と は を法として合同であると言えます（例えば、と は、それらの差がイデアル⁠ ⁠（偶数整数）の元であるため、 を法として合同です）。の元の同値類は次のように与えられます。この同値類は と表記されることもあり、「を法とする の剰余類」とも呼ばれます。 ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \left[a\right]={\overline {a}}=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$ ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$

このような同値類全体の集合は⁠ ⁠で表され、 ${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ ⁠を法とする環、つまり因数環または商環となる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ ;
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$ .

(ここで、これらの定義が適切に定義されていることを確認する必要があります。剰余類と商群を比較してください。) の零元は⁠ ⁠であり、乗法単位元は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle {\bar {0}}=0+I=I}$ ${\displaystyle {\bar {1}}=1+I}$

によって定義されるからへの写像は、射影環準同型であり、自然商写像、自然射影写像、または標準準同型とも呼ばれます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle p(a)=a+I}$

例

• 商環は自然に⁠ ⁠と同型であり、零環⁠ ⁠です。なぜなら、定義により、任意の⁠ ⁠に対して、それ自身に等しい⁠ ⁠が存在するからです。これは、イデアル⁠ ⁠が大きいほど、商環⁠ ⁠は小さくなるという経験則と一致します。 ⁠ ⁠が ⁠ ⁠ の真イデアル、すなわち ⁠ ⁠ である場合、 ⁠ ⁠は零環ではありません。 ${\displaystyle R\ /\ \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/R}$ ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\neq R}$ ${\displaystyle R/I}$
• 整数 環と、 ⁠ ⁠で表される偶数のイデアルについて考えます。すると、商環には、偶数からなる剰余類と奇数からなる剰余類の2つの要素しかありません。定義⁠ ⁠を適用すると、 は偶数のイデアルです。これは、2つの要素を持つ有限体⁠ ⁠と自然に同型です。直感的に、すべての偶数を⁠ ⁠と考えると、すべての整数は(偶数の場合) または(奇数で、したがって偶数と⁠ ⁠だけ異なる場合) のいずれかになります。モジュラー演算は、本質的に商環(元を持つ) における演算です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$
• ここで、実係数 、 、および多項式 ⁠ ⁠ のすべての倍数からなるイデアルを持つ変数の多項式環を考えます。商環は複素数体 ⁠ ⁠と自然に同型であり、類は虚数単位⁠ ⁠の役割を果たします。その理由は、⁠ ⁠、つまり⁠ ⁠を「強制」したためです。これは⁠ ⁠の定義特性です。 の任意の整数指数は⁠ ⁠または⁠ ⁠でなければならないため、すべての可能な多項式は基本的に⁠ ⁠ の形式に簡略化されます。（明確にするために、商環⁠ ⁠は実際にはすべての線形多項式体⁠ ⁠と自然に同型であり、演算は⁠ ⁠を法として実行されます。その代わりに⁠ ⁠があり、これは複素数の同型体の虚数単位と一致しています。） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$ ${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle X}$
• 前の例を一般化すると、商環はしばしば体拡大 の構築に用いられます。 が何らかの体であり、が⁠ ⁠の既約多項式であるとします。すると⁠ ⁠ は ⁠ ⁠上の最小多項式が⁠ ⁠であり、 ⁠ ⁠ には元⁠ ⁠も含まれています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle L=K[X]\ /\ (f)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x=X+(f)}$
• 前の例の重要な例の一つは、有限体の構成です。例えば、3つの元を持つ体を考えてみましょう。この多項式は（根を持たないため）既約であり、商環⁠ ⁠を構築できます。これは⁠ ⁠で表される元を持つ体です。他の有限体も同様の方法で構築できます。 ${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(X)=X^{2}+1}$ ${\displaystyle F_{3}}$ ${\displaystyle F_{3}[X]\ /\ (f)}$ ${\displaystyle 3^{2}=9}$ ${\displaystyle F_{9}}$
• 代数多様体の座標環は、代数幾何学における商環の重要な例です。簡単な例として、実平面⁠ ⁠の部分集合としての実多様体を考えてみましょう。 ⁠ ⁠ 上で定義される実数値多項式関数の環は商環⁠ ⁠と同一視でき、これは⁠ ⁠の座標環です。次に、この多様体の座標環を調べることで、その多様体について考察します。 ${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]\ /\ (X^{2}-Y^{3})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• が-多様体であり、が⁠ ⁠の点であるとする。上で定義されるすべての - 関数の環を考え、がのイデアルで、の近傍で恒等的に零となる関数からなるものとしよう（ただし⁠ ⁠に依存する）。すると、商環は⁠ ⁠における -関数の芽の環となる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$
• 超実体⁠ ⁠の有限元の環を考えてみましょう。これは、標準の実数と無限小量だけ異なるすべての超実数、またはそれと等価な、を持つ標準整数が存在するすべての超実数から構成されます。 ⁠ ⁠内のすべての無限小数の集合は⁠ ⁠とともに⁠ ⁠のイデアルであり、商環は実数⁠ ⁠と同型です。同型性は、 ⁠ ⁠の標準部分のすべての元、つまり と無限小量だけ異なる唯一の実数に を関連付けることによって誘導されます。実際、有限超有理数の環（つまり、超整数のペアの比）から始めても、同じ結果、つまり⁠ ⁠が得られます。実数の構築を参照してください。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n<x<n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\ /\ I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$

実二次代数

商⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X)}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$、 はすべて と同型であり、最初はあまり興味を引かれません。しかし、幾何代数学では は双対数平面と呼ばれることに注意してください。これは、 の元を⁠ ⁠で約分した後の「剰余」として、線型二項式のみで構成されます。この二次代数は、代数が実数直線と冪零 を含む場合、常に部分代数として現れます。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle X^{2}}$

さらに、環商は⁠ ⁠と⁠ ⁠に分解されるため、この代数はしばしば ⁠ ⁠ の直和として扱われます。しかしながら、二次代数は⁠ ⁠のイデアルの元として定義され、⁠ ⁠の根として定義されるのとは対照的です。この分割複素数平面は、代数の恒等式が零点から単位距離にある2次元空間の基底を提供することで直和を正規化します。この基底を用いると、単位双曲線は通常の複素平面の単位円と比較できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (X^{2}-1)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\lbrace 1,j\right\rbrace }$

四元数とその変種

とが2つの非可換不定量であり、自由代数⁠ ⁠を形成すると仮定します。このとき、1843年のハミルトンの四元数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle }$ $${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,\,Y^{2}+1,\,XY+YX)}$$

を ⁠ ⁠に代入すると、分割四元数環が得られます。反可換性から、の平方根は次式で表されます。 ${\displaystyle Y^{2}-1}$ ${\displaystyle Y^{2}+1}$ ${\displaystyle YX=-XY}$ ${\displaystyle XY}$ $${\displaystyle (XY)(XY)=X(YX)Y=-X(XY)Y=-(XX)(YY)=-(-1)(+1)=+1}$$

両方の二次二項式でプラスをマイナスに置き換えると、分割四元数も生成されます。

3 種類の双四元数は、3 つの不定値を持つ自由代数を使用して適切なイデアルを構築することで商として表すこともできます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y,Z\rangle }$

プロパティ

明らかに、 が可換環であれば⁠ ⁠も可換環です。ただし、その逆は一般には成り立ちません。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$

自然商写像の核はです。すべての環準同型の核は両側イデアルなので、両側イデアルはまさに環準同型の核であるといえます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

環準同型、核、商環の間の密接な関係は、次のようにまとめることができます。 ⁠ ⁠上で定義される環準同型は、 ⁠ ⁠上で消える（つまり、ゼロになる） ⁠ ⁠ 上で定義される環準同型と本質的に同じです。より正確には、 ⁠ ⁠ の両側イデアルと、核に⁠ ⁠が含まれる環準同型が与えられると、 （ここで⁠ ⁠ は自然な商写像）を持つ環準同型が 1 つだけ存在します。ここでの写像は、⁠ ⁠内のすべての⁠ ⁠に対して明確に定義された規則によって与えられます。実際、この普遍的性質は、商環とその自然な商写像を定義するために使用できます。 ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g:R\ /\ I\to S}$ ${\displaystyle gp=f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g([a])=f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1R}$

以上の結果、基本的な命題が得られる。すなわち、すべての環準同型は、商環と像⁠ ⁠の間に環同型を誘導する。（準同型に関する基本定理も参照。） ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R\ /\ \ker(f)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$

とのイデアルは密接に関連しています。自然な商写像は、を含むの両側イデアルと の両側イデアルとの間の一対一写像を提供します（左イデアルと右イデアルについても同様です）。この両側イデアル間の関係は、対応する商環間の関係にも拡張されます。 が⁠ ⁠を含む⁠ ⁠の両側イデアルであり、 ⁠ ⁠の対応するイデアル（つまり⁠ ⁠ ）について と書くと、商環と⁠ ⁠ は（明確に定義された）写像⁠ ⁠を介して自然に同型です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M\ /\ I}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle M\ /\ I=p(M)}$ ${\displaystyle R\ /\ M}$ ${\displaystyle (R/I)\ /\ (M/I)}$ ${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$

以下の事実は可換代数と代数幾何学において有用であることが証明されています：可換体 に対して、が体である必要十分条件は が極大イデアルである場合であり、が整域である必要十分条件は が素イデアルである場合です。イデアルの性質と商環⁠ ⁠の性質を関連付ける同様の記述が数多くあります。 ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$

中国剰余定理は、イデアルが互いに素な一対のイデアルの交差（またはそれと同等の積）である場合、商環は商環の積に同型であることを述べています。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$ ${\displaystyle R\ /\ I}$ ${\displaystyle R\ /\ I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$

環上の代数の場合

可換環上の結合的環 は、それ自体が環である。 が（-乗法に関して閉じている：⁠ ⁠）のイデアルである場合、 は上の代数の構造を継承し、 は商代数である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AI\subseteq I}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R}$

参照

• 関連する等級リング
• 残留フィールド
• ゴールディの定理
• 商モジュール

注記

1. ジェイコブソン、ネイサン(1984). 『環の構造』（改訂版）アメリカ数学会ISBN 0-821-87470-5。
2. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
3. ラング、セルジュ(2002).代数学.大学院数学テキスト.シュプリンガー. ISBN 0-387-95385-X。

その他の参考文献

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe 、DAR Wallace (1982) Modules and Rings訳、Academic Press、33ページ。
• Neal H. McCoy (1948) 「環とイデアル」、§13「留数環」、61 ページ、Carus Mathematical Monographs #8、Mathematical Association of America。
• ジョセフ・ロットマン (1998)。ガロア理論(第 2 版)。スプリンガー。21 ～ 23ページ 。ISBN 0-387-98541-7。
• BL van der Waerden (1970) Algebra、Fred Blum と John R Schulenberger 訳、Frederick Ungar Publishing、ニューヨーク。第3.5章「イデアル、留数環」、47～51ページを参照。

外部リンク

• 「商環」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ジョン・ビーチーの抽象代数オンラインにおけるイデアルと因子環

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