平均

Numeric quantity representing the center of a collection of numbers

平均とは、数値の集合の「中心」を表す量であり、数値集合の極値から中間値までの範囲にあります。^[1]数学、特に統計学には、いくつかの種類の平均（または「中心傾向の尺度」）があります。それぞれが、与えられたデータ群を要約または類型化し、データセットの大きさと符号を示すことを試みます。これらの尺度のどれが最も明確であるかは、測定対象、文脈、目的によって異なります。^[2]

算術平均は「算術平均」とも呼ばれ、値の合計を値の個数で割ったものです。数値x ₁、x ₂、…、x _nの集合の算術平均は、通常、頭上のバー、を使用して表されます。^[注1]数値がより大きなグループの標本から得られたものである場合、算術平均は標本平均（ ）と呼ばれ、基礎となる分布のグループ平均（または期待値）（ またはと表記）と区別されます。^{[注2] [3]} ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{x}}$

確率と統計以外では、幾何学と数学的解析において、平均のさまざまな概念がよく使用されます。例を以下に示します。

平均の種類

ピタゴラス平均

数学において、古典的なピタゴラス平均は、算術平均（AM）、幾何平均（GM）、調和平均（HM）の3つです。これらの平均は、幾何学と音楽における重要性から、ピタゴラス学派やその後の世代のギリシャの数学者によって比率とともに研究されました^[4]。

算術平均（AM）

数値リストの算術平均（または単に平均もしくは平均）は、すべての数値の合計をその個数で割ったものです。同様に、標本の平均（通常は と表記）は、標本値の合計を標本内の項目数で割ったものです。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

例えば、4、36、45、50、75の5つの値の算術平均は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

幾何平均（GM）

幾何平均は、正の数の集合に有用な平均であり、それらの和（算術平均の場合）ではなく、それらの積（成長率の場合）に従って解釈されます。^[1]

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

例えば、4、36、45、50、75の5つの値の幾何平均は次のとおりです。

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

調和平均（HM）

調和平均は、速度（つまり、単位時間あたりの距離）のように、何らかの単位に関連して定義される数の集合に有用な平均です。

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

例えば、4、36、45、50、75の5つの値の調和平均は次のとおりです

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

ある大きさのタンクをそれぞれ4分、36分、45分、50分、75分で空にできるポンプが5台あるとすると、調和平均は、これら5つの異なるポンプが連携して稼働する場合、それぞれ数分でタンクを空にできるポンプ5台と同じ速度で揚水することを示しています。 ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 15}$

AM、GM、HMの関係

AM-GM不等式の言葉を使わない証明：
PRはOを中心とする円の直径であり、その半径AOはaとbの算術平均です。三角形PGRはタレスの定理より直角三角形であり、幾何平均定理を用いてその高さGQが幾何平均であることを示すことができます。任意の比a：bに対して、AO≥GQです。

非負 実数のAM、GM、およびHMは、これらの不等式を満たす。^[5]

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

与えられた標本のすべての要素が等しい場合、等式が成立します。

統計的位置

2つの歪んだ（対数正規）分布の算術平均、中央値、最頻値の比較

任意の確率密度関数の最頻値、中央値、および平均の幾何学的視覚化^[6]

記述統計では、平均は中央値、最頻値、中間範囲と混同されることがあります。これらはいずれも口語的に「平均」（より正式には中心傾向の尺度）と呼ばれることがあるためです。観測値集合の平均は、値の算術平均です。ただし、歪んだ分布の場合、平均は必ずしも中央値（中央値）または最も可能性の高い値（最頻値）と同じではありません。たとえば、平均所得は通常、非常に高い所得を持つ少数の人々によって上方に歪められ、大多数の人々の所得は平均よりも低くなります。対照的に、中央値所得は、人口の半分が平均より下で、半分が平均より上の水準です。最頻値所得は最も可能性の高い所得であり、より低い所得を持つより多くの人々に有利です。中央値と最頻値は、このような歪んだデータに対してより直感的な尺度となることがよくありますが、多くの歪んだ分布は、指数分布やポアソン分布など、実際には平均によって最もよく説明されます。

確率分布の平均

確率分布の平均とは、その分布を持つ確率変数の長期的な算術平均値です。確率変数が で表される場合、平均はの期待値（ と表記）とも呼ばれます。離散確率分布の場合、平均は で与えられ、ここで和は確率変数のすべての可能な値について取られ、は確率質量関数です。連続分布の場合、平均は で、は確率密度関数です。^[7]分布が離散でも連続でもないケースも含め、すべての場合において、平均は確率変数の確率測度に関するルベーグ積分です。平均は存在する必要も有限である必要もありません。一部の確率分布では平均は無限大（+∞または-∞）ですが、他の確率分布では平均は定義されていません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$ ${\displaystyle f(x)}$

一般化平均

累乗平均

^{一般化平均は、べき乗平均またはヘルダー平均とも呼ばれ、他のいくつかの平均を抽象化します。正の数については[1]}で定義されます ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

これは、の関数として、上で明確に定義されていますが、まで連続的に拡張できます。^[8]に異なる値を選択することで、他のよく知られた平均値が得られます ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ ${\displaystyle m}$

名称	指数	値
最小値	${\displaystyle p=-\infty }$	${\displaystyle \min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$
調和平均	${\displaystyle p=-1}$	${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$
幾何平均	${\displaystyle p=0}$	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}$
算術平均	${\displaystyle p=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$
二乗平均平方根	${\displaystyle p=2}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$
三次平均	${\displaystyle p=3}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$
最大値	${\displaystyle p=+\infty }$	${\displaystyle \max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

準算術平均

べき乗平均に似たアプローチは、準算術平均としても知られる - 平均です。区間と実数への単射関数の場合、それらの- 平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}$

異なる関数を選択することで、他のよく知られた平均を取得できます。 ${\displaystyle f}$

平均	${\displaystyle I}$	関数[注3]
算術平均	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle x\mapsto x}$
幾何平均	${\displaystyle ]0,+\infty [}$[注4]	${\displaystyle x\mapsto \ln(x)}$
調和平均	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$	${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$
累乗平均	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$[注5]	${\displaystyle x\mapsto x^{m}}$

加重算術平均

加重算術平均（または加重平均）は、同じ母集団の異なるサイズの標本の平均値を結合する場合に使用され、^{[1]で定義されます。}

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

ここで、とはそれぞれ平均と標本サイズです。他の用途では、それらはそれぞれの値が平均に与える影響の信頼性の尺度を表します。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$

切り捨て平均

場合によっては、数値の集合に外れ値（つまり、他の数値よりもはるかに低い、またははるかに高いデータ値）が含まれることがあります。多くの場合、外れ値はアーティファクトによって引き起こされた誤ったデータです。このような場合、切り捨て平均を使用できます。これは、データの上限または下限の特定の部分（通常は両端から同量）を破棄し、残りのデータの算術平均を求めるものです。削除された値の数は、値の総数に対するパーセンテージで示されます。

四分位平均

四分位平均は、切り捨て平均の具体的な例です。これは、値の最小値と最大値の4分の1を削除した後の算術平均です。

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

値が順序付けられていると仮定すると、これは特定の重みセットに対する加重平均の具体的な例です。

関数の平均

状況によっては、数学者は無限（あるいは数え切れないほど）の値の集合の平均を計算することがあります。これは、関数の平均値を計算するときに起こり得ます。直感的には、関数の平均は、曲線の断面の下の面積を計算し、それをその断面の長さで割ることと考えることができます。これは、グラフ用紙上のマス目を数えることで大まかに行うことができますが、より正確には積分によって行うことができます。積分式は次のように書きます。 ${\displaystyle y_{\text{avg}}}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

この場合、積分が収束するように注意する必要があります。しかし、関数自体がいくつかの点で無限大に近づく場合でも、平均は有限である可能性があります

角度と周期量の平均

角度、時刻、その他の周期的量は、数を加算したり結合したりするためにモジュラー演算を必要とします。これらの量は、円平均を使用して平均化できます。これらすべての状況において、平均が存在しない可能性があります。たとえば、平均化されるすべての点が等距離にある場合などです。カラーホイールを考えてみましょう。すべての色の集合に平均はありません。さらに、値の集合に一意の平均が存在しない場合があります。たとえば、時計の点を平均する場合、11:00と13:00の位置の平均は12:00ですが、この位置は00:00の位置と同等です。

フレシェ平均

フレシェ平均は、面、またはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の「中心」を決定する方法を与えます。他の多くの平均とは異なり、フレシェ平均は、要素が必ずしも加算されたりスカラーで乗算されたりしない空間上で定義されます。これは、ヘルマン・ケルヒャーにちなんでケルヒャー平均と呼ばれることもあります。

三角集合

幾何学では、三角形の中心には数千の異なる定義があり、それらはすべて平面上の三角形の点の集合の平均として解釈できます。^[9]

スワンソンの法則

これは、中程度に歪んだ分布の平均の近似値です。^{[10]これは}炭化水素の探査で使用され、次のように定義されます。

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

ここで、、、はそれぞれ分布の10パーセンタイル、50パーセンタイル、90パーセンタイルです。 ${\textstyle P_{10}}$ ${\textstyle P_{50}}$ ${\textstyle P_{90}}$

その他の平均

• 算術幾何平均
• 算術調和平均
• チェザロ平均
• キシニ平均
• 反調和平均
• 初等対称平均
• 幾何調和平均
• 全体平均
• ハインツ平均
• ヘロン平均
• 同値平均
• レーマー平均
• 対数平均
• 移動平均
• ノイマン・サンダー平均
• 準算術平均
• 二乗平均（平方根平均）
• レーニのエントロピー（一般化f平均）
• 球面平均
• ストラースキー平均
• 加重幾何平均
• 加重調和平均

関連項目

• 数学ポータル

• 統計的分散
• 中心傾向
  • 中央値
  • 最頻値
• 記述統計
• 尖度
• 平均の法則
• 平均値の定理
• モーメント（数学）
• 要約統計
• テイラーの法則

注釈

1. 「エックスバー」と発音します。
2. ギリシャ文字のμは、/'mjuː/と発音します
3. このコラムでは、関数を表すために「マッピング矢印」を使用します。この表記法では、関数は と表されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$
4. 幾何平均は 上で明確に定義されていますが、このアプローチでは捉えられません。 ${\displaystyle [0,+\infty [}$
5. 定義域は となります。 ${\displaystyle m\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

参考文献

1. "Mean | 数学".ブリタニカ百科事典. 2020年8月21日閲覧.
2. なぜ数学を学ぶ人はほとんどいないのか（YouTube動画）. Math The World. 2024年8月27日. 2024年9月10日閲覧.
3. Underhill, LG; Bradfield d. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X181ページ
4. Heath, Thomas.古代ギリシャ数学の歴史
5. ドゥシャン・ジュキッチ、ウラジミール・ヤンコヴィッチ、イヴァン・マティッチ、ニコラ・ペトロヴィッチ (2011年5月5日). IMO大要：国際数学オリンピック1959-2009問題集 第2版. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-1-4419-9854-5.
6. 「AP統計レビュー - 密度曲線と正規分布」. 2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年3月16日閲覧。
7. エリック・W・ワイススタイン「母平均」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月21日閲覧
8. PS Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities . Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 176.
9. Narboux, Julien; Braun, David (2016). 「三角形の中心百科事典の認定版に向けて」(PDF) . Mathematics in Computer Science . 10 (1): 57– 73. doi :10.1007/s11786-016-0254-4. MR  3483261. Clark Kimberlingの指導の下、三角形の中心の電子百科事典 (ETC) が開発されました。これには7000以上の中心と、これらの点の多くの特性が含まれています
10. Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Swansonの30-40-30ルール。アメリカ石油地質学者協会紀要 84(12) 1883-1891

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