8単体ハニカム

8単体ハニカム
（画像なし）
種類	均一な8つのハニカム
科	単格子ハニカム
シュレーフリ記号	{3 [9] } = 0 [9]
コクセター図
6面体タイプ	{3 7 } , t 1 {3 7 } t 2 {3 7 } , t 3 {3 7 }
6面体タイプ	{3 6 }、t 1 {3 6 } t 2 {3 6 }、t 3 {3 6 }
6面体タイプ	{3 5 }、t 1 {3 5 } t 2 {3 5 }
5面体	{3 4 } , t 1 {3 4 } t 2 {3 4 }
4面体	{3 3 } , t 1 {3 3 }
細胞の種類	{3,3} , t 1 {3,3}
顔の種類	{3}
頂点図形	t 0,7 {3 7 }
対称性	${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$×2、[[3 [9] ]]
特性	頂点推移

8次元ユークリッド幾何学において、8単体ハニカムは空間充填モザイク（またはハニカム）です。このモザイクは、8単体、平行化8単体、双平行化8単体、および三平行化8単体の面で空間を満たします。これらの面の種類は、ハニカム全体においてそれぞれ1:1:1:1の割合で出現します

A8格子

この頂点配置はA8格子または8単体格子と呼ばれます。拡張された8単体頂点図形の72個の頂点は、コクセター群の72個の根を表します。^{[ 1 ]}これは単体ハニカム の8次元例です。各頂点図形の周りには510個の面があります。9+9個の8単体、36+36個の平行化8単体、84+84個の二重平行化8単体、126+126個の三重平行化8単体で、パスカルの三角形の10行目からのカウント分布を持ちます ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$は指数5760のサブグループとして含む。 ^{[ 2 ]}とはどちらも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle A_{8}}$

A³ _{8格子は3つのA8}格子の和集合であり、E8格子と同一である。^{[ 3 ]}

∪∪＝。

A^* ₈格子（Aとも呼ばれる）⁹ _{8）は9つのA8}格子の和集合であり、双対ハニカムから8単体ハニカムまでの頂点配置を持ち、したがってこの格子のボロノイセルは8単体ハニカムである

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ＝双対。

関連する多面体とハニカム

このハニカムは、コクセターグループによって構築された45個のユニークな均一ハニカム^{[ 4 ]}のうちの1つである。この対称性は、コクセター図の環対称性と相乗効果を持つ。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$

A8ハニカム
正八角形対称性	対称性	拡張図	拡張グループ	ハニカム
a1	[3 [9] ]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$
i2	[[3 [9] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$×2	12
i6	[3[3 [9] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$×6
r18	[9[3 [9] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$×18	3

折り畳みによる投影

8次元単体ハニカムは、同じ頂点配置を共有する2組の鏡を互いに写像する幾何学的折り畳み操作によって、 4次元のテッセラティックハニカムに投影できます

${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$

参照

• 8次元空間における規則的かつ均一なハニカム：
  • 8立方体ハニカム
  • 8立方体ハニカム
  • 切頂8単体ハニカム
  • 5 _×21ハニカム
  • 2 ₅₁ハニカム
  • 1 ₅₂ハニカム

注釈

1. 「格子A8」
2. NWジョンソン著『幾何学と変換』（2018年）第12章：ユークリッド対称群、294ページ
3. 万華鏡：HSMコクセター選集、論文18「極端な形態」（1950年）
4. *ワイスタイン、エリック・W. 「ネックレス」。MathWorld 。、OEISシーケンスA000029 46-1ケース、ゼロマークの1つをスキップ

参考文献

• ノーマン・ジョンソン著『均一多面体』、原稿（1991年）
• 万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] （1.9 一様空間充填）
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]

v t e 2～9次元の基本的な凸型正則ハニカムと一様ハニカム
スペース	科	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角形
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	均一な8つのハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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