1 33 ハニカム

1 33ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一なテッセレーション
シュレーフリ記号	{3,3 3,3 }
コクセターシンボル	1 33
コクセター・ディンキン図	または
7面タイプ	1 32
6面タイプ	1 22 1 31
5面タイプ	1 21 {3 4 }
4面タイプ	1 11 {3 3 }
細胞の種類	1 01
顔のタイプ	{3}
細胞図	四角
顔の形	三角 デュオプリズム
エッジ図	四面体デュオ プリズム
頂点図形	三連整流7単体
コクセターグループ	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$、 [[3,3 3,3 ]]
プロパティ	頂点推移的、ファセット推移的

7次元幾何学では、1 ₃₃は均一なハニカムであり、シュレーフリ記号{3,3 ^3,3 } でも表され、1 ₃₂ の面で構成されます。

工事

これは、7 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

3 長さのブランチの 1 つの端にあるノードを削除すると、その唯一のファセットタイプで ある1 _{32が残ります。}

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、三次元平行化7単体、0 ₃₃が得られます。

辺図形は、頂点図形の環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、{3,3}×{3,3}の四面体デュオプリズムが形成されます。

キスナンバー

この多面体の各頂点は、中程度に密な球詰めにおける 6 次元球の中心に対応し、各球は他の 70 個の球に接します。7 次元で最もよく知られている接線数 (キス数) は 126 です。

幾何学的な折り畳み

群は幾何学的折り畳みによってに関連付けられているため、このハニカムは 4 次元の半平面ハニカムに投影できます。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
{3,3 3,3 }	{3,3,4,3}

E₇^*格子

${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$は指数144の部分群として含まれる^。[1]とは異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ ${\displaystyle A_{7}}$

E 7 ^*格子（E ₇ ²とも呼ばれる）^[2]_は、対称性が2倍あり、[[3,3 ^3,3 ]]で表される。E ₇ ^*格子のボロノイセルは1 ₃₂多面体であり、ボロノイ分割は1 33ハニカムである。^[3] E ₇ ^*格子は、コクセター図の各長枝から1つずつ、 E _{7格子の頂点を2つコピーして構成され、4つのA 7} ^*格子_{（A 7 4}^とも呼ばれる）の和集合として構成することができる。

∪＝∪∪∪= の双対。

関連する多面体とハニカム

1 _{33 は、}コクセターによって1 _3k級数として表された、一様多面体とハニカムの次元級数の4番目の級数です。最後は、非コンパクトな双曲型ハニカムである 1 ₃₄です。

1 _3k次元図形

空間	有限				ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8	9
コクセター グループ	A 3 A 1	A5​	D6​	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
コクセター 図
対称	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
注文	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	1 3,-1	1 30	1 31	1 32	133	134

修正1₃₃ハニカム

整流1 33ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一なテッセレーション
シュレーフリ記号	{3 3,3,1 }
コクセターシンボル	0 331
コクセター・ディンキン図	または
7面タイプ	三重整流 7 単体 整流 1_32
6面タイプ	6 単体の双平行化 6 立方体の 双平行化 1_22
5面タイプ	整流5単体 双整流5単体 双整流5正複合体
4面タイプ	5セル 整流5セル 24セル
細胞の種類	{3,3} {3,4}
顔のタイプ	{3}
頂点図形	{}×{3,3}×{3,3}
コクセターグループ	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$、 [[3,3 3,3 ]]
プロパティ	頂点推移的、ファセット推移的

修正された1 ₃₃または0 ₃₃₁、コクセター図多面性があるそして、頂点図形 。

参照

• 8次元多面体
• 3 ₃₁ハニカム

注記

1. NW Johnson:幾何学と変換、(2018) 12.4: ユークリッド・コクセター群、p.294
2. 「ラティスE7」。
3. E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin

参考文献

• HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• クリッツィング、リチャード。 「7D ヘプタコム o3o3o3o3o3o3o *d3x - linoh」。
• クリッツィング、リチャード。 「7D ヘプタコム o3o3o3x3o3o3o *d3o - rolinoh」。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	133 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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