21（数字）

Natural number

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枢機卿	21
序数	21日 （二十一）
因数分解	3 × 7
約数	1、3、7、21
ギリシャ数字	カイ
ローマ数字	XXI、xxi
バイナリ	10101 2
三元法	210 3
セナリー	33 6
八進数	25 8
12進数	19 12
16進数	15 16

21（とうじ いち） は20 の次で22の前の自然数である。

現在の世紀は、グレゴリオ暦では西暦21 世紀です。

数学

21は5番目に異なる半素数であり、^[1]がそれより大きい素数である形式の2番目の半素数である。[ 2 ^]これは4進数の繰り返し数字である(111 ₄ )。 ${\displaystyle 3\times q}$ ${\displaystyle q}$

プロパティ

21 は真約数が1、3、7である双素数であるため、合成数を 1 つだけ含む因数列 (21, 11 , 1 , 0 ) 内の素因数和は11です。21 は連続する離散半素数の 2 番目のクラスター(21, 22 ) の最初のメンバーであり、次のクラスターは ( 33 , 34 , 35 ) です。2 桁の素数は 21 個あります。100から200の間には合計 21 個の素数があります。

21は半素数であり、その素因数は両方ともガウス素数であるため、最初のブルーム整数である。^[3]

21は6番目の三角数であるが、^[4]最初の5つの正の整数の約数の合計でもある。

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&+2+3+4+5+6=21\\1&+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)=21\\\end{aligned}}}$$

21は、最初の非自明な八角数でもある。^[5]これは5番目のモツキン数であり、^[6] 17番目のパドヴァン数（9、12、16が前に付き、最初の2つの和である）でもある。^[7]

10 進法では、2 桁の素数の数は 21 個です (21 が 14 番目のハーシャッド数である基数)。^{[8] [9]これは、数字 ( 2 , 1 ) がフィボナッチ数であり、数字の合計も}フィボナッチ数( 3 ) である、10 進法における最小の非自明なフィボナッチ数の例です ( 21は、数列8と13の前の項の和として 8 番目の要素です) 。 ^[10]これはまた、の任意の正の整数に対して、と の少なくとも 1 つが終端小数となる、 10進法における最大の正の整数でもあります。以下の証明を参照してください。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=n}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$

証拠

およびと互いに素な任意の について、およびの 1 つのみがおよびを因数として持つときに上記の条件が成り立ちます( 10 を底とする の表現の場合)。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 5}$ が と のみを因数として持ち、と互いに素であるより小さい数の数量を表すとすると、直ちに が得られます。 ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)}$ 十分に大きい場合、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(n)\sim {\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}={\frac {\ln ^{2}(n)}{2\ln(2)\ln(5)}}.}$ ただし、が無限大に近づくと、は十分に大きい に対しては成立しなくなります。 ${\displaystyle \varphi (n)\sim {\frac {n}{e^{\gamma }\;\ln \ln n}}}$ ${\displaystyle A(n)=o(\varphi (n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)}$ ${\displaystyle n}$ 実際、すべての に対して、 ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle A(n)<1+\log _{2}(n)+{\frac {3\log _{5}(n)}{2}}+{\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}{\text{ }}}$そして ${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}.}$ したがって、の場合(実際には の場合)は成立しません。 ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)}$ ${\displaystyle n>273}$ ${\displaystyle n>33}$ いくつかの数字を調べて、この性質を持つ数字の完全な列が ${\displaystyle \{2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15,21\}.}$

21は2の累乗 に近くない最小の自然数であり、その近さの範囲は ${\displaystyle (2^{n})}$ ${\displaystyle \pm {n}.}$

正方形を正方形にする

正方形を正方形にするために必要な最小の正方形の数は（異なる辺の長さを使用） 21 です。

21は、正方形を平方するために必要な、異なる大きさの正方形の最小の数である。^[11]

これらの正方形の辺の長さは、辺の長さの正方形を除いたときに合計が427になる。^[a]この合計は、クラス数 2 の二次体上の最大の平方自由整数を表し、クラス 1 のそのような最大の ( Heegner ) 数は163である。^[12] 427 という数は、 3 番目の完全数で31 番目の三角数( 496 )と等価な約数の和を保持する最初の数でもある。 ^{[13] [14] [15]また、}メルテンス関数で返される 50 番目の数でもある。^[16] ${\displaystyle \{2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50\}}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 0}$

Zの二次行列

21番目の素数73は、すべての素数を代表するバーガヴァの17-整数の2次行列 の最大要素であるが、^[17] ${\displaystyle \Phi _{s}(P)}$ $${\displaystyle \Phi _{s}(P)=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,67,\mathbf {73} \},}$$

21番目の合成数33は、同数二次7整数行列の最大要素である^[18] $${\displaystyle \Phi _{s}(2\mathbb {Z} _{\geq 0}+1)=\{1,3,5,7,11,15,\mathbf {33} \}}$$

すべての奇数を代表する。 [ ^{19] [b]}

21歳

• 13カ国では21歳が成人年齢です。「成人」も参照してください。
• 8 か国では、タバコ製品を購入できる最低年齢は 21 歳です。
• 17 か国では、飲酒年齢は 21 歳です。
• 9か国では投票年齢となっています。
• 米国の場合：
  • ほとんどの州では、ギャンブルをしたりカジノに入場したりできる最低年齢は 21 歳です(通常アルコールが提供されるため)。
  • 連邦法では、拳銃または拳銃弾を購入できる最低年齢は 21 歳です。
  • 一部の州では、教習生を監督する人が一定期間、運転免許証を保有していることを条件に、教習生に同伴できる最低年齢は21歳です。参照：運転免許取得最低年齢一覧。

スポーツでは

• NASCARでは、ウッド・ブラザーズ・レーシングとフォードが数十年にわたり21番車を使用しています。チームはNASCARカップシリーズで99勝（うち21勝は過半数）、デイトナ500で5勝を挙げています。

他の分野では

チェコ共和国のズリーンにある「21」と呼ばれる建物。

建物の入り口の詳細。

21は:

• 1ギニーに含まれるシリングの数。
• 王族や国の指導者を称える21発の礼砲の発射回数。
• プロファイル 21 (イスラエルでは、兵役免除を認める軍事プロファイル指定)に関連付けられます。
• 21やブラックジャックのようなカードゲームにおいて重要な数字。

注記

1. 辺の長さが 7 のこの正方形は、辺の長さが 9 の「中央の正方形」と、辺の長さが 2 の最小の正方形の両方に隣接しています。
2. 一方、すべての数を表す整数二次行列の最大の要素は15であり、33の約数和は15であり、 16に次いでこの和を持つ2番目の数である（A001065）。15の定理と290の定理も参照のこと。この数列において、すべての要素の和は $${\displaystyle \Phi _{s}(\mathbb {Z} _{\geq 0})=\{1,2,3,5,6,7,10,14,\mathbf {15} \}}$$ ${\displaystyle 63=3\times 21.}$

参考文献

1. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA001358」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
2. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA001748」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
3. 「Sloane's A016105 : Blum integers」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年5月31日閲覧。
4. 「Sloane's A000217 : 三角数」。オンライン整数列百科事典。OEIS Foundation 。2016年5月31日閲覧。
5. 「Sloane's A000567 : 八角形数」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年5月31日閲覧。
6. 「Sloane's A001006 : Motzkin数」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年5月31日閲覧。
7. 「Sloane's A000931 : Padovan sequence」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年5月31日閲覧。
8. 「Sloane's A005349 : Niven (or Harshad) 数」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年5月31日閲覧。
9. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A006879 (n桁の素数の数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
10. 「Sloane's A000045 : フィボナッチ数列」。オンライン整数列百科事典。OEIS財団。2016年5月31日閲覧。
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12. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A005847（クラス数2の虚数二次体（有限数列））」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団. 2024年3月19日閲覧。
13. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A000203 (nの約数の和。sigma_1(n)とも呼ばれる。)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2024年3月19日閲覧。
14. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A000396 (完全数 k: k は k の真約数の和に等しい)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2024年3月19日閲覧。
15. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A000217 (三角数: a(n) binomial(n+1,2))」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2024年3月19日閲覧。
16. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A028442（メルテンス関数M(k) (A002321)がゼロとなる数k）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団. 2024年3月19日閲覧。
17. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A154363（Bhargavaの素数普遍性基準定理による数）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団. 2023年10月13日閲覧。
18. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A116582 (Bhargavaの33定理による数)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2023年10月9日閲覧。
19. コーエン、アンリ (2007). 「ハッセ・ミンコフスキー定理の帰結」. 数論第1巻：ツールとディオファントス方程式.大学院数学テキスト. 第239巻（第1版）.シュプリンガー. pp.  312– 314. doi :10.1007/978-0-387-49923-9. ISBN 978-0-387-49922-2。OCLC  493636622。Zbl 1119.11001  。

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