双極定理

Theorem in convex analysis

数学において、双極定理（そうきょうていりょう、英: bipolar theorem）は、関数解析学における定理であり、集合の双極（つまり、極の極）を特徴付ける。凸解析学において、双極定理は、錐がその双極に等しいための必要十分条件を指す。双極定理は、フェンシェル・モローの定理の特殊なケースと見なすことができる。^{[1] : 76–77}

予選

が連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）であるとし、すべてのに対してとすると、で表される集合の 凸包は、を含む最小の凸集合である。集合の凸 均衡包は、を含む最小の凸均衡集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

部分集合の極は次のように定義されます。 一方、部分集合の前極は次のように定義されます。部分集合の双極は、しばしば次 のように表されます。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle B\subseteq X^{\prime }}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ $${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$

関数解析におけるステートメント

を 上の弱い位相(つまり、すべての線形関数を連続にする上の最も弱い TVS 位相) と表記します。 ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

双極定理：^[2]部分集合の双極定理は、 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle A.}$

凸解析におけるステートメント

双極定理: ^{[1] : 54  [3]}ある線形空間内の空でない任意の円錐に対して、双極集合は次のように与えられる: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$

$${\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).}$$

特殊なケース

部分集合が空でない閉凸錐である場合、かつその場合のみである。ここで は集合の正の双対錐を表す^{[3] [4] 。}またはより一般的には、が空でない凸錐である場合、双極錐は次のように与えられる。 ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}$ ${\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}$$

との関係フェンシェル・モローの定理

を円錐の指示関数 とすると 、凸共役は、 のサポート関数 であり、 したがって、次の場合のみである^{[1] ：54  [4]} $${\displaystyle f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }$$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).}$ ${\displaystyle C=C^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle f=f^{**}.}$

参照

• 双対システム – ベクトル空間の双対
• フェンシェル・モローの定理 - 凸解析における数学的定理 − 双極定理の一般化。
• 極集合 – 双対の特定の点によって囲まれるすべての点の部分集合（双対の場合）

参考文献

1. Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006).凸解析と非線形最適化：理論と例（第2版）. Springer. ISBN 9780387295701。
2. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、225–273頁。
3. Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). 凸最適化(pdf) . ケンブリッジ大学出版局. pp.  51– 53. ISBN 9780521833783. 2011年10月15日閲覧。
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970].凸解析. プリンストン大学出版局, ニュージャージー州, プリンストン, pp.  121– 125. ISBN 9780691015866。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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