正八角形タイリング

正八角形タイリング
双曲面のポアンカレ円板モデル
型	双曲的一様タイリング
頂点配置	(4.8) ²
シュレーフリ記号	r{8,4} またはrr{8,8} rr(4,4,4) t _0,1,2,3 (∞,4,∞,4) ${\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}$
ウィトフ記号	2 \| 8 4
コクセター図	またはまたは
対称群	[8,4], (842) [8,8], (882) [(4,4,4)], (444) [(∞,4,∞,4)], (4242)
双対	8-4次準正菱形タイリング
性質	頂点推移的、辺推移的

幾何学において、正八角形タイリングは双曲面の一様タイリングです。

構成

このタイリングの一様構成は2通りあり、そのうち3通りは[8,4]または(*842)オービフォールド対称性から鏡像を除去することによって構成されます。2次と4次の点[8,4,1 ⁺ ]の間の鏡像を除去すると、[8,8]、(*882)になります。2次と8次の点[1 ⁺ ,8,4]の間の鏡像を除去すると、[(4,4,4)]、(*444)になります。両方の鏡像[1 ⁺ ,8,4,1 ⁺ ]を除去すると、長方形の基本領域[(∞,4,∞,4)]、(*4242)が残ります。

4.8.4.8の4つの一様構成
名称	正八角形タイリング	菱形八角形タイリング
画像
対称性	[8,4] (*842)	[8,8] = [8,4,1 ⁺ ] (*882) ＝	[(4,4,4)] = [1 ⁺ ,8,4] (*444) ＝	[(∞,4,∞,4)] = [1 ⁺ ,8,4,1 ⁺ ] (*4242) ＝または
シュレーフリ	r{8,4}	rr {8,8} =r{8,4} ^1/2	r(4,4,4) =r{4,8} ^1/2	t _0,1,2,3 (∞,4,∞,4) = r _{^8,4 } ^1/4
コクセター		＝	＝	＝または

対称性

双対タイリングは面配置V4.8.4.8を持ち、ここに示す四辺形万華鏡、オービフォールド（*4242）の基本領域を表します。各菱形の中心に2回の回転点を追加すると、（2*42）オービフォールドが定義されます。

関連する多面体とタイリング

準正則タイリングのn 42対称変異：(4.* n ) ² v t e
対称性 *4 n 2 [n,4]	球面	ユークリッド	コンパクト双曲面				パラコンパクト	非コンパクト
対称性 *4 n 2 [n,4]	*342 [3,4]	* 442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[ n i,4]
図形
構成	(4.3) ²	(4.4) ²	(4.5) ²	(4.6) ²	(4.7) 2	(4.8)2	(4.∞)2	(4. n i) 2

準正多面体とタイリングの次元族: (8. n ) ² v t e
Symmetry *8n2 [n,8]	Hyperbolic...						Paracompact	Noncompact
Symmetry *8n2 [n,8]	*832 [3,8]	*842 [4,8]	*852 [5,8]	*862 [6,8]	*872 [7,8]	*882 [8,8]...	*∞82 [∞,8]	[iπ/λ,8]
Coxeter
Quasiregular figures configuration	3.8.3.8	4.8.4.8	8.5.8.5	8.6.8.6	8.7.8.7	8.8.8.8	8.∞.8.∞	8.∞.8.∞

Uniform octagonal/square tilings v t e
[8,4], (842) (with [8,8] (882), [(4,4,4)] (444) , [∞,4,∞] (4222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,4,∞,4)] (*4242) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= =	=

{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Uniform duals


V8⁴	V4.16.16	V(4.8)²	V8.8.8	V4⁸	V4.4.4.8	V4.8.16
Alternations
[1⁺,8,4] (*444)	[8⁺,4] (8*2)	[8,1⁺,4] (*4222)	[8,4⁺] (4*4)	[8,4,1⁺] (*882)	[(8,4,2⁺)] (2*42)	[8,4]⁺ (842)
=	=	=	=	=	=

h{8,4}	s{8,4}	hr{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Alternation duals


V(4.4)⁴	V3.(3.8)²	V(4.4.4)²	V(3.4)³	V8⁸	V4.4⁴	V3.3.4.3.8

Uniform octaoctagonal tilings v t e
Symmetry: [8,8], (*882)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{8,8}	t{8,8}	r{8,8}	2t{8,8}=t{8,8}	2r{8,8}={8,8}	rr{8,8}	tr{8,8}
Uniform duals


V8⁸	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V8⁸	V4.8.4.8	V4.16.16
Alternations
[1⁺,8,8] (*884)	[8⁺,8] (8*4)	[8,1⁺,8] (*4242)	[8,8⁺] (8*4)	[8,8,1⁺] (*884)	[(8,8,2⁺)] (2*44)	[8,8]⁺ (882)
=		=		=	= =	= =

h{8,8}	s{8,8}	hr{8,8}	s{8,8}	h{8,8}	hrr{8,8}	sr{8,8}
Alternation duals


V(4.8)⁸	V3.4.3.8.3.8	V(4.4)⁴	V3.4.3.8.3.8	V(4.8)⁸	V4⁶	V3.3.8.3.8

Uniform (4,4,4) tilings v t e
Symmetry: [(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]⁺ (444)	[(1 ⁺ ,4,4,4)] (*4242)	[(4 ⁺ ,4,4)] (4*22)


t ₀ (4,4,4) h{8,4}	t 0,1(4,4,4) h ₂ {8,4}	t ₁ (4,4,4) {4,8} ^1/2	t 1,2(4,4,4) h ₂ { 8,4}	t ₂ (4,4,4) h{8,4}	_{t 0,2 (} 4,4,4) r { 4,8} ^1/2	t _0,1,2 (4,4,4) ^t {4,8} 1/2	_s₍4,4,4) s{4,8} 1/2	h(4,4,4) h{ 4,8 } ^1/2	hr(4,4,4) hr{4,8} ^1/2
一様双対

V(4.4) ⁴	V4.8.4.8	V(4.4) ⁴	V4.8.4.8	V(4.4) ⁴	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V8 ⁸	(4,4) ³

参照

参考文献

ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス著、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章双曲的アルキメデスのモザイク）
「第10章双曲的空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 LCCN 99035678

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「双曲型タイリング」MathWorld
ワイスタイン、エリック・W.「ポアンカレ双曲型円板」MathWorld
双曲的および球面的タイリングギャラリー
KaleidoTile 3：球面、平面、双曲面タイリングを作成するための教育用ソフトウェア
双曲面平面テッセレーション、ドン・ハッチ