コクセター・ディンキン図

Pictorial representation of symmetry

基本有限コクセター群のコクセター・ディンキン図

基本アフィンコクセター群のコクセター・ディンキン図

幾何学において、コクセター・ディンキン図（またはコクセター図、コクセターグラフ）は、コクセター群、または群から構築された均一多面体や均一タイリングを表す、数値ラベル付きのエッジ（ブランチと呼ばれる）を持つグラフです。

密接に関連するオブジェクトのクラスにディンキン図があり、これはコクセター図とは2つの点で異なります。第1に、ラベルが「4」以上の枝は有向ですが、コクセター図は無向です。第2に、ディンキン図は追加の（結晶学的な）制約を満たす必要があり、つまり、許可される枝ラベルは2、3、4、6のみです。ディンキン図はルートシステムに対応し、ルートシステムを分類するために使用され、したがって半単純リー代数です。^[1]

説明

コクセター群は、次のように表現される群である。ここで、m _i,jは、対角成分に1を持つ対称行列Mの要素となる整数である。（したがって、各生成子の位数は2である。）^[a]この行列M、すなわちコクセター行列は、コクセター群を完全に決定する。 $${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$ ${\displaystyle r_{i}}$

コクセター行列は対称行列であるため、生成元r _iに対応する頂点と、r _iとr _jに対応する頂点間の辺にm _i,jというラベルが付けられた辺を持つ、辺ラベル付きグラフの隣接行列として見ることができます。これらの図を簡略化するために、2つの変更を加えることができます。

• 2でラベル付けされた辺は省略可能であり、省略された辺は2であるとみなされます。ラベル2は、対応する2つの生成元が可換であることを示します。2は辺のラベル付けに使用できる最小の数値です。
• 3というラベルが付いたエッジはラベルなしのままにしておくことができ、ラベルのないエッジは3として機能することを意味します。

結果として得られるグラフは、検討中の Coxeter グループを記述する Coxeter-Dynkin 図です。

シュレーフリ行列

すべてのコクセター図には、対応するシュレーフリ行列（ルートヴィヒ・シュレーフリにちなんで名付けられた）Aがあり、行列要素はa _i,j = a _j,i = −2 cos( π / p _i,j )です。ここで、 p _i,jはミラーiとjの間の分岐順序です。つまり、π / p _i,jはミラーiとj の間の二面角です。コサイン行列であるAは、グラミアン行列とも呼ばれます。コクセター群のシュレーフリ行列はすべて、ルートベクトルが正規化されているため対称です。A は、類似しているが有向グラフであるディンキン図で使用されるカルタン行列と密接な関係があります。ディンキン図では、 p = 2、3、4、6という限られたケースでのみ使用され、これらのケースは一般には対称ではありません。

シュレーフリ行列の行列式はシュレーフリ行列式と呼ばれる。^[要出典]シュレーフリ行列式とその符号は、群が有限（正）、アフィン（ゼロ）、または不定（負）であるかを決定する。^{[2]この規則は}シュレーフリの基準と呼ばれる。^{[3] [検証失敗]}

シュレーフリ行列の固有値は、コクセター群が有限型（すべて正）、アフィン型（すべて非負、少なくとも1つは0）、または不定型（それ以外）のいずれであるかを決定します。不定型は、例えば双曲型コクセター群やその他のコクセター群など、さらに細分化されることがあります。しかし、双曲型コクセター群には、同値ではない複数の定義があります。ここでは以下の定義を使用します。

• 連結図を持つ Coxeter 群は、有限型でもアフィン型でもない場合に双曲型ですが、すべての適切な連結部分図は有限型またはアフィン型です。
• 双曲コクセター群は、その部分群がすべて有限（つまり、正の行列式を持つ）である場合はコンパクトであり、その部分群がすべて有限またはアフィン（つまり、非負の行列式を持つ）である場合はパラコンパクトです。

有限群とアフィン群はそれぞれ楕円群と放物群とも呼ばれます。双曲群は、1950年にコンパクト双曲群を列挙したF. LannérにちなんでLannérとも呼ばれ、^[4]パラコンパクト群はKoszul（または準Lannér）とも呼ばれます。

ランク2 コクセターグループ

階数2のコクセター群、すなわち2つの異なる鏡像群の型は、シュレーフリ行列の行列式によって完全に決定される。この行列式は、固有値の積である有限型（正の行列式）、アフィン型（零の行列式）、または双曲型（負の行列式）のいずれかである。コクセターは、ノード-ブランチ図の代わりに、分岐順序の列を列挙する等価な括弧記法を用いる。有理解[ p / q ], gcd ( p , q ) = 1となるような、重なり合う基本領域も存在します。例えば、3/2、4/3、5/2、5/3、5/4、6/ 5などです。

タイプ	有限					アフィン	双曲線
幾何学					...
コクセター図 括弧表記	[ ]	[2]	[3]	[4]	[ p ]	[∞]	[∞]	[iπ/ λ ]
注文	2	4	6	8	2ページ	∞
ミラーラインはコクセター図のノードに対応する色で表示されます。 基本ドメインは交互に色分けされます。

ランク2コクセター群図
注文 p	グループ	コクセター図		シュレーフリ行列
				${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	行列式 ${\displaystyle (4-a_{21}a_{12})}$
有限（行列式 > 0）
2	I 2 (2) = A 1 ×A 1		[2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4
3	私2 (3) = A 2		[3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3
3/2			[3/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
4	I 2 (4) = B 2		[4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2
4/3			[4/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
5	I 2 (5) = H 2		[5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 1.38196601125
5/4			[5/4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$
5/2			[5/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 3.61803398875
5/3			[5/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
6	I 2 (6) = G 2		[6]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1
6/5			[6/5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
8	私2 (8)		[8]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$ ≈ 0.58578643763
10	私2 (10)		[10]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$ ≈ 0.38196601125
12	私2 (12)		[12]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$ ≈ 0.26794919243
p	私2 ( p )		[ p ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 4\sin ^{2}(\pi /p)}$
アフィン（行列式 = 0）
∞	私2 (∞) = = ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$		[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
双曲線型（行列式≤0）
∞			[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
∞			[iπ/ λ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cosh(2\lambda )\\-2\cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle -4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0}$

幾何学的視覚化

コクセター・ディンキン図は、鏡の基本領域を図式的に記述したものと見ることができます。鏡は、与えられた次元の球面空間、ユークリッド空間、または双曲空間内の超平面を表します。（2次元空間では鏡は直線ですが、3次元空間では鏡は平面です。）

これらの視覚化は、2次元および3次元ユークリッド群、ならびに2次元球面群の基本領域を示しています。それぞれについて、超平面鏡を特定し、それらの連結性をラベル付けすることで、コクセター図を導くことができます。ただし、 90度二面角は無視します（位数2、下記脚注[a]を参照）。

ユークリッド平面上の Coxeter 群とそれと同等の図。 ここで、ドメイン頂点はグラフ枝1、2、 …のようにラベル付けされ、反射順序（接続性）によって色分けされています。反射はグラフノードR1、R2、 …のようにラベル付けされています。90度の反射は、一緒になって新しい反射を生成しないという意味で非アクティブです。[b]したがって、図上ではそれらは枝によって互いに接続されていません。平行なミラーは、 ∞ラベルの枝によって互いに接続されています。 プリズマティック群×の正方形は、三角形をそのR2辺* の周りに2 倍したものとして示されますが、三角形をそのR2辺*の周りに2 倍したものから長方形領域として作成することもできます。三角形は、三角形をそのR3辺* の周りに2 倍したものです。*(この辺は、それ自身の周りに 2 倍すると消えます) ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$
双曲面上の多くのコクセター群は、ユークリッドの場合から一連の双曲解として拡張できます。
3次元空間におけるコクセター群と図。鏡（三角形の面）は、反対側の頂点（0, ..., 3）でラベル付けされています。枝は反射順序によって色分けされています。立方体の1/48を占めます。立方体の1/24を占めます。立方体の1/12を占めます。 ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	同値な図を持つ球面上のコクセター群。1つの基本領域が黄色で囲まれている。領域頂点（およびグラフ枝）は鏡映順序によって色分けされている。

一様多面体への応用

一様多面体を構築する際、生成点が鏡像から外れている場合、そのノードはリングによってアクティブとマークされ、生成点とその鏡像の間に新しい辺が作成されます。リングのないノードは、新しい点を生成しない非アクティブな鏡像を表します。ノードのないリングはホールと呼ばれます。

2つの直交鏡を使って正方形を生成できる。ここでは赤い生成点と、鏡を挟んだ3つの仮想コピーが示されています。この直交ケースでは、内部を生成するために生成点は両方の鏡から外れている必要があります。リングのマークアップは、アクティブリングの生成点はすべての鏡から等距離にあると想定していますが、長方形は非一様解を表すこともできます。

コクセター・ディンキン図は、ほぼすべての種類の一様多面体と一様モザイクを明示的に列挙できます。純粋な鏡映対称性を持つすべての一様多面体（いくつかの特殊なケースを除いてすべて純粋な鏡映対称性を持つ）は、マークアップの順列を含むコクセター・ディンキン図で表すことができます。各一様多面体は、このようなミラーと単一の生成点を使用して生成できます。鏡像は反射として新しい点を作成し、次に多面体のエッジを点と鏡像点の間で定義できます。面は、最終的に元の生成元に巻き付くエッジを繰り返し反射することによって生成されます。最終的な形状や高次元のファセットも同様に、面が反射されて領域を囲むことで作成されます。

生成頂点を指定するために、1つ以上のノードにリングが付けられます。これは、その頂点がリング状のノードによって表されるミラー上にないことを意味します。（2つ以上のミラーがマークされている場合、頂点はそれらから等距離にあります。）ミラーは、その上にない点に対してのみアクティブ（反射を作成）になります。ダイアグラムは、多面体を表すために少なくとも1つのアクティブノードを必要とします。非連結ダイアグラム（次数2の枝で区切られたサブグループ、または直交ミラー）では、各サブグラフに少なくとも1つのアクティブノードが必要です。

シュレーフリ記号{ p , q , r , ...}で表されるすべての正多面体の基本領域は、 p 、 q、r、 ... でラベル付けされ、最初のノードが環状になったノードとブランチのラインの関連するコクセター・ディンキン図を持つn 個のミラーのセットによって表すことができます。

一つの環を持つ一様多面体は、基本領域単体の頂点にある生成点に対応する。二つの環は単体の辺に対応し、自由度を持ち、辺の長さが等しい場合、中点のみが一様解となる。一般に、k環の生成点は単体の(k-1)面上にあり、すべての節点が環で囲まれている場合、生成点は単体の内部にある。

鏡映対称性を持たない一様多面体の特殊なケースは、環状ノードの中心点を取り除いた二次的なマークアップ（穴と呼ばれる）によって表現されます。これらの形状は鏡映対称性を持つ多面体の交代であり、つまり1つおきの頂点が削除されたことを意味します。結果として得られる多面体は、元のコクセター群の部分対称性を持ちます。切り詰められた交代はスナブと呼ばれます。

• 単一のノードは単一のミラーを表します。これはグループA ₁と呼ばれます。リング状に配置した場合、ミラーに垂直な線分が作成され、{}で表されます。
• 2つの未接続のノードは、2つの直交する鏡面を表します。両方のノードがリング状になっている場合は長方形を、点が両方の鏡面から等距離にある場合は正方形を作成できます。
• n次の枝で結ばれた2つの節点は、点が一方の鏡面上にある場合はn角形を形成し、点が両方の鏡面上にない場合は2n角形を形成します。これはI 1 ₍ n)群を形成します。
• 2つの平行な鏡は無限多角形I ₁ (∞)群（Ĩ ₁とも呼ばれる）を表すことができます。
• 三角形の3つの鏡は、伝統的な万華鏡で見られる像を形成し、三角形で結ばれた3つのノードで表すことができます。繰り返しの例には、(3 3 3)、(2 4 4)、(2 3 6) のような枝が描かれますが、最後の2つは（枝を無視して）線で描くことができます。これにより、均一なタイリングが生成されます。
• 3 つの鏡で均一な多面体を生成できます。有理数を含めると、シュワルツの三角形の集合が得られます。
• 1 つの鏡が他の 2 つの鏡に垂直である 3 つの鏡で均一なプリズムを形成できます。

一般三角形には、基本領域内の7つの位相的生成子位置に基づく、7つの反射一様構成があります。すべてのアクティブミラーは辺を生成しますが、2つのアクティブミラーは領域側に生成子を持ち、3つのアクティブミラーは領域内に生成子を持ちます。結果として得られる多面体またはタイリングの辺の長さが等しい唯一の位置を求めるために、1つまたは2つの自由度を解くことができます。

八面体対称性、基本領域三角形（4 3 2）上の7つの生成子の例、交代として8番目のスナブ生成子を持つ

一様多面体の双対は、環状ノードの代わりに垂直の斜線で示され、スナブの穴ノードには斜線で示されます。例えば、長方形（2つのアクティブな直交ミラーとして）を表し、は、その双対多角形である菱形を表します。

多面体とタイリングの例

たとえば、B ₃ Coxeter グループには次の図があります。これは八面体対称性とも呼ばれます。

この対称群から構築できる凸一様多面体は7個、その交代部分対称群から構築できる凸一様多面体は3個あり、それぞれに一意にマークアップされたコクセター・ディンキン図が存在します。ウィトフ記号は、階数3のグラフに対するコクセター図の特殊なケースを表し、階数2の枝を抑制せずに、3つの枝の順序すべてに名前を付けます。ウィトフ記号はスナブ形式を扱うことができますが、すべてのノードが環状でない一般的な交代は扱えません。

均一な八面体多面体
対称性：[4,3]、(*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr{4,3} s 2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		＝	＝	＝				＝ または	＝ または	＝
均一多面体の双対
V4 3	バージョン3.8 2	V(3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	バージョン4.6.8	V3 4.4​	V3 3	V3.6 2	V3 5

同じ構成は、均一なプリズムのような分離した（直交する）コクセター群にも行うことができ、この [6]×[] または [6,2] 族のように、球面上の二面体と細面体のタイリングとしてより明確に見ることができます。

均一な六角形二面球面多面体
対称性：[6,2]、(*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
デュアルからユニフォームへ
V6 2	V12 2	V6 2	バージョン4.4.6	V2 6	バージョン4.4.6	バージョン4.4.12	バージョン3.3.3.6	バージョン3.3.3.3

比較すると、[6,3]、族は、ユークリッド平面の7つの均一なタイリングの平行な集合と、それらの双対タイリングを生成します。さらに、3つの交代バージョンと、いくつかの半対称バージョンがあります。

均一な六角形/三角形のタイル v t e
対称性：[6,3]、(*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
6 3	3.12 2	（3.6）2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
ユニフォームデュアル
V6 3	V3.12 2	V(3.6) 2	V6 3	V3 6	バージョン3.4.6.4	バージョン4.6.12	V3 4.6​	V3 6

双曲面[7,3]では、族は、一様タイリングの並列集合と、それらの双対タイリングを生成します。すべての枝の順序が奇数であるため、交代（スナブ）は1つだけです。双曲面における一様タイリングには、他にも多くの双曲型一様タイリング族が見られます。

均一な七角形/三角形のタイル v t e
対称性: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
ユニフォームデュアル
V7 3	バージョン3.14.14	バージョン3.7.3.7	バージョン6.6.7	V3 7	バージョン3.4.7.4	バージョン4.6.14	V3.3.3.3.7

非常に拡張されたコクセター図

一つの用法としては、直接的なディンキン図の用法から非常に拡張された定義があり、アフィン群を拡張群、双曲群を過剰拡張群、そして3番目のノードを非常に拡張された単純群とみなします。これらの拡張は通常、拡張ノードの数を表す1、2、または3の指数記号で示されます。この拡張系列は、グラフ内の同じ位置からノードを順番に削除することで後方に拡張できますが、分岐ノードを削除した時点で処理は停止します。E ₈拡張族は、 E ₃から後方に拡張し、E ₁₁まで前方に拡張する最もよく見られる例です。

拡張過程は、有限からアフィン、双曲、ローレンツへと進行するコクセターグラフの限られた系列を定義できる。カルタン行列の行列式は、系列が有限（正）からアフィン（ゼロ）、双曲（負）へと変化する場所を決定し、少なくとも1つの双曲部分群を含むローレンツ群で終わる。^[5]非結晶学的H _{n群は、H 4}をコンパクト双曲群として拡張し、ローレンツ群へと過剰拡張した拡張系列を形成する。

シュレーフリ行列のランクによる行列式は以下の通りである: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ （すべてのnに対して有限）
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 （すべてのnに対して有限）
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (すべてのnに対して有限)
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (すべてのnに対して有限)

例外級数におけるシュレーフリ行列の行列式は次のとおりです。

• det( E _n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n（E ₃ (= A ₂ A ₁ )、E ₄ (= A ₄ )、E ₅ (= D ₅ )、E _{6 、E 7}、E ₈では有限、 E ₉ ( )ではアフィン、 E ₁₀では双曲的） ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) （ n = 4から7までは有限、アフィン（ ）、n = 8では双曲的。） ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) （ n = 4から6までは有限、アフィン（ ）、n = 7では双曲的。） ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n （ F ₃ (= B ₃ )からF ₄までは有限、F ₅ ( )ではアフィン、F ₆では双曲的） ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n （ G ₂では有限、G ₃ ( )ではアフィン、 G ₄では双曲的） ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

より小さな拡張シリーズ

有限	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle B_{3}}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle H_{4}}$
ランクn	[3 [3] ,3 n −3 ]	[4,4,3 n −3 ]	G n =[6,3 n −2 ]	[3 [4] ,3 n −4 ]	[4,3 1, n −3 ]	[4,3,4,3 n −4 ]	H n =[5,3 n −2 ]
2	[ 3] A2	[ 4 ] C2	[ 6 ] G2		[2] A 1 2	[ 4 ] C2	[5] 水素2
3	[3 [3] ] ${\displaystyle A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}}$	[4,4] ${\displaystyle C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}}$	[6,3] ${\displaystyle G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}}$	[3,3]=A 3	[4,3] B 3	[4,3] C 3	[ 5,3 ] H3
4	[3 [3] ,3] ${\displaystyle A_{2}^{++}={\overline {P}}_{3}}$	[4,4,3] ${\displaystyle C_{2}^{++}={\overline {R}}_{3}}$	[6,3,3] ${\displaystyle G_{2}^{++}={\overline {V}}_{3}}$	[3 [4] ] ${\displaystyle A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}}$	[4,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}}$	[4,3,4] ${\displaystyle C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}}$	[5,3,3] H 4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3] C 2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3] ${\displaystyle A_{3}^{++}={\overline {P}}_{4}}$	[4,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{3}^{++}={\overline {S}}_{4}}$	[4,3,4,3] ${\displaystyle C_{3}^{++}={\overline {R}}_{4}}$	[5,3 3 ] H 5 = ${\displaystyle {\overline {H}}_{4}}$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4,3 3,1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det ( Mn )	3(3− n )	2(3− n )	3− n	4(4− n )	2(4− n )

中期拡張シリーズ

有限	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle B_{4}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle B_{5}}$	${\displaystyle D_{5}}$
ランクn	[3 [5] ,3 n −5 ]	[4,3,3 n −4,1 ]	[4,3,3,4,3 n −5 ]	[3 n −4,1,1,1 ]	[3,4,3 n −3 ]	[3 [6] ,3 n −6 ]	[4,3,3,3 n −5,1 ]	[3 1,1 ,3,3 n −5,1 ]
3		[4,3 −1,1 ] B 2 A 1	[4,3] B 3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[ 3,4 ] B3		[4,3,3] C 3
4	[3 3 ] A 4	[4,3,3] B 4	[4,3,3] C 4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] B 3 A 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] A 3 A 1
5	[3 [5] ] ${\displaystyle A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}}$	[4,3,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}}$	[4,3,3,4] ${\displaystyle C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}}$	[3 1,1,1,1 ] ${\displaystyle D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}}$	[3,4,3,3] ${\displaystyle F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}}$	[3 4 ] A 5	[4,3,3,3,3] B 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3] ${\displaystyle A_{4}^{++}={\overline {P}}_{5}}$	[4,3,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{4}^{++}={\overline {S}}_{5}}$	[4,3,3,4,3] ${\displaystyle C_{4}^{++}={\overline {R}}_{5}}$	[3 2,1,1,1 ] ${\displaystyle D_{4}^{++}={\overline {Q}}_{5}}$	[3,4,3 3 ] ${\displaystyle F_{4}^{++}={\overline {U}}_{5}}$	[3 [6] ] ${\displaystyle A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}}$	[4,3,3,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ] ${\displaystyle D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3] C 4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] ,3] ${\displaystyle A_{5}^{++}={\overline {P}}_{6}}$	[4,3,3,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{5}^{++}={\overline {S}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ] ${\displaystyle D_{5}^{++}={\overline {Q}}_{6}}$
8						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det ( Mn )	5(5− n )	2(5− n )		4(5− n )	5− n	6(6− n )	4(6− n )

いくつかのより高度な拡張シリーズ

有限	${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle B_{6}}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle A_{7}}$	${\displaystyle B_{7}}$	${\displaystyle D_{7}}$	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{8}}$
ランクn	[3 [7] ,3 n −7 ]	[4,3 3 ,3 n −6,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3 n −6,1 ]	[3 n −5,2,2 ]	[3 [8] ,3 n −8 ]	[4,3 4 ,3 n −7,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n −7,1 ]	[3 n −5,3,1 ]	E n =[3 n −4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1
4				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] A 3 A 1	[3 0,2,1 ] E 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] E 5 =D 5
6	[3 5 ] A 6	[4,3 4 ] B 6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] E 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] D 5 A 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] E 6 *
7	[3 [7] ] ${\displaystyle A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}}$	[4,3 3 ,3 1,1 ] ${\displaystyle B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ] ${\displaystyle D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}}$	[3 2,2,2 ] ${\displaystyle E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}}$	[3 6 ] A 7	[4,3 5 ] B 7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] E 7 *	[3 3,2,1 ] E 7 *
8	[3 [7] ,3] ${\displaystyle A_{6}^{++}={\overline {P}}_{7}}$	[4,3 3 ,3 2,1 ] ${\displaystyle B_{6}^{++}={\overline {S}}_{7}}$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ] ${\displaystyle D_{6}^{++}={\overline {Q}}_{7}}$	[3 3,2,2 ] ${\displaystyle E_{6}^{++}={\overline {T}}_{7}}$	[3 [8] ] * ${\displaystyle A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}}$	[4,3 4 ,3 1,1 ] * ${\displaystyle B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ] * ${\displaystyle D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}}$	[3 3,3,1 ] * ${\displaystyle E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}}$	[3 4,2,1 ] E 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[4,3 3 ,3 3,1 ] B 6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] E 6 +++	[3 [8] ,3] * ${\displaystyle A_{7}^{++}={\overline {P}}_{8}}$	[4,3 4 ,3 2,1 ] * ${\displaystyle B_{7}^{++}={\overline {S}}_{8}}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] * ${\displaystyle D_{7}^{++}={\overline {Q}}_{8}}$	[3 4,3,1 ] * ${\displaystyle E_{7}^{++}={\overline {T}}_{8}}$	[3 5,2,1 ] E 9 = * ${\displaystyle E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}}$
10					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4,3 4 ,3 3,1 ] B 7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 = * ${\displaystyle E_{8}^{++}={\overline {T}}_{9}}$
11									[3 7,2,1 ] E 11 =E 8 +++ *
Det ( Mn )	7(7− n )	2(7− n )	4(7− n )	3(7− n )	8(8− n )	2(8− n )	4(8− n )	2(8− n )	9− n

幾何学的な折り畳み

有限折り畳みとアフィン折り畳み^[7]

φ A  : A Γ → A Γ' (有限型の場合)
Γ	Γ'	折りたたみの説明	コクセター・ディンキン図
私2 ( h )	Γ(h)	二面体折り畳み
B n	2n​	（私、s n）
	D n+1、A 2n-1	（A 3、±ε）
F4​	E 6	（A 3、±ε）
H4​	E8​	（A 4、±ε）
H3​	D6​
H2​	A4​
G2​	A5​	（A 5、±ε）
	D4​	（D 4、±ε）
φ:アフィン型の場合は A Γ + → A Γ' +
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{kn-1}}$	局所的に些細な
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{2n+1}}$	（私、s n）
	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}}$、 ${\displaystyle {\tilde {D}}_{2n}}$	（A 3、±ε）
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n+1}}$、 ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2n}}$	（A 3、±ε）
	${\displaystyle {\tilde {C}}_{2n+1}}$	（私、s n）
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n+1}}$	(I,s n ) と (I,s 0 )
	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}}$	(A 3 ,ε) & (I,s 0 )
	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}}$	(A 3 ,ε) と (A 3 ,ε')
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+2}}$	(A 3 ,−ε) と (A 3 ,−ε')
${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$	（I,s 1）
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$、 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	（A 3、±ε）
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{6}}$、 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	（A 5、±ε）
	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$、 ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	（B 3、±ε）
	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$、 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	（D 4、±ε）

対称性（以下の条件を1つ満たす）を持つ（単純格子状の）コクセター・ディンキン図（有限、アフィン、または双曲型）は、その対称性で割ることができ、一般的に多重格子状の新しい図が得られる。このプロセスは「折り畳み」と呼ばれる。^{[8] [9]}

例えば、D _{4からG 2}への折り畳みにおいて、G ₂の辺は3つの外側のノード（価数1）のクラスから中心ノード（価数3）のクラスへと向かう。そして、E _{8 はH 4}の2つのコピーに折り畳まれ、2番目のコピーはτでスケーリングされる。^[10]

幾何学的には、これは一様多面体とモザイク状の直交射影に対応する。特に、任意の有限単純格子コクセター・ディンキン図はI ₂ ( h )に折り畳むことができる。ここでhはコクセター数であり、これは幾何学的にはコクセター平面への射影に対応する。

いくつかの双曲折り畳み

複雑な反射

コクセター・ディンキン図は複素空間C ⁿに拡張され、ここでノードは周期が2より大きいユニタリ反射である。ノードはインデックスでラベル付けされ、省略されている場合は実反射の通常の2とみなされる。コクセターは複素群 p[q]r を図式として書く。. ^[11]

1次元正則複素多面体は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$はp個の頂点を持つ。その実表現は正多角形{ p }である。その対称性は_p []または、p次。ユニタリ演算子生成器はは反時計回りに2π / pラジアン回転し、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$辺は、単一のユニタリ鏡映を連続的に適用することで生成されます。p 頂点を持つ 1-多面体のユニタリ鏡映生成子はe 2 ^{π i / p =} cos(2 π / p ) + i sin(2 π / p )です。p = 2 の場合、生成子はe ^{π i} = −1 となり、これは実平面における点鏡映と同じです。

高次の多面体では、_p {}または2辺を持つp辺要素を表す{}または2 つの頂点間の通常の実辺を表します。

正則複素1次元多面体

複素1次元多面体、は、アルガン平面において、p = 2、3、4、5、6の正多角形として表され、頂点は黒色で示されています。p 個の頂点の重心は赤色で示されています。多角形の辺は対称性生成器の適用例の一つを表し、各頂点を反時計回りの次のコピーにマッピングします。これらの多角形の辺は多面体の辺要素ではありません。複素 1 次元多面体は辺を持たない場合があり（多くの場合、複素辺です）、頂点要素のみで構成されます。

12の既約シェパード群とその部分群のインデックス関係。[12]インデックス2の部分群は、実反射を除去することによって関係付けられます。p [ 2 q ] 2 → p [ q ] p、インデックス2。p [ 4] q → p [ q ] p、インデックスq。

p [4] 2つのサブグループ: p=2,3,4... p [4] 2 → [ p ]、インデックスp p [4] 2 → p []× p []、インデックス 2

における正複素多角形は、 _p { q } _rまたはコクセター図の形をとる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$正複素多角形の対称群はコクセター群ではなく、複素鏡映群の一種であるシェパード群_と呼ばれる。p [ q ] _rの位数はである。^[13] ${\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

ランク2のシェパードグループは次のとおりです: ₂ [ q ] ₂、_p [4] ₂、₃ [3] ₃、₃ [6] ₂、₃ [4] ₃、₄ [3] ₄、₃ [8] ₂、₄ [6] ₂、₄ [4] ₃、₃ [5] ₃、₅ [3] ₅、₃ [10] ₂、₅ [6] ₂、および₅ [4] ₃または、、、、、、、、、、、、、それぞれ 2 q、 2 p ²、 24、 48、 72、 96、 144、 192、 288、 360、 600、 1200、 1800 の順序です。

対称群_{p 1} [ q ] _{p 2は2つの生成元 R 1}、 R ₂で表される。ここで、

R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I。

qが偶数の場合、(R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2}。qが奇数の場合、(R 2 _R 1 ₎ ( ^q-1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1)/2} R ₁。qが奇数の 場合、p ₁ = p 2 _。

グループ​ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$または[1 1 1] ^pは3周期2ユニタリー反射{R ₁ , R ₂ , R ₃ }によって定義される。

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ³ = (R ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₁ ) ^p = 1。

周期pは、実数では2 重回転として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

同様のグループ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$または[1 1 1] ^(p)は3周期2ユニタリー反射{R ₁ , R ₂ , R ₃ }によって定義される。

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ³ = (R ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₂ ) ^p = 1。

参照

• コクセターグループ
• シュワルツの三角形
• グルサット四面体
• ディンキン図
• 均一多面体
  • ウィトフ記号
  • 均一な多面体
  • 均一多面体のリスト
  • 均一平面タイリングのリスト
  • 一様4次元多面体
  • 凸型均一ハニカム
  • 双曲空間における凸均一ハニカム
• ウィトホフ構成とウィトホフ記号

参考文献

1. ホール、ブライアン・C.（2003）、リー群、リー代数、表現：初等入門、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-40122-5
2. ボロヴィク, アレクサンドル; ボロヴィク, アンナ (2010).鏡と反射. シュプリンガー. pp.  118– 119.
3. Coxeter, Regular Polytopes（第3版、1973年）、ドーバー版、 ISBN 0-486-61480-8、秒。 7.7、p. 133、シュレーフリの基準
4. Lannér F.、自己同型の推移群を伴う複合体について、Madd.ルンズ大学マット。セム。 [通信]セム。数学。大学ルンド]、11 (1950)、1–71
5. ド・ビュイル、ソフィー (2006). 「M 理論における Kac-Moody 代数」。arXiv : hep-th/0608161。
6. 単純リー群のカルタン・グラム行列式、Wu, Alfred C. T、アメリカ物理学会、1982年11月
7. John Crisp , 「アルティン群間の入射写像」, Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), Postscript Archived 2005-10-16 at the Wayback Machine , pp. 13-14, and googlebook, Geometric group theory down under, p. 131
8. Zuber, Jean-Bernard (1998). 「一般化ディンキン図とルート系とその折り畳み」.位相場理論: 28–30 . arXiv : hep-th/9707046 . Bibcode :1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . 
9. Dechant, Pierre-Philippe; Boehm, Celine; Twarock, Reidun (2013). 「射影によって誘導される非結晶学的コクセター群のアフィン拡張」. Journal of Mathematical Physics . 54 (9): 093508. arXiv : 1110.5228 . Bibcode :2013JMP....54i3508D. doi :10.1063/1.4820441. S2CID  59469917.
10. デシャント、ピエール＝フィリップ (2017). 「クリフォードの観点から見たE 8 幾何学」.応用クリフォード代数の進歩. 27 : 397–421 . arXiv : 1603.04805 . doi : 10.1007/s00006-016-0675-9 .
11. コクセター著『複素正多面体』第2版（1991年）
12. コクセター著『複素正多面体』177ページ、表III
13. ユニタリ反射群、p.87

1. ${\displaystyle (R_{i}\circ R_{i})^{1}={\rm {Id}}.}$
2. ならばそうであり、 ${\displaystyle R\perp R',}$ ${\displaystyle R'\circ R={\rm {sym}}_{R\cap R'}=R\circ R',}$ ${\displaystyle R\circ R'\circ R=R\circ R\circ R'={\rm {Id}}\circ R'=R'}$ ${\displaystyle R'\circ R\circ R'=R'\circ R'\circ R={\rm {Id}}\circ R=R.}$

さらに読む

• ジェームズ・E・ハンフリーズ、「反射群とコクセター群」、ケンブリッジ高等数学研究、29（1990）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]、Googleブックス [2]
  • (論文 17) Coxeter、Coxeter-Dynkin ダイアグラムの進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築）
• コクセター著『正多面体』（1963年）、マクミラン社
  • 正多面体、第3版、（1973年）、ドーバー版、 ISBN 0-486-61480-8（第5章 万華鏡、第11.3節 グラフによる表現）
• HSM CoxeterとWOJ Moser著『離散群の生成子と関係』第4版、Springer-Verlag、ニューヨーク、1980年
• ノーマン・ジョンソン『幾何学と変換』第11章、第12章、第13章、プレプリント2011
• NW Johnson、R. Kellerhals、JG Ratcliffe、ST Tschantz、「双曲型コクセター単体の大きさ」、Transformation Groups、1999年、第4巻、第4号、pp. 329–353 [3] [4]
• Norman W. JohnsonとAsia Ivic Weiss「Quadratic Integers and Coxeter Groups」Wayback Machineで2023年3月26日にアーカイブされた PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999, pp. 1307–1336

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「コクセター・ディンキン図」。MathWorld。
• 1978 年 10 月、カナダのトロントでCoxeter と Dynkin が Coxeter ダイアグラムの歴史について議論しました。コーネル大学図書館のEugene Dynkin 数学インタビュー コレクションに所蔵されています。

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