正多面体の一覧

選択された正多面体

正多角形（2D）
凸型	星
{5}	{5/2}
正多面体（3D）
凸型	星
{5,3}	{5/2,5}
正則4次元多面体
凸型	星
{5,3,3}	{5/2,5,3}
通常の2Dテッセレーション
ユークリッド	双曲線
{4,4}	{5,4}
通常の3Dテッセレーション
ユークリッド	双曲線
{4,3,4}	{5,3,4}

この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間の正多面体を一覧表示します。

概要

この表は、正多面体の数をランク別にまとめたものです。

ランク	有限			ユークリッド		双曲線			抽象的な
						コンパクト		パラコンパクト
	凸型	星	スキュー[a] [1]	凸型	スキュー[a] [1]	凸型	星	凸型
1	1	なし	なし	なし	なし	なし	なし	なし	1
2	∞	∞	なし	1	なし	1	なし	なし	∞
3	5	4	9	3	3	∞	∞	∞	∞
4	6	10	18	1	7	4	なし	11	∞
5	3	なし	3	3	15	5	4	2	∞
6	3	なし	3	1	7	なし	なし	5	∞
7歳以上	3	なし	3	1	7	なし	なし	なし	∞

1. フルランクの多面体のみを数える。高次元では、各ランク > 1 の正則多面体がさらに多く存在する。

いかなる次元数においても、ユークリッド正規の星型モザイク模様は存在しません。

1-多面体

コクセター図は、鏡面をノードとして表現し、点が平面上にない場合はノードの周りにリングを配置します。ディオン{}、は、点pとその鏡像点p'、およびそれらの間の線分です。

階数1の多面体（1-多面体）は1つしか存在しない。これは、2つの端点によって囲まれた閉じた線分である。この1-多面体の実現はすべて正則である。これはシュレーフリ記号{} ^{[2] [3]}、または1つの環状ノードを持つコクセター図で表される。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン^[4]と呼び、シュレーフリ記号{}を与えた。

多面体としては自明であるが、多角形やその他の高次元多面体の辺として現れる。 ^[5]シュレーフリ記号{}×{p}やコクセター図のような一様プリズムの定義に用いられる。線分と正多角形の直積として。 ^[6]

2-多面体（多角形）

階数2の多面体（2次元多面体）は多角形と呼ばれます。正多角形は正二辺形で、かつ円環形です。p角形正多角形はシュレーフリ記号{p}で表されます。

多くの文献では凸多角形のみを扱っていますが、五芒星のような星型多角形も正則多角形になり得ます。星型多角形は凸多角形と同じ頂点を持ちますが、円周を複数回周回する交互接続で接続することで完成します。

凸型

シュレーフリ記号 {p} は正p角形を表します。

名前	三角形 （2単体）	正方形 （2-正方体） （2-立方体）	五角形 （2五角形 多面体）	六角形	七角形	八角形
シュレーフリ	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
対称	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D 8 , [8]
コクセター
画像
名前	九角形 （エニアゴン）	デカゴン	12角形	十二角形	十三角形	14角形
シュレーフリ	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
対称	D 9 , [9]	D 10 , [10]	D 11 , [11]	D 12 , [12]	D 13 , [13]	D 14 , [14]
ディンキン
画像
名前	五角形	16角形	17角形	八角形	十角形	イコサゴン	p角形
シュレーフリ	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ p }
対称	D 15 , [15]	D 16 , [16]	D 17、[17]	D 18、[18]	D 19、[19]	D 20 , [20]	D p , [p]
ディンキン
画像

球状

正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができます。球面やトーラスの表面など、非ユークリッド空間では非退化的に実現できます。例えば、二角形は球面状の三角錐として非退化的に実現できます。一角形{1}も球面上で、大円を通る一点として実現できます。^[7]しかし、一角形は1辺が2つの頂点ではなく1つの頂点にしか接していないため、 有効な抽象多面体ではありません。

名前	モノゴン	ディゴン
シュレーフリ記号	{1}	{2}
対称	D 1、[]	D 2 , [2]
コクセター図	または
画像

星

二次元には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正星型多面体が無数に存在します。これらは星型多面体と呼ばれ、凸正多面体と同じ頂点配置を共有します。

一般に、任意の自然数nに対して、シュレーフリ記号{ n / m }で表される正n角星が存在し、そのmはm < n /2（厳密には{ n / m } = { n /( n − m )}）かつmとnは互いに素である（したがって、辺数が素数の多角形の星形はすべて正 n 角星となる）ものとする。m と n が互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用される場合がある。

名前	五芒星	ヘプタグラム		八芒星	エニアグラム		デカグラム	... nグラム
シュレーフリ	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
対称	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D 8 , [8]	D 9 , [9],		D 10 , [10]	D p、[ p ]
コクセター
画像

最大20辺の正星型多角形

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

モノゴンやダイゴンと同様に、球面タイリングとしてのみ存在できるスターポリゴンが存在する可能性があります (例: {3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}) が、これらは詳細に研究されていません。

また、円の表面を有限回覆わない、パイアングルのような失敗した星型多角形も存在する。 ^[8]

スキューポリゴン

平面正多角形に加えて、正傾斜多角形も無数に存在します。傾斜多角形はブレンディング操作によって作成できます。

2 つの多角形PとQのブレンド ( P # Qと表記) は次のように構築できます。

1. 頂点の直積V _P × V _Qをとります。
2. エッジ( p ₀ × q ₀、p ₁ × q ₁ )を追加します。ここで、 ( p ₀、p ₁ )はPのエッジであり、( q ₀、q ₁ )はQのエッジです。
3. 結果の任意の接続コンポーネントを選択します。

あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ0σ0、ρ1σ1⟩であり、_ここでρと_σは直交部​​分空間_に配置されたPとQ_の生成ミラーです。 ^[9]ブレンド操作は可換、結合、および冪等です。

すべての正多角形は、平面多角形の一意の集合^[i]のブレンドとして表現できます。^[9] PとQに因数を共有しない場合は、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。

3つのスペース

3次元における正有限多角形は、平面多角形（2次元）と二角形（1次元）の正確な組み合わせです。これらの多角形は、プリズム（{ n / m }#{}、nは奇数）または反プリズム（{ n / m }#{}、nは偶数）に対応する頂点を持ちます。3次元空間のすべての多角形は、頂点と辺の数が偶数です。

これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れます。

4つのスペース

4次元の正有限多角形は、2つの異なる平面多角形を合成して形成される多角形です。これらの多角形の頂点はクリフォード・トーラス上にあり、クリフォード変位によって関連しています。3次元多角形とは異なり、2回転した斜多角形は奇数辺を持つ場合があります。

3次元多面体（多面体）

階数3の多面体は多面体と呼ばれます。

シュレーフリ記号 { p , q }を持つ正多面体、コクセター図は、正則な面タイプ{ p }と正則な頂点図形 { q }を持ちます。

多面体の頂点図形とは、ある頂点から1辺だけ離れた頂点を結んだ多角形です。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（平面多角形）となります。

正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$$

順列を列挙すると、5 つの凸形式、4 つの星型形式、3 つの平面タイリングが見つかります。これらの多角形{ p }と{ q }はすべて、{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に制限されます。

ユークリッド空間を超えると、規則的な双曲タイルの無限の集合が存在します。

凸型

5つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の数は頂点数で表されます。これらの多面体はすべてオイラー特性値（）が2です。 ${\displaystyle \chi }$

名前	シュレーフリ { p , q }	コクセター	画像 （ソリッド）	画像 （球体）	面 { p }	エッジ	頂点 { q }	対称	デュアル
四面体 （3単体）	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (*332)	（自己）
六面体 立方体 （3立方体）	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	ああ[ 4,3 ] (*432)	八面体
八面体 （3-正複合体）	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	ああ[ 4,3 ] (*432)	キューブ
十二面体	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	私はh [5,3] (*532)	二十面体
二十面体	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	私はh [5,3] (*532)	十二面体

球状

球面幾何学では、正多面体（球面のタイル張り）が存在します。これらは、本来は多面体として退化してしまうものです。これらは、{2,n}ホソヘドラとその双対二面体{n,2}です。コクセターはこれらのケースを「不適正な」タイル張りと呼んでいます。^[10]

最初のいくつかのケース (n は 2 から 6) を以下に示します。

ホソヘドラ

名前	シュレーフリ {2,p}	コクセター 図	画像 （球体）	面 {2} π/p	エッジ	頂点 {p}	対称	デュアル
対角細面体	{2,2}			2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	自己
三方晶系細面体	{2,3}			3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (*322)	三角二面体
正方細面体	{2,4}			4 {2} π/4	4	2 {4}	D 4h [2,4] (*422)	正方形二面体
五角形細面体	{2,5}			5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (*522)	五角形二面体
六方晶系	{2,6}			6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (*622)	六角形二面体

二面体

名前	シュレーフリ {p,2}	コクセター 図	画像 （球体）	顔 {p}	エッジ	頂点 {2}	対称	デュアル
対角二面体	{2,2}			2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	自己
三角二面体	{3,2}			2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3h [3,2] (*322)	三方晶系細面体
正方形二面体	{4,2}			2 {4}	4	4 {2} π/4	D 4h [4,2] (*422)	正方細面体
五角形二面体	{5,2}			2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5h [5,2] (*522)	五角形細面体
六角形二面体	{6,2}			2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6h [6,2] (*622)	六方晶系

任意の星型多角形{ p / q }に対して、星型二面体と細面体{ p / q , 2}と{2, p / q }も存在します。

星

正多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体（{5,3}）と正二十面体（{3,5}）の頂点配置に基づいて4つ存在します。

これらの星形は球面タイリングとして、球面を複数回重ね合わせており、その密度は3または7です。タイリング画像では、黄色の球面多角形面が1つ示されています。

名前	画像 （骨格）	画像 （ソリッド）	画像 （球体）	星型 図	シュレーフリ { p , q }と コクセター	面 { p }	エッジ	頂点 { q } verf。	χ	密度	対称	デュアル
小さな星型十二面体					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	私はh [5,3] (*532)	大十二面体
大十二面体					{5.5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	私はh [5,3] (*532)	小さな星型十二面体
大星型十二面体					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	私はh [5,3] (*532)	大二十面体
大二十面体					{3.5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	私はh [5,3] (*532)	大星型十二面体

失敗した星型多面体は無限に存在します。これらも球面タイリングの一種で、シュレーフリ記号に星型多面体が含まれていますが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3}などが挙げられます。

歪んだ多面体

正斜多面体は、非平面頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化です。

4次元の歪んだ多面体について、コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、そしてn角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに走る歪んだ多角形である。

{l,m|n}で表される正多面体は、次の式に従います。

$${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$$

そのうち 4 つは、同じ頂点配置と辺配置を共有する 4 つの正多面体の面のサブセットとして 4 次元で見ることができます。

{4、6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

4-多面体（ポリコラ）

シュレーフリ記号を持つ正4 次元多面体には、タイプのセル、 タイプの面、辺図形、頂点図形があります。 ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{r\}}$ ${\displaystyle \{q,r\}}$

• 4次元多面体の頂点図形は、与えられた頂点の周りの隣接する頂点の配置によって表される多面体です。正4次元多面体の場合、この頂点図形は正多面体です。
• 辺図形とは、辺の周囲の面の配置によって表される多角形です。正4次元多面体の場合、この辺図形は常に正多角形になります。

正4次元多面体の存在は、正多面体の存在によって制約される。4次元多面体の提案された名称は「ポリクロロン」である。^[11] ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

それぞれは次の表現に依存する空間に存在します。

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : 超球面3次元ハニカムまたは4次元多面体

${\displaystyle =0}$ : ユークリッド3次元ハニカム

${\displaystyle <0}$ : 双曲型3次元ハニカム

これらの制約により、21 個のフォームが可能になります。そのうち 6 個は凸型、10 個は非凸型、1 個はユークリッド 3 空間ハニカム、4 個は双曲型ハニカムです。

凸型

6つの凸正則4次元多面体を以下の表に示します。これらの4次元多面体はすべてオイラー特性( )が0です。 ${\displaystyle \chi }$

名前	シュレーフリ {p,q,r}	コクセター	セル {p,q}	顔 {p}	エッジ {r}	頂点 {q,r}	双対 {r,q,p}
5細胞 （4単体）	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	（自己）
8セル （4キューブ） （テッセラクト）	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16セル
16細胞 （4オルソプレックス）	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	テッセラクト
24セル	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	（自己）
120セル	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600セル
600セル	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120セル

5セル	8セル	16セル	24セル	120セル	600セル
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
ワイヤーフレーム（ペトリー多角形）の斜め正投影
立体正投影
四面体 エンベロープ（セル/ 頂点中心）	立方体エンベロープ （セル中心）	立方体エンベロープ （セル中心）	立方八面体 エンベロープ （セル中心）	切頂菱形 三十面体の エンベロープ （セル中心）	ペンタキス二 十面体 エンベロープ （頂点中心）
ワイヤーフレームシュレーゲル図（透視投影）
（セル中心）	（セル中心）	（セル中心）	（セル中心）	（セル中心）	（頂点中心）
ワイヤーフレーム立体投影（超球面）

球状

3 次元球面の通常のモザイク分割として、Di-4-トープとHoso-4-トープが存在します。

正則な二面体4次元多面体（2面体）には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2}、およびそれらの細面体4次元多面体 （ 2頂点）である{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p }が含まれます。{2, p ,2}の形の4次元多面体は{2,2, p }と同じです。また、二面体セルと細面体頂点図形を持つ{ p ,2, q }の場合もあります。

3球面ハニカムとしての正ホソ4トープ

シュレーフリ {2, p , q }	コクセター	セル {2, p } π/ q	面 {2} π/ p、π/ q	エッジ	頂点	頂点図形 { p , q }	対称	デュアル
{2,3,3}		4 {2,3} π/3	6 {2} π/3,π/3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4} π/3	12 {2} π/4,π/3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3} π/4	12 {2} π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5} π/3	30 {2} π/5,π/3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3} π/5	30 {2} π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

星

正則な星型4次元多面体は10個存在し、シュレーフリ・ヘス4次元多面体と呼ばれます。これらの頂点は、凸状の120セル {5,3,3}と600セル {3,3,5}に基づいています。

Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。エドムント・ヘス(1843–1903) は、ドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』 (1883 年) で 10 件の完全なリストを完成させました。

これら 10 個の正星型 4 次元多面体には、直交投影として示される 4 つの一意のエッジ配置と 7 つの一意の面配置があります。

名前	ワイヤーフレーム	固体	Schläfli {p, q, r} Coxeter	セル {p, q}	顔 {p}	エッジ {r}	頂点 {q, r}	密度	χ	対称群	双対 {r, q,p}
正二十面体120セル （ファセット600セル）			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5.5/2}	4	480	H 4 [5,3,3]	小さな星状120細胞
小さな星状120細胞			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H 4 [5,3,3]	正二十面体120セル
素晴らしい120セル			{5.5/2.5}	120 {5.5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	自己双対
グランド120セル			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3.5/2}	20	0	H 4 [5,3,3]	大星状120細胞
大星状120細胞			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H 4 [5,3,3]	グランド120セル
グランドステラテッド120セル			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5.5/2}	66	0	H 4 [5,3,3]	自己双対
グレートグランド120セル			{5,5/2,3}	120 {5.5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	大二十面体120細胞
大二十面体 120 セル （大多面体 600 セル）			{3.5/2.5}	120 {3.5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	グレートグランド120セル
グランド600セル			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3.5/2}	191	0	H 4 [5,3,3]	大星状120細胞
大星状120細胞			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	グランド600セル

4次元正則星型多面体には、 4つの潜在的な置換が存在します: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回の繰り返しで超球面を覆うことはできません。

歪んだ4次元多面体

上記の16個の平面4次元多面体に加えて、18個の有限な歪んだ多面体があります。^[12]これらのうちの1つは、テッセラクト（四次元方位）のペトリアルとして得られ、他の17個は、平面多面体とテッセラクト（四次元方位）のペトリアルにカッパ演算を適用することで形成されます。

ランク5以上

5 次元多面体には、 が 4 面タイプ、がセル タイプ、が面タイプ、 が面図形、が辺図形、 が頂点図形である記号が付けられます。 ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle \{r,s\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

頂点図形（5 次元多面体）は、各頂点に隣接する頂点の配置によって表される 4 次元多面体です。

5 次元多面体のエッジ図形は、各エッジの周りの面の配置によって表される多面体です。

面図形（5 次元多面体）は、各面の周囲のセルの配置によって表される多角形です。

正 5 次元多面体は、とが正 4 次元多面体である場合にのみ存在します。 ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

収まるスペースは次の式に基づいています。

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : 球面4次元モザイクまたは5次元多面体

${\displaystyle =1}$ : ユークリッド4次元空間のタイル分割

${\displaystyle >1}$ : 双曲型4次元タイル分割

これらの制約を列挙すると、凸多面体が3つ生成され、星型多面体は生成されず、ユークリッド4次元空間の3つのテッセレーションとパラコンパクト双曲型4次元空間の5つのテッセレーションが生成されます。ランク5以上の非凸正多面体は、スキュー多面体のみです。

凸型

5次元以上では、凸正多面体は3種類しかありません。^[13]

名前	シュレーフリ 記号 {p 1 ,...,p n −1 }	コクセター	k面	ファセット タイプ	頂点 図形	デュアル
n単体	{3 n −1 }	...	${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −2 }	自己双対
n立方体	{4,3 n −2 }	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3 n −3 }	{3 n −2 }	n -オルソプレックス
n -オルソプレックス	{3 n −2 ,4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −3 ,4}	n立方体

シュレーフリ記号の数が2である不適切なケースも存在します。例えば、{p,q,r,...2}は、{p,q,r...}が正球面多面体であるときは常に非不適切な正球面多面体であり、{2,...p,q,r}は、{...p,q,r}が正球面多面体であるときは常に非不適切な正球面多面体です。このような多面体は面としても利用でき、{p,q,...2...y,z}のような形になります。

5次元

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} コクセター	ファセット {p,q,r}	セル {p,q}	顔 {p}	エッジ	頂点	顔の 図 {s}	エッジ 図形 {r,s}	頂点 図形 {q,r,s}
5単体	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5キューブ	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-オルソプレックス	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5単体

5キューブ

5-オルソプレックス

6次元

名前	シュレーフリ	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	χ
6単体	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	0
6キューブ	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	0
6-オルソプレックス	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64	0

6単体

6キューブ

6-オルソプレックス

7次元

名前	シュレーフリ	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	6面	χ
7単体	{3,3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
7キューブ	{4,3,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-オルソプレックス	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7単体

7キューブ

7-オルソプレックス

8次元

名前	シュレーフリ	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	6面	7つの顔	χ
8単体	{3、3、3、3、3、3、3、3}	9	36	84	126	126	84	36	9	0
8キューブ	{4,3,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	0
8-オルソプレックス	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0

8単体

8キューブ

8-オルソプレックス

9次元

名前	シュレーフリ	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	6面	7つの顔	8面	χ
9単体	{3 8 }	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
9キューブ	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-オルソプレックス	{3 7 ,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9単体

9キューブ

9-オルソプレックス

10次​​元

名前	シュレーフリ	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	6面	7つの顔	8面	9面	χ
10単体	{3 9 }	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	0
10キューブ	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	0
10-オルソプレックス	{3 8 ,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	0

10単体

10キューブ

10-オルソプレックス

星型多面体

ランク 5 以上の通常のスターポリトープは存在しません。ただし、より低いランクのスターポリトープのスター積によって作成された退化したポリトープ (例:ホソトープとジトープ) は例外です。

正則射影多面体

射影正( n +1)多面体は、元の正n球面モザイク{p,q,...}が中​​心対称である場合に存在する。このような多面体は半{p,q,...}と名付けられ、要素の数は半分となる。コクセターは記号{p,q,...}/2を用い、マクマレンは{p,q,...} _h/2と書き、 hをコクセター数とする。^[14]

偶数辺の正多角形には半2n角形の射影多角形 {2p}/2 があります。

5 つのプラトン立体のうち 4 つに関連する4 つの正射影多面体があります。

半立方体と半八面体は、半n立方体と半n正方体として任意の階数に一般化されます。

正射影多面体

ランク3の正半多面体

名前	コクセター・ マクマレン	画像	顔	エッジ	頂点	χ	スケルトングラフ
ヘミキューブ	{4,3}/2 {4,3} 3		3	6	4	1	K4​
半八面体	{3,4}/2 {3,4} 3		4	6	3	1	両刃K 3
半十二面体	{5,3}/2 {5,3} 5		6	15	10	1	G(5,2)
半二十面体	{3,5}/2 {3,5} 5		10	15	6	1	K 6

正則射影4次元多面体

6つの凸正四次元多面体のうち5つは中心対称で、射影四次元多面体を生成します。特殊なケースとして、半24セル、半600セル、半120セルの3つがあります。

ランク4の正半多面体

名前	コクセター シンボル	マクマレン シンボル	細胞	顔	エッジ	頂点	χ	スケルトングラフ
ヘミテッセラクト	{4,3,3}/2	{4,3,3} 4	4	12	16	8	0	K 4,4
ヘミ16セル	{3,3,4}/2	{3,3,4} 4	8	16	12	4	0	両刃K 4
ヘミ24セル	{3,4,3}/2	{3,4,3} 6	12	48	48	12	0
ヘミ120セル	{5,3,3}/2	{5,3,3} 15	60	360	600	300	0
ヘミ600セル	{3,3,5}/2	{3,3,5} 15	300	600	360	60	0

正則射影5次元多面体

階数5以上で中心対称となる正球面多面体は3つのうち2つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正直角錐の半バージョンです。階数5の場合、以下の表に示します。

名前	シュレーフリ	4面	細胞	顔	エッジ	頂点	χ	スケルトングラフ
半五体	{4,3,3,3}/2	5	20	40	40	16	1	テッセラクト骨格 + 8つの中心対角線
ヘミペンタクロス	{3,3,3,4}/2	16	40	40	20	5	1	両刃K 5

アペイロトペス

アペイロトープまたは無限多面体とは、無限に多くの面を持つ多面体です。n-アペイロトープは無限n-多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロン（無限多面体）などです。

アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがある: ^[15]

• n次元の正規ハニカム。n次元空間を完全に満たします。
• 高次の空間におけるn次元多様体を構成する、規則的な歪んだアペイロトープ。

2-アペイロトープ（アペイロゴン）

直線アペイロゴンは直線を規則的に敷き詰めたもので、直線を無限個の等しい線分に分割する。無限個の頂点と辺を持つ。シュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図は。

......

これは、 p が無限大に近づくにつれて、 p角形の極限として次のように存在します。

名前	モノゴン	ディゴン	三角形	四角	五角形	六角形	七角形	p角形	アペイロゴン
シュレーフリ	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ p }	{∞}
対称	D 1、[]	D 2 , [2]	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	[p]
コクセター	または
画像

双曲平面上のアペイロゴン、特に正アペイロゴン{∞} は、ユークリッド平面の有限多角形と同様に曲率を持つことができ、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルで囲まれます。

無限大に収束するようにスケールされた通常のアペイロゴンは、記号 {∞} を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在します。

{∞}	{iπ/λ}
ホロサイクル上のアペイロゴン	ハイパーサイクル中のアペイロゴン

上記はポアンカレ円板モデルにおける 2 つの正則双曲アペイロゴンです。右側は長さ λ で区切られた発散基本領域の垂直反射線を示しています。

歪んだアペイロゴン

二次元における歪んだアペイロゴンは、平面上でジグザグの線を形成します。ジグザグが均等で対称的であれば、アペイロゴンは正則です。

歪んだアペイロゴンは任意の次元で構築できます。3次元では、正歪んだアペイロゴンは螺旋状の渦巻きを描き、左巻きまたは右巻きのどちらかになります。

2次元	3次元
ジグザグアペイロゴン	ヘリックス・アペイロゴン

3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）

ユークリッドタイル

平面には 6 つの規則的なモザイク模様があります。以下に挙げる 3 つと、それに対応するペトリアルです。

名前	正方形のタイル張り （クアドリル）	三角形のタイル張り （デルティル）	六角形のタイル （ヘクスティル）
対称	p4m, [4,4], (*442)	p6m、[6,3]、(*632)
シュレーフリ{p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
コクセター図
画像

不適当な正則タイリングが 2 つあります。1 つは {∞,2}、つまり2 つのアペイロゴンから作られ、それぞれが平面の半分を埋めるアペイロゴン二面体です。もう 1 つはその双対である {2,∞}、つまり無限の平行線の集合として見られる アペイロゴン細面体です。

{∞,2} ,

{2,∞}、

ユークリッド星のタイリング

星型多角形には規則的な平面タイリングは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12}など、平面（1/ p + 1/ q = 1/2）に収まる列挙は数多く存在しますが、周期的に繰り返されるものはありません。

双曲タイル

双曲的2次元空間のタイル張りは双曲的タイリングである。H ²には正則なタイル張りが無限に存在する。上述のように、 1/ p  + 1/ q < 1/2を満たす正の整数ペア { p , q } はすべて双曲的タイリングを与える。実際、一般のシュワルツ三角形( p ,  q ,  r ) についても、1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1の場合に同じことが成り立つ。

双曲面の表示方法はいくつかありますが、例えば下図のように、平面を円に写像するポアンカレ円板モデルがあります。以下のタイリングでは、すべてのポリゴン面が同じ大きさで、適用された投影により、端に近づくにつれて小さく見えることに注意してください。これは、カメラの魚眼レンズの効果に非常に似ています。

双曲面の規則的なタイリングとして、{p,q} の形式（p+q<pq/2）の平坦な規則的な 3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）が無限に存在します。

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

サンプル:

正則双曲タイルテーブル v t e
球面（非正定／プラトン的）／ユークリッド／双曲的（ポアンカレ円板：コンパクト／パラコンパクト／非コンパクト）のモザイク分割とそのシュレーフリ記号
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2,iπ/λ}
3	{3,2}	（四面体） {3,3}	（八面体） {3,4}	（二十面体） {3,5}	(デルティル) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
4	{4,2}	（立方体） {4,3}	（カドリーユ） {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	{5,2}	（十二面体） {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	{6,2}	（ヘクスチル） {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{iπ/λ,2}	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}	{iπ/λ,∞}	{iπ/λ, iπ/λ}

タイル{p, ∞}は、ポアンカレ円板モデルの端に理想頂点を持つ。その双対{∞, p}は理想アピロゴナル面を持つ。つまり、ホロサイクルに内接する。さらに（上の表のように）ポアンカレ円板の外側に超理想頂点を持つタイルを見つけることもできる。これは超サイクルに内接するタイルと双対である。上で{p, iπ/λ}と表記されているものにおいては、各超理想頂点の周りには無限個のタイルが収まる。^[16]（拡張双曲空間における平行線は理想点で交わり、超平行線は超理想点で交わる。）^[17]

双曲的な星のタイル

面または頂点図形が星型多角形である双曲型タイリングの無限形式が 2 つあります。{ m /2, m } とその双対 { m , m /2} ( m = 7, 9, 11, .... ^[18] { m /2, m } タイリングは{ m , 3} タイリングの星型であり、{ m , m /2} 双対タイリングは{3, m } タイリングのファセット化と{ m , 3} タイリング の拡大^{[ii]です。}

パターン{ m /2, m }と{ m , m /2}は、 m < 7の奇数に対しても多面体として成立する。m = 5のとき、小星型十二面体と大十二面体が得られ^[18]、m = 3のときは四面体に退化する。他の2つのケプラー・ポアンソ多面体（大星型十二面体と大二十面体）には、正則な双曲型タイリングの類似物はない。mが偶数の場合、 { m /2}をどのように定義するかによって、他のタイリングの退化した二重被覆または複合タイリングのいずれかを得ることができる。

名前	シュレーフリ	コクセター図	画像	顔のタイプ {p}	頂点図形 {q}	密度	対称	デュアル
7次ヘプタグラムタイル	{7/2,7}			{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	ヘプタグラム順序の七角形タイル張り
ヘプタグラム順序の七角形タイル張り	{7,7/2}			{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	7次ヘプタグラムタイル
9次のエニアグラムタイリング	{9/2,9}			{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	エニアグラム順序のエニアゴナルタイル
エニアグラム順序のエニアゴナルタイル	{9,9/2}			{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	9次のエニアグラムタイリング
11次の11進法タイル張り	{11/2,11}			{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	16角形タイル張り
16角形タイル張り	{11,11/2}			{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	11次の11進法タイル張り
順序-p p -文法的タイリング	{ p /2, p }			{ p /2}	{ p }	3	* p 32 [p,3]	p文法順序p角形タイリング
p文法順序p角形タイリング	{ p , p /2}			{ p }	{ p /2}	3	* p 32 [p,3]	順序-p p -文法的タイリング

ユークリッド3次元空間における歪んだアペイロヘドラ

3次元ユークリッド空間における12個の純粋アペイロヘドラの関係

• πはペトリアルを表す
• δは双対を表す
• ηは半分を表す
• φはファセットを表す
• σは歪みを表す
• rは整流を表す

ユークリッド3次元空間には、平面を持つ3つの正三角形状のアペイロヘドラがあります。 ^{[19] [20] [21]}これらは、3つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有しています。

• 各頂点の周囲に6つの正方形: {4,6|4}
• 各頂点の周りの4つの六角形: {6,4|4}
• 各頂点の周りの6つの六角形: {6,6|3}

• 平面を持つ正多面体
• 
  ムキューブ
• 
  正八面体
• 
  ミューテトラヘドロン

斜めの面を考慮すると、ユークリッド3次元空間には30個の正アペイロヘドラが存在する。^[22]これらには、ユークリッド平面アペイロヘドラとの混合によって生成される12個の混合アペイロヘドラと、平面アペイロヘドラと上記の3つの3次元アペイロヘドラを含む非自明な混合として表現できない18個の純粋アペイロヘドラが含まれる。

3 次元の純粋なアペイロヘドラは次のとおりです。

• {4,6|4}、ムクベ
• {∞,6} _4,4、ムクベのペトリアル
• {6,6|3}、ミューテトラヘドロン
• {∞,6} _6,3、ミューテトラヘドロン（正四面体）のペトリアル
• {6,4|4}、正八面体
• {∞,4} _6,4、正八面体の花弁
• {6,6} ₄、ムキュベの半分
• {4,6} ₆ 、 {6,6} ₄のペトリアル
• {∞,4} _·,*3、正八面体の歪み
• {6,4} ₆ 、 {∞,4} _6,4の歪曲
• {∞,3} ^{( a )}
• {∞,3} ^{( b )}

双曲3次元空間における歪んだアペイロヘドラ

コンパクト対称性またはパラコンパクト対称性を持つ双曲3次元空間には、凸面を持つ正三角形状のアペイロヘドラが31個存在する。 ^[23]

• 14 個はコンパクトです: {8,10|3}、{10,8|3}、{10,4|3}、{4,10|3}、{6,4|5}、{4,6|5}、{10,6|3}、{6,10|3}、{8,8|3}、{6,6|4}、{10,10|3}、{6,6|5}、{8,6|3}、および {6,8|3}。
• 17 個はパラコンパクトです: {12,10|3}、{10,12|3}、{12,4|3}、{4,12|3}、{6,4|6}、{4,6|6}、{8,4|4}、{4,8|4}、{12,6|3}、{6,12|3}、{12,12|3}、{6,6|6}、{8,6|4}、{6,8|4}、{12,8|3}、{8,12|3}、{8,8|4}。

4-アペイロトープ

ユークリッド3次元空間のタイル分割

立方ハニカムのエッジフレームワーク、{4,3,4}

3次元空間（ハニカム）の非退化正則タイル分割は{4, 3, 4}の1つだけである: ^[24]

名前	シュレーフリ {p,q,r}	コクセター	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	エッジ 図形 {r}	頂点 図形 {q,r}	χ	デュアル
立方ハニカム	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	自己双対

ユークリッド3次元空間の不適切なテッセレーション

球体に投影された、規則的な{2,4,4}ハニカム。

3つの正ユークリッドタイリングに基づく、6つの非正則タイル分割があります。それらのセルと頂点図形はすべて、正細面体{2,n}、二面体{n,2}、およびユークリッドタイリングです。これらの非正則タイル分割は、切り捨て演算によって、角柱状一様ハニカムと構成的に関連しています。これらは、 2次アピロゴナルタイリングおよびアピロゴナル細面体の高次元類似体です。

シュレーフリ {p,q,r}	コクセター 図	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	エッジ 図形 {r}	頂点 図形 {q,r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

双曲型3次元空間のタイル分割

双曲型3次元空間には、平坦な正則ハニカムが15個あります。

• 4つはコンパクトです: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
• 11 個はパラコンパクトです: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

4つのコンパクトなレギュラーハニカム {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

11個のパラコンパクトレギュラーハニカムのうち4個 {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

双曲型3次元空間のタイル分割は、双曲型ハニカムと呼ばれます。H ³には15個の双曲型ハニカムがあり、そのうち4個はコンパクト、11個はパラコンパクトです。

4つのコンパクトなレギュラーハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r}	コクセター	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	エッジ 図形 {r}	頂点 図形 {q,r}	χ	デュアル
正二十面体ハニカム	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	自己双対
5次立方ハニカム	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
4面体ハニカム	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
5面体ハニカム	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	自己双対

^{また、無限（ユークリッド）セルおよび/または頂点図形を持つパラコンパクト H 3}ハニカムが 11 個あります：{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

11個のパラコンパクトレギュラーハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r}	コクセター	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	エッジ 図形 {r}	頂点 図形 {q,r}	χ	デュアル
6次四面体ハニカム	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
六角形のタイル張りのハニカム	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
4面体ハニカム	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
正方形のタイル張りのハニカム	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,4,4}
三角形のタイル張りのハニカム	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	自己双対
6次立方ハニカム	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,6}	0	{6,3,4}
4次六角形タイルハニカム	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
4次元正方形タイルハニカム	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	自己双対
6面体ハニカム	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,6}	0	{6,3,5}
5次元六角形タイルハニカム	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
6次元六角形タイルハニカム	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	自己双対

非コンパクト解はロレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（超理想頂点を持つ基本四面体）の開領域で視覚化できる。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に2を含まないすべてのハニカムは非コンパクトである。

球状（非正定型/プラトン型） /ユークリッド型/ 双曲型（コンパクト/パラコンパクト/ 非コンパクト）ハニカム {p,3,r}

	{3, r }	{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,4}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	... {3,∞}
{ p ,3}	p \ r	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	2	{2,3,2}	{2,3,3}	{2,3,4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3,∞}
{3,3}	3	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3,∞}
{4,3}	4	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3,∞}
{5,3}	5	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3,∞}
{6,3}	6	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3,∞}
{7,3}	7	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3,∞}
{8,3}	8	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3,∞}
... {∞,3}	... ∞	{∞,3,2}	{∞,3,3}	{∞,3,4}	{∞,3,5}	{∞,3,6}	{∞,3,7}	{∞,3,8}	{∞,3,∞}

{p,4,r} {4, r } {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,∞} { p ,4} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,4} 2 {2,4,2} {2,4,3} {2,4,4} {2,4,5} {2,4,6} {2,4,∞} {3,4} 3 {3,4,2} {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4,∞} {4,4} 4 {4,4,2} {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} {4,4,6} {4,4,∞} {5,4} 5 {5,4,2} {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5} {5,4,6} {5,4,∞} {6,4} 6 {6,4,2} {6,4,3} {6,4,4} {6,4,5} {6,4,6} {6,4,∞} {∞,4} ∞ {∞,4,2} {∞,4,3} {∞,4,4} {∞,4,5} {∞,4,6} {∞,4,∞}

{p,5,r} {5, r } {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6} {5,∞} { p ,5} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,5} 2 {2,5,2} {2,5,3} {2,5,4} {2,5,5} {2,5,6} {2,5,∞} {3,5} 3 {3,5,2} {3,5,3} {3,5,4} {3,5,5} {3,5,6} {3,5,∞} {4,5} 4 {4,5,2} {4,5,3} {4,5,4} {4,5,5} {4,5,6} {4,5,∞} {5,5} 5 {5,5,2} {5,5,3} {5,5,4} {5,5,5} {5,5,6} {5,5,∞} {6,5} 6 {6,5,2} {6,5,3} {6,5,4} {6,5,5} {6,5,6} {6,5,∞} {∞,5} ∞ {∞,5,2} {∞,5,3} {∞,5,4} {∞,5,5} {∞,5,6} {∞,5,∞}

{p,6,r} {6, r } {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6} {6,∞} { p ,6} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,6} 2 {2,6,2} {2,6,3} {2,6,4} {2,6,5} {2,6,6} {2,6,∞} {3,6} 3 {3,6,2} {3,6,3} {3,6,4} {3,6,5} {3,6,6} {3,6,∞} {4,6} 4 {4,6,2} {4,6,3} {4,6,4} {4,6,5} {4,6,6} {4,6,∞} {5,6} 5 {5,6,2} {5,6,3} {5,6,4} {5,6,5} {5,6,6} {5,6,∞} {6,6} 6 {6,6,2} {6,6,3} {6,6,4} {6,6,5} {6,6,6} {6,6,∞} {∞,6} ∞ {∞,6,2} {∞,6,3} {∞,6,4} {∞,6,5} {∞,6,6} {∞,6,∞}

{ p ,7, r } {7, r } {7,2} {7,3} {7,4} {7,5} {7,6} {7,∞} { p ,7} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,7} 2 {2,7,2} {2,7,3} {2,7,4} {2,7,5} {2,7,6} {2,7,∞} {3,7} 3 {3,7,2} {3,7,3} {3,7,4} {3,7,5} {3,7,6} {3,7,∞} {4,7} 4 {4,7,2} {4,7,3} {4,7,4} {4,7,5} {4,7,6} {4,7,∞} {5,7} 5 {5,7,2} {5,7,3} {5,7,4} {5,7,5} {5,7,6} {5,7,∞} {6,7} 6 {6,7,2} {6,7,3} {6,7,4} {6,7,5} {6,7,6} {6,7,∞} {∞,7} ∞ {∞,7,2} {∞,7,3} {∞,7,4} {∞,7,5} {∞,7,6} {∞,7,∞}

{p,8,r} {8, r } {8,2} {8,3} {8,4} {8,5} {8,6} {8,∞} { p ,8} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,8} 2 {2,8,2} {2,8,3} {2,8,4} {2,8,5} {2,8,6} {2,8,∞} {3,8} 3 {3,8,2} {3,8,3} {3,8,4} {3,8,5} {3,8,6} {3,8,∞} {4,8} 4 {4,8,2} {4,8,3} {4,8,4} {4,8,5} {4,8,6} {4,8,∞} {5,8} 5 {5,8,2} {5,8,3} {5,8,4} {5,8,5} {5,8,6} {5,8,∞} {6,8} 6 {6,8,2} {6,8,3} {6,8,4} {6,8,5} {6,8,6} {6,8,∞} {∞,8} ∞ {∞,8,2} {∞,8,3} {∞,8,4} {∞,8,5} {∞,8,6} {∞,8,∞}

{p,∞,r} {∞, r } {∞,2} {∞,3} {∞,4} {∞,5} {∞,6} {∞,∞} { p ,∞} p \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,∞} 2 {2,∞,2} {2,∞,3} {2,∞,4} {2,∞,5} {2,∞,6} {2,∞,∞} {3,∞} 3 {3,∞,2} {3,∞,3} {3,∞,4} {3,∞,5} {3,∞,6} {3,∞,∞} {4,∞} 4 {4,∞,2} {4,∞,3} {4,∞,4} {4,∞,5} {4,∞,6} {4,∞,∞} {5,∞} 5 {5,∞,2} {5,∞,3} {5,∞,4} {5,∞,5} {5,∞,6} {5,∞,∞} {6,∞} 6 {6,∞,2} {6,∞,3} {6,∞,4} {6,∞,5} {6,∞,6} {6,∞,∞} {∞,∞} ∞ {∞,∞,2} {∞,∞,3} {∞,∞,4} {∞,∞,5} {∞,∞,6} {∞,∞,∞}

^{H 3}には、通常のコンパクトまたはパラコンパクト双曲型星型ハニカムは存在しません。セル、頂点図形、またはその両方として通常の星型多面体を持つすべてのフォームは、球形になります。

理想頂点は、頂点図形がユークリッドタイリングのときに出現し、球面ではなくホロスフィアに内接可能となる。これらは理想セル（有限多面体ではなくユークリッドタイリング）の双対である。シュレーフリ記号の最後の数字がさらに大きくなると、頂点図形は双曲的になり、頂点は超理想となる（そのため、双曲空間内で辺が交わらない）。ハニカム{p, q, ∞}では、辺はポアンカレ球と1つの理想点でのみ交差し、残りの辺は超理想となる。さらに進めていくと、ハニカムと基本単体の両方において、完全に超理想となる辺に到達する（ただし、そのような辺では{p, q}が無数に交わる）。一般に、シュレーフリ記号の最後の数が∞になると、余次元2の面はポアンカレ超球面と1つの理想的な点でのみ交差する。^[16]

5-アペイロトープ

ユークリッド4次元空間のタイル分割

ユークリッド 4 次元空間を分割できる 無限正多面体 (ハニカム)には次の 3 種類があります。

3つの正則ユークリッドハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s}	ファセット タイプ {p,q,r}	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	顔の 図 {s}	エッジ 図形 {r,s}	頂点 図形 {q,r,s}	デュアル
テッセラティックハニカム	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	自己双対
16セルハニカム	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
24セルハニカム	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

{4,3,3,4}の投影部分 （テッセラティックハニカム）

{3,3,4,3}の投影部分 （16セルハニカム）

{3,4,3,3}の投影部分 （24セルハニカム）

また、{4,3,4,2} と {2,4,3,4} という 2 つの不適切なケースもあります。

ユークリッド4次元空間には3つの平坦な正則ハニカムが存在する: ^[24]

• {4,3,3,4}、{3,3,4,3}、および {3,4,3,3}。

双曲的4次元空間には7つの平坦な正凸ハニカムが存在する: ^[18]

• 5つはコンパクトです: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
• 2つはパラコンパクトです: {3,4,3,4}、および {4,3,4,3}。

双曲4次元空間には4つの平坦な正則星型ハニカムが存在する: ^[18]

• {5/2,5,3,3}、{3,3,5,5/2}、{3,5,5/2,5}、および{5,5/2,5,3}。

双曲型4次元空間のタイル分割

^{H4空間には7つの凸状の正則}ハニカムと4つの星型ハニカムがある。^[25]そのうち5つはコンパクトで、2つはパラコンパクトである。

^{H 4}の 5 つのコンパクトな規則的なハニカム:

5つのコンパクトなレギュラーハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s}	ファセット タイプ {p,q,r}	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	顔の 図 {s}	エッジ 図形 {r,s}	頂点 図形 {q,r,s}	デュアル
オーダー5 5セルハニカム	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
120セルハニカム	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
5次格子ハニカム	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
オーダー4 120セルハニカム	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
オーダー5 120セルハニカム	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	自己双対

2つのパラコンパクト正則H ⁴ハニカムは、{3,4,3,4}、{4,3,4,3}です。

2つのパラコンパクトレギュラーハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s}	ファセット タイプ {p,q,r}	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	顔の 図 {s}	エッジ 図形 {r,s}	頂点 図形 {q,r,s}	デュアル
オーダー4 24セルハニカム	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
キュービックハニカムハニカム	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

非コンパクト解はロレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（基本的な5セルの一部が無限大を超えてアクセスできない領域を持つ）の開領域で視覚化できる。以下の表に示されておらず、シュレーフリ記号に2が含まれないハニカムはすべて非コンパクトである。

球状/ユークリッド状/ 双曲状（コンパクト/パラコンパクト/非コンパクト）ハニカム {p,q,r,s}
q=3、s=3 p \ r 3 4 5 3 {3,3,3,3} {3,3,4,3} {3,3,5,3} 4 {4,3,3,3} {4,3,4,3} {4,3,5,3} 5 {5,3,3,3} {5,3,4,3} {5,3,5,3}	q=3、s=4 p \ r 3 4 3 {3,3,3,4} {3,3,4,4} 4 {4,3,3,4} {4,3,4,4} 5 {5,3,3,4} {5,3,4,4}	q=3、s=5 p \ r 3 4 3 {3,3,3,5} {3,3,4,5} 4 {4,3,3,5} {4,3,4,5} 5 {5,3,3,5} {5,3,4,5}
q=4、s=3 p \ r 3 4 3 {3,4,3,3} {3,4,4,3} 4 {4,4,3,3} {4,4,4,3}	q=4、s=4 p \ r 3 4 3 {3,4,3,4} {3,4,4,4} 4 {4,4,3,4} {4,4,4,4}	q=4、s=5 p \ r 3 4 3 {3,4,3,5} {3,4,4,5} 4 {4,4,3,5} {4,4,4,5}
q=5、s=3 p \ r 3 4 3 {3,5,3,3} {3,5,4,3} 4 {4,5,3,3} {4,5,4,3}

双曲4次元空間の星状モザイク

^{H 4}空間には 4 つの規則的な星型ハニカムが存在し、すべてコンパクトです。

コンパクトなレギュラースターハニカム4個

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s}	ファセット タイプ {p,q,r}	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	顔の 図 {s}	エッジ 図形 {r,s}	頂点 図形 {q,r,s}	デュアル	密度
小さな星型120セルハニカム	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5/2}	{3}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
五芒星型600セルハニカム	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5.5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
5面体120セルハニカム	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5.5/2.5}	{5,5/2,5,3}	10
120セルの巨大なハニカム	{5,5/2,5,3}	{5.5/2.5}	{5.5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	10

6-アペイロトープ

ユークリッド5次元空間には、平坦な正則ハニカムが1つだけ存在する。（上記でモザイク状として列挙した）^[24]

• {4,3,3,3,4}

双曲的5次元空間には、5つの平坦正則正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトである。（上記でタイル状と記載）^[18]

• {3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}

ユークリッド5次元空間のタイル分割

超立方ハニカムは、各稜線の周囲に 4 つの超立方面を形成し、5 次元以上の各次元をモザイク化できる唯一の通常のハニカム ファミリです。

名前	シュレーフリ { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	ファセット タイプ	頂点 図形	デュアル
正方形のタイル	{4,4}	{4}	{4}	自己双対
立方ハニカム	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	自己双対
テッセラティックハニカム	{4,3 2 ,4}	{4,3 2 }	{3 2 ,4}	自己双対
5キューブハニカム	{4,3 3 ,4}	{4,3 3 }	{3 3 ,4}	自己双対
6キューブハニカム	{4,3 4 ,4}	{4,3 4 }	{3 4 ,4}	自己双対
7キューブハニカム	{4,3 5 ,4}	{4,3 5 }	{3 5 ,4}	自己双対
8キューブハニカム	{4,3 6 ,4}	{4,3 6 }	{3 6 ,4}	自己双対
n-超立方ハニカム	{4,3 n−2 ,4}	{4,3 n−2 }	{3 n−2 ,4}	自己双対

E ⁵には、{4,3,3,4,2}、{2,4,3,3,4}、{3,3,4,3,2}、{2,3,3,4,3}、{3,4,3,3,2}、{2,3,4,3,3}といった不適切なケースも存在する。E ⁿにおいては、{4,3 ⁿ⁻³ ,4,2}と{2,4,3 ⁿ⁻³ ,4}は常に不適切なユークリッド平面分割である。

双曲5次元空間のタイル分割

^{H 5}には 5 つの正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトで、無限(ユークリッド)面または頂点図形 ({3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}) が含まれます。

次元 5 以上の双曲空間にはコンパクトな正則分割は存在せず、次元 6 以上の双曲空間にはパラコンパクトな正則分割は存在しません。

5つのパラコンパクトレギュラーハニカム

名前	シュレーフリ 記号 {p,q,r,s,t}	ファセット タイプ {p,q,r,s}	4面体 型 {p,q,r}	セル タイプ {p,q}	顔の タイプ {p}	セル 図 {t}	顔の 形 {s,t}	エッジ 図形 {r,s,t}	頂点 図形 {q,r,s,t}	デュアル
5-オルソプレックスハニカム	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
24セルハニカム	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
16セルハニカム	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	自己双対
オーダー4 24セルハニカムハニカム	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4}	{4,3,3,4,3}
テッセラティックハニカムハニカム	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

n ≥ 5 の場合、潜在的なセルまたは頂点図形である可能性のある通常のスターn多面体は存在しないため、 n ≥ 5の場合、H ⁿ にはそれ以上の双曲スターハニカムは存在しません 。

ランク7以上のアペイロトープス

双曲6次元空間以上のタイル分割

6次元以上の双曲空間には、正規コンパクトまたはパラコンパクトのタイル分割は存在しない。しかし、上記で扱われていない{p,q,r,s,...}の形をとるシュレーフリ記号（p,q,r,s,...は2以上の自然数、または無限大）は、双曲n空間の非コンパクトタイル分割を形成する。^[16]

抽象的な多面体

抽象多面体は、多面体をそれらが埋め込まれている幾何学的空間から切り離して研究する試みから生まれました。これには、球面空間、ユークリッド空間、双曲空間、およびその他の多様体のモザイク状配置が含まれます。1より大きい階数には無限に存在します。サンプルについては、この地図帳をご覧ください。このリストの他の場所には記載されていない、抽象正多面体の注目すべき例としては、11セル{3,5,3}と57セル{5,3,5}が挙げられます。これらは、セルと頂点図形として正射影多面体を持ちます。

抽象多面体の要素は、その胴体（最大要素）、面、辺、頂点、および空集合である。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングすることも、幾何学的図形として実現することもできる。抽象多面体の中には、整形式または忠実な実現を持つものもあれば、そうでないものもあります。旗とは、各階の要素が連結された集合であり、多面体の場合は胴体、面、面の辺、辺の頂点、および空集合です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性が旗上で推移的である場合、つまり、多面体の対称性の下で任意の旗を他の任意の旗にマッピングできる場合、正則多面体であるとされます。抽象正多面体は、現在も活発な研究分野です。

忠実かつ対称的に実現できないこのような5つの正多面体は、HSM Coxeterの著書『Regular Polytopes』（1977年）と、JM Willsの論文『The combinatorially regular polyhedra of index 2』（1987年）で特定されています。^[26]これらはすべて位相的にトーラスと等価です。各頂点の周りにn個の面を配置することで、双曲面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。下の図では、双曲面のタイリング画像の色は、多面体画像の色に対応しています。

多面体	中菱形三十面体	十二面体	中心三角二十面体	二方正十二面体	発掘された十二面体
頂点図形	{5}、{5/2}	(5.5/2) 2	{5}、{5/2}	(5.5/3) 3
顔	30 菱形	12個の五角形 12個の五芒星	20個の六角形	12個の五角形 12個の五芒星	20卦
タイル張り	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

これらは次のように二重のペアとして発生します。

• 中心菱形三十面体と十二十二面体は互いに双対です。
• 正三角形の二十面体と正三角形の十二面体は互いに双対です。
• 発掘された十二面体は自己双対である。

参照

• 正多面体化合物の一覧
• ポリゴン
• 多面体
• プラトン立体
• ケプラー・ポアンソ立体
• 4次元多面体
• 通常の 4 多面体(16 個の通常の 4 多面体、4 つの凸面および 10 つの星型 (シュレーフリ-ヘス))
• テッセレーション
• 正多角形のタイル張り
• 凸型均一ハニカム
• 正則写像（グラフ理論）

注記

1. (同一性とべき等性まで)
2. コンウェイが提唱し、コクセターが採用した分類では、^[a]星状化は縁の拡張を指し、増大は面の拡張を指します。 「増大」という用語は（多孔体の）細胞の拡張に用いられますが、あまり一般的には使用されていないようです。^[b]

サブノート

1. コクセター, HMS (1975). Regular Complex Polytopes (第1版). ケンブリッジ大学出版局. pp.  46–7 . ISBN  9780521201254。
2. 参照：Inchbald, Guy (2024年9月9日). 「星状化とファセット化 – 簡単な歴史」Guy's Polyhedra Page . 2024年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。

参考文献

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2. コクセター（1973）、129ページ。
3. マクマレン & シュルテ (2002)、p. 30.
4. Johnson, NW (2018). 「第11章 有限対称群」.幾何学と変換. ケンブリッジ大学出版局. 11.1 多面体とハニカム, p. 224. ISBN 978-1-107-10340-5。
5. コクセター（1973）、120ページ。
6. コクセター（1973）、124ページ。
7. コクセター『正則複素多面体』9ページ
8. Duncan, Hugh (2017年9月28日). 「四角い岩と硬い五角形の間：分数多角形」chalkdust . 2018年12月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年12月24日閲覧。
9. McMullen & Schulte 2002より。
10. コクセター（1973）、66-67頁。
11. 抄録(PDF) . 凸状多面体と抽象多面体 (2005年5月19～21日) およびカルガリーにおける多面体デー (2005年5月22日). 2014年11月29日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2015年2月2日閲覧。
12. マクマレン（2004年）。
13. n次元（n>=5）の3つの正多面体、pp. 294–295。
14. McMullen & Schulte (2002)、「6C射影正則多面体」pp.162–165。
15. グリュンバウム、B. (1977)。 「正多面体—古くて新しい」。数学の方程式。16 ( 1–2 ): 1–20 .土井:10.1007/BF01836414。S2CID  125049930。
16. Roice NelsonとHenry Segerman、「Visualizing Hyperbolic Honeycombs」、Wayback Machineで2020年11月30日にアーカイブ
17. アーヴィング・アドラー『幾何学の新たな見方』（2012年ドーバー版）、233ページ
18. Coxeter (1999)、「第10章」。
19. Coxeter, HSM (1938). 「3次元および4次元における正則歪多面体」. Proc. London Math. Soc . 2. 43 : 33–62 . doi :10.1112/plms/s2-43.1.33.
20. コクセター、HSM (1985)。 「正多面体と半正多面体 II」。数学的ツァイシュリフト。188 (4): 559–591。土井:10.1007/BF01161657。S2CID  120429557。
21. コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝ストラウス、チャイム (2008). 「第23章 主対称性を持つ物体、無限プラトン多面体」. 『物の対称性』 テイラー＆フランシス. pp.  333– 335. ISBN 978-1-568-81220-5。
22. McMullen & Schulte (2002)、セクション7E。
23. Garner, CWL (1967). 「双曲型3次元空間における正則歪多面体」. Can. J. Math . 19 : 1179–1186 . doi : 10.4153/CJM-1967-106-9 . S2CID  124086497.注: 彼の論文では 32 個あると書かれていますが、そのうち 1 つは自己双対なので、残りは 31 個です。
24. Coxeter (1973)、表II：規則的なハニカム、p.296。
25. Coxeter (1999)、「第10章」表IV、p.213。
26. David A. Richter. 「The Regular Polyhedra (of index two)」. 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年3月13日閲覧。

引用

• コクセター, HSM (1999)、「第10章 双曲空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版、  199～ 214頁、ISBN 0-486-40919-8、LCCN  99035678、MR  1717154特に要約表II、III、IV、V（212～213ページ）を参照。
  • 原著はCoxeter, HSM (1956)「Regular honeycombs in hyperbolic space」（PDF） , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam , vol. III, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., pp.  155– 169, MR 0087114に掲載。 2015年4月2日に オリジナル（PDF）からアーカイブ。。
• コクセター, HSM (1973) [1948].正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-61480-8. MR  0370327. OCLC  798003.特に表Iと表II「正多面体とハニカム」(294～296ページ)を参照してください。
• Johnson, Norman W. (2012)、「Regular inversive polytopes」（PDF）、International Conference on Mathematics of Distances and Applications（2012年7月2日～5日、ブルガリア、ヴァルナ） 、pp. 85～95 論文27、 2017年8月8日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 、 2015年1月12日取得
• マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002年）、抽象正多面体、数学とその応用百科事典、第92巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511546686、ISBN 0-521-81496-0、MR  1965665、S2CID  115688843
• マクマレン、ピーター (2018)、「4次元多面体の新しい正則複合」、直観幾何学の新潮流、ボヤイ協会数学研究、第27巻、pp.  307– 320、doi :10.1007/978-3-662-57413-3_12、ISBN 978-3-662-57412-6。
• ネルソン・ロイス、セガーマン・ヘンリー(2015). 「双曲型ハニカムの可視化」arXiv : 1511.02851 [math.HO].hyperbolichoneycombs.org/ 2016年3月4日アーカイブ、Wayback Machine
• サマービル, DMY (1958)、 『 n次元幾何学入門』、ニューヨーク: Dover Publications, Inc.、MR  01002391930年版（EPダットン出版）の再版。特に第10章「正多面体」を参照。

外部リンク

• プラトン立体
• ケプラー・ポアンソ多面体
• 通常の4次元多面体折りたたみ
• 多次元用語集（ヘキサコシコロロンとヘカトニコサコロロンを調べてください）
• 多面体ビューア
• 多面体とn次元球面におけるp点の最適充填
• 小さな正多面体の地図帳
• 正多面体の変遷 I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetry
• 通常の星型ポリトープ、ナン・マー

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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