絶対凸集合

Convex and balanced set

数学において、実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合 C は、凸かつ均衡（「均衡」ではなく「円状」という用語を使用することもある）である場合、絶対凸または円板状であると言われ、その場合、円板と呼ばれる。集合の円板状包または絶対凸包は、その集合を含むすべての円板の交差である。

定義

薄い灰色の領域は、十字の絶対凸包です

実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合は ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ディスクであり、ディスクに保存された、絶対凸であり、以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合、 凸均衡となります。

1. ${\displaystyle S}$は凸かつ均衡のとれた集合である。
2. 任意のスカラーに対して、そして、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. すべてのスカラーに対して、そしてもし ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. 任意のスカラーに対して、そして、 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. 任意のスカラーに対して、 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

与えられた集合を含むの最小の凸（それぞれ、バランスの取れた）部分集合は、その集合の凸包（それぞれ、バランスの取れた包）と呼ばれ、 （それぞれ、 ）で表されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

同様に、ディスク状の船体、絶対凸包、および集合の凸包は、（部分集合の包含に関して）^。[1] の円板化された包はまたはで表され、次の各集合と等しくなります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {disk} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$これは の均衡包の凸包である。したがって、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • 一般に、有限次元ベクトル空間でも可能です。 ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
2. を含むすべての円の交差 ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ and }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ are scalars satisfying }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

十分条件

任意の数の絶対凸集合の交わりもまた絶対凸である。しかし、絶対凸集合の和集合はもはや絶対凸である必要はない

が円板である場合、が吸収される場合、かつその場合のみ^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

性質

がベクトル空間の吸収円板である場合、に吸収円板が存在し、^{[3] が}円板であり、とがスカラーである 場合、 と ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq S.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sD=|s|D}$ ${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

局所凸位相ベクトル空間内の有界集合の絶対凸包は再び有界になります。

がTVSの有界円板であり、が の列である場合、部分和はコーシー であり、すべての^[4]に対してである。特に、が の逐次完全部分集合である場合、この級数はのある点に収束する。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$

の凸均衡包は、の凸包とのバランス包の両方を含みます。さらに、それはの凸包のバランス包も含みます。したがって 、以下の例は、この包含が厳密である可能性があることを示しています。しかし、 任意の部分集合 に対してであれば、となり、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S;}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

例

の凸均衡包は、必ずしも^[1]の凸包の均衡包と等しくはありませんが 、例えば、を実ベクトル空間とし、を の厳密な部分集合と し、凸でさえありません。特に、この例は、凸集合の均衡包が必ずしも凸ではないことも示しています。集合は、頂点が と であるにおける閉じた塗りつぶされた正方形に等しいです（これは、均衡集合にはと の両方が含まれていなければならないためです。 も凸であるため、結果として、この特定の例では となるように均衡している塗りつぶされた正方形も含まれている必要があります）。しかし、は における2点間の水平閉線分に等しいので、は代わりに、 軸と正確に原点で交差する閉じた「砂時計型」の部分集合であり、2つの閉じた塗りつぶされた二等辺三角形の和集合です。1つの三角形の頂点は原点であり、もう1つの三角形の頂点は原点であり、この非凸の塗りつぶされた「砂時計型」は、塗りつぶされた正方形の真部分集合です ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ ${\displaystyle (1,-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

一般化

固定された実数aが与えられた場合 ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$-凸集合はベクトル空間の部分集合であり、 とが非負スカラーであるときはいつでも性質 持つ。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s\geq 0}$ ${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$絶対凸集合 ${\displaystyle p}$または ${\displaystyle p}$とが^[5]を満たすスカラーであるときはいつでも、-disk ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$

A ${\displaystyle p}$-セミノルム^[6]、以下の条件を満たす非負関数である ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

1. 劣加法性/三角不等式：すべての ${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対同次性 ${\displaystyle p}$：すべてのおよびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

これはセミノルムの定義を一般化したものである。写像がセミノルムとなるのは、それが -セミノルムである場合（ を用いて）に限るからである。セミノルムではない -セミノルムも存在する。例えば、 のときはいつでも、Lp空間を定義するために用いられる写像は-セミノルムであるがセミノルムではない。^[6] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p:=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

位相ベクトル空間が-半正規化可能である（つまり、その位相が何らかの-半正規化によって誘導される）ためには、その空間に原点の有界な-凸近傍が存在する必要がある。 ^[5] ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

参照

• 吸収セット – 任意のポイントに到達できるように「膨らませる」ことができるセット
• 補助規範空間
• バランス集合 - 機能分析における構成概念
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• ベクトル（幾何学的）  - 長さと方向を持つ幾何学的オブジェクトPages displaying short descriptions of redirect targets。物理学におけるベクトル用。
• ベクトル場 – ユークリッド空間の部分集合内の各点にベクトルを割り当てる

参考文献

1. Trèves 2006, p. 68.
2. Narici & Beckenstein 2011, pp. 67–113
3. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、149–153頁。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、471頁。
5. Narici & Beckenstein 2011、p. 174を参照。
6. Narici & Beckenstein 2011、p. 86を参照。

参考文献

• ロバートソン, AP; WJ ロバートソン (1964).位相ベクトル空間. ケンブリッジ数学トラクト. 第53巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  4– 6
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666 OCLC  144216834
• Schaefer, Helmut H.; Wolff , Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . 第8巻（第2版）. ニューヨーク州ニューヨーク：Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 OCLC  840278135
• トレヴス、フランソワ(2006) [1967].位相ベクトル空間、超関数、核. ミネオラ、ニューヨーク州: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC  853623322。

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