円の面積

幾何学において、半径 $r$ の円で囲まれた面積は $π$ $r$ $2$ です。ここで、ギリシャ文字 $π$ は円周と直径の比を表す定数で、約3.14159に相当します。

この公式を導く一つの方法は、アルキメデスに端を発し、円を辺の数が増える正多角形の列の極限とみなすというものです。正多角形の面積は、その周長の半分に中心から各辺までの距離を掛けた値です。この列は円に近づくため、面積は円周の半分に半径を掛けた値であるという公式、すなわち $A$ $=$ $⁠が成り立ちます。$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2⁠ × 2π r × r$ は円に対して成り立ちます。

用語

非公式な文脈では円の面積と呼ばれることが多いですが、厳密に言えば、円盤は円の内部領域を指し、円は曲線であり、それ自体は面積をカバーしない境界のみを指す用語です。したがって、円で囲まれた領域を表すには、円盤の面積の方がより正確です。

歴史

現代数学では、積分法やそのより洗練された派生である実解析法を用いて面積を求めることができる。しかし、円板の面積は古代ギリシャ人が研究していた。紀元前5世紀、クニドスのエウドクソスは、円板の面積がその半径の2乗に比例することを発見していた。 ^[1] アルキメデスはユークリッド幾何学の道具を用いて、著書『円の測定』^の中で、円の内部の面積は、底辺が円周と同じで高さが円の半径に等しい直角三角形の面積に等しいことを示した。円周は2πrであり $、$ 三角形の面積は底辺の半分に高さを掛けたもので、円板の面積は $πr2$ となる。アルキメデスより以前には、キオス島のヒポクラテスがヒポクラテスの三日月求積法の一部として、円板の面積がその直径の2乗に比例することを初めて示したが、^[2]比例定数は特定していなかった。

歴史的な議論

歴史的に、この方程式を様々な数学的厳密さで証明するために、様々な議論が展開されてきました。その中で最も有名なのは、アルキメデスの尽力法です。これは、極限という数学的概念の最も初期の応用の一つであり、実数系の標準的な解析的処理の一部となっているアルキメデスの公理の起源でもあります。アルキメデスの最初の証明は、円弧の長さを割線と接線の長さと比較できること、そして面積に関する同様の記述が幾何学的に明らかであると仮定しているため、現代の基準からすると厳密ではありません。 $A=\pi r^{2}$

ポリゴンの使用

正多角形の面積は、その周長の半分と外接線の積です。正多角形の辺の数が増えるにつれて、多角形は円に近づき、外接線は半径に近づきます。これは、円板の面積が、その境界となる円の円周の半分と半径の積であることを示唆しています。^[3]

アルキメデスの証明

アルキメデスの『円の測量』 （紀元前260年頃）の議論に従い、円で囲まれた面積と、底辺が円周の長さで高さが円の半径に等しい直角三角形を比較してみましょう。円の面積が三角形の面積と等しくない場合、円の面積は三角形の面積より大きいか小さいかのいずれかになります。これらの可能性はいずれも背理によって排除され、等しくなる可能性のみが残ります。正多角形も同様に用います。

大きくない

円で囲まれた面積Cが三角形の面積T = cr /2 より大きいとします。超過分をEで表します。円に正方形を内接させ、その 4 つの頂点が円に沿うようにします。正方形と円の間には 4 つの線分があります。これらの隙間の合計面積G _4がEより大きい場合は、各弧を半分に分割します。これにより、内接正方形は内接八角形になり、合計隙間が小さい 8 つの線分G ₈が生成されます。隙間の合計面積G _nがEより小さくなるまで分割を続けます。すると、内接多角形の面積P _n = C − G _nは、三角形の面積よりも大きくなければなりません。

{\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}

しかし、これは次のような矛盾を生じさせます。多角形の中心から辺の中点に垂線を引くと、その長さhは円の半径よりも小さくなります。また、多角形の各辺の長さをsとすると、辺の和はnsとなり、これは円周よりも小さくなります。多角形の面積は、高さh、底辺sのn個の等しい三角形で構成され、したがってnhs /2となります。しかし、 h < rかつns < cであるため、多角形の面積は三角形の面積cr /2よりも小さくなるはずであり、これは矛盾です。したがって、 CがTよりも大きいという仮定は誤りであることがわかります。

少なくない

円で囲まれた面積が三角形の面積Tより小さいと仮定します。不足面積をDとします。正方形を外接し、各辺の中点が円に接するようにします。正方形と円の面積差G _4がDより大きい場合、円の接線で角を切り落とし、外接八角形を作成します。この切り落としを、角の面積がDより小さくなるまで続けます。多角形の面積P _nはTより小さくなければなりません。

{\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}

これもまた矛盾を生じさせます。多角形の各辺の中点に垂直な線は半径rであり、長さはrです。そして、辺の長さの合計が円周よりも大きいので、多角形は面積の合計がTより大きいn個の同一の三角形で構成されています。ここでも矛盾が生じ、 CがTより小さいという仮定も誤りであることがわかります。

したがって、円で囲まれた面積は三角形の面積と正確に等しいはずです。これで証明は終わりです。

転位証明

佐藤茂俊 (Smith & Mikami 1914, pp. 130–132)、ニコラウス・クザーヌス^[4]、およびレオナルド・ダ・ヴィンチ(Beckmann 1976, p. 19) に従って、内接正多角形を別の方法で使用できます。六角形を内接するとします。六角形を中心から分割して、6 つの三角形に切ります。2 つの向かい合う三角形は、どちらも 2 つの共通直径に接しています。それらを 1 つの半径に沿ってスライドさせ、放射状の辺が隣接するようにします。これで、六角形の辺が 2 つの向かい合う辺を形成し、そのうちの 1 つが底辺sとなる平行四辺形が形成されます。2 つの放射状の辺は傾斜した辺を形成し、高さhはその遠近法に等しくなります(アルキメデスの証明にあるように)。実際、三角形のペアを次々に隣接させることで、すべての三角形を 1 つの大きな平行四辺形に組み立てることもできます。同じことは、辺を 8 辺などに増やしても同様です。 2 n辺の多角形の場合、平行四辺形の底辺の長さはns、高さはhになります。辺の数が増えるにつれて、平行四辺形の底辺の長さは円周の半分に近づき、高さは円の半径に近づきます。極限では、平行四辺形は幅 $π$ r、高さrの長方形になります。

**n 個のポリゴンを並べ替えることによって単位ディスク領域を生成します。**
n	側	ベース	身長	エリア
ポリゴン		平行四辺形
4	1.4142136	2.8284271	0.7071068	2.0000000
6	1.0000000	3.0000000	0.8660254	2.5980762
8	0.7653669	3.0614675	0.9238795	2.8284271
10	0.6180340	3.0901699	0.9510565	2.9389263
12	0.5176381	3.1058285	0.9659258	3.0000000
14	0.4450419	3.1152931	0.9749279	3.0371862
16	0.3901806	3.1214452	0.9807853	3.0614675
96	0.0654382	3.1410320	0.9994646	3.1393502
∞	1/∞	$π$	1	$π$

現代の証明

定数πには様々な同値な定義があります。初等幾何学における一般的な定義は、円周と直径の比です。

\pi ={\frac {C}{D}}.

しかし、円周は原始的な解析概念ではないため、この定義は現代の厳密な取り扱いには適していません。標準的な現代の定義では、 $π は$ コサイン関数の最小の正の根の2倍、または正弦（またはコサイン）関数の半周期に等しいとされています。コサイン関数は、べき級数として、または特定の微分方程式の解として定義できます。これにより、 $π$ の定義で円への参照が回避されるため、 $π$ と円周および面積との関係に関する記述は、実際には定義ではなく定理であり、「面積」や「円周」などの概念の解析的定義から導き出されます。

円周が積分によって直線化可能な曲線として測定されることに同意すれば、解析的定義は同等であることがわかる。

C=2\int _{-R}^{R}{\frac {R\,dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=2R\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

右辺に現れる積分はアーベル積分であり、その値は正弦関数の半周期、つまり $π$ に等しい。したがって、定理として正しいことがわかる。 $C=2\pi R=\pi D$

以下の議論のいくつかは、式を再現するために初等微積分学の概念のみを用いているが、多くの場合、これらを実際の証明とみなすためには、三角関数と基本定数 $πを$ 幾何学との関係とは全く独立した方法で展開できるという事実に暗黙のうちに依存している。これらの証明のそれぞれを三角法から完全に独立させる方法については適宜示したが、場合によっては初等微積分学で可能なものよりも高度な数学的概念が必要となる。 $A=\pi r^{2}$

タマネギ耐性

微積分を用いると、円板を玉ねぎの層のように薄い同心円状に分割し、面積を段階的に加算することができます。これは二次元における殻積分の方法です。半径tの「玉ねぎ」の極めて薄い円板の場合、累積面積は 2 $π$ t dt 、つまり円板の円周長と微小幅の積になります（この円板は、幅 2 $π$ t、高さdtの長方形で近似できます）。これは、半径rの円板の基本積分となります。

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}

これは極座標における多変数置換則によって厳密に証明されます。つまり、面積は定数関数1の円板自身に対する二重積分によって与えられます。Dが円板を表す場合、この二重積分は極座標において次のように計算できます。

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\\end{aligned}}

これは上記で得られた結果と同じになります。

三角法の特殊座標に頼らずに、同等の厳密な正当化を行うには、共面積の公式を用いる。によって関数を定義する。ρ はリプシッツ関数であり、その勾配は（ほぼどこでも）単位ベクトルとなることに注意する。Dをにおける円板とする。となることを示す。ここではにおける2次元ルベーグ測度である。円の1次元ハウスドルフ測度は、つまり半径rの円の円周であると仮定する。（これは円周の定義とみなせる。）すると、共面積の公式により、 $\rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\textstyle \rho (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $|\nabla \rho |=1$ $\rho <1$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\mathcal {L}}^{2}(D)=\pi$ ${\mathcal {L}}^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\rho =r$ $2\pi r$

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{2}(D)&=\iint _{D}|\nabla \rho |\,d{\mathcal {L}}^{2}\\&=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r)\cap D)\,dr\\&=\int _{0}^{1}{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r))\,dr\\&=\int _{0}^{1}2\pi r\,dr=\pi .\end{aligned}}

三角形の証明

上で概説したタマネギの証明と同様に、円板の面積の公式を導くために微積分を別の方法で利用することもできます。同心円を直線に展開することを考えてみましょう。すると、高さr、底辺2πr $（$ タマネギの外側のスライス）の直角三角形が形成されます。

この三角形の面積を求めると円盤の面積が求められる。

{\begin{aligned}{\text{Area}}&{}={\frac {1}{2}}\cdot {\text{base}}\cdot {\text{height}}\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\[6pt]&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}

この三角形の対角と隣接角は、それぞれ度で 9.0430611...、80.956939...、ラジアンで 0.1578311... OEIS : A233527、1.4129651 ... OEIS : A233528 です。

具体的には、円を三角形に分割し、それぞれの高さが円の半径に等しく、底辺が無限に小さいとします。これらの三角形の面積はそれぞれです。これらの三角形の面積をすべて合計（積分）すると、円の面積の公式が得られます。 $1/2\cdot r\cdot du$

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,du\\[6pt]&{}=\left[{\frac {1}{2}}ru\right]_{0}^{2\pi r}\\[6pt]&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}

これも、積分の順序を逆にし、上記の反復積分で変数の変更を使用することで、定数関数 1 のディスク上の二重積分によって正当化できます。

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\ d\theta \\\end{aligned}}

置換すると積分は次のように変換されます。 $u=r\theta ,\ du=r\ d\theta$

\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}{\frac {r^{2}}{r}}du=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\ du

これは上記の結果と同じです。

三角形の証明は、グリーンの定理をフラックス発散形（つまり、発散定理の2次元版）に適用することで再定式化することができ、三角法や定数 $π$ については一切触れずに済む。平面上のベクトル場を考えてみよう。rの発散は2であり、したがって円板Dの面積は $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$

A={\frac {1}{2}}\iint _{D}\operatorname {div} \mathbf {r} \,dA.

グリーンの定理によれば、これはDを囲む円を横切るrの外向きのフラックスと同じです。

A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} \,ds

ここでnは単位法線、dsは弧長の尺度である。原点を中心とする半径Rの円の場合、およびとなるので、上記の等式は $|\mathbf {r} |=R$ $\mathbf {n} =\mathbf {r} /R$

A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathbf {r} }{R}}\,ds={\frac {R}{2}}\oint _{\partial D}\,ds.

dsを円全体に渡って積分すると、円周である弧の長さに等しいので、円で囲まれた面積Aは円周の倍数に等しいことがわかります。 $\partial D$ $R/2$

三角形を使った別の証明では、円で囲まれた面積が無限の数の三角形（つまり、それぞれの三角形は円の中心で角度 $d𝜃$ を持ちます）で構成され、それぞれの面積は $⁠$ $1 / 2 ⁠ \cdot r 2 \cdot d𝜃$ (三角形の面積の式から派生: $⁠$ $1 / 2 ⁠ \cdot a \cdot b \cdot 罪 𝜃 = ⁠ 1 / 2 ⁠ \cdot r \cdot r \cdot sin(d𝜃) = ⁠ 1 / 2 ⁠ \cdot r 2 \cdot d𝜃$ ）。小角近似により $、 sin(d𝜃) \approx d𝜃$ となることに注意してください。三角形の面積を合計することで、円の面積の式が得られます。 ${\begin{aligned}\mathrm {Area} &{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \\&{}=\left[{\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}$

半円証明

半径rの半円の面積は積分によって計算できることに注意してください。 ${\textstyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$

三角関数の置換により、をに置換するので、 $x=r\sin \theta$ $dx=r\cos \theta \,d\theta .$ ${\begin{aligned}\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}\left(1-\sin ^{2}\theta \right)}}\cdot r\cos \theta \,d\theta \\[5pt]&=2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[5pt]&={\frac {\pi r^{2}}{2}}.\end{aligned}}$

最後のステップは、三角関数の恒等式から、とは区間において、を置換積分を用いて等しい積分を持つことがわかるため、次式で表されます。しかし一方で、であるため、2つの積分の和はその区間の長さ、つまりとなります。したがって、の積分はその区間の長さの半分、つまりとなります。 $\cos(\theta )=\sin(\pi /2-\theta )$ $\cos ^{2}\theta$ $\sin ^{2}\theta$ $[0,\pi /2]$ $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ $\pi /2$ $\cos ^{2}\theta$ $\pi /4$

したがって、半径rの円の面積は半円の面積の 2 倍であり、に等しくなります。 $2\cdot {\frac {\pi r^{2}}{2}}=\pi r^{2}$

この証明は、三角関数の置換に含まれる正弦関数と余弦関数が円との関係で定義されていると見なすと、論点回避のように見えるかもしれません。しかし、前述のように、正弦、余弦、 $π$ を三角法とは全く独立して定義することが可能であり、その場合、正弦と余弦の基本的な性質（円との関係について何も仮定せずに証明することも可能です）を仮定すれば、変数変換の公式とフビニの定理によって証明は有効です。

等周不等式

円は、最小の周長を持ち、最大の面積を囲む閉曲線です。これは等周不等式として知られており、ユークリッド平面上の直角化可能なジョルダン曲線が周長Cを持ち、面積Aを囲む場合（ジョルダン曲線定理により）、

4\pi A\leq C^{2}.

さらに、この不等式において等式が成り立つのは、曲線が円である場合のみであり、その場合にはおよびとなります。 $A=\pi r^{2}$ $C=2\pi r$

高速近似

アルキメデスが面積を数値的に近似するために用いた計算は骨の折れるもので、96辺の多角形で計算を中止しました。より高速な方法として、ヴィレブロルド・スネル（Cyclometricus 、1621年）の考えが用いられ、クリスティアーン・ホイヘンス（De Circuli Magnitudine Inventa 、1654年）によってさらに発展させられ、Gerretsen & Verdenduin (1983, pp. 243–250) に記述されています。

アルキメデスの倍加法

円が与えられ、u _{n を}内接正n角形の周長、U n_を外接正n角形の周長とします。u n_とU _{n は}円周の下限と上限であり、nが増加するにつれて鋭くなります。これらの平均値 ( u _n + U _n )/2 は円周の特に良い近似値です。大きなnに対するu _nとU _{n を}計算するために、アルキメデスは次の倍数公式を導きました。

u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}

（幾何平均）、および

U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}

（調和平均）。

アルキメデスは六角形から始めてn を4 倍にして 96 角形を求め、これによって円周の近似値を得ることができました。

現代の記法で彼の計算を再現し（そしてさらに進めて）、次のように表すことができます。単位円の場合、内接六角形はu ₆ = 6、外接六角形はu ₆ = 4√3です。これを7倍すると、

**アルキメデスの7倍増; n = 6 × 2 ^k。**
け	n	あなた	ウン	⁠u _n + U _n/4⁠
0	6	6.0000000	6.9282032	3.2320508
1	12	6.2116571	6.4307806	3.1606094
2	24	6.2652572	6.3193199	3.1461443
3	48	6.2787004	6.2921724	3.1427182
4	96	6.2820639	6.2854292	3.1418733
5	192	6.2829049	6.2837461	3.1416628
6	384	6.2831152	6.2833255	3.1416102
7	768	6.2831678	6.2832204	3.1415970

（ここ⁠u _n + U _n/2⁠は単位円の円周に近似し、2π $なので$ 、⁠u _n + U _n/4⁠ $π$ に近似します。

表の最後の項には、³⁵⁵ ⁄ _113が最良の有理数近似値の1つとして挙げられている。つまり、分母が113までの有理数の中でこれより良い近似値はないということである。355 ⁄ ₁₁₃^{という数は} $π$ の優れた近似値でもあり、中国の数学者Zu ChongzhiがMilüと名付けたものである。^[5]この近似値は、分母が16,604未満の他のどの有理数よりも優れている。^[6]

スネル・ホイヘンス改良

スネルはアルキメデスの限界よりも厳しい限界を提案し、ホイヘンスはそれを証明した。

n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n\left(2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}\right).

n = 48の場合、アルキメデスの方法のn = 768 の場合よりも良い近似値 (約 3.14159292) が得られます。

アルキメデスの倍加公式の導出

正n角形に内接する一辺の長さがs _nで、円と点 A および B で接するとします。円上の A の反対側の点を A′ とすると、A′A は直径となり、A′AB は直径に内接する三角形となります。タレスの定理により、これは B で直角となる直角三角形となります。A′B の長さをc _nとし、これをs _nの補角と呼び、c _n² + s _n² = (2 r ) ^{2 と}なります。C は A から B への弧を二等分し、円上の C の反対側の点を C′ とします。したがって、CA の長さはs _{2 n}、C′A の長さはc _{2 n}となり、C′CA 自体は直径 C′C 上の直角三角形となります。 CはAからBへの弧を二等分するため、C′CはAからBへの弦を垂直に二等分し、例えばPで二等分します。三角形C′APは直角三角形であり、 C′で角を共有するためC′CAと相似です。したがって、対応する3辺はすべて同じ比率になります。具体的には、C′A : C′C = C′P : C′A、AP : C′A = CA : C′Cとなります。円の中心OはA′Aを二等分するため、A′ABと相似の三角形OAPも存在します。OPの長さはA′Bの半分です。辺の長さで考えると、以下の式が得られます。

{\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}

最初の式ではC′PはC′O+OP、長さr + ⁠1/2⁠ c _n、C′C は直径 2 rです。単位円については、ルドルフ・ファン・クーレンの有名な倍加方程式が成り立ちます。

c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.

ここで、辺A″B″がABに平行な正n角形に外接すると、OABとOA″B″は相似三角形となり、A″B″:AB=OC:OPが成り立ちます。外接辺をS _nとすると、 S _n : s _n = 1: ¹ ⁄ ₂c _nとなります。（ここでもOPはA′Bの長さの半分であることを用いました。）したがって、

c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.

内接周をu _n = ns _n、外接周をU _n = nS _nとする。これらの式を組み合わせると、

c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},

となることによって

u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.

これにより幾何平均方程式が得られます。

また、次のように推測することもできる。

2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},

または

{\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.

これにより調和平均方程式が得られます。

ダーツ近似

より効率的な面積算出方法が利用できない場合、「ダーツを投げる」という手法に頼ることができます。このモンテカルロ法は、円盤を含む正方形の表面全体に均一に散らばったランダムサンプルを採取した場合、円盤に当たるサンプルの割合が円盤の面積と正方形の面積の比に近似するという事実を利用します。この方法は、円盤（または任意の形状）の面積を計算するための最終手段とみなすべきです。実用的な精度を得るには膨大な数のサンプルが必要となるためです。10 ^{− n}の精度で推定するには、約100 ⁿ個のランダムサンプルが必要です（Thijssen 2006, p. 273）。

有限再配置

円板を無限の数の断片に分割することで、それらを再構成して長方形にすることができることを見てきました。比較的最近（Laczkovich 1990）発見された注目すべき事実は、円板を有限個の大きな断片に分割し、それらを再構成して等面積の正方形にすることができるということです。これはタルスキの円の正方形化問題と呼ばれています。Laczkovichの証明の性質は、そのような分割（実際には多くの分割）の存在を証明するものの、特定の分割を示すものではないというものです。

非ユークリッド円

円は非ユークリッド幾何学、特に双曲面と楕円面で定義できます。

例えば、単位球面は二次元楕円平面のモデルであり、測地線の長さを測定することによって生じる固有の計量を持ちます。測地円は測地座標系における緯線です。 $S^{2}(1)$

より正確には、天頂に置いた点を固定します。その天頂には測地極座標系, ,が関連付けられており、ここでzは点です。これらの座標では、 zから座標を持つ他の任意の点までの測地距離は、 xにおけるの値です。球面円は、天頂点zから測地距離Rにある点の集合です。同様に、への固定埋め込みにより、 zを中心とする半径の球面円は、となるxの集合です。 $\mathbf {z} \in S^{2}(1)$ $(\varphi ,\theta )$ $0\leq \varphi \leq \pi$ $0\leq \theta <2\pi$ $\varphi =0$ $\mathbf {x} \in S^{2}(1)$ $(\varphi ,\theta )$ $\varphi$ $\mathbb {R} ^{3}$ $R\leq \pi$ $S^{2}(1)$ $\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} =\cos R$

球面上の固有表面積を用いて、球面円で囲まれた球面円板の面積を測定することもできます。半径Rの円板の面積は次のように与えられます。

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\sin(\varphi )\,d\varphi \,d\theta =2\pi (1-\cos R).

より一般的には、球の曲率半径がの場合、半径Rの円板の面積は次のように表される。 $S^{2}(\rho )$ $\rho$

A=2\pi \rho ^{2}(1-\cos(R/\rho )).

ロピタルの法則を応用すると、平坦な極限ではこれがユークリッド面積に近づくことがわかります。 $\pi R^{2}$ $\rho \to \infty$

双曲面の場合も同様で、（一定曲率）双曲面上の固有半径Rの円板の面積は次のように与えられる。 $-1$

A=2\pi (1-\cosh R)

ここでcoshは双曲余弦である。より一般的には、定曲率双曲面の場合、答えは次のようになる。 $-k$

A=2\pi k^{-2}(1-\cosh(kR)).

これらの恒等式は幾何学における比較不等式において重要です。例えば、平面空間における半径Rの円の面積は、3つの円の半径がすべて同じ（固有）半径を持つ場合、常に球面円の面積よりも大きく、双曲円の面積よりも小さくなります。つまり、

2\pi (1-\cos R)<\pi R^{2}<2\pi (1-\cosh R)

すべてのに対してが成り立つ。直感的に言えば、これは球面が自身に反り返ろうとする傾向があり、平面上の円よりも面積の小さい円が生じるのに対し、双曲面は空間に沈み込むと縞模様が生じ、面積が増加するためである。より一般的には、固定半径Rの円の面積は曲率の関数として厳密に減少する。 $R>0$

いずれの場合も、が曲率（定数、正または負）であれば、面積Aと周囲長Lの領域における等周不等式は $k$

L^{2}\geq 4\pi A-kA^{2}

円に対してまさに平等が達成される。^[7]

一般化

円板を引き伸ばして楕円を形成することができる。この引き伸ばしは平面の線形変換であるため、歪み係数を持ち、面積は変化するが面積比は維持される。この観察結果は、単位円の面積から任意の楕円の面積を計算するために利用できる。

辺の長さが2の正方形に外接する単位円を考えてみましょう。この変換により、円は楕円形に変換されます。楕円形の長軸と短軸に対して、水平方向と垂直方向の直径が伸縮します。正方形は、楕円形に外接する長方形に変換されます。円と正方形の面積の比は $π$ /4です。つまり、楕円と長方形の面積の比も $π$ /4です。楕円形の長軸と短軸の長さをそれぞれaとbとします。長方形の面積はabなので、楕円形の面積は $π$ ab /4です。

高次元においても、同様の測定法を考えることができます。例えば、球の内部の体積を求めたい場合、表面積の公式が分かれば、円板の場合と同じような「タマネギ」のアプローチを用いることができます。

参照

参考文献

^ スチュワート、ジェームズ (2003). 『一変数微積分学超越関数入門』（第5版）. トロント ON: Brook/Cole. pp. 3. ISBN 0-534-39330-6しかし、エウドクソス（紀元前5世紀）は間接的な推論によって、円板の面積を求めるよく知られた公式を証明しました。 $A=\pi r^{2}.$
^ ヒース、トーマス・L.（2003）、ギリシャ数学マニュアル、クーリエ・ドーバー出版、pp. 121– 132、ISBN 0-486-43231-9。
^ ヒル、ジョージ『 幾何学のレッスン：初心者向け』124ページ（1894年）。
^ ブライアン・クレッグ（2012年）『Introducing Infinity』Icon Books. p. 69. ISBN 978-1-84831-406-1。
^ マルツロフ、ジャン＝クロード（2006年）『中国数学史』シュプリンガー、p.281、ISBN 9783540337829。
^ すべての最良の有理近似が連分数の収束となるわけではありません。
^ アイザック・シャベル (2001)、等周不等式、ケンブリッジ大学出版局

参考文献

アルキメデス（1897）「円の測定」ヒース、TL（編）『アルキメデス全集』ケンブリッジ大学出版局
(元々はJL ハイバーグのギリシャ語版に基づいて、 1897 年にケンブリッジ大学出版局から出版されました。)
ベックマン、ペトル（1976）『円周率の歴史』、セント・マーチンズ・グリフィン、ISBN 978-0-312-38185-1
Gerretsen, J.; Verdenduin, P. (1983)、「第8章多角形と多面体」、H. Behnke、F. Bachmann、K. Fladt、H. Kunle (編)、『数学の基礎』第2巻幾何学、S.H. Gould訳、MIT Press、pp. 243– 250、ISBN 978-0-262-52094-2
(原文はGrundzüge der Mathematik、Vandenhoeck & Ruprecht、ゲッティンゲン、1971 年。)
Laczkovich、Miklós (1990)、「等分解性と不一致: タルスキーの円二乗問題の解決策」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1990 (404): 77–117、doi :10.1515/crll.1990.404.77、MR 1037431、S2CID 117762563
ラング、セルジュ（1985）「円の長さ」、数学！：高校生との出会い、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96129-3
スミス、デイヴィッド・ユージン; 三上義雄（1914）『日本数学史』シカゴ：オープンコート出版、pp. 130– 132、ISBN 978-0-87548-170-8 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
Thijssen, JM (2006),計算物理学, Cambridge University Press, p. 273, ISBN 978-0-521-57588-1

外部リンク

タルスキ問題に関する科学ニュース 2008年4月13日アーカイブWayback Machine

[1] スチュワート、ジェームズ (2003). 『一変数微積分学超越関数入門』（第5版）. トロント ON: Brook/Cole. pp. 3. ISBN 0-534-39330-6しかし、エウドクソス（紀元前5世紀）は間接的な推論によって、円板の面積を求めるよく知られた公式を証明しました。 $A=\pi r^{2}.$

[heath-2] ヒース、トーマス・L.（2003）、ギリシャ数学マニュアル、クーリエ・ドーバー出版、pp. 121– 132、ISBN 0-486-43231-9。

[3] ヒル、ジョージ『 幾何学のレッスン：初心者向け』124ページ（1894年）。

[4] ブライアン・クレッグ（2012年）『Introducing Infinity』Icon Books. p. 69. ISBN 978-1-84831-406-1。

[5] マルツロフ、ジャン＝クロード（2006年）『中国数学史』シュプリンガー、p.281、ISBN 9783540337829。

[6] すべての最良の有理近似が連分数の収束となるわけではありません。

[7] アイザック・シャベル (2001)、等周不等式、ケンブリッジ大学出版局