自己相関

Correlation of a signal with a time-shifted copy of itself, as a function of shift

上：正弦関数を隠蔽する100個の乱数列のプロット。下：自己相関によって生成された相関図に現れた正弦関数。

畳み込み、相互相関、自己相関の視覚的な比較。関数fに関する演算において、fの高さを1.0と仮定すると、5つの異なる点における結果の値は、各点の下の網掛け部分で示されます。また、fの対称性が理由で、この例では f と f は同一です。 ${\displaystyle g*f}$ ${\displaystyle f\star g}$

自己相関（離散時間の場合はシリアル相関とも呼ばれる）は、信号とその信号の遅延コピーとの相関関係を測定します。本質的には、異なる時点におけるランダム変数の観測値間の類似性を定量化します。自己相関分析は、ノイズによって隠された信号内の繰り返しパターンや隠れた周期性を特定するための数学的ツールです。自己相関は、信号処理、時間領域解析、時系列解析において、データの時間経過に伴う挙動を理解するために 広く用いられています。

自己相関の定義は研究分野によって異なり、必ずしもすべての定義が同等というわけではありません。一部の分野では、この用語は自己共分散と同義に使用されます。

さまざまな時系列モデルには、単位根過程、傾向定常過程、自己回帰過程、移動平均過程などの自己相関が組み込まれています。

確率過程の自己相関

統計学において、実数または複素数ランダム過程の自己相関とは、異なる時刻における過程の値間のピアソン相関であり、2つの時刻または時間差の関数として表される。をランダム過程とし、を任意の時点とする（は離散時間過程の場合は整数、連続時間過程の場合は実数）。この場合、は時刻 における過程の所定の実行によって生成される値（または実現値）である。各 について、時刻 における過程の平均と分散がであるとする。この場合、時刻と の間の自己相関関数の定義は^{[1] : 388  [2] : 165}である。 ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]}$

ここでは期待値演算子であり、バーは複素共役を表します。期待値は明確に定義されない場合があることに注意してください。 ${\displaystyle \operatorname {E} }$

乗算の前に平均値を引くと、時刻と時刻間の自己共分散関数が得られる：^{[1] ：392  [2] ：168} ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})&=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\\&=\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\end{aligned}}}$

この式は、全時系列または全プロセスに対しては適切に定義されないことに注意してください。平均が存在しない場合や、分散がゼロ (定数プロセスの場合) または無限大 (特定の種類のべき乗法則など、分布に適切なモーメントがないプロセスの場合) になる場合があるためです。

広義定常確率過程の定義

が広義の定常過程である場合、平均と分散は時間に依存しない。さらに、自己共分散関数は と の間の時間差のみに依存する。自己共分散は、2つの値の間の時間距離のみに依存し、時間における位置には依存しない。これはさらに、自己共分散と自己相関が時間差の関数として表すことができ、これは時間差の 偶関数となることを意味する。これは、自己相関関数のより一般的な形を与える^{[1] ：395} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]}$

自己共分散関数：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(\tau )&=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}\\&=\operatorname {R} _{XX}(\tau )-\mu {\overline {\mu }}\end{aligned}}}$

特に、

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.}$$

正規化

一部の分野（例えば統計学や時系列解析）では、自己共分散関数を正規化して時間依存のピアソン相関係数を得るのが一般的です。しかし、他の分野（例えば工学）では、正規化は通常省略され、「自己相関」と「自己共分散」という用語は同じ意味で使用されます。

確率過程の自己相関係数の定義は^{[2] ：169 である。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}\\&={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.\end{aligned}}}$$

関数が適切に定義されている場合、その値は の範囲内にある必要があり、1 は完全な相関を示し、-1 は完全な反相関を示します。 ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

広義定常（WSS）プロセスの場合、定義は

$${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.}$$

正規化が重要なのは、自己相関を相関として解釈することで、統計的依存性の強さを尺度なしで測定できるためと、正規化が推定された自己相関の統計的特性に影響を与えるためです。

プロパティ

対称性

自己相関関数が偶関数であるという事実は、WSSプロセスについてはそれぞれ^{[2] :171}と述べることができる。^{[2] :173} ${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.}$$

ゼロで最大

WSSプロセスの場合: ^{[2] : 174}は常に実数である ことに注意してください。 $${\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)}$$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(0)}$

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式、確率過程の不等式：^{[1] : 392} $${\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]}$$

白色ノイズの自己相関

連続時間ホワイトノイズ信号の自己相関は、 で強いピーク（ディラックのデルタ関数で表される）を持ち、他のすべての ではとまったく同じになります。 ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \tau }$

ウィーナー・ヒンチンの定理

ウィーナー・ヒンチンの定理は、フーリエ変換を介して自己相関関数とパワースペクトル密度を関連付けます。 ${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}$ ${\displaystyle S_{XX}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}$$

実数値関数の場合、対称自己相関関数は実対称変換を持つため、ウィーナー・ヒンチンの定理は実余弦のみで再表現できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}$$

ランダムベクトルの自己相関

（潜在的に時間依存する）ランダムベクトルの（潜在的に時間依存する）自己相関行列（二次モーメントとも呼ばれる）は、ランダムベクトルのすべての要素のペアの自己相関を要素として含む行列です。自己相関行列は、様々なデジタル信号処理アルゴリズムで使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

期待値と分散が存在するランダム要素を含むランダムベクトル の場合、自己相関行列は^{[3] ：190  [1] ：334}で定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]}$

ここで、 は次元 の転置行列を表します。 ${\displaystyle {}^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle n\times n}$

コンポーネントごとに記述:

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}}$$

が複素乱数ベクトルである場合、自己相関行列は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}$$

ここで はエルミート転置を表します。 ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

たとえば、がランダムベクトルの場合、 は番目の要素が である行列になります。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}$

自己相関行列の性質

• 自己相関行列は、複素乱数ベクトルに対してはエルミート行列であり、実数乱数ベクトルに対しては対称行列である。 ^{[3] : 190}
• 自己相関行列は正の半正定値行列である^{[3] ：190}、すなわち実数ランダムベクトルの場合は 、複素数ランダムベクトルの場合はとなる。 ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$
• 自己相関行列のすべての固有値は実数かつ非負です。
• 自己共分散行列は自己相関行列と次のように関係している。それぞれ複素ランダムベクトルの場合： $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}\end{aligned}}}$$

決定論的信号の自己相関

信号処理においては、上記の定義は正規化、つまり平均を減算したり分散で割ったりせずに用いられることが多い。自己相関関数が平均と分散で正規化されている場合、自己相関係数^[4]または自己共分散関数と呼ばれることもある。

連続時間信号の自己相関

信号 が与えられた場合、連続自己相関は、遅れ における と 自身の連続相互相関積分として定義されることが多い。^{[1] : 411} ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle R_{ff}(\tau )}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle R_{ff}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t}$

ここで、は の複素共役を表します。積分におけるパラメータ はダミー変数であり、積分を計算するためにのみ必要です。特別な意味はありません。 ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t}$

離散時間信号の自己相関

離散時間信号の遅れにおける離散自己相関は ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle y(n)}$

${\displaystyle R_{yy}(\ell )=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}}$

上記の定義は、平方積分可能、あるいは平方和可能、つまり有限エネルギーの信号に対して有効です。「永遠に続く」信号はランダム過程として扱われ、その場合には期待値に基づいて異なる定義が必要となります。広義定常ランダム過程の場合、自己相関は次のように定義されます 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}}$$

定常ではないプロセスの場合、これらは、 、または の関数でもあります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$

エルゴード過程の場合、期待値は時間平均の極限に置き換えることができる。エルゴード過程の自己相関は、次のように定義されるか、または次のように等しくされることがある^[4]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}}$$

これらの定義には、周期関数が定常エルゴード過程の出力でない場合でも、周期関数に対して適切に定義された単一パラメータの結果が得られるという利点があります。

あるいは、永久に続く信号は、有限時間積分を用いた短時間自己相関関数解析によって処理することができます。（関連プロセスについては、短時間フーリエ変換を参照してください。）

周期信号の定義

が周期 の連続周期関数である場合、 からへの積分は長さ の任意の区間での積分に置き換えられます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,dt}$$

これは次の式と同等である。

$${\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,dt}$$

プロパティ

以下では、1次元自己相関の特性についてのみ説明する。これは、1次元の場合の特性のほとんどが多次元の場合にも容易に適用できるためである。これらの特性は、広義の定常過程にも当てはまる。^[5]

• 自己相関の基本的な性質は対称性であり、これは定義から容易に証明できる。連続の場合、 ${\displaystyle R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )}$
  • 自己相関は実関数の場合には偶関数であり、 ${\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )}$ ${\displaystyle f}$
  • が複素関数のとき、自己相関はエルミート関数 になります。 ${\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )}$ ${\displaystyle f}$
• 連続自己相関関数は原点でピークに達し、実数値、すなわち任意の遅延に対して となる。^{[1] : 410}これは再配置不等式の結果である。離散的なケースでも同じ結果が成り立つ。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle |R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)}$
• 周期関数の自己相関は、それ自体が同じ周期で周期的です。
• 完全に相関のない 2 つの関数の合計の自己相関 (相互相関はすべてに対してゼロ) は、各関数の自己相関を個別に合計したものです。 ${\displaystyle \tau }$
• 自己相関は相互相関の特定のタイプであるため、相互相関のすべての特性を維持します。
• シンボルを使用して畳み込みを表し、が関数 を操作する関数であり、 が として定義されている場合、 の定義は次のように記述できます。 ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle g_{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{-1}(f)(t)=f(-t)}$ ${\displaystyle R_{ff}(\tau )}$ $${\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )}$$

多次元自己相関

多次元自己相関も同様に定義される。例えば、3次元では、平方和可能な離散信号の自己相関は次のように表される。

$${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}$$

自己相関関数を計算する前に信号から平均値を減算すると、結果の関数は通常、自己共分散関数と呼ばれます。

効率的な計算

離散列として表現されたデータの場合、高い計算効率で自己相関を計算することがしばしば必要となる。信号サイズが小さい場合は、信号処理定義に基づくブルートフォース法を用いることができる。例えば、実信号列（すなわち、iの他のすべての値について、および）の自己相関を手計算で計算するには、まず、上記の定義が「通常の」乗算と同じだが、右シフトを伴うことを認識する必要がある。この場合、各垂直加算は特定の遅延値に対する自己相関を与える。 ${\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}}$ ${\displaystyle x=(2,3,-1)}$ ${\displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}$$

したがって、必要な自己相関シーケンスはであり、他の遅延値の自己相関は 0 です。この計算では、通常の乗算​​で通常行われる加算中の繰り上がり演算は実行しません。自己相関の固有の対称性を利用することで、必要な演算数を半分にできることに注目してください。信号が周期的である場合、つまり の場合、円自己相関（円畳み込みに類似）が得られ、前の自己相関シーケンスの左右の裾が重なり合って となり、信号シーケンスと同じ周期を持つ が得られます。この手順は、離散信号のZ 変換の畳み込み特性の応用と見なすことができます。 ${\displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}$ ${\displaystyle R_{xx}(0)=14,}$ ${\displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}$ ${\displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}$ ${\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),}$ ${\displaystyle R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )}$ ${\displaystyle x.}$

ブルートフォースアルゴリズムはn ^{2 の}オーダーであるが、自己相関を n log( n )のオーダーで計算できる効率的なアルゴリズムもいくつか存在する。例えば、ウィーナー・ヒンチンの定理は、生データX ( t )から2回の高速フーリエ変換（FFT）を用いて自己相関を計算することを可能にする。 ^{[6] [要ページ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}$$

ここで、IFFTは逆高速フーリエ変換を表します。アスタリスクは複素共役を表します。

あるいは、低いτ値に対しては力ずく計算を行い、その後X ( t )データを対数密度で段階的にビン化し、より高い値を計算することで、同じnlog(n)効率が得られ、メモリ要件は低くなります。^{[7] [8]}

推定

平均と分散が既知で、観測値が観測される離散プロセスの場合、自己相関係数の推定値は次のように得られる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$

$${\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}$$

任意の正の整数 に対して。真の平均と分散が既知の場合、この推定値は不偏です。プロセスの真の平均と分散が不明な場合は、いくつかの可能性があります。 ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

• およびを標本平均と標本分散の標準公式に置き換えると、これは偏った推定値になります。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• ピリオドグラムに基づく推定では、上記の式を で置き換えます。この推定値は常にバイアスを持ちますが、通常は平均二乗誤差が小さくなります。^{[9] [10]} ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle n}$
• 他の可能性としては、2つのデータ部分を別々に扱い、推定値の定義に使用するために個別のサンプル平均やサンプル分散を計算することが挙げられます。[^{引用が必要]} ${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}}$ ${\displaystyle \{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$

最後のタイプの推定値の利点は、推定された自己相関の集合が の関数として、まさにその自己相関を持つ理論的過程を定義できるという意味で有効な自己相関関数を形成することです。他の推定値では、 の線形結合の分散を計算するために使用すると、計算された分散が負になる可能性があるという問題があります。^[11] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

回帰分析

時系列データを用いた回帰分析では、対象変数の自己相関は、通常、自己回帰モデル（AR）、移動平均モデル（MA）、それらの組み合わせである自己回帰移動平均モデル（ARMA）、あるいは後者の拡張である自己回帰和分移動平均モデル（ARIMA）のいずれかを用いてモデル化されます。複数の相互に関連するデータ系列の場合は、ベクトル自己回帰（VAR）またはその拡張が用いられます。

通常最小二乗法（OLS）では、回帰残差の自己相関の有無を確認することで、モデル仕様の妥当性をある程度検証できます。問題となる誤差の自己相関は、それ自体は観測されませんが、観測可能な残差に自己相関を生み出すため、通常は検出可能です。（誤差は計量経済学では「誤差項」とも呼ばれます。）誤差の自己相関は、誤差項が無相関であるという通常最小二乗法の仮定に反するため、ガウス・マルコフ定理は適用されず、OLS推定値は最良線形不偏推定値（青）ではなくなります。OLS係数推定値にバイアスは生じませんが、低ラグにおける誤差の自己相関が正の場合、標準誤差は過小評価され（tスコアは過大評価され）、tスコアは過大評価される傾向があります。

一次自己相関の存在を検定する従来の方法は、ダービン・ワトソン統計量、または説明変数に遅れのある従属変数が含まれる場合はダービンのh統計量である。しかしダービン・ワトソンは、値とその遅れとの間のピアソン相関に線形マッピングすることができる。^[12] 高次の自己相関をカバーし、回帰変数に従属変数の遅れが含まれるかどうかに関係なく適用可能な、より柔軟な検定は、ブルーシュ・ゴッドフリー検定である。この検定には補助回帰が含まれ、対象モデルの推定から得られた残差が (a) 元の回帰変数と (b)残差のk遅れに回帰される。ここで、k は検定の次数である。この補助回帰からの検定統計量の最も単純なバージョンはTR ²であり、Tはサンプルサイズ、R ^2は決定係数である。自己相関がないという帰無仮説の下では、この統計はkの自由度で漸近的に分布します。 ${\displaystyle \chi ^{2}}$

非ゼロ自己相関への対応としては、一般化最小二乗法とニューイ・ウェストHAC推定量（異分散性と自己相関の一貫性）が挙げられる。^[13]

移動平均モデル（MA）の推定において、自己相関関数は、含めるべき遅延誤差項の適切な数を決定するために使用されます。これは、qオーダーのMAプロセスにおいて、に対して、に対して、 であるという事実に基づいています。 ${\displaystyle R(\tau )\neq 0}$ ${\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q}$ ${\displaystyle R(\tau )=0}$ ${\displaystyle \tau >q}$

アプリケーション

自己相関はデータ内の繰り返しパターンを見つけることができるため、次のような多くの用途に利用できます。

• 自己相関分析は蛍光相関分光法^[14]で分子レベルの拡散や化学反応に関する定量的な知見を得るために多用されている。 ^[15]
• 自己相関のもう 1 つの応用は、光スペクトルの測定と、レーザーによって生成される非常に短時間の光 パルスの測定です。どちらも光自己相関器が使用されます。
• 自己相関は動的光散乱データの解析に用いられ、特に流体中に懸濁したナノメートルサイズの粒子やミセルの粒度分布の測定を可能にします。混合物にレーザーを照射すると、粒子の運動に起因するスペックルパターンが生成されます。この信号の自己相関は、粒子の拡散の観点から解析できます。これにより、流体の粘度が分かれば、粒子のサイズを計算できます。
• GPSシステムでは、衛星からの搬送信号送信時点と地上受信機における送信時点との間の伝搬遅延、すなわち時間ずれを補正するために利用されている。これは、受信機が1,023ビットのC/A（Coarse/Acquisition）コードのレプリカ信号を生成し、コードチップ[-1,1]を10個ずつ、つまり10,230チップ（1,023 × 10）のパケットで生成することによって行われる。このコードは、受信衛星信号のドップラーシフトを補正するために、受信機のレプリカ信号と衛星信号のコードが一致するまで、わずかにシフトしながら生成される。^[16]
• ナノ構造システムの小角X線散乱強度は、電子密度の空間自己相関関数のフーリエ変換です。
• 表面科学や走査型プローブ顕微鏡では、自己相関は表面形態と機能特性との関連を確立するために使用されます。^[17]
• 光学では、正規化された自己相関と相互相関によって電磁場のコヒーレンスの度合いが与えられます。
• 天文学では、自己相関によってパルサーの頻度を決定することができます。
• 音楽では、自己相関（1秒未満の時間スケールで適用された場合）は、楽器チューナーと「オートチューン」（歪み効果として、またはイントネーションの修正に使用）の両方のピッチ検出アルゴリズムとして使用されます。^[18] 1秒を超える時間スケールで適用された場合、自己相関は音楽のビートを識別し、たとえばテンポを決定することができます。
• パターソン関数を介した時間ではなく空間における自己相関は、X 線回折学者によって使用され、回折だけでは得られない原子の位置に関する「フーリエ位相情報」の回復に役立ちます。
• 統計学では、サンプル位置間の空間的自己相関は、異質な集団をサンプリングするときに平均値の不確実性を推定するのにも役立ちます。
• 質量スペクトルを分析するための SEQUESTアルゴリズムは、自己相関と相互相関を組み合わせて使用​​し、観測されたスペクトルとペプチドを表す理想化されたスペクトルの類似性をスコア付けします。
• 天体物理学では、自己相関は宇宙の銀河の空間分布を研究し特徴付けるために、また低質量のX線連星の多波長観測に使用されます。
• パネル データでは、空間的自己相関とは、空間を通じた変数自体の相関を指します。
• マルコフ連鎖モンテカルロデータの分析では、正しいエラー判定のために自己相関を考慮する必要があります。
• 地球科学（特に地球物理学）では、地下の 3D 地震調査から自己相関地震属性を計算するために使用できます。
• 医療用超音波画像診断では、自己相関を利用して血流を視覚化します。
• 異時点間のポートフォリオ選択では、資産の収益率における自己相関の有無が、その資産を保有するポートフォリオの最適な部分に影響を及ぼす可能性があります。
• 数値リレーでは、自己相関を利用して電力系統の周波数を正確に測定してきました。^[19]

連続依存

系列依存性は自己相関の概念と密接に関連していますが、異なる概念です（相関と依存性を参照）。特に、系列依存性はあっても（線形）相関がないという状況も考えられます。ただし、一部の分野では、この2つの用語は同義語として用いられます。

確率変数の時 系列は、系列内のある時点の値が別の時点の値に統計的に従属している場合、系列従属と呼ばれます。系列が系列独立である場合、どのペアにも従属関係がありません。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

時系列が定常である場合、ペア間の統計的依存性は、同じ遅延におけるすべての値のペア間に統計的依存性があることを意味します。 ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle (X_{t},X_{s})}$ ${\displaystyle \tau =s-t}$

参照

• 自己相関行列
• 形式的な単語の自己相関
• 自己相関法
• オートコリレータ
• Cochrane–Orcutt推定（自己相関誤差項の変換）
• 相関関数
• 相関図
• 相互相関
• 累積和
• 蛍光相関分光法
• 光学的自己相関
• 偏自己相関関数
• 系統学的自己相関（ゴルトンの問題）
• ピッチ検出アルゴリズム
• プレイズ・ウィンステン変換
• スケール相関
• 三重相関
• 標準偏差の偏りのない推定

参考文献

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さらに読む

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• Solomon W. Golomb、Guang Gong著『良好な相関のための信号設計：無線通信、暗号、レーダー用』ケンブリッジ大学出版局、2005年。
• Klapetek, Petr (2018).走査型プローブ顕微鏡における定量データ処理：ナノ計測学へのSPM応用（第2版）. Elsevier. pp. 108–112 ISBN 9780128133477。
• ワイスタイン、エリック・W.「自己相関」。MathWorld。

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