Chemical property
化学 、 生化学 、 薬理学 において 、 解離定数 （ K D ） は、 複合体 がその構成 分子 に分解する場合や 塩がその構成 イオン に分解する 場合のように、大きな物体がより小さな成分に可逆的に分離（解離）する傾向を測定する特定のタイプの平衡定数 です。解離定数は 結合定数 の 逆数です。塩の特殊なケースでは、解離定数は イオン化定数 とも呼ばれます 。 [1] [2] 一般的な反応の場合：
A x B y ↽ − − ⇀ x A + y B {\displaystyle {\ce {A_{\mathit {x}}B_{\mathit {y}}<=>{\mathit {x}}A{}+{\mathit {y}}B}}} 複合体がx個の Aサブユニットと y 個のBサブユニットに分解する 場合 、解離定数は次のように定義される。 A x B y {\displaystyle {\ce {A}}_{x}{\ce {B}}_{y}}
K D = [ A ] x [ B ] y [ A x B y ] {\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}}{[{\ce {A}}_{x}{\ce {B}}_{y}]}}} ここで、[A]、[B]、[A x B y ]はそれぞれA、B、複合体A x B y の平衡濃度です 。
生化学や薬理学で解離定数が広く用いられている理由の 1 つは、 x = y = 1 の場合によく見られる、 K D の 物理的な解釈が単純であるためです。つまり、[A] = K D であれば、[B] = [AB] となり、同じ意味になります 。つまり、濃度の次元を持つ K D は、 B の全分子の半分が A と結合しているときの遊離 A の濃度に等しくなります。この単純な解釈は、 x または y の値が高い場合には適用されません。また、競合反応がないことを前提としていますが、この導出を拡張して競合結合を明示的に考慮し、説明することもできます。 [ 引用が必要 ] EC 50 や IC 50 が物質の生物学的活性を説明する のと同じように、 K D は物質の結合を簡単に説明するのに 役立ちます。 [ AB ] [ B ] + [ AB ] = 1 2 {\displaystyle {\tfrac {[{\ce {AB}}]}{{[{\ce {B}}]}+[{\ce {AB}}]}}={\tfrac {1}{2}}}
結合分子の濃度
結合部位が1つある分子 実験的には、分子複合体[AB]の濃度は、自由分子[A]または[B]の濃度を測定することで間接的に得られる [3] 。原則として、反応に添加される分子[A] 0 と[B] 0 の総量は 既知である。これらは質量保存則に従って、自由分子と結合分子に分離する。
[ A ] 0 = [ A ] + [ AB ] [ B ] 0 = [ B ] + [ AB ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {[A]_0}}&={\ce {{[A]}+ [AB]}}\\{\ce {[B]_0}}&={\ce {{[B]}+ [AB]}}\end{aligned}}} 複合体[AB]の濃度を追跡するには、それぞれの保存方程式の自由分子（[A]または[B]）の濃度を解離定数の定義に代入します。
[ A ] 0 = K D [ AB ] [ B ] + [ AB ] {\displaystyle [{\ce {A}}]_{0}=K_{\mathrm {D} }{\frac {[{\ce {AB}}]}{[{\ce {B}}]}}+[{\ce {AB}}]} これにより、自由分子のいずれかの濃度に関連する複合体の濃度が得られる。
[ AB ] = [ A ] 0 [ B ] K D + [ B ] = [ B ] 0 [ A ] K D + [ A ] {\displaystyle {\ce {[AB]}}={\frac {\ce {[A]_{0}[B]}}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {B}}]}}={\frac {\ce {[B]_{0}[A]}}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {A}}]}}}
同一の独立した結合部位を持つ高分子 多くの生物学的タンパク質や酵素は、複数の結合部位を持つことができます。 [3] 通常、 リガンド Lが 高分子 M に結合すると、その高分子に結合する他のリガンド L の結合速度論に影響を及ぼす可能性があります。すべての結合部位の親和性が、高分子に結合しているリガンドの数とは無関係であるとみなせる場合、単純化されたメカニズムを定式化できます。これは、複数の、ほとんど同一のサブユニットからなる高分子に当てはまります。この場合、これらの n 個のサブユニットのそれぞれは同一で対称であり、結合部位を1つだけ持つと仮定できます。この場合、結合したリガンドの濃度は次の ようになります
。 [ L ] bound {\displaystyle {\ce {[L]_{bound}}}}
[ L ] bound = n [ M ] 0 [ L ] K D + [ L ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}={\frac {n{\ce {[M]}}_{0}{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }+{\ce {[L]}}}}} この場合、 ですが、高分子のすべての部分飽和形態が含まれます。 [ L ] bound ≠ [ LM ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}\neq {\ce {[LM]}}}
[ L ] bound = [ LM ] + 2 [ L 2 M ] + 3 [ L 3 M ] + … + n [ L n M ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}={\ce {[LM]}}+{\ce {2[L_{2}M]}}+{\ce {3[L_{3}M]}}+\ldots +n{\ce {[L_{\mathit {n}}M]}}} 飽和は段階的に起こる
[ L ] + [ M ] ↽ − − ⇀ [ LM ] K 1 ′ = [ L ] [ M ] [ L M ] [ LM ] = [ L ] [ M ] K 1 ′ [ L ] + [ LM ] ↽ − − ⇀ [ L 2 M ] K 2 ′ = [ L ] [ LM ] [ L 2 M ] [ L 2 M ] = [ L ] 2 [ M ] K 1 ′ K 2 ′ [ L ] + [ L 2 M ] ↽ − − ⇀ [ L 3 M ] K 3 ′ = [ L ] [ L 2 M ] [ L 3 M ] [ L 3 M ] = [ L ] 3 [ M ] K 1 ′ K 2 ′ K 3 ′ ⋮ ⋮ ⋮ [ L ] + [ L n − 1 M ] ↽ − − ⇀ [ L n M ] K n ′ = [ L ] [ L n − 1 M ] [ L n M ] [ L n M ] = [ L ] n [ M ] K 1 ′ K 2 ′ K 3 ′ ⋯ K n ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {{[L]}+[M]}}&{\ce {{}<=>{[LM]}}}&K'_{1}&={\frac {\ce {[L][M]}}{[LM]}}&{\ce {[LM]}}&={\frac {\ce {[L][M]}}{K'_{1}}}\\{\ce {{[L]}+[LM]}}&{\ce {{}<=>{[L2M]}}}&K'_{2}&={\frac {\ce {[L][LM]}}{[L_{2}M]}}&{\ce {[L_{2}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{2}[M]}}{K'_{1}K'_{2}}}\\{\ce {{[L]}+[L2M]}}&{\ce {{}<=>{[L3M]}}}&K'_{3}&={\frac {\ce {[L][L_{2}M]}}{[L_{3}M]}}&{\ce {[L_{3}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{3}[M]}}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}}}\\&\vdots &&\vdots &&\vdots \\{\ce {{[L]}+[L_{\mathit {n-1}}M]}}&{\ce {{}<=>{[L_{\mathit {n}}M]}}}&K'_{n}&={\frac {\ce {[L][L_{n-1}M]}}{[L_{n}M]}}&{\ce {[L_{n}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{n}[M]}}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}\cdots K'_{n}}}\end{aligned}}} 一般的な結合方程式を導出するために、飽和関数は 結合したリガンドの割合を高分子の総量で割った商として定義されます。 r {\displaystyle r}
r = [ L ] bound [ M ] 0 = [ LM ] + 2 [ L 2 M ] + 3 [ L 3 M ] + ⋅ ⋅ ⋅ + n [ L n M ] [ M ] + [ LM ] + [ L 2 M ] + [ L 3 M ] + ⋅ ⋅ ⋅ + [ L n M ] = ∑ i = 1 n ( i [ L ] i ∏ j = 1 i K j ′ ) 1 + ∑ i = 1 n ( [ L ] i ∏ j = 1 i K j ′ ) {\displaystyle r={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}={\frac {\ce {{[LM]}+{2[L_{2}M]}+{3[L_{3}M]}+...+{\mathit {n}}[L_{\mathit {n}}M]}}{\ce {{[M]}+{[LM]}+{[L_{2}M]}+{[L_{3}M]}+...+[L_{\mathit {n}}M]}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}{1+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}}} K′ n はいわゆる巨視的または見かけの解離定数であり、複数の個別の反応から生じる可能性があります。たとえば、高分子 M に 3 つの結合部位がある場合、 K′ 1 は 、リガンドが 3 つの結合部位のいずれかに結合していることを表します。この例では、 K′ 2 は 2 つの分子が結合していることを表し、 K′ 3 は 3 つの分子が高分子に結合していることを表します。微視的または個別の解離定数は、特定の結合部位に結合するリガンドの平衡を表します。協同性のない同一の結合部位を想定するため、微視的解離定数はすべての結合部位で等しくなければならず、単に K D と省略できます。この例では、 K′ 1 は、3 つの可能な結合部位 (I、II、および III) のいずれかに結合するリガンドの融合であるため、3 つの微視的解離定数があり、リガンド-高分子複合体の 3 つの異なる状態があります。 K′ 2 には 6つの異なる微視的解離定数（I–II、I–III、II–I、II–III、III–I、III–II）がありますが、状態は3つしかありません（ポケットIを先に結合させてからIIに結合するか、ポケットIIを先に結合させてからIに結合するかは関係ありません）。K ′ 3 には3つの異なる解離定数があり、どのポケットが最後に満たされるかは3つの可能性（I、II、またはIII）と1つの状態（I–II–III）しかありません。
個々の結合イベントにおける微視的解離定数が同じであっても、巨視的結果（ K′ 1 、 K′ 2 、 K′ 3 ）は等しくありません。これは、3つの結合部位の例では直感的に理解できます。 K′ 1 は、1つの状態（リガンドが結合していない）から3つの状態（3つの結合側のいずれかに1つのリガンドが結合している）への反応を表します。したがって、見かけの K′ 1は個々の K D の3分の1になります 。 K′ 2 は 、3つの状態（リガンドが結合している）から3つの状態（リガンドが結合している）への反応を表します。したがって、 K′ 2は K D と等しくなります 。 K′ 3 は、3つの状態（リガンドが結合している）から1つの状態（リガンドが結合している3つの）への反応を表します。したがって、見かけの解離定数 K′ 3は、微視的解離定数 K D の 3倍になります。n 個の 結合部位 における両タイプの解離定数の一般的な関係は、
K i ′ = K D i n − i + 1 {\displaystyle K_{i}'=K_{\mathrm {D} }{\frac {i}{n-i+1}}} したがって、結合したリガンドと高分子の比率は
r = ∑ i = 1 n i ( ∏ j = 1 i n − j + 1 j ) ( [ L ] K D ) i 1 + ∑ i = 1 n ( ∏ j = 1 i n − j + 1 j ) ( [ L ] K D ) i = ∑ i = 1 n i ( n i ) ( [ L ] K D ) i 1 + ∑ i = 1 n ( n i ) ( [ L ] K D ) i {\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{n}i\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}i{\binom {n}{i}}\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}\left({\frac {{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}} ここでは 二項係数 である 。最初の式は二項式を適用することで証明される。 ( n i ) = n ! ( n − i ) ! i ! {\displaystyle {\binom {n}{i}}={\frac {n!}{(n-i)!i!}}}
r = n ( [ L ] K D ) ( 1 + [ L ] K D ) n − 1 ( 1 + [ L ] K D ) n = n ( [ L ] K D ) ( 1 + [ L ] K D ) = n [ L ] K D + [ L ] = [ L ] bound [ M ] 0 {\displaystyle r={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n-1}}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n}}}={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}}={\frac {n[{\ce {L}}]}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {L}}]}}={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}}
タンパク質-リガンド結合 解離定数は、 リガンド（ 薬物 など ）と タンパク質 間の 親和性 、すなわちリガンドが特定のタンパク質にどれだけ強く結合するかを表すために一般的に用いられます。リガンドとタンパク質間の親和性は、 水素結合 、 静電相互作用、疎水 力 、 ファン デルワールス力 など、2つの分子間の 非共有結合性分子間相互作用 の影響を受けます。親和性は、他の高分子の高濃度によっても影響を受ける可能性があり、高濃度 の高分子が密集する 現象も引き起こします。 [4] [5] L {\displaystyle {\ce {L}}} P {\displaystyle {\ce {P}}}
リガンド-タンパク質複合体 の形成は 2つの状態過程によって記述できる。 LP {\displaystyle {\ce {LP}}}
L + P ↽ − − ⇀ LP {\displaystyle {\ce {L + P <=> LP}}} 対応する解離定数は定義される
K D = [ L ] [ P ] [ LP ] {\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {\left[{\ce {L}}\right]\left[{\ce {P}}\right]}{\left[{\ce {LP}}\right]}}} ここで 、、は それぞれタンパク質、リガンド、タンパク質-リガンド複合体の モル濃度を 表します。 [ P ] , [ L ] {\displaystyle {\ce {[P], [L]}}} [ LP ] {\displaystyle {\ce {[LP]}}}
解離定数は モル 単位（M）で表され、平衡状態においてタンパク質の半分が占有される リガンド濃度に対応します。 [6] すなわち、リガンドが結合したタンパク質の濃度が、リガンドが 結合していないタンパク質の濃度と等しくなるリガンド濃度です 。解離定数が小さいほど、リガンドの結合が強く、リガンドとタンパク質間の親和性は高くなります。例えば、ナノモル（nM）の解離定数を持つリガンドは、マイクロモル（μM）の解離定数を持つリガンドよりも特定のタンパク質に強く結合します。 [ L ] {\displaystyle {\ce {[L]}}} [ LP ] {\displaystyle {\ce {[LP]}}} [ P ] {\displaystyle {\ce {[P]}}}
2分子間の非共有結合相互作用の結果として、ピコモル未満の解離定数が生じることは稀です。しかしながら、重要な例外もいくつか存在します。 ビオチン と アビジンは、およそ10 −15 M = 1 fM = 0.000001 nMの解離定数で結合します 。 [7] リボヌクレアーゼ阻害タンパク質も、同様に10 −15 Mの親和性で リボヌクレアーゼ に結合する可能性があります 。 [8]
特定のリガンド-タンパク質相互作用の解離定数は、溶液条件（例： 温度 、 pH 、塩濃度）によって変化する可能性があります。溶液条件の変化は、特定のリガンド-タンパク質複合体を結合させている
分子間 相互作用 の強度を実質的に変化させます。
薬剤は、本来相互作用するはずのない、あるいは相互作用するように設計されていないタンパク質との相互作用によって有害な副作用を引き起こす可能性があります。そのため、多くの医薬品研究は、標的タンパク質のみに高い親和性（通常0.1～10 nM）で結合する薬剤（ネガティブデザイン）の設計、あるいは特定の薬剤と 生体内 標的タンパク質との親和性を向上させる薬剤（ポジティブデザイン）の開発を目指しています。
抗体 抗体 (Ab) が抗原 (Ag) に結合する特定のケースでは、通常、 親和定数 という用語は結合定数を指します。
Ab + Ag ↽ − − ⇀ AbAg {\displaystyle {\ce {Ab + Ag <=> AbAg}}} K A = [ AbAg ] [ Ab ] [ Ag ] = 1 K D {\displaystyle K_{\mathrm {A} }={\frac {\left[{\ce {AbAg}}\right]}{\left[{\ce {Ab}}\right]\left[{\ce {Ag}}\right]}}={\frac {1}{K_{\mathrm {D} }}}} この 化学平衡は 、結合速度定数（ k forward または k a ）と解離速度定数（ k back または k d ）の比でもあります。2つの抗体が同じ親和性を持つ場合でも、一方の抗体は結合速度定数と解離速度定数の両方が高く、もう一方の抗体は結合速度定数と解離速度定数の両方が低い場合があります。
K A = k forward k back = on-rate off-rate {\displaystyle K_{A}={\frac {k_{\text{forward}}}{k_{\text{back}}}}={\frac {\mbox{on-rate}}{\mbox{off-rate}}}}
酸塩基反応 酸 の 脱プロトン化 において 、 K は酸 解離定数 K a として知られています。 硫酸 や リン酸 などの強酸は解離定数が大きく、 酢酸 などの弱酸は 解離定数が小さくなります。
酸解離定数に使用される記号 K a は、 結合定数 と混同される可能性があり 、どちらを意味しているのかを知るには、反応または平衡式を確認する必要がある場合があります。
酸解離定数はp K a で表されることもあり、これは次のように定義される。
p K a = − log 10 K a {\displaystyle {\text{p}}K_{\text{a}}=-\log _{10}{K_{\mathrm {a} }}} この表記法は他の文脈でも見られますが、主に 共有結合 解離（化学結合が形成または切断される反応）に使用されます 。これは、このような解離定数が大きく変化する可能性があるためです。 p K {\displaystyle \mathrm {p} K}
分子は複数の酸解離定数を持つことができます。この点で、つまり分子が放出できるプロトンの数に応じて、 一価酸 、 二価酸 、 三価 酸 を定義します。最初の酸（酢酸や アンモニウム など）は解離可能な基を1つだけ持ち、2番目（ 炭酸 、 重炭酸塩 、 グリシンなど）は解離可能な基を2つ持ち、3番目（リン酸など）は解離可能な基を3つ持ちます。 p K 値が 複数ある場合は、p K 1 、p K 2 、p K 3 などのインデックスで指定されます。アミノ酸の場合、p K 1 定数はその カルボキシル （–COOH）基、p K 2 はその アミノ （–NH 2 ）基、p K 3 はその 側鎖 のp K 値です。
H 3 B ↽ − − ⇀ H + + H 2 B − K 1 = [ H + ] ⋅ [ H 2 B − ] [ H 3 B ] p K 1 = − log K 1 H 2 B − ↽ − − ⇀ H + + HB 2 − K 2 = [ H + ] ⋅ [ HB 2 − ] [ H 2 B − ] p K 2 = − log K 2 HB − 2 ↽ − − ⇀ H + + B 3 − K 3 = [ H + ] ⋅ [ B 3 − ] [ HB 2 − ] p K 3 = − log K 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {H3B}}&{\ce {{}<=>{H+}+{H2B^{-}}}}&K_{1}&={\ce {[H+].[H2B^{-}] \over [H3B]}}&\mathrm {p} K_{1}&=-\log K_{1}\\{\ce {H2B^{-}}}&{\ce {{}<=>{H+}+{HB^{2-}}}}&K_{2}&={\ce {[H+].[HB^{2-}] \over [H2B^{-}]}}&\mathrm {p} K_{2}&=-\log K_{2}\\{\ce {HB^{-2}}}&{\ce {{}<=>{H+}+{B^{3-}}}}&K_{3}&={\ce {[H+].[B^{3-}] \over [HB^{2-}]}}&\mathrm {p} K_{3}&=-\log K_{3}\end{aligned}}}
水の解離定数 水 の解離定数は K w と表される 。
K w = [ H + ] [ OH − ] {\displaystyle K_{\mathrm {w} }=[{\ce {H}}^{+}][{\ce {OH}}^{-}]} 水の濃度[H 2 O]は慣例により省略されます。つまり、 K w の値は、その濃度を使用して計算される K eq の値とは異なります。
K w の値は 、以下の表に示すように温度によって変化します。pHなどの量を正確に測定する際には、この変化を考慮する必要があります。
水温 K w p K w [9] 00 0 ℃ 0 0.112 × 10 −14 14.95 0 25℃ 0 1.023 × 10 −14 13.99 0 50℃ 0 5.495 × 10 −14 13.26 0 75℃ 19.95 0 × 10 −14 12.70 100℃ 56.23 0 × 10 −14 12.25
参照
参考文献 ^ 「解離定数」. Chemistry LibreTexts . 2015年8月9日. 2020年10月26日 閲覧 。 ^ バイオ分析化学教科書 De Gruyter 2021 https://doi.org/10.1515/9783110589160-206 ^ ab Bisswanger, Hans (2008). 酵素反応速度論：原理と方法 (PDF) . Weinheim: Wiley-VCH. p. 302. ISBN 978-3-527-31957-2 。 ^ Zhou, H.; Rivas, G.; Minton, A. (2008). 「高分子の密集と閉じ込め：生化学的、生物物理学的、そして潜在的な生理学的影響」. Annual Review of Biophysics . 37 : 375– 397. doi : 10.1146/annurev.biophys.37.032807.125817. PMC 2826134. PMID 18573087. ^ Minton, AP (2001). 「高分子の密集と閉じ込めが生理的媒体における生化学反応に及ぼす影響」 (PDF) . The Journal of Biological Chemistry . 276 (14): 10577– 10580. doi : 10.1074/jbc.R100005200 . PMID 11279227. ^ Björkelund, Hanna; Gedda, Lars; Andersson, Karl (2011-01-31). 「上皮成長因子と4つの異なる細胞株との相互作用の比較：興味深い効果は細胞内コンテキストの強い依存性を示唆する」. PLOS ONE . 6 (1) e16536. Bibcode :2011PLoSO...616536B. doi : 10.1371/journal.pone.0016536 . ISSN 1932-6203. PMC 3031572. PMID 21304974 . ^ Livnah, O.; Bayer, E.; Wilchek, M.; Sussman, J. (1993). 「アビジンおよびアビジン-ビオチン複合体の3次元構造」. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 90 (11): 5076– 5080. Bibcode :1993PNAS...90.5076L. doi : 10.1073/pnas.90.11.5076 . PMC 46657. PMID 8506353 . ^ Johnson, R.; Mccoy, J.; Bingman, C.; Phillips Gn, J.; Raines, R. (2007). 「ヒトリボヌクレアーゼ阻害タンパク質によるヒト膵臓リボヌクレアーゼの阻害」. Journal of Molecular Biology . 368 (2): 434– 449. doi :10.1016/j.jmb.2007.02.005. PMC 1993901. PMID 17350650 . ^ Bandura, Andrei V.; Lvov, Serguei N. (2006). 「広範囲の温度と密度における水のイオン化定数」 (PDF) . Journal of Physical and Chemical Reference Data . 35 (1): 15– 30. Bibcode :2006JPCRD..35...15B. doi :10.1063/1.1928231. 2013年5月12日時点 のオリジナル (PDF)からアーカイブ。 2017年7月13日 閲覧 。
![{\displaystyle {\mathrm {A} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {x}}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {y}}}{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\mathit {x}}~\mathrm {A} {}+{}{\mathit {y}}~\mathrm {B} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77866eea5fffe8550d6e7263d696c681079e8949)
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![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]}_{\text{bound}}\neq {[\mathrm {LM} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aad16ddd46e8b75335ded50dec9365e31d025df)
![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]}_{\text{bound}}={[\mathrm {LM} ]}+{2\,[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}+{3\,[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {M} ]}+\ldots +n{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {n}}}~\mathrm {M} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2142e9f8236bf9ceede4a0a76c7f255b0efd11a3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[LM]}}}&K'_{1}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {M} ]}{[LM]}}&{[\mathrm {LM} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {M} ]}{K'_{1}}}\\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {LM} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[L2 M]}}}&K'_{2}&={\frac {[\mathrm] {L} ][\mathrm {LM} ]}{[L_{2}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{2}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}}}\\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[L3 M]}}}&K'_{3}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}{[L_{3}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{3}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}}}\\&\vdots &&\vdots &&\vdots \\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {n-1}}}~\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\mathrm {[L_{\mathit {n}}~M]} }}&K'_{n}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{n-1}}~\mathrm {M} ]}{[L_{n}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{n}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{n}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}\cdots K'_{n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3d1215bb1a2cb411e0aad7c400cb204d0d3ed2)
![{\displaystyle r={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}={\frac {\ce {{[LM]}+{2[L_{2}M]}+{3[L_{3}M]}+...+{\mathit {n}}[L_{\mathit {n}}M]}}{\ce {{[M]}+{[LM]}+{[L_{2}M]}+{[L_{3}M]}+...+[L_{\mathit {n}}M]}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}{1+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efa29182db762b71be1a091e241848587661937)
![{\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{n}i\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[\mathrm {L} ]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}i{\binom {n}{i}}\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}\left({\frac {[\mathrm {L} ]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085924eb43551e384bda9fae51d570af63db0518)
![{\displaystyle r={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n-1}}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n}}}={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}}={\frac {n[{\ce {L}}]}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {L}}]}}={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d009138e9fde3d9dc9025bf6c8555d0cc0c18b)
![{\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {\left[{\mathrm {L} }\right]\left[{\mathrm {P} }\right]}{\left[{\mathrm {LP} }\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e0a3aa92255cec05475fc5e082d6ff19441d18)
![{\displaystyle {[\mathrm {P} ]{,}{\mkern {6mu}}[\mathrm {L} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dafbae31bda58e9b609d05d328006fb92bec8d)
![{\displaystyle {[\mathrm {LP} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf0a1624e5788f2a6e8a2319528de629fc9dd75)
![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d168a8fcf5a74047be127a23620e6c9a5534c1)
![{\displaystyle {[\mathrm {P} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1396543ba4ae6401e8207fd5de9e164af1dfbcea)
![{\displaystyle K_{\mathrm {A} }={\frac {\left[{\mathrm {AbAg} }\right]}{\left[{\mathrm {Ab} }\right]\left[{\mathrm {Ag} }\right]}}={\frac {1}{K_{\mathrm {D} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011f07d05e39eb6d579852ba96c1992660a8d312)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {B} }&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {H2~B^{\text{-}}} }}&K_{1}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}]~ \over [\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {B} ]}&\mathrm {p} K_{1}&=-\log K_{1}\\{\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {H~B^{2{\text{-}}}} }}&K_{2}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {H} ~\mathrm {B} ~{\vphantom {A}}_{\hphantom {}}^{\hphantom {2-}}{\mkern {-1.5mu}}{\vphantom {A}}_{{\vphantom {2}}{\llap {\smash[{t}]{}}}}^{{\smash[{t}]{\vphantom {2}}}{\llap {2-}}}]~ \over [\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}]}&\mathrm {p} K_{2}&=-\log K_{2}\\{\mathrm {H} ~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-2}}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {B^{3{\text{-}}}} }}&K_{3}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{3-}]~ \over [\mathrm {H} ~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{2-}]}&\mathrm {p} K_{3}&=-\log K_{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bb9e9696a4a568cd3f066cebd105838da2b387)
![{\displaystyle K_{\mathrm {w} }=[{\mathrm {H} }^{+}][{\mathrm {OH} }^{-}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7acf3cca0e6e9f0d7071690e04a6498b253e1e2)
