選挙制度の比較

この記事では、異なる選挙制度を比較する方法と結果について論じます。投票制度を比較する方法は大きく分けて2つあります。

シミュレーションまたは調査による有権者満足度の指標。
論理的基準の遵守。

指標による評価

選挙プロセスのモデル

投票方法は、現実の選挙の特性に忠実であることを目指したランダムな模擬選挙において、その精度を測定することで評価できます。最初の評価は1978年にチャンバーリンとコーエンによって行われ、彼らは特定の非コンドルセ方式においてコンドルセ勝者が選出される頻度を測定しました。^[1]

コンドルセ陪審モデル

コンドルセ侯爵は、選挙を陪審員による投票に類似したものとみなした。陪審員は各候補者の質について独立した判断を下す。候補者は客観的な能力においてそれぞれ異なるが、投票者は候補者の相対的な能力について不完全な情報しか持っていない。このような陪審モデルは、価数モデルと呼ばれることもある。コンドルセと同時代のラプラスは、このようなモデルにおいて、各候補者の期待される能力を求めることで、投票理論を確率論に還元できることを示した。^[2]

陪審員モデルは、さまざまなモデルにおける投票システムの精度に関するいくつかの自然な概念を暗示しています。

投票者の評価に正規分布に従う誤差がある場合、理想的な手順はスコア投票です。
ランキング情報しか利用できず、候補者よりも投票者の方がはるかに多い場合、どのコンドルセ法でも、最有力候補である可能性が最も高いコンドルセ勝者が1人選ばれることになる。^[3]

しかし、コンドルセのモデルは、独立誤差という極めて強い仮定に基づいている。つまり、有権者は特定の候補者グループに系統的に偏ることはない、という仮定である。これは通常非現実的である。有権者は互いにコミュニケーションを取り、政党や政治イデオロギーを形成し、相関誤差につながる可能性のある他の行動をとる傾向があるからだ。

ブラックの空間モデル

ダンカン・ブラックは1948年に、選挙がイデオロギーによって動かされるという観点から、投票の一次元空間モデルを提唱した。^[4]彼の考えは後にアンソニー・ダウンズによって拡張された。^[5]有権者の意見は一次元以上の空間における位置とみなされ、候補者も同じ空間内に位置を持ち、有権者は（ユークリッド距離などの指標で測定される）近接性の順に候補者を選ぶ。

空間モデルは、投票システムにおけるメリットの概念を示唆する。つまり、当選候補者が有権者分布の位置パラメータとしてより受け入れられるほど、そのシステムはより優れているということである。政治的スペクトルは、一次元空間モデルである。

中立モデル

中立投票モデルは、パラメータの数を最小限に抑えることを目指します。最も一般的なモデルは、公平匿名文化モデル（またはディリクレモデル）です。これらのモデルでは、投票者が各候補者に完全にランダムに（一様分布から）効用を割り当てると仮定します。

モデルの比較

タイドマンとプラスマンは、2次元空間モデルが、多数の選挙順位における3候補者削減に妥当な適合性を示すことを研究で示した。陪審員モデル、中立モデル、そして1次元空間モデルはいずれも不十分であった。^[6]彼らは、有権者の選好におけるコンドルセ・サイクル（例えば、AがBよりも過半数の有権者に支持され、BがCよりも支持され、CがAよりも支持される）に注目し、その数が小規模サンプル効果と一致することを発見し、「投票者数の多い選挙では、投票サイクルは、たとえ発生したとしても極めて稀である」と結論付けた。サンプルサイズの関連性は、ゴードン・タロックによって以前に研究されており、タロックは、限られた選挙区ではサイクルが発生しやすいものの、候補者がサイクルを引き起こす可能性のある領域は、有権者数の増加に伴って縮小することを図式的に示していた。^[7]

実利主義モデル

功利主義モデルでは、有権者は候補者を効用順にランク付けすると見なされます。このモデルでは、社会全体の効用を最大化する候補者が正当な勝者となります。功利主義モデルは、空間モデルとはいくつかの重要な点で異なります。

有権者は、彼らの好みにイデオロギー的な汚点はなく、情報に基づいた自己利益のみによって動機づけられているという追加の仮定が必要になります。
空間モデルの距離測定基準を、実用性の忠実な測定基準に置き換える必要があります。
したがって、指標は有権者ごとに異なる必要があります。あるグループの有権者は2人の候補者の選択に強い影響を受ける一方で、別のグループの有権者はほとんど影響を受けないという状況はよく起こります。そのため、指標は極めて非対称なものにする必要があります。

最後の性質から、すべての投票者に平等な影響力を与える投票制度は、最大の社会的効用を達成する可能性が低いことが分かります。功利主義と民主主義の主張が対立する極端なケースは、「多数派の専制」と呼ばれます。ラスリエの論文におけるラスリエ、マーリン、ヌルミのコメントを参照してください。^[8]

ジェームズ・ミルは、民主主義と功利主義の間に先験的なつながりが存在すると主張した最初の人物であると思われる（スタンフォード百科事典の記事を参照）。^[9]

陪審員モデルによる比較

ある選挙におけるi^番目の 候補者の功績がx _i （ x _i ~ N (0,σ ² ) ^[10]と仮定する）であり、候補者iに対する投票者j の支持度がx _i + ε _{ij （ε}_ijはiid. N (0,τ ² )と仮定する）と表されるとする。投票者は支持度の高い順に候補者を順位付けすると仮定する。ε _ijを投票者jによる候補者i の評価の誤差と解釈し、最も功績のある候補者を見つけるという課題を持つ投票方法とみなすことができる。

各投票者は、2人の候補者のうち、より良い候補者を、より良くない候補者よりも高い確率pで評価する（ここで概説した正規モデルではに等しく、象限上のガウス積分の標準公式^[^要出典^]から確認できる）。コンドルセの陪審定理によれば、 p > 1 ⁄ 2である限り、陪審員の多数決は、1人の陪審員の意見よりも、2人の候補者の相対的な価値を判断する上でよりよい指標となる。 ${\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {\sigma }{\tau }}$

ペイトン・ヤングは、任意の数の候補者間の投票にさらに3つの特性が適用されることを示し、コンドルセが最初の特性と3番目の特性を認識していたことを示唆した。^[11]

pが1 ⁄ 2に近い場合、Borda勝者は最良候補の最大尤度推定値になります。
pが 1 に近い場合、ミニマックス勝者は最良候補の最大尤度推定値になります。
任意のpについて、Kemeny-Young ランキングは、真の実力順位を最大尤度で推定する値です。

ロバート・F・ボードリーは、コンドルセの陪審員モデルをわずかに改変した「功利主義」モデルを構築した。^[12]彼は投票方法の課題を、有権者からの総承認、すなわち個々の有権者の承認レベルの合計が最も高い候補者を見つけることだと考えた。このモデルはσ ² = 0の場合でも意味を成し、この場合pはnを投票者数とする値をとる。彼はこのモデルを用いて評価を行い、予想通りボルダカウントが最も正確であることを発見した。 ${\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {1}{n-1}}$

空間モデルによる選挙のシミュレーション

適切な空間における投票者の分布から、模擬選挙を構築することができます。図は、Oを中心とする二変量ガウス分布を満たす投票者を示しています。ランダムに生成された3人の候補者、A、B、Cがいます。空間は3本の線で6つのセグメントに分割され、各セグメントの投票者は同じ候補者の選好を持っています。候補者を何らかの方法で順位付けする投票者の割合は、対応するセグメントにおける投票者分布の積分によって与えられます。

候補者の6通りの並び順に対応する割合が、異なる投票システムによって得られる結果を決定します。最良の候補者、つまりOに最も近い候補者（この場合はA）を選出したシステムは正しい結果を出したとみなされ、それ以外の候補者を選出したシステムは誤りを示したとみなされます。ランダムに生成された多数の候補者の結果を見ることで、投票システムの実証的特性を測定できます。

ここで概説する評価プロトコルは、タイドマンとプラスマンによって記述されたプロトコルをモデルにしている。^[6]このタイプの評価は、単一勝者制の選挙制度で最も一般的である。順位付け投票制度はこの枠組みに最も自然に適応するが、他の種類の投票（FPTPや承認投票など）も、多少の労力をかけて対応できる。

評価プロトコルはさまざまな方法で変更できます。

投票者の数は有限かつ多様な規模にすることができます。実際には、これはほとんどの場合多変量モデルで行われ、投票者は分布からサンプリングされ、大規模な選挙区の結果は限定的な行動を示すために使用されます。
候補者の数は変更できます。
投票者の分布は変化させることができ、例えば非対称分布の影響を検証することができる。投票者数が有限の場合、ランダムサンプリング効果によって正規分布からのわずかな逸脱が生じる。より体系的な逸脱（ガウス混合モデルの形をとるように見える）は、2017年にジェイムソン・クインによって調査された。^[13]

正確性の評価

メートル方法	3	6	10	15	25	40
小選挙区制	70.6	35.5	21.1	14.5	9.3	6.4
AV/IRV	85.2	50.1	31.5	21.6	12.9	7.9
ボルダ	87.6	82.1	74.2	67.0	58.3	50.1
コンドルセ	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0

評価の主な用途の一つは、有権者が誠実に投票した場合の投票システムの精度を比較することです。無限数の有権者がガウス分布を満たす場合、選挙の正当な勝者は平均値／中央値に最も近い候補者とみなされ、方法の精度は正当な勝者が当選する選挙の割合で識別されます。中央値投票者定理は、すべてのコンドルセシステムが100%の精度を与えることを保証します（クームズ法^[14]にも同様に適用されます）。

研究論文に掲載されている評価では多次元ガウス分布が使用されており、計算が数値的に困難である。^[1]^[15]^[16]^[17]投票者の数は有限に保たれ、候補者の数も必然的に少なくなる。

1次元では計算ははるかに単純で、投票者数は無限、候補者数は任意数mとします。この単純なケースの結果は最初の表に示されており、引用文献のChamberlinとCohenの論文の表5（投票者数1000、分散が中程度）と直接比較できます。候補者は投票者分布からランダムに抽出され、確認のためにコンドルセ法（ミニマックス法）が1つだけ試行に含まれていました。

メートル方法	10
小選挙区制	0.166
AV/IRV	0.058
ボルダ	0.016
コンドルセ	0.010

代替投票（IRV）の比較的低いパフォーマンスは、図に示されているよく知られた一般的な誤差源によって説明されます。この図では、選挙は単変量空間モデルを満たし、正当な勝者Bは第1ラウンドで敗退します。同様の問題はすべての次元で存在します。

精度を測る別の指標として、投票者と勝者の平均距離（値が小さいほど良い）があります。この指標によって投票方法の順位が変動する可能性は低いですが、距離を不効用と解釈する人たちには好まれています。2つ目の表は、同じモデルを用いて10人の候補者について、平均距離（標準偏差）から（ある変量から標準ガウス分布の中心までの平均距離）を引いた値を示しています。 ${\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}$

戦略的投票への抵抗の評価

ジェームズ・グリーン＝アーミテージらは、複数の投票システムが有権者による操作に対してどれほど脆弱であるかを評価した研究を発表しました。^[18]彼らは、この目的のために評価をどのように調整したかについてはほとんど言及しておらず、「創造的なプログラミングが必要」とだけ述べています。第一著者による以前の論文では、より詳細な情報を提供しています。^[19]

模擬選挙の候補者数は 3 人に制限されました。これにより、特定のシステム間の区別がなくなります。たとえば、ブラック法とダスグプタ・マスキン法は、候補者が 3 人の場合は同等です。

この研究の結論を要約するのは難しいが、ボルダカウントの成績は悪く、ミニマックス法はやや脆弱で、IRV は非常に耐性が強かった。著者らは、コンドルセ勝者がいない選挙に任意の手法を限定する（コンドルセ勝者がいる場合はコンドルセ勝者を選ぶ）ことで、戦略的投票の影響を受けやすくなることは決してないことを示した。著者らは、コンドルセ基準で決着がつかなかった選挙の同点決着に IRV を使用する「コンドルセ-ヘア」システムは、IRV 単独の場合と同程度に戦略的投票に耐性があり、より正確であると報告した。コンドルセ-ヘアは、候補者が 3 人の選挙で IRV 同点決着を使用するコープランド法と同等である。

候補者分布の影響の評価

× メートル	0	0.25	0.5	1	1.5
3	87.6	87.9	88.9	93.0	97.4
6	82.1	80.2	76.2	71.9	79.9
10	74.1	70.1	61.2	47.6	54.1
15	66.9	60.6	46.4	26.6	30.8
25	58.3	47.0	26.3	8.1	10.1
40	50.2	33.3	11.3	1.5	2.1

一部のシステム、特にボルダカウントは、候補者の分布が投票者の分布に対してずれている場合に脆弱になります。添付の表は、無限の投票者が単変量ガウス分布を満たし、m人の候補者がx個の標準分布によってオフセットされた類似の分布から抽出された場合のボルダカウントの精度（パーセンテージ）を示しています。赤色は、ランダムよりも精度が低いことを示しています。この問題では、すべてのコンドルセ法が100%の精度を与えることを思い出してください。（また、 xの増加に伴う精度の低下は、候補者が3人だけの場合には見られないことに注意してください。）

候補者の分布に対する敏感さは、正確性の問題、あるいは操作への抵抗力の問題として考えることができます。物事の成り行きとして、候補者は有権者と同じ分布から自然に選出されると考えるならば、いかなる置き換えも転覆の試みとみなされます。しかし、候補者の実現可能性を左右する要因（例えば資金援助など）がイデオロギー的立場と相関している可能性があると考えるならば、より正確性の観点から見ることになります。

発表された評価は、候補者分布について様々な見解を示している。中には、候補者が有権者と同じ分布から選出されると単純に想定しているものもある。^[16]^[18]いくつかの古い論文は、平均値が等しいと仮定しているものの、候補者分布が有権者分布よりも多少狭まっていることを許容している。^[20]^[1]タイドマンとプラスマンの論文は、経験的測定に基づいて候補者分布と有権者分布の関係を近似している。^[15]これは、候補者分布が投票システムの弱点を突くために調整されることを考慮していないため、一見すると現実的ではない。ジェームズ・グリーン＝アーミテージの論文は、候補者分布を別の問題として扱い、それを一種の操作と捉え、戦略的な参入と退出の影響を測定している。当然のことながら、彼はボルダカウントが特に脆弱であると考えている。^[19]

その他の特性の評価

前述のように、チェンバレンとコーエンは、コンドルセ方式以外の特定の選挙制度においてコンドルセ当選者が選出される頻度を測定した。有権者と候補者の分布が均等な空間モデルでは、その頻度は99%（クームス方式）、86%（ボルダ方式）、60%（IRV方式）、33%（FPTP方式）であった。^[1]これはコンドルセ効率と呼ばれることもある。
ダーリントンは、コンドルセ当選者がいない選挙において、コープランドの手法が唯一の当選者を生み出す頻度を測定した。その結果、候補者が10人以下の場合、その確率は50%未満であることが分かった。^[17]

実験指標

空間モデルに基づく投票システムの課題は、有権者の意見の分布を最も正確に反映する候補者を特定することです。これは、候補者が提示する選択肢の中から、分布の位置パラメータを選択することを意味します。位置パラメータは平均値、中央値、または最頻値に基づくことができますが、優先順位投票は順序情報のみを提供するため、中央値が唯一許容される統計量となります。

これは、同じ候補者でありながら投票者分布が異なる2つの選挙をシミュレートした図から明らかです。どちらの場合も、候補者間の中間点は投票者分布の51パーセンタイルです。つまり、51%の有権者がAを、49%がBを支持していることになります。投票人口の中央値に最も近い候補者を選出する投票方法が正しいとすると、中央値は必然的に51%の線よりわずかに左に位置するため、いずれの場合もAを選出する投票方法が正しいとみなされます。

ティール分布の平均も51%ラインよりわずかに左寄りですが、オレンジ分布の平均はわずかに右寄りです。したがって、投票人口の平均に最も近い候補者を選出する投票方法を正しいとみなす場合、2回の選挙で同じ投票から異なる当選者を出しない限り、その方法は満点を得ることができません。明らかに、これは投票方法に誤った誤差を帰属させることになります。同じ問題は、位置の基数尺度についても同様であり、中央値のみが一貫した結果をもたらします。

中央値は多変量分布では定義されていませんが、単変量分布の中央値は都合よく一般化できる性質を持っています。分布の中央値とは、分布内のすべての点からの平均距離が最小となる位置です。この定義は、多次元における幾何中央値にも一般化できます。この距離は、しばしば投票者の不効用関数として定義されます。

候補者の集合と有権者の母集団がある場合、有権者の幾何平均を求めるという計算的に困難な問題を解き、それに最も近い候補者を特定する必要はなく、代わりに有権者からの平均距離が最小となる候補者を特定すれば良い。これはメリルリンチ以降、一般的に用いられてきた指標である。^[20]また、グリーン＝アーミテージとダーリントンも参照のこと。^[19]^[16]

投票者分布の幾何中央値に最も近い候補者は、「空間的勝者」と呼ばれることがあります。

実際の選挙による評価

実際の選挙のデータは、国家間で比較したり、同じ国で異なる時期に異なるシステムを使用した場合の影響を比較したり、実際の選挙データに代替の選挙システムを適用したりすることで、異なるシステムの効果を比較するために分析することができます。選挙の結果は、民主主義指標、政治的断片化の尺度、無駄票、投票率、^[21]^[22] 政治的有効性、さまざまな経済的および司法的指標を通じて比較できます。実際の選挙を評価する実際的な基準には、無駄票の割合、投票集計の複雑さ、政党の得票率に基づく選出された代表の比例性、新しい政治運動の参入障壁などがあります。 ^{[23]実際の選挙を比較するための追加の機会は}、選挙制度改革を通じて生まれます。

カナダにおけるそのような機会の一例として、エドモントン市 (カナダ) が挙げられます。同市では、1917 年のアルバータ州総選挙では小選挙区制でしたが、 1921 年のアルバータ州総選挙では 5 人による多数決ブロック投票、1926 年のアルバータ州総選挙では5 人による単記移譲式投票、そして 1959 年のアルバータ州総選挙では再び FPTP に移行しました。1917 年、1921 年、1959 年には、1 つの政党がエドモントンの全議席を制覇しました。1926 年の STV の下では、保守党から 2 人、自由党から 1 人、労働党から 1 人、連合農民党から 1 人の州議会議員が当選しました。

単独勝者投票方式の比較

単独当選選挙の論理的基準

伝統的に、様々な選挙制度の利点は論理的基準を参照して議論されてきました。これらの基準は選挙判断のための推論規則の形をとり、例えば「EとE ' がR  ( E , E ' ) となる選挙であり 、AがEの正当な勝者であれば 、AはE 'の正当な勝者でもある 」といった推論を認めています。

結果基準（絶対）

絶対的基準とは、投票用紙のセットが特定の方法である場合、特定の候補者が必ず勝つ、または勝たないということを規定します。

結果基準（絶対）
基準	説明
多数決基準	投票者の過半数によって唯一最有力候補とされた候補者は必ず勝利するのでしょうか？この基準には2つのバージョンがあります。ランク付けされた多数決基準。この基準では、他の選択肢よりも多数決で好まれた選択肢が必ず優先されます。（ランク付けされた多数決基準を通過することは、以下の基準も通過することを意味するため、以下の表では「はい」で示されています。）評価多数決基準。この基準では、多数決によって唯一完璧な評価が与えられた選択肢のみが勝者となる。ランク付けされたMCと評価されたMCは、ランク付け投票法では同義であるが、評価された投票法や段階的投票法では同義ではない。ランク付けされたMCは、評価されたMCとは異なり、後述する無関係な選択肢の独立性基準とは両立しない。
多数決敗者基準	有権者の大多数が特定の候補者よりも他のすべての候補者を好んだ場合、その候補者は勝てないのでしょうか?
相互多数基準	勝利する候補者は常に、投票者の過半数によって他のすべての候補者よりも上位にランクされた候補者のグループから選ばれるのでしょうか?
コンドルセ勝者基準	ある候補者が直接対決で他のすべての候補者に勝った場合、その候補者は必ず選挙に勝つのでしょうか？（これは上記の多数決基準を意味します。）
コンドルセ敗者基準	ある候補者が直接対決で他のすべての候補者に負けた場合、その候補者は必ず選挙に負けるのでしょうか?

結果基準（相対的）

これらは、ある状況で特定の候補者が勝利した場合、関連する状況でも同じ候補者が勝利しなければならない（または勝利してはならない）ことを規定する基準です。

結果基準（相対的）
クリテロン	説明
スミス優位選択肢の独立性（スミス-IIA）	スミス優勢の候補者が追加または削除された場合、他の候補者への投票数は変わらないと仮定すると、結果は変わらないのでしょうか？候補者Cは、他の候補者Aが存在し、 CがAに敗れ、 Aに敗れていないすべての候補者Bなど、他の候補者Aが存在する場合、スミス優勢であるとされます。この基準はここでは候補者相対的基準に分類されていますが、スミス優勢の候補者を当選から排除するという強い絶対的要素を持っていることに注意してください。実際、これは上記の絶対的基準すべてを暗示しています。^[^指定^]
無関係な選択肢の独立性（IIA）	他の候補者に関する有権者の好みが変わらないと仮定すると、当選しなかった候補者を追加または削除した場合、結果は決して変わらないのでしょうか？^[24]たとえば、多数決ルールはIIAを満たしていません。候補者Xを追加すると、 Yが以前よりも多くの票を獲得していないにもかかわらず、当選者がWからYに変わる可能性があります。
無関係な代替案の地域独立性(LIIA)	最下位になる選択肢を除外しても、結果は変わらないのでしょうか？また、勝者を除外した場合、2位になる選択肢が勝者になれなくなる可能性はあるのでしょうか？
クローン代替の独立性（クローンプルーフ）	既存の候補に類似した、当選しなかった候補を追加しても、結果は変わらないのでしょうか？この基準を満たさない可能性がある状況は3つあります。ネタバレ類似の候補者またはクローンの候補者が勝つ可能性を低下させる候補者。スポイラー効果とも呼ばれます。チーム類似した候補者の集合。その存在自体が、いずれかの候補者が勝利する可能性を高める。群衆自分の派閥グループの可能性を助長したり損なったりすることなく、代わりに別のグループに影響を及ぼす、選挙の結果に影響を与える追加候補者。
単調性基準（単調）	候補者W が1 セットの投票で勝利した場合、その投票が変更されてWへの支持が高まったとしても、 W は常に勝利するのでしょうか? これは、支持を下げて敗北した候補者を勝利させることはできないことも意味します。
一貫性基準	候補者W' が1 セットの投票で勝利した場合、 W が勝利する別のセットの投票を追加してそれらの投票が変更された場合でも、 Wは常に勝利しますか?
参加基準	正直に投票することは、まったく投票しないよりも常に良いのでしょうか？（これは、以下の表で、異なるが類似した一貫性基準と一緒にグループ化されています。^[25]）
反転対称性	各有権者の個人的な好みが逆転した場合、元の勝者は決して勝てないのでしょうか?
均質性基準	すべての投票が同じ回数繰り返された場合、結果は変わりますか?

投票集計基準

これらは、投票を集計し、勝者を決定するプロセスに関連する基準です。

投票集計基準
基準	説明
多項式時間	候補者の数に対して多項式、投票者数に対して線形の実行時間で勝者を計算できますか?
解決可能	コインを投げるなどのランダムな手法を使わずに、票数による同点を除き、あらゆるケースで勝者を算出できるのでしょうか？つまり、2人以上の候補者のうちの1人が勝者になるような同点のケースは、大規模な選挙において極めて稀なのでしょうか？
総和可能性	各投票所で個別に投票を集計し、それぞれの集計結果を単純に合計することで、当選者を算出できるでしょうか？このような集計に必要な情報量は、候補者数Nの順序関数として表されます。O(N)やO(N ² )などの緩やかに増加する関数では集計が容易になりますが、O(N!)などの急激に増加する関数では集計が困難になる可能性があります。

戦略基準

これらは、投票者が特定の戦略を用いる動機に関連する基準です。相対的な結果基準とも考えられますが、前述のセクションの基準とは異なり、これらの基準は投票者に直接関連しています。ある方法がこれらの基準を満たしているという事実は、最適な戦略的投票を決定するプロセスを簡素化する可能性があります。

戦略基準
基準	説明
後期無害基準	有権者は、投票用紙に低い優先順位を追加しても、すでにリストされているより好ましい候補者に悪影響が及ばないと確信できるだろうか?
後で役に立たない基準	有権者は、投票用紙に低い優先順位を追加しても、すでにリストされているより好ましい候補者に有利にならないと確信できるでしょうか？ ^[26]
裏切りの基準は特にない	有権者は、自分が望む結果を得るために、自分の支持する候補者よりも上位の候補者を支持する必要がないと確信できるでしょうか？^[27]

投票用紙の形式

投票用紙は、大きく分けて基数投票と序数投票の2つのカテゴリーに分けられます。基数投票では各候補者への支持度を個別に、序数投票では相対的な支持度を求めます。STAR投票のように、どちらかのカテゴリーに明確に当てはまらない方法もいくつかあります。STAR投票は、各候補者に対して投票者に個別の評価を求めますが、勝者を決定する際には絶対評価と相対評価の両方を使用します。投票用紙の種類のみに基づいて2つの方法を比較することは、投票用紙の種類がここに記載されている他の数学的基準のいずれかに関連しない限り、主に投票者の経験に基づく好みの問題です。

相対的な強さ

基準Aが基準Bよりも「強い」のは、Aを満たすことがBを満たすことを意味する場合です。例えば、コンドルセ基準は多数決基準よりも強いです。なぜなら、多数決の勝者はすべてコンドルセ基準の勝者だからです。したがって、コンドルセ基準を満たす投票方法は、必ず多数決基準も満たす必要があります。

選択された単一勝者法のコンプライアンス

以下の表は、上記の基準のうち、いくつかの単一勝者方式が満たすものを示しています。すべての基準が記載されているわけではありません。

単独勝者投票制度の比較
基準方法	多数決勝者	多数派の敗者	相互多数	コンドルセ勝者^{[Tn 1]}	コンドルセの敗者	スミス^{[Tn 1]}	スミス-IIA ^{[Tn 1]}	IIA / LIIA ^{[Tn 1]}	クローンプルーフ	単調	一貫性	参加	反転対称性	均質性	後で害はない^{[Tn 1]}	後で役に立たない^{[Tn 1]}	好きな裏切りなし^{[Tn 1]}	投票用紙タイプ
先着順投票	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	いいえ	はい	はい	はい	いいえ	シングルマーク
反多元性	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	いいえ	はい	シングルマーク
2ラウンドシステム	はい	はい	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ		はい	はい	はい	いいえ	シングルマーク
即時決選投票	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	いいえ	ランキング
クームズ	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ		はい	いいえ	いいえ	はい	ランキング
ナンソン	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい		いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
ボールドウィン	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ		いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
タイドマンの代替品	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ		いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
ミニマックス	はい	いいえ	いいえ	はい^{[Tn 2]}	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ		いいえ^{[Tn 2]}	いいえ	いいえ	ランキング
コープランド	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ			いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
黒	はい	はい	いいえ	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
ケメニー	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	LIIAのみ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
ランク付けされたペア	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	LIIAのみ	はい	はい	いいえ	いいえ^{[Tn 3]}	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
シュルツェ	はい	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	はい	いいえ	いいえ^{[Tn 3]}	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	ランキング
ボルダ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	ランキング
バックリン	はい	はい	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	はい	いいえ	ランキング
承認	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい^{[Tn 4]}	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	はい	承認
多数決	いいえ	いいえ^{[Tn 5]}	いいえ^{[Tn 6]}	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい^{[Tn 4]}	はい	はい	いいえ	いいえ^{[Tn 3]}		はい	いいえ	はい	はい	スコア
スコア	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい^{[Tn 4]}	はい	はい	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	はい	スコア
星	いいえ	はい	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	いいえ	いいえ		いいえ	いいえ	いいえ	スコア
二次関数	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい		はい			該当なし	該当なし	いいえ	クレジット
無作為投票^{[Tn 7]}	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	はい		はい		はい	はい	はい	はい	シングルマーク
抽選^{[Tn 8]}	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	いいえ	はい		はい		該当なし	はい	はい	はい	なし
表の注釈	^ abcdefg コンドルセの基準は、一貫性、無関係な選択肢の独立性、参加、後で害がないこと、後で役に立たないこと、誠実な好みの基準と互換性がありません。 ^ ab 反対と支持を差し引いたものを数えず、一対一の反対のみを数えるミニマックスの変種は、コンドルセ基準を満たさず、後で害がないという条件を満たします。 ^ abc 最高中央値投票、順位付けペア投票、シュルツ投票では、他のすべての投票結果を一定とし、他者の投票行動を十分に把握していると仮定した場合、どの投票者にも後悔のない、半ば正直な投票が常に存在する。このような状況下では、投票者が、より支持度の低い候補者を支持度の高い候補者よりも高く評価することなく投票に参加できる方法が少なくとも一つは存在する。 ^ abc承認投票、スコア投票、および多数決投票は、有権者がそれぞれ独自の絶対尺度を用いて候補者を独立して評価すると仮定した場合、IIAを満たす。この仮定が成り立つためには、一部の選挙において、有権者が、実行可能な候補者の中で意味のある好みを持っているにもかかわらず、全投票権よりも少ない投票権しか行使しない必要がある。 ^ 多数決では、投票者の半数以上から最も好まれない候補者が選ばれる可能性はあるが、投票者の半数以上から最も低く評価される候補者が選ばれることはない。 ^ 多数決判定は相互多数決基準を満たさないが、多数派が相互に支持するセットを所定の絶対等級より上にランク付けし、その他すべてをその等級より下にランク付けする場合は基準を満たす。 ^ 無作為に選ばれた投票によって勝者が決定されます。この方法と密接に関連する方法は数学的に興味深いものであり、ここでは、たとえ不合理な方法であっても投票方法の基準を満たす可能性があることを示すために取り上げます。 ^ 候補者の中からランダムに勝者が選ばれる場合、投票以外の方法であってもいくつかの基準をクリアできることを示すために抽選が行われます。

実用的な要因

上記の懸念は、社会選択理論家が正確で操作に耐性のあるシステムを考案するために利用されます。しかし、あるシステムが他のシステムよりも社会的に受け入れられやすいという実際的な理由も存在し、これは公共選択学と政治学の分野に該当します。^[8]^[16]重要な実際的な考慮事項には以下が含まれます。

説明の容易さ。投票ルールの中には、有権者が直感的に理解できるような方法で説明することが難しいものがあり、それが選挙に対する国民の信頼を損なう可能性がある。^[8]^{[検証に失敗した]}例えば、シュルツのルールは上記の基準の多くを満たしているが、ビートパスの複雑な説明が必要である。
投票のしやすさ。さまざまな種類の投票用紙の方が記入が簡単かもしれません。たとえば、調査によると、多くの有権者は、評価投票や小選挙区制におけるX投票と比較して、順位投票は複雑でわかりにくいと感じています。

その他の考慮事項としては、政治競争への参入障壁^[28]や政府の行き詰まりの可能性^[29]などが挙げられる。

複数勝者システムの比較

複数当選者制は、その最善の策として、単一当選者制と同様の決定を下すよりも広い意味での代表性を備えた議会の創設を目指します。また、多数決ブロック投票や名簿投票といった非比例制を採用した場合、一党による市議席の独占につながる可能性もあります。

複数受賞者評価の指標

複数当選者投票方式の性能評価には、単一当選者投票方式とは異なる指標が必要である。以下の指標が提案されている。

コンドルセ委員会効率（CCE）は、選出された勝者のグループがペアワイズレースですべての敗者に勝つ可能性を測定します。^[30]
ギャラガー指数とルースモア・ハンビー指数（LH）は、議席占有率と政党の得票率の比例性を測る指標です。ギャラガー指数は通常、政党全体の得票率、または議席占有率と比較した得票数を用いて比例性を評価するため、選挙区の存在は考慮しません。
無駄な票は、代表者によって代表されていない有権者の割合を測定します。

基準表

次の表は、いくつかの複数勝者方法で上記の基準のどれが満たされるかを示しています。

基準方法	比例	単調	委員会の単調性	一貫性	参加	クローンプルーフ	均質性	お気に入りの裏切りはありません	半正直	普遍的に好かれる候補者
順次比例承認	はい	はい	はい		いいえ	はい		いいえ	いいえ	いいえ
再加重範囲	はい	はい			いいえ	はい		いいえ	いいえ	いいえ
比例承認	はい	はい	いいえ	はい		はい		いいえ	いいえ	いいえ
単記移譲式投票	はい	いいえ	いいえ	いいえ	いいえ	はい	はい	いいえ	いいえ	はい
CPO-STV	はい	いいえ		いいえ	いいえ	はい		いいえ	いいえ	はい
シュルツェSTV	はい	はい		いいえ	いいえ	はい		いいえ	いいえ	はい
フラグメン			はい	いいえ
クォータボルダ制度
譲渡不能な単一投票	いいえ	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ	いいえ	N/A（比例しない）
制限投票	いいえ	はい	はい	はい	はい	いいえ	はい	いいえ^[31]	いいえ	N/A（比例しない）
累積投票	いいえ	はい		はい	はい			いいえ^[31]	いいえ	N/A（比例しない）
抽選、恣意的な勝者	いいえ	はい		はい	はい	はい		はい	はい	N/A（比例しない）
複数のランダム投票	アプローチ	はい		はい	はい	はい		はい	はい	N/A（比例しない）

参照

参考文献

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外部リンク

ウィキデータにおける選挙制度の比較に関するデータ

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[MinimaxVarient-29] 反対と支持を差し引いたものを数えず、一対一の反対のみを数えるミニマックスの変種は、コンドルセ基準を満たさず、後で害がないという条件を満たします。

[semipc-30] 最高中央値投票、順位付けペア投票、シュルツ投票では、他のすべての投票結果を一定とし、他者の投票行動を十分に把握していると仮定した場合、どの投票者にも後悔のない、半ば正直な投票が常に存在する。このような状況下では、投票者が、より支持度の低い候補者を支持度の高い候補者よりも高く評価することなく投票に参加できる方法が少なくとも一つは存在する。

[IIA_rating_methods-31] 承認投票、スコア投票、および多数決投票は、有権者がそれぞれ独自の絶対尺度を用いて候補者を独立して評価すると仮定した場合、IIAを満たす。この仮定が成り立つためには、一部の選挙において、有権者が、実行可能な候補者の中で意味のある好みを持っているにもかかわらず、全投票権よりも少ない投票権しか行使しない必要がある。

[32] 多数決では、投票者の半数以上から最も好まれない候補者が選ばれる可能性はあるが、投票者の半数以上から最も低く評価される候補者が選ばれることはない。

[mjmmc-33] 多数決判定は相互多数決基準を満たさないが、多数派が相互に支持するセットを所定の絶対等級より上にランク付けし、その他すべてをその等級より下にランク付けする場合は基準を満たす。

[34] 無作為に選ばれた投票によって勝者が決定されます。この方法と密接に関連する方法は数学的に興味深いものであり、ここでは、たとえ不合理な方法であっても投票方法の基準を満たす可能性があることを示すために取り上げます。

[35] 候補者の中からランダムに勝者が選ばれる場合、投票以外の方法であってもいくつかの基準をクリアできることを示すために抽選が行われます。

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[3] コンドルセとラプラスについてはGG Szpiro著「Numbers Rule」（2010年）を参照。

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