連続線形演算子

Function between topological vector spaces

関数解析および関連する数学の分野において、連続線形演算子または連続線形マッピングは、位相ベクトル空間間の連続 線形変換です。

2 つのノルム空間間の演算子は、連続線形演算子である場合に限り、 有界線形演算子となります。

連続線形演算子

連続性の特徴

が2つの位相ベクトル空間（TVS）間の線型作用素であると仮定する。以下の2つは同値である。 ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$連続的です。
2. ${\displaystyle F}$ある時点で連続している ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$原点において連続である ${\displaystyle X.}$

が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

4. 上の任意の連続半ノルム に対して、上の連続半ノルムが存在し、 ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

と が両方ともハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$は弱連続であり、その転置は の 等連続部分集合をの等連続部分集合に写像する。 ${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

が連続空間（擬似計量化可能空間など）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$その定義域のいくつかの点（または同等に、すべての点）において連続的である。

が擬似計量化可能または計量化可能（ノルム空間やバナッハ空間など）である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$は有界線型演算子である（つまり、の有界部分集合を の有界部分集合に写像する）。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

が半ノルム空間（ノルム空間など）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$0の近傍を^{[3]の有界部分集合に写像する} ${\displaystyle Y.}$

と が両方ともノルム空間または半ノルム空間（両方の半ノルムが で示される）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. 任意のに対して、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

およびが有限次元のハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

10. のグラフは^[4]で閉じている。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

連続性と境界性

全体を通して、位相ベクトル空間(TVS) 間の線形マップです。 ${\displaystyle F:X\to Y}$

有界部分集合

位相ベクトル空間の「有界集合」の概念は、フォン・ノイマン有界集合という概念です。空間がノルム空間（または半ノルム空間）でもある場合、部分集合がフォン・ノイマン有界であるための必要十分条件は、ノルム有界であるためです。つまり、 ノルム（または半ノルム）空間の部分集合は、ノルム有界（またはフォン・ノイマン有界と同義）である場合に有界と呼ばれます。たとえば、絶対値を持つスカラー体（または）はノルム空間であるため、部分集合が有界であるための必要十分条件は、が有限であるための必要十分条件であり、これは、が原点（ゼロ）を中心とする開球（または閉球）に含まれる 場合のみに当てはまります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$ ${\displaystyle S}$

任意の変換、スカラー倍数、および境界付きセットのサブセットは、再び境界付きになります。

集合に有界な関数

が集合であるとき、は ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$が有界部分集合であり、がノルム空間（または半ノルム空間）である場合に、 線型写像が集合上で有界となる任意の に対してが有界となる場合と、の非ゼロスカラーに対してが有界となる場合とで同値である（ および有界集合の任意の変換が再び有界となるため）。したがって、 がノルム空間または半ノルム空間である場合、線型写像が何らかの（同値に、任意の）非退化開球または閉球（必ずしも原点を中心とする必要はなく、任意の半径を持つ）上で有界となるのは、原点を中心とする閉単位球上で有界となる場合とで同値である。 ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$ ${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

有界線形写像

定義により、 TVS間の線型写像は有界写像と言われ、 ${\displaystyle F:X\to Y}$有界線型作用素とは、その定義域の任意の（フォン・ノイマン）有界部分 その余域の有界部分集合であるとき、またはもっと簡単に言えば、その定義域の任意の有界部分集合上で有界であるときである。定義域がノルム空間（または半ノルム空間）であるとき、原点を中心とする開単位球または閉単位球についてこの条件を確認すれば十分である。明示的には、この球を表すとき、が有界線型作用素であるための必要が の有界部分集合である場合作用素ノルム場合に限り成立する。すべての逐次連続線型作用素は有界である。^[5] ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

近傍と局所的有界性に基づく関数

対照的に、地図は ${\displaystyle F:X\to Y}$点の近傍に境界があるか ${\displaystyle x\in X}$ この点の近傍が存在し、その近傍が の有界部分集合であるとき、はで局所的に有界である 。それは「 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y.}$ある点の近傍に有界であるとは、その定義域内に局所的に有界な点が存在する場合であり、その場合、この線型写像は必ずどの点においても局所的に有界となる。「 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$「局所的に有界」は、定義域のあらゆる点で局所的に有界な写像を指すために使用されることがありますが、関数解析の著者の中には、「局所的に有界」を「有界線型作用素」の同義語として定義する人もいます。これらは関連はあるものの、ではありませんある点で局所的に有界」の定義については異論はありません）。

近傍に有界ということは連続的であることを意味し、有界であることを意味する

線型写像が「（ある点の）近傍で有界」であるためには、その定義域のすべての点で局所的に有界である必要があり、その場合、線型写像は必然的に連続であり^{[2] （定義域が}ノルム空間でなくても）したがって有界でもある（連続線型作用素は常に有界線型作用素であるため）。^[6]

任意の線型写像について、近傍に有界であれば連続であり、^{[2] [7]}、連続であれば有界である。^{[6]逆の命題は一般には成り立たないが、線型写像の定義域が}ノルム空間 である場合はどちらも成り立つ。以下に例と追加の詳細を示す。

連続かつ有界だが近傍では有界ではない

次の例は、線型写像が連続的（したがって有界）でありながら、近傍に関して有界ではない可能性があることを示しています。特に、「近傍に関して有界」であることは必ずしも「有界」であることと同義ではないことを示しています。

例: どの近傍でも有界でない連続かつ有界な線型写像: が何らかの局所凸位相ベクトル空間上の恒等写像である場合、この線型写像は常に連続(実際には、 TVS同型であっても)かつ有界ですが、 が半ノルム可能空間 であることと同値である原点の有界な近傍が存在する場合のみ、近傍で有界になります( がハウスドルフである場合、ノルム可能空間であることと同じになります)。これは、線型写像が連続であっても、どの近傍でも有界でない可能性があることを示しています。実際、この例は、半ノルム可能でないすべての局所凸空間に、任意の点のどの近傍でも有界でない線型 TVS自己同型が存在することを示しています。したがって、近傍で有界なすべての線型写像は必然的に連続ですが、その逆は一般には保証されません。 ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

会話の保証

以下の議論をまとめると、ノルム空間（または半ノルム空間）上の線型写像において、連続であること、有界であること、近傍で有界であることはすべて同値である。定義域または余域がノルム可能（または半ノルム可能）な線型写像が連続となるのは、近傍で有界となる場合のみである。また、局所凸空間で値を持つ有界線型作用素は、その定義域が（擬似）計量化可能^[2]またはボルノロジカル^[6]である場合に連続となる。

「連続」とは「近傍で有界」であることを意味することを保証する

TVS は、近傍が存在し、それがまた有界集合であるとき、局所的に有界であるという。^[8]たとえば、原点を中心とする単位球 は原点の有界近傍 であるので、すべてのノルム空間または半ノルム空間は局所的に有界な TVS である。 が(局所的に有界な) TVS における原点の有界近傍である場合、任意の連続線型写像によるその像は有界集合 となる (したがって、この写像 はこの近傍 で有界である)。したがって、局所的に有界な TVS から他の任意の TVS への線型写像は、近傍 で有界である場合に限り連続である。さらに、この特性を持つ任意の TVS は局所的に有界な TVS でなければならない。明示的に、 が、その定義域が であるすべての連続線型写像 (任意の TVS への) が必然的に近傍で有界となるような TVS である場合、 は局所的に有界な TVS でなければならない (恒等関数は常に連続線型写像であるため)。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

TVSから局所的に有界なTVS（任意の線型関数など）への線型写像は、近傍で有界である場合にのみ連続となる。^[8] 逆に、TVSが、任意のTVSからの連続線型写像が共域で必ず有界となるようなTVSである場合、TVSは局所的に有界なTVSでなければならない。^[8] 特に、任意のTVS上の線型関数が連続となる場合に限り、近傍で有界となる。^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

したがって、線型写像の領域または余領域がノルム可能または半ノルム可能である場合、連続性は近傍で制限されることと同等になります。

「有界」は「連続」を意味することを保証

連続線型作用素は常に有界線型作用素である。^[6] しかし重要なのは、任意の位相ベクトル空間間の線型作用素の最も一般的な設定では、線型作用素が有界であっても連続ではない可能性があるということである。

擬似計量化可能な定義域を持つ線型写像（任意のノルム空間など）が有界となるのは、連続である場合に限ります。^[2]ボルノロジー空間から局所凸空間への 線型写像についても同様です。^[6]

「有界」とは「近傍に有界」であることを意味することを保証する

一般に、線型写像、あるいはその定義域または余域に関する追加情報がない場合、写像が「有界」であることは、「近傍で有界」であることと同義ではありません。 がノルム空間から何らかのTVSへの有界線型作用素である場合、は必然的に連続です。これは、における原点を中心とする任意の開球が、有界部分集合（は有界線型写像であるため、 は有界であることを意味する）であると同時に、 における原点の近傍でもあるため、は原点のこの近傍で有界であり、（前述のように）連続性が保証されるためです。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

連続線形関数

位相ベクトル空間（TVS）上のすべての線型関数は線型作用素であるため、連続線型作用素について上述したすべての性質がそれらにも当てはまります。しかし、それらの特殊な性質のため、より一般的な連続線型作用素よりも、連続線型関数についてより多くのことが言えます。

連続線形関数の特徴づけ

体上の位相ベクトル空間（TVS） （ハウスドルフや局所凸である必要はない）とし、体上の線型汎関数とすると、 次の式は同値である：^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$連続的です。
2. ${\displaystyle f}$均一に連続している ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$ある時点で連続している ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$原点において連続である。
   • 定義により、原点で連続であるとは、共線領域において半径がを中心とするすべての開球（または閉球）に対して、 における原点の近傍が存在し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • が閉じた球体である場合、条件は ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • この最大の特徴付けにおいて、 が閉球体であることが重要である。 が開球体であると仮定すると、 はが成立するための十分条件ではあるが、必要条件ではない（例えば、 が および 上の恒等写像である場合を考えてみよう）。一方、非厳密な不等式はが成立するための必要条件ではあるが、十分条件ではない（例えば、 および閉近傍を考えてみよう）。これは、極集合などの線型汎関数を含む多くの定義が、 （開近傍ではなく）閉近傍と（厳密な ではなく）非厳密な不等式を含む理由の一つである。 ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ ${\displaystyle U=B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$は（ある点の）近傍で有界です。言い換えれば、は定義域のある点で局所的に有界です。 ${\displaystyle f}$
   • 明示的には、これはある点の近傍が存在し、その近傍は^[2]の有界部分集合、つまり、近傍のこの上限が等しい場合、そしてその場合に限り、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ;}$ ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0.}$
   • 重要なのは、線型関数が「近傍で有界」であることは、一般に「有界線型関数」であることと同義ではないということです。なぜなら、（前述の通り）線型写像は有界であっても連続ではない可能性があるからです。しかし、領域がノルム空間または半ノルム空間である場合、連続性と有界性は同義です。つまり、ノルム空間上の線型関数にとって、「有界」であることは「近傍で有界」であることと同義です。
6. ${\displaystyle f}$は原点の近傍で有界です。言い換えれば、は原点で局所的に有界です。 ${\displaystyle f}$
   • 等式はすべてのスカラーに対して成り立ち、 のときは原点の近傍となる。したがって特に、が正の実数であるとき、すべての正の実数に対して は原点の近傍となり、を用いて次の命題が証明される。 ${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle sU}$ ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$ ${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle R\neq 0.}$
7. 原点の近傍が存在し、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • この不等式は、任意の実数に対して、この単一の近傍の正のスカラー倍数が上記(4)で与えられた原点における連続性の定義を満たすことを示す場合にのみ成立する。 ${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle \{rU:r>0\}}$ ${\displaystyle U}$
   • 不等式の（絶対）極集合と呼ばれる集合の定義により、極集合、つまりこの特定の不等式が、双対理論において重要な役割を果たしている場合にのみ、不等式が成立します。 ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$は、その定義域のあらゆる点で局所的に有界です。
9. の核は^[2]で閉じている。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
10. そうでなければ、の核は^[2]では稠密ではない。 ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
11. 連続半ノルムが存在し、 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • 特に、半ノルムが連続である場合に限り、連続となります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=|f|}$
12. のグラフは閉じている。^[9] ${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$は連続であり、ここで は実部を表す。 ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f.}$

およびが複素ベクトル空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

14. の虚数部は連続しています。 ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f}$

ドメインが連続したスペースである場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$は、その定義域のいくつかの点（あるいは同等に、すべての点）において連続的である。 ^[2]

定義域が計量化可能または擬計量化可能（たとえば、フレシェ空間またはノルム空間）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$は有界線型作用素である（つまり、その定義域の有界部分集合をその余域の有界部分集合に写像する）。^[2]

ドメインがボルノロジー空間（たとえば擬似計量化可能な TVS）であり、局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$は有界線型演算子である。^[2]
18. ${\displaystyle f}$は、その定義域のいくつかの点（あるいは同値な、すべての点）において連続的である。 ^[10]
19. ${\displaystyle f}$原点において連続的に連続している。

さらに、が実数上のベクトル空間である場合（特に、が実数値であることを意味する）、このリストは以下を含むように拡張される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

20. 連続半ノルムが存在し、[ ^1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$
21. ある実数に対しては半空間は閉じている。 ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. 任意の実数に対して半空間は閉じている。^[11] ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

が複素数である場合、との 3 つすべてが連続(それぞれ、有界)であるか、そうでない場合は 3 つすべてが不連続(それぞれ、無界 ) であるかのどちらかです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

例

有限次元ハウスドルフ位相ベクトル空間（TVS）を定義域とするすべての線型写像は連続である。ただし、有限次元TVSがハウスドルフでない場合は連続ではない。

TVS 間の（定数）写像で、かつ恒等的に零に等しいものは、連続かつ有界で、かつ原点近傍で有界な線型写像である。特に、すべての TVS は空でない連続双対空間を持つ（ただし、定数零写像が唯一の連続線型汎関数となる可能性もある）。 ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

を任意のハウスドルフTVSと仮定する。すると、上のすべての線型関数が必然的に連続となることと、そのすべてのベクトル部分空間が閉じていることは同値である。^[12]上のすべての線型関数が必然的に有界線型関数となることと、そのすべての有界部分集合が有限次元ベクトル部分空間に含まれることは同値である。^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

局所的に凸な 計量化可能な位相ベクトル空間は、その上のすべての有界線形関数が連続である場合に限り、正規化可能である。

連続線形演算子は、有界集合を有界集合にマッピングします。

証明は、線形位相空間における開集合の変換が再び開集合となること、および任意の部分集合と任意の部分集合に対して等式が成り立つことを利用して、 $${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F.}$

連続線形関数の性質

が複素ノルム空間であり、が上の線型汎関数である場合^、[14]（特に、一方が無限大であるとき、かつ他方が無限大であるときのみ）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

TVS 上のすべての非自明な連続線型関数は開写像である。^[1]が実ベクトル空間上の線型関数であり 、が上の半ノルムである場合、次の式が成り立つ^。[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

が線形関数で、が空でない部分集合である場合、集合を定義することによって、 上限はより簡潔に次のように記述できます。がスカラーである 場合、したがって、が実数であり、が原点を中心とする半径 の閉球である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ ${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$ ${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$ $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

参照

• 有界線形演算子 – 線形変換の一種Pages displaying short descriptions of redirect targets
• コンパクト演算子 – 連続線形演算子の一種
• 連続線形拡張 – 関数解析における数学的手法
• 縮約（作用素論）  - 部分単位ノルムを持つ有界作用素
• 不連続線形マップ
• 最良局所凸位相 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 線型関数 – ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 正の線形関数
• 線型写像空間上の位相
• 非有界演算子 – 稠密な線形部分空間上で定義された線形演算子

参考文献

1. Narici & Beckenstein 2011、pp. 126–128。
2. Narici & Beckenstein 2011、156–175 ページ。
3. ウィランスキー 2013、54ページ。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、476頁。
5. ウィランスキー 2013、47～50頁。
6. Narici & Beckenstein 2011、pp. 441–457。
7. ウィランスキー 2013、54～55頁。
8. Wilansky 2013、53–55頁。
9. ウィランスキー 2013、63ページ。
10. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、451–457頁。
11. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、225–273頁。
12. ウィランスキー 2013、55ページ。
13. ウィランスキー 2013、50ページ。
14. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、128ページ。

• アダッシュ, ノルベルト; エルンスト, ブルーノ; ケイム, ディーター (1978).位相ベクトル空間：凸性条件のない理論. 数学講義ノート. 第639巻. ベルリン, ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003。
• ベルベリアン、スターリング・K. (1974). 『関数解析と作用素論の講義』 . 数学大学院テキスト. 第15巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401。
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190。
• コンウェイ、ジョン(1990). 『関数解析コース』 . 『Graduate Texts in Mathematics』 . 第96巻 (第2版). ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908。
• ダンフォード、ネルソン (1988).線形演算子（ルーマニア語）. ニューヨーク: インターサイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• エドワーズ、ロバート・E. (1995). 『関数解析：理論と応用』 ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6OCLC  30593138 。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973). 『位相ベクトル空間』 . チャルジュブ、オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098。
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC  8210342 。
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター（1991年1月）『関数解析』McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シュワルツ、チャールズ (1992). 『関数解析入門』 ニューヨーク: M. デッカー. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuous_linear_operator&oldid=1294790581"