コクセターグループ

数学において、コクセター群はHSMコクセターにちなんで名付けられ、反射（または万華鏡のような鏡）を用いて形式的に記述できる 抽象群である。実際、有限コクセター群はまさに有限ユークリッド反射群である。例えば、各正多面体の対称群は有限コクセター群である。しかし、すべてのコクセター群が有限であるとは限らず、すべてが対称性やユークリッド反射を用いて記述できるわけでもない。コクセター群は1934年に反射群の抽象化として導入され、^{[ 1 ]}、有限コクセター群は1935年に分類された。 ^{[ 2 ]}

コクセター群は数学の多くの分野に応用されています。有限コクセター群の例としては 、正多面体の対称群や単純リー代数のワイル群などが挙げられます。無限コクセター群の例としては、ユークリッド平面と双曲平面の正則なモザイクに対応する三角形群や、無限次元カッツ・ムーディ代数のワイル群などが挙げられます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

意味

正式には、コクセター群は、プレゼンテーションが

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

ここで、と は整数またはの場合のいずれかです。ここで、条件は、任意の整数に対して の形式の関係が課されないことを意味します。 ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

が生成元を持つコクセター群であるペアは、コクセターシステムと呼ばれます。一般にはが によって一意に決定されないことに注意してください。例えば、 と のコクセター群は同型ですが、コクセターシステムは同値ではありません。これは、前者は3つの生成元を持ち、後者は1 + 3 = 4つの生成元を持つためです（この表記法の説明については以下を参照してください）。 ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

上記の定義から、すぐにいくつかの結論を導き出すことができます。

• 関係 は、すべての に対して であることを意味します 。したがって、生成元は反転です。 ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$ ${\displaystyle i}$
• ならば、生成元と可換である。これは、次のことを観察することによって導かれる。 ${\displaystyle m_{ij}=2}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$、

と共に

${\displaystyle xyxy=1}$

は、

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$。

あるいは、生成子は反転なので、 となる。つまり、との交換子は1 に等しい、あるいはと は交換可能である。 ${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

定義に 「for」が規定されている理由 は、 ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle yy=1}$、

と共に

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

すでに

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$。

この含意の別の証明は、とが共役であるという観察です。確かに。 ${\displaystyle (xy)^{k}}$ ${\displaystyle (yx)^{k}}$ ${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

コクセター行列とシュレーフリ行列

コクセター行列は、要素 を持つ対称行列です。実際、対角要素が 1 のみで、非対角要素が である対称行列はすべてコクセター行列です。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

Coxeter 行列は、次の規則に従って、 Coxeter 図で簡単にエンコードできます。

• グラフの頂点にはジェネレータの添え字が付けられます。
• 頂点と が隣接している場合に限ります。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• 値が以上のときは常に、エッジに の値がラベル付けされます。 ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle 4}$

特に、2つの生成元が可換となるのは、それらが辺で結ばれていない場合に限ります。さらに、コクセターグラフが2つ以上の連結成分を持つ場合、関連する群は個々の成分に関連する群の直積となります。したがって、コクセターグラフの非結合和は、コクセター群の直積となります。

コクセター行列 は、を要素とするシュレーフリ行列と関連しているが、要素は対生成元のドット積に比例するように修正される。シュレーフリ行列は、その固有値によってコクセター群が有限型（すべて正）、アフィン型（すべて非負、少なくとも1つの零）、または不定型（それ以外）のいずれであるかが決定されるため有用である。不定型は、例えば双曲型コクセター群やその他のコクセター群など、さらに細分化されることがある。しかし、双曲型コクセター群には、等価ではない複数の定義が存在する。 ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

例

コクセターグループ	A 1 ×A 1	A 2	B2​	私2 (5)	G2​	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	A3​	B3​	D4​	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
コクセター図
コクセター行列	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
シュレーフリ行列	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

例

頂点から までが一列に配置され、各頂点がラベルのない辺で隣接する頂点と結ばれているグラフは、対称群のコクセター図です。生成元は転置に対応します。連続しない2つの転置は可換ですが、連続する2つの転置を乗算すると3-サイクル が得られます。したがって、はコクセター図 を持つコクセター群の商です。さらに議論を進めると、この商写像は同型であることが示されます。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$ ${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

反射群の抽象化

コクセター群は反射群を抽象化したものです。コクセター群は、表現によって与えられるという意味で抽象群です。一方、反射群は具体的 であり、その各要素が、あるユークリッド空間における線型超平面についての有限個の幾何学的反射の合成物であるという意味です。技術的には、反射群は、行列式が -1 である直交行列によって生成される線型群(またはさまざまな一般化) の部分群です。コクセター群の各生成元は位数 2 で、反射を 2 回実行することが恒等式であるという幾何学的事実を抽象化しています。形式 の各関係は、の角度で交わる2 つの超平面がある場合、これらの超平面についての 2 つの反射の合成は による回転であり、位数kであるという幾何学的事実に対応しています。 ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$ ${\displaystyle \pi /k}$ ${\displaystyle 2\pi /k}$

このように、すべての反射群はコクセター群として表すことができます。^{[ 1 ]}逆は部分的に真です。すべての有限コクセター群は、あるユークリッド空間の有限反射群として忠実な表現が可能です。^{[ 2 ]} しかし、すべての無限コクセター群が反射群として表現できるわけではありません。

有限コクセター群は分類されている。^{[ 2 ]}

有限コクセター群

既約有限コクセター群のコクセターグラフ

分類

有限コクセター群はコクセター図に基づいて分類される。^{[ 2 ]}

連結コクセター図を持つ有限コクセター群は、3つの増加する次元の1パラメータ族（の場合、の場合、 の場合）、1つの2次元の1パラメータ族（の場合）、そして6つの例外群（および）から構成される。すべての有限コクセター群は、有限個のこれらの既約群の直積である。^{[ a ]} ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4}}$

ワイル群

これら全てではないが、多くはワイル群であり、すべてのワイル群はコクセター群として実現できる。ワイル群は、族と例外とであり、ワイル群表記では次のように表記される。 ${\displaystyle A_{n},B_{n},}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(6),}$ ${\displaystyle G_{2}.}$

非ワイル群とは、例外のと 、およびワイル群と例外的に同型ではないファミリーのメンバー（つまりと）です。 ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$ ${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

これは、（無向）ディンキン図に対する制約と有限群のコクセター図に対する制約を比較することによって証明できる。正式には、コクセターグラフは、辺の方向を破棄し、すべての二重辺をラベル 4 の辺に、すべての三重辺をラベル 6 の辺に置き換えることによって、ディンキン図から取得できる。また、すべての有限生成コクセター群は自動群であることにも注意すること。^{[ 6 ]}ディンキン図には、許可される辺ラベルは 2、3、4、6 のみであるという追加の制約があり、これにより上記が得られる。幾何学的には、これは結晶学的制約定理に対応し、除外された多面体は空間を埋めたり平面を敷き詰めたりしないという事実 -正十二面体（双対的には二十面体）は空間を埋めず、120 セル（双対的には 600 セル）は空間を埋めない - に対応する。p角形の場合、または(それぞれ三角形、正方形、六角形のタイリング) を除いて、平面をタイリングしません。 ${\displaystyle H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p=3,4,}$ ${\displaystyle 6}$

さらに、(有向) ディンキン図B _nとC _{n は}同じワイル群 (したがってコクセター群) を生成することに注意してください。これは、有向グラフとしては異なりますが、無向グラフとしては一致するためです。方向はルート システムでは重要ですが、ワイル群では重要ではありません。これは、ハイパーキューブとクロスポリトープが異なる正多面体でありながら同じ対称群を持つこと に対応します。

プロパティ

有限既約コクセター群のいくつかの性質を以下の表に示す。既約群の位数は、その既約部分群の位数の積によって計算できる。

ランクn	グループシンボル	代替シンボル	括弧表記	コクセターグラフ	反射m = ⁠1/2⁠ nh [ 7 ]	コクセター数h	注文	グループ構造[ 8 ]	関連する多面体
1	A 1	A 1	[ ]		1	2	2	${\displaystyle S_{2}}$	{ }
2	A 2	A 2	[3]		3	3	6	${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}$	{3}
3	A3​	A3​	[3,3]		6	4	24	${\displaystyle S_{4}}$	{3,3}
4	A4​	A4​	[3,3,3]		10	5	120	${\displaystyle S_{5}}$	{3,3,3}
5	A5​	A5​	[3,3,3,3]		15	6	720	${\displaystyle S_{6}}$	{3,3,3,3}
n	アン​	アン​	[3 n −1 ]	...	n ( n + 1)/2	n + 1	( n +1)!	${\displaystyle S_{n+1}}$	n単体
2	B2​	C 2	[4]		4	4	8	${\displaystyle C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)}$	{4}
3	B3​	C 3	[4,3]		9	6	48	${\displaystyle C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B4​	C4​	[4,3,3]		16	8	384	${\displaystyle C_{2}\wr S_{4}}$	{4,3,3} / {3,3,4}
5	B5​	C5​	[4,3,3,3]		25	10	3840	${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n	B n	C n	[4,3 n −2 ]	...	n 2	2 n	2 n n !	${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$	n -立方体 / n -正方体
4	D4​	B4​	[3 1,1,1 ]		12	6	192	${\displaystyle C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}}$	h{4,3,3} / {3,3 1,1 }
5	D5​	B5​	[3 2,1,1 ]		20	8	1920	${\displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}$	h{4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
n	D n	B n	[3 n −3,1,1 ]	...	n ( n − 1)	2( n −1)	2 n −1 n !	${\displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}$	n -デミキューブ/ n -オルソプレックス
6	E 6	E 6	[3 2,2,1 ]		36	12	51840	${\displaystyle \operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2}$	2 21、1 22​​
7	E 7	E 7	[3 3,2,1 ]		63	18	2903040	${\displaystyle \operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2}$	3 21、2 31、1 32​​​​
8	E8​	E8​	[3 4,2,1 ]		120	30	696729600	${\displaystyle 2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}$	4 21、2 41、1 42​​​​
4	F4​	F4​	[3,4,3]		24	12	1152	${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})}$	{3,4,3}
2	G2​	– （D6 2）	[6]		6	6	12	${\displaystyle D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}$	{6}
2	私2 (5)	G2​	[5]		5	5	10	${\displaystyle D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)}$	{5}
3	H3​	G3​	[3,5]		15	10	120	${\displaystyle 2\times A_{5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H4​	G4​	[3,3,5]		60	30	14400	${\displaystyle 2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2}$[ b ]	{5,3,3} / {3,3,5}
2	私2 ( n )	Dn 2	[名詞]		n	n	2 n	${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}$n = p k + 1のとき、pは素数 n = p k − 1のとき、pは素数 ${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}$	{ p }

正多面体の対称群

すべての正多面体の対称群は有限コクセター群である。双対多面体は同じ対称群を持つ点に注意されたい。

あらゆる次元において、正多面体の系列は3つ存在します。正n単体の対称群は対称群S _{n +1であり、} A _n型のコクセター群としても知られています。n立方体とその双対であるn交差多面体の対称群はB _nであり、超八面体群として知られています。

2次元、3次元、4次元の例外的な正多面体は、他のコクセター群に対応します。2次元では、正多角形の対称群である二面体群 は、 p ≥ 3に対して、級数I ₂ ( p ) を形成します。3次元では、正十二面体とその双対である正二十面体の対称群はH ₃であり、完全二十面体群として知られています。4次元には、24セル、120セル、600セルの3つの例外的な正多面体があります。最初のものは対称群F ₄を持ち、他の2つは双対で対称群H ₄を持ちます。

D _n、E ₆、E ₇、E ₈型の Coxeter 群は、特定の半正多面体の対称群です。

アフィン・コクセター群

アフィンコクセター群のコクセター図

根系のシュティーフェル図 ${\displaystyle G_{2}}$

アフィンコクセター群は、コクセター群の 2 つ目の重要な系列を形成します。これら自体は有限ではありませんが、対応する商群が有限であるような正規アーベル部分群がそれぞれ含まれます。いずれの場合も、商群はそれ自身がコクセター群であり、アフィン コクセター群のコクセター グラフは、商群のコクセター グラフから別の頂点と 1 つまたは 2 つの追加の辺を追加することによって得られます。たとえば、n ≥ 2 の場合、円内のn +1 個の頂点 からなるグラフはこのようにしてA _nから得られ、対応するコクセター群はA _nのアフィン ワイル群(アフィン対称群​​ ) です。n = 2 の場合、これは、 平面を正三角形で標準的に敷き詰める対称群の部分群として描くことができます。

一般に、ルート系が与えられれば、それに関連するスティフェル図を構築することができる。これはルートに直交する超平面と、それらの超平面の特定の移動から構成される。アフィン コクセター群（またはアフィン ワイル群）は、図内のすべての超平面についての（アフィン）反射によって生成される群である。^{[ 9 ]}スティフェル図は平面をアルコーブと呼ばれる無限個の連結成分に分割し、アフィン コクセター群はアルコーブに対して自由かつ推移的に作用する。これは通常のワイル群がワイル チャンバーに対して自由かつ推移的に作用するのと同様である。右の図はルート系のスティフェル図を示している。 ${\displaystyle G_{2}}$

が階数の既約ルート系であり、が単純ルートの集合であるとする。また、最高ルートを と表記する。すると、アフィン Coxeter 群は、 に垂直な超平面についての通常の（線形）反射と、 に垂直な超平面の移動についてのアフィン反射によって生成される。アフィン Weyl 群の Coxeter グラフは、 に関する Coxeter–Dynkin 図と、 に関連付けられた 1 つの追加ノードから構成される。この場合、Stiefel 図の 1 つのアルコーブは、基本 Weyl チャンバーを取り、それを に垂直な超平面の移動で切断することによって得られる。^{[ 10 ]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

アフィン コクセター群のリストは次のとおりです。

グループシンボル	ウィット記号	括弧表記	コクセターグラフ	関連する均一なテッセレーション
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3 [ n +1] ]	...または...	単純ハニカム
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3 n − 3 ,3 1,1 ]	...	半超立方ハニカム
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3 n −2 ,4]	...	超立方ハニカム
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[ 3 1,1 ,3 n −4 ,3 1,1 ]	...	半超立方ハニカム
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[3 2,2,2 ]	または	2 22
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[3 3,3,1 ]	または	3 31、1 33​​
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21、2 51、1 52
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		16セルハニカム24セルハニカム
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		六角形のタイル張りと三角形のタイル張り
${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		アペイロゴン

これらの各グループは有限グループのグラフにノードを追加することによって取得されたため、グループ シンボルの添え字は、それぞれの場合のノードの数より 1 小さくなります。

双曲型コクセター群

双曲空間における反射群を記述する双曲コクセター群は無数に存在し、特に双曲三角形群が含まれます。

既約コクセター群

コクセター群は、そのコクセター・ディンキン図が連結であるとき、既約群であると言われる。すべてのコクセター群は、そのコクセター・ディンキン図の成分に対応する既約群の直積である。

部分注文

反射生成子の選択により、コクセター群上の長さ関数ℓが得られる。これは、群の元を表現するために必要な生成子の使用回数の最小値であり、これはまさにケーリーグラフの語計量における長さである。ℓ ( v )生成子を用いたvの表現は、簡約語である。例えば、S ₃の順列(13)は、(12)(23)(12)と(23)(12)(23)という2つの簡約語を持つ。この関数は、対称群の符号写像を一般化する写像を定義する。 ${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$ ${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

簡約語を使用して、コクセター群に3 つの半順序、(右)弱順序、絶対順序、およびBruhat 順序(フランソワ・ブリュアにちなんで名付けられました ) を定義できます。Bruhat順序で元v が元u を超えるのは、 vの何らかの (または同等の任意の) 簡約語がuの簡約語を部分文字列として含み、その際に一部の文字 (任意の位置) が削除される場合です。弱順序では、vの何らかの簡約語がuの簡約語を最初のセグメントとして含む場合、 v  ≥  uとなります。実際、語長により、これは次数付き posetになります。これらの順序に対応するハッセ図は研究対象であり、生成元によって決定されるケイリー グラフに関連しています。絶対順序は弱順序と同様に定義されますが、生成セット/アルファベットはコクセター生成元のすべての共役から構成されます。

例えば、S3_の順列(1 2 3)には(12)(23)という簡約語が1つだけあるので、Bruhat順序では(12)と(23)をカバーしますが、弱い順序では(12)のみをカバーします。

相同性

コクセター群は有限個の位数2の元によって生成されるので、そのアーベル化は基本アーベル2-群、すなわち巡回群の複数のコピーの直和と同型である。これはの第一ホモロジー群を用いて言い換えることができる。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle W}$

シュアー乗数 は の第二ホモロジー群に等しく、有限反射群については（Ihara & Yokonuma 1965）で、アフィン反射群については（ Yokonuma 1965 ）で計算され、より統一的な説明は（ Howlett 1988）で与えられている。いずれの場合も、シュアー乗数は基本アーベル2-群でもある。有限またはアフィン・ワイル群の無限族ごとに、 の階数は が無限大に向かうにつれて安定化する。 ${\displaystyle M(W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{n}\}}$ ${\displaystyle M(W_{n})}$ ${\displaystyle n}$

参照

• アルティン・ティッツ群
• シュヴァレー・シェパード・トッドの定理
• 複素反射群
• コクセター要素
• コクセター群の同型性問題
• 岩堀・ヘッケ代数、群代数の量子変形
• カジュダン・ルスティグ多項式
• コクセター群の最長元
• 反射群の放物面部分群
• 超可解配置

注記

1. 状況によっては、命名規則が拡張され、、、、、、などの代替名または冗長名が許可されることがあります。 ${\displaystyle B_{1}\cong A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}\cong I_{2}(2)\cong A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}(4)\cong B_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}\cong I_{2}(5)}$ ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
2. 指数2の部分群 ${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

参考文献

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7. Coxeter, HSM (1973年1月). 「12.6. 反射の数」.正多面体. クーリエ社. ISBN 0-486-61480-8。
8. ウィルソン、ロバート A. (2009)、「第2章」、有限単純群、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5
9. ホール 2015セクション 13.6
10. ホール 2015第13章、演習12と13

参考文献

• ホール、ブライアン・C. (2015).リー群、リー代数、表現：初等的入門. 大学院数学テキスト. 第222巻（第2版）. シュプリンガー. ISBN 978-3-319-13466-6。
• 伊原 誠; 横沼 健夫 (1965). 「有限反射群の第二コホモロジー群（シュール乗数）について」(PDF) .東京大学理学部誌, 第1編. 11 : 155–171 . Zbl  0136.28802 . 2013年10月23日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• ハウレット, ロバート B. (1988). 「コクセター群のシュアー乗数について」. J. ロンドン数学協会2. 38 (2): 263– 276. doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263 . Zbl  0627.20019 .
• 横沼武夫 (1965). 「無限離散鏡映群の第二コホモロジー群（シュール乗数）について」.東京大学理学部誌, 第1部. 11 : 173–186 . hdl : 2261/6049 . Zbl  0136.28803 .

さらに読む

• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005). Coxeter群の組合せ論. Graduate Texts in Mathematics . Vol. 231. Springer. ISBN 978-3-540-27596-1. Zbl  1110.05001 .
• グローブ、ラリー・C.; ベンソン、クラーク・T. (1985).有限反射群. 数学大学院テキスト. 第99巻. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-96082-1。
• ケイン、リチャード (2001). 『鏡映群と不変式理論』 CMS Books in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-98979-2. Zbl  0986.20038 .
• ヒラー、ハワード (1982).コクセター群の幾何学. 数学研究ノート. 第54巻. ピットマン. ISBN 978-0-273-08517-1. Zbl  0483.57002 .
• ヴィンバーグ、アーネスト・B. (1984). 「大次元ロバチェフスキー空間における反射の結晶群の不在」.トゥルーディ・モスコフ. Mat. Obshch . 47 .

外部リンク

• 「コクセター群」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W.、「Coxeter グループ」、MathWorld
• 最大4つの生成器上の有限コクセター群のケーリーグラフを視覚化するJennソフトウェア

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