格別な空間

TVS whose strong dual is barralled

関数解析および関連する数学の分野において、区別された空間は、その双双対の弱 *有界部分集合(つまり、その強双対空間の強双対空間) が、その双双対の何らかの有界部分集合の弱 *閉包に含まれるという特性を持つ位相ベクトル空間 (TVS) です。

意味

が局所凸空間であるとし、および がの強双対（つまり、の連続双対空間に の強双対位相が備わっている）を表すものとする。が の連続双対空間を表し、が の強双対を表すものとする。 がによって誘導される弱*位相（つまり、 上の点収束の位相）に備わっていることを表すものとする。の部分集合がの有界部分集合であるとき、その部分集合は であるといい、 TVS におけるの閉包を の-閉包と呼ぶ。が の部分集合であるとき、の極は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

ハウスドルフ 局所凸空間は 、次の同値な条件のいずれかを満たす場合、 区別された空間と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

1. が の -有界部分集合である場合、の-閉包を含むの有界部分集合が存在する。^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$
2. が の有界部分集合である場合、がに含まれる有界部分集合が存在し、はの極性（双対性に対して）である^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. の強い双対は樽型空間である。^[1] ${\displaystyle X}$

さらに、が距離化可能な局所凸位相ベクトル空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

4. （グロタンディーク） の強双対はボルンロジカル空間である。^[1] ${\displaystyle X}$

十分な条件

すべてのノルム空間と半反射空間は区別された空間である。^[2] LF空間は区別された空間である。

フレシェ空間の強双対空間は、 が 準バレルである場合にのみ区別される。^[3] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

局所凸な区別空間はすべてH空間である。^[2]

例

区別されたバナッハ空間には半反射的ではない空間が存在する。^[1]区別されたバナッハ空間の強双対は必ずしも可分ではない 。はそのような空間である。^[4]区別されたフレシェ空間の 強双対空間は必ずしも計量化可能ではない。^[1]強双対が非反射バナッハ空間 である、区別された半反射的非反射的非準バレル型マッキー空間が存在する。^[1]区別された空間ではないH 空間 が存在する。 ^[1] ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

フレシェ・モンテルの空間は特別な空間です。

参照

• モンテル空間 – 閉集合と有界部分集合がコンパクトである樽型空間
• 半反射的空間

参考文献

1. Khaleelulla 1982、32–63 ページ。
2. Khaleelulla 1982、28–63 ページ。
3. Gabriyelyan, SS「特定の局所可算ネットワークを持つ位相空間と位相群について（2014）」
4. Khaleelulla 1982、32–630 ページ。

参考文献

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• ロバートソン, アレックス・P.; ロバートソン, ウェンディ・J. (1980).位相ベクトル空間. ケンブリッジ数学トラクト第53巻. ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250。
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978).位相的ベクトル空間と順序付きベクトル空間におけるバレル性. Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665。
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC  8210342 。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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