多項式環

数学、特に代数の分野において、多項式環または多項式代数は、1つ以上の不定値(伝統的には変数とも呼ばれる)の多項式の集合から形成される環で、別の環(多くの場合、体)の係数を持ちます。

「多項式環」という用語は、しばしば、体上の不定元における多項式環の特殊な場合を暗黙的に指します。このような多項式環の重要性は、整数環と共通する性質の数の多さにあります。

多項式環は、数論、可換代数、代数幾何学など、数学の多くの分野に現れ、しばしば基礎となる。環論においては、一意因数分解域、正則環、群環、形式冪級数の環、オーレ多項式、次数環など、多くの環のクラスが、多項式環のいくつかの性質を一般化するために導入されてきた。

密接に関連する概念は、ベクトル空間上の多項式関数の環、およびより一般的には代数多様体上の正則関数の環です。

定義（単変数の場合）

$K を$ 体、または（より一般的には）可換環とします。

$K$ 上の $X$ の多項式環（ $K$ $[$ $X$ $]$ と表記）は、いくつかの同値な方法で定義できる。その一つは、 $K$ $[$ $X$ $]を$ $X$ の多項式と呼ばれる式^[1]の集合として定義することである。

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

ここで、 $m$ は非負の整数であり、 $p の係数 p 0 、 p 1 、\dots、 p m$ はK $の元であり、 m > 0$ $の$ 場合は $p$ $m$ ≠ $0$ $で$ $あり$ 、 $X$ $、$ $X$ $2$ $、\dotsは$ $X$ の「べき乗」と呼ばれる記号であり、指数の通常の規則に従います。つまり、任意の非負の整数 $k$ と $l$ に対して、 $X$ $0$ $= 1$ 、 $X$ $1$ $=$ $X$ です。記号 $X$ は不定数^{[2]または変数}^[3]と呼ばれます。 (「変数」という用語は、多項式関数の用語に由来します。ただし、ここでは、 $X は$ (それ自身以外に) 値を持たず、多項式環の定数であるため変化しません。) $X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}$

$2 つの多項式は、各X k$ の対応する係数が等しい場合に等しくなります。

環 $K [X]は、$ $K$ の外部にあり、 $K$ のすべての元と可換で、他に特別な性質を持たない新たな元 $Xを K に加えることによって$ $K$ から生じるものと考えることができる。これは、多項式環の同等の定義にも用いることができる。

$K$ 上の $X$ の多項式環は、加法、乗法、スカラー乗法を備えており、可換代数となる。これらの演算は、代数式を操作するための通常の規則に従って定義される。具体的には、

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

そして

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

それから

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

そして

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

ここで $、k = max(m, n)、 l = m + n$ 、

r_{i}=p_{i}+q_{i}

そして

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

これらの式では、多項式 $p$ と $q$ に係数がゼロの「ダミー項」を追加することで拡張され、式に現れるすべての $p i$ と $q i$ $が定義されます。具体的には、 m < n$ の場合、 $m$ $<$ $i$ $\leq$ $n$ のときは $p i = 0 となります$ 。

$スカラー乗算は、 p = p 0$ がその定数項（ $X$ に依存しない項）に簡約される乗算の特別な場合である。つまり、

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

$これら3つの演算がK$ 上の可換代数の公理を満たすことは容易に証明できる。したがって、多項式環は多項式代数とも呼ばれる。

より直感的ではないものの、完全に厳密にする方が簡単なため、別の同等の定義がよく好まれる。それは、多項式を $K$ の元の無限列 $(p 0, p 1, p 2, \dots)$ として定義し、その列の有限個の要素のみが非ゼロであるという性質を持つ、あるいはそれと同値な、 $n$ $>$ $m$ に対してp _n = 0となるような $m$ が存在する列とすることである。この場合、 $p$ $0$ と $X は$ 、それぞれ列 $($ $p$ $0$ $, 0, 0, \dots)$ と $(0, 1, 0, 0, \dots)$ の代替表記として考えられる。演算規則をそのまま用いると、式

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

は、シーケンスの代替表記である。

(p 0, p 1, p 2, \dots, p m, 0, 0, \dots)

。

用語

させて

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

非零多項式であり、 $p_{m}\neq 0$

$p$ の定数項は、零多項式の場合には零になります。 $p_{0}.$

$p$ の次数 $deg($ $p$ $)$ は、 $Xk$ $の$ 係数が0にならない最大の $k$ である。^[4] $m,$

$p$ の主係数は^[5]である。 $p_{m}.$

すべての係数がゼロである零多項式の特別な場合では、主係数は未定義であり、次数は未定義のままにされるか、^[6]は $-1$ と定義され、^{[7]は-∞と定義されるか、または}^[8]は $-\infty$ と定義される。

定数多項式は、ゼロ多項式、または次数 0 の多項式のいずれかです。

非零多項式は、その最高係数が $1.$

2つの多項式 $p$ と $q$ が与えられ、零多項式の次数が1であると定義されると、 $-\infty ,$

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

そして、体上、あるいはより一般的には整域上では、^[9]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

$K$ が整域であれば $K [X]$ も整域であることが直ちに分かる。^[10]

また、 $K$ が整域である場合、多項式が単位である(つまり、逆元を持つ) のは、それが定数であり、 $K$ において単位である場合に限ります。

2 つの多項式は、一方が他方の単位の積である場合に関連付けられます。

体上では、すべての非ゼロ多項式は、一意のモニック多項式に関連付けられます。

2 つの多項式 $p$ と $q がある場合、$ $q$ $=$ $pr$ となる多項式 $rが存在するならば、$ $p は$ $q を$ 割り切る 、 $pは$ $q$ の約数である、または $qは$ $p$ の倍数であると言えます。

多項式は、2 つの非定数多項式の積でない場合、またはそれと同等に、その約数が定数多項式であるか同じ次数である場合、既約多項式と呼ばれます。

多項式評価

$K を$ 体、あるいはより一般的には可換環とし、 $R を$ $K$ を含む環とする。K $[$ $X$ $]$ の $任意$ の多項式 $Pと$ $R$ の任意の元 $aに対し、$ $P の X$ $を$ $a$ に置換すると $R$ の元が定義され、これを $P$ $($ $a$ $)と$ 表記する。この元は、置換後に $R$ において多項式の式で示される演算を行うことで得られる。この計算は $a$ における $P$ の評価と呼ばれる。例えば、

P=X^{2}-1,

我々は持っています

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

（最初の例では $R = K$ 、2番目の例では $R = K [X]$ ）。 $Xを$ それ自身に代入すると、

P=P(X),

$「 P を$ 多項式とする」という文と「 $P (X)$ を多項式とする」という文が同等である理由を説明します。

多項式 $P$ によって定義される多項式関数は、 $Kから$ $K$ への関数であり、 $K$ が無限体の場合、異なる2つの多項式は異なる多項式関数を定義しますが、有限体の場合はこの性質は成り立ちません。例えば、 $Kが$ $q$ 個の元を持つ体の場合、多項式 $0$ と $X$ $q$ $-$ $Xは$ どちらも零関数を定義します。 $x\mapsto P(x).$

$R$ の任意の $a$ に対し、 $a$ における評価、すなわち写像は $K$ $[$ $X$ $]$ から $R$ への代数準同型写像を定義します。これは $K$ $[$ $X$ $]から$ $R$ への唯一の準同型写像であり、 $K$ を固定し、 $Xを$ $a$ に写します。言い換えれば、 $K$ $[$ $X$ $]$ は次の普遍性を持ちます。 $P\mapsto P(a)$

K

を含むすべての環

R

と

R

のすべての元

aに対して、

K

を固定し、

Xを

a

に写す、

K

[

X

]から

R

への唯一の代数準同型が存在します。

$すべての普遍的性質と同様に、これは（ K [X]、 X ）$ のペアを一意の同型まで定義し、したがって $K [X]$ の定義としてとらえることができます。

写像の像、すなわち $K$ $[$ $X$ $]$ の元において $X を$ $a$ に代入することによって得られる $Rの部分集合は$ $K$ $[$ $a$ $]$ と表記される。^[11]例えば、であり、平方根のべき乗の簡略化規則は次を意味する。 $P\mapsto P(a)$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.$

体上の一変数多項式

$Kが$ 体である場合、多項式環 $K [X]$ は整数環の特性と類似した多くの特性を持ちます。これらの類似点のほとんどは、整数の長除算と多項式の長除算の類似性から生じます。 $\mathbb {Z} .$

$この節に挙げたK [X]$ の特性のほとんどは、 $K$ が体でない場合や、複数の不定元における多項式を考慮する場合には当てはまりません。

整数の場合と同様に、多項式のユークリッド除算は一意性を持つ。つまり、 $K$ $[$ $X$ $]$ 内の2つの多項式 $a$ と $b \neq 0が与えられたとき、$ $a$ $=$ $bq$ $+$ $r$ かつ $r$ $= 0$ または $deg($ $r$ $) < deg($ $b$ $)$ を満たす多項式のペア $($ $q$ $,$ $r$ $)$ が一意に定まる。これにより、 $K$ $[$ $X$ $]は$ ユークリッド領域となる。しかし、整数を除く他のほとんどのユークリッド領域では、除算の一意性は存在せず、ユークリッド除算を計算するための簡単なアルゴリズム（長除算など）も存在しない。

ユークリッド除算は、 2つの多項式の最大公約数を計算する多項式ユークリッド互除法の基礎です。ここで「最大」とは、「最大の次数を持つ」、あるいは同義語として、次数によって定義される前置順序に対して最大であることを意味します。2つの多項式の最大公約数が与えられた場合、他の最大公約数は非ゼロの定数を乗じることによって得られます（つまり、 $a$ と $b$ のすべての最大公約数は対応しています）。特に、両方ともゼロではない2つの多項式は、モニック（先頭の係数が 1）。

拡張ユークリッド互除法はベズーの恒等式を計算（および証明）することを可能にする $。K [X]$ の場合、次のように述べられる。それぞれ次数 $m$ と $nの2つの多項式$ $p$ と $q$ が与えられ、それらのモニック最大公約数 $g が$ 次数 $d$ を持つ場合、次の式を満たす多項式のペア $($ $a$ $,$ $b$ $)が一意に存在する。$

ap+bq=g,

そして

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

$（ m = d$ または $n = d$ の極限ケースにおいてこれを成立させるには、零多項式の次数を負と定義する必要がある。さらに、この等式は $p$ と $q$ が関連付けられている場合にのみ成立する。）この一意性は $K$ $[$ $X$ $]$ に特有の性質である。整数の場合、次数を絶対値に置き換えれば同じ性質が成立するが、一意性を持つためには $a$ $> 0 が$ 必要となる。 $\deg(a)=n-d$

ユークリッドの補題は $K [X]$ に適用される。つまり、 $a が$ $bc$ を割り切り、かつ $b$ と互いに素であるならば、 $a は$ $c$ を割り切る。ここで互いに素とは、最大公約数が1 .証明:仮定とベズーの恒等式により、 $ae$ $=$ $bc$ かつ $1 =$ $ap$ $+$ $bq$ となる $e$ 、 $p$ 、 $q$ が存在する。したがって、 $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

一意の因数分解の性質は、ユークリッドの補題から生じます。整数の場合、これは算術の基本定理です。 $K [X]$ の場合、次のように述べることができます。すべての非定数多項式は、定数と 1 つまたは複数の既約な単項多項式の積として一意に表現できます。この分解は、因数の位数まで一意です。言い換えると、 $K [X]は$ 一意の因数分解領域です。 $K が$ 複素数体である場合、代数の基本定理は、一変数多項式の既約性とは、次数が 1 の場合に限ると主張します。この場合、一意の因数分解の性質は、次のように言い換えることができます。複素数上のすべての非定数一変数多項式は、定数と、形式 $X$ $-$ $r$ の 1 つまたは複数の多項式との積として一意に表現できます 。この分解は、因数の位数まで一意です。各因数について、 $rは多項式の$ 根であり、因数の出現回数は対応する根の多重度です。

導出

多項式の（形式的な）微分

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

は多項式である

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

実数または複素数の係数を持つ多項式の場合、これは標準の導関数です。上記の式は、係数が極限の概念が定義されていない環に属している場合でも、多項式の導関数を定義します。この導関数により、多項式環は微分代数になります。

導関数の存在は、整数には存在しない多項式環の主な性質の 1 つであり、これにより、整数よりも多項式環での計算が簡単になります。

平方自由因数分解

体または積分域に係数を持つ多項式は、その係数を含む代数的に閉体上に重根を持たない場合、平方根を持たない（square- free）と呼ばれます。特に、実数または複素数を係数とする $n次の多項式は、$ $n個の$ 異なる複素根を持つ場合、平方根を持たない（square-free）と呼ばれます。同様に、体上の多項式が平方根を持たない場合、多項式とその導関数の最大公約数は $1$ です。

多項式の平方自由因数分解とは、その多項式を互いに素な平方自由因数のべき乗の積として表す表現である。実数体（または任意の標数0の体）上では、このような因数分解は Yunのアルゴリズムによって効率的に計算できる。有限体上の多項式の平方自由因数分解には、より効率の低いアルゴリズムが知られている。

ラグランジュ補間

体の要素と異なる値を持つ順序付きペアの有限集合が与えられたとき、これらの点を補間する多項式（すべてのに対してとなる）の中で、次数が最小の多項式が唯一存在します。これがラグランジュ補間多項式です。順序付きペアが存在する場合、の次数は最大です。この多項式は、入力データを用いて明示的に計算できます。 $(x_{j},y_{j})$ $x_{j}$ $f(x)$ $f(x_{j})=y_{j}$ $j$ $L(x)$ $k$ $L(x)$ $k-1$ $L(x)$ $(x_{j},y_{j})$

多項式分解

多項式の分解とは、次数が1より大きい他の多項式の合成として表現する方法です。分解できない多項式は分解不可能です。Rittの多項式分解定理は、多項式の2つの異なる分解において、一方の分解における分解不可能な式の次数は、もう一方の分解における分解不可能な式の次数と同じである（ただし、必ずしも同じ順序である必要はない）ことを主張しています。 $f=g_{1}\circ g_{2}\circ \cdots \circ g_{m}=h_{1}\circ h_{2}\circ \cdots \circ h_{n}$ $f$ $m=n$

因数分解

$因数分解を除く、 K [X]$ のこれまでのすべての性質は有効である。なぜなら、上で概説したように、それらの証明は、性質を検証し、存在が主張されている多項式を計算するアルゴリズムと関連しているからである。さらに、これらのアルゴリズムは計算量が入力サイズの二次関数であるため、効率的である。

因数分解の場合、状況は全く異なります。一意な因数分解の証明は、因数分解の方法に関するヒントを全く与えません。整数の場合、古典的（非量子）コンピュータ上で多項式時間で因数分解できるアルゴリズムは既に知られていません。これが、安全なインターネット通信に広く使用されている RSA暗号の基礎です。

$K [X]$ の場合、因数とその計算方法は $K$ に大きく依存します。複素数では、既約因数（それ以上因数分解できない因数）はすべて1次ですが、実数では2次既約多項式が存在し、有理数ではあらゆる次数の既約多項式が存在します。例えば、多項式は有理数では既約であり、実数では、複素数ではとして因数分解されます。 $X^{4}-2$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$

因数分解アルゴリズムの存在は、基底体にも依存します。実数または複素数の場合、アーベル・ルフィニの定理は、一部の多項式の根、つまり既約因数は正確には計算できないことを示しています。したがって、因数分解アルゴリズムは因数の近似値しか計算できません。このような近似値を計算する様々なアルゴリズムが設計されています。「多項式の根の計算」を参照してください。

$K$ 体の例には、 $K$ の算術演算のための正確なアルゴリズムが存在するが、その形の多項式が既約であるか、またはより低次の多項式の積であるかを決定するアルゴリズムは存在しない。^[12] $X^{p}-a$

一方、有理数や有限体上では、多項式計算量を持つ因数分解アルゴリズムが存在するため、整数因数分解よりも状況は改善されます。これらのアルゴリズムは、ほとんどの汎用コンピュータ代数システムに実装されています。

最小多項式

$θ$ が結合的 $K$ 代数 $L$ の元である場合、 $θ$ における多項式の評価は、 $K$ $[$ $X$ $]$ から $L$ への唯一の代数準同型 $φであり、これは$ $X を$ $θ$ に写し、 $K$ 自身の元には影響を与えない（これは $K$ 上の恒等写像である）。これは、すべての多項式において $X を$ $θ$ に置き換えることからなる。つまり、

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

この評価準同型の像は $θ$ によって生成される部分代数であり、これは必然的に可換である。 $φ$ $が単射ならば、 θ$ によって生成される部分代数は $K [X]$ と同型である。この場合、この部分代数はしばしば $K [θ]$ と表記される。同型性があるため、表記の曖昧さは一般に無害である。

評価準同型が単射でない場合、その核は非零イデアルであり、 $X を$ $θ$ で置き換えたときに零になるすべての多項式から構成される。このイデアルは、あるモニック多項式のすべての倍数から構成され、これは $θ$ の最小多項式と呼ばれる。 「最小」という用語は、その次数がイデアルの元の次数の中で最小であるという事実に由来する。

最小多項式が考慮される主なケースは 2 つあります。

体論と数論において、 $K$ の拡大体 $L$ の元 $θが$ $K$ 上代数的であるとは、それが $K$ に係数を持つ何らかの多項式の根である場合を言う。したがって、 $K$ 上の $θの$ 最小多項式は、 $θ を$ 根として持つ最小次数のモニック多項式である。L $は$ 体であるため、この最小多項式は必然的に $K$ 上既約である。例えば、複素数 $i$ の（実数上および有理数上の）最小多項式はである。円分多項式は、単位元の根の最小多項式である。 $X^{2}+1$

線型代数において、 $K$ 上の $n \times n$ 正方行列は、有限次元（ベクトル空間として）の結合的な $K$ 代数を形成する。したがって、評価準同型は単射にはならず、すべての行列は最小多項式（必ずしも既約ではない）を持つ。ケーリー・ハミルトン定理によれば、評価準同型は行列の特性多項式をゼロに写す。したがって、最小多項式は特性多項式を割り切るため、最小多項式の次数は最大で $n$ となる。

商環

$K [X]$ の場合、イデアルによる商環は、一般の場合と同様に、同値類の集合として構築できます。しかし、各同値類には最小次数の多項式が1つだけ含まれるため、別の構成法の方が便利な場合が多いです。

$d$ 次多項式 $p$ が与えられたとき、 $p$ によって生成されるイデアルによる $K$ $[$ $X$ $]$ の商環は、 $d$ 次未満の多項式のベクトル空間と同一視することができ、その際「 $p$ を法とする乗法」は乗法とみなされ、 $pを法とする乗法は多項式の（通常の）$ 積を $p$ で割ったときの剰余から構成される。この商環は、あるいは単にと表記される。 $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ $K[X]/p.$

環が体となるのは、 $p が$ 既約多項式である場合に限ります。実際、 $p$ が既約であれば、より低次の非零多項式 $q は$ $p$ と互いに素であり、ベズーの恒等式により、 $sp$ $+$ $qr$ $= 1$ となる $r$ と $s を$ 計算できます。つまり、 $rは$ $p$ を法とする $q$ の逆数です。逆に、 $p が既約であれば、$ $deg($ $p$ $)$ より低次の多項式 $a, b$ が存在し、 $ab$ $=$ $p$ となるので、 $a, bは$ $p$ を法とする非零の零因子であり、逆元は存在しません。 $K[X]/(p)$

例えば、複素数の標準的な定義は、商環であると要約できる。

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

$そして、 X$ の像はi $で$ 表される。実際、上記の説明によれば、この商は $iにおける 1 次多項式すべてから成り、これらは$ $a$ $+$ $bi$ の形を持ち、 $a$ と b は iと $b$ である。商環の 2 つの元を乗算するために必要なユークリッド除算の剰余は、多項式としての積において $i$ $2$ $を-1$ に置き換えることによって得られる（これはまさに複素数の積の通常の定義である）。このの構成は、単項的な二次多項式上の商環としての二次代数のより一般的な構成を示している。 ^[13] $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} .$ $\mathbb {C}$

$θ を$ $K$ 代数 $A$ の代数的元とする。代数的とは、 θ が最小多項式 p を持つことを意味する $。$ 第 $一環$ 同型定理は、置換準同型が、置換準同型の像 $K$ $[$ $θ$ $]$ への同型を誘導することを主張する。特に、 $A が$ $θ$ によって生成された $K$ の単純拡大である場合、これにより $A$ とを同一視することができる。この同一視は代数的整数論で広く用いられている。 $K[X]/(p)$ $K[X]/(p).$

モジュール

主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理は、 K [ X ]が体であるとき、K [ X ]にも適用されます。これは、 K [ X ] 上のすべての有限生成加群は、自由加群と有限個のの形の加群の直和に分解できることを意味します。ここで、PはK上の既約多項式、k は正の整数です。 $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$

定義（多変量の場合）

不定値と呼ばれる $n$ 個の記号が与えられた場合、単項式（ベキ積とも呼ばれる） $X_{1},\dots ,X_{n},$

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

はこれらの不定値の正式な積であり、負でないべき乗も可能である。通常通り、指数が1であるものや指数が0の因子は省略できる。特に、 $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

指数の組 $α$ $= ($ $α$ $1$ $, \dots,$ $α$ $n$ $)$ は、単項式の多次ベクトルまたは指数ベクトルと呼ばれます。より簡潔な表記のため、

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

はよく使われる。単項式 $X$ $α$ の次数は、しばしば $deg$ $α$ または $|$ $α$ $|$ と表記され、その指数の和である。

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

これらの不定量の多項式は、係数が体 $K$ 、またはより一般的には環にある場合、単項式の有限線形結合である。

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha },

ここで、係数は $K$ の元である。非零多項式の次数は、非零係数を持つ単項式の次数の最大値である。 $p_{\alpha }$

したがって、で表される多項式の集合は、単項式を基底とするベクトル空間(または、 $K$ が環の場合は自由モジュール) です。 $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ は、環を作る乗法と、 $K$ 上の結合環と呼ばれる $K$ 上の $n$ 個の不定元における多項式環（定冠詞the は、不定元の名前と順序まで一意に定義されることを反映している）を自然に備えている（下記参照）。環 $Kが$ 可換である場合、も可換環である。 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$

オペレーション $K [X 1, ..., X n]$

多項式の加法とスカラー乗法は、特定の基底（ここでは単項式の基底）を備えたベクトル空間または自由加群の加法とスカラー乗法です。具体的には、 $I$ と $J を$ 指数ベクトルの有限集合とします。 $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$

$p$ とスカラーのスカラー乗算は $c\in K$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.

$p$ と $q$ の加算は

p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },

ここで、かつ、さらに、あるに対してが成り立つ場合、対応するゼロ項は結果から削除されます。 $p_{\alpha }=0$ $\alpha \not \in I,$ $q_{\beta }=0$ $\beta \not \in J.$ $p_{\alpha }+q_{\alpha }=0$ $\alpha \in I\cap J,$

掛け算は

pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },

ここで、は $Iに属する1つの指数ベクトルと$ $J$ に属するもう1つの指数ベクトルの和の集合です（通常のベクトルの和）。特に、2つの単項式の積は、その指数ベクトルが因子の指数ベクトルの和となる単項式です。 $I+J$

結合代数の公理の検証は簡単です。

多項式表現

多項式式は、スカラー ( $K$ の要素)、不定値、および非負整数の累乗に対する加算、乗算、および累乗の演算子を使用して構築された式です。

これらの演算はすべて多項式式で定義されているため、多項式はの元である多項式を表します。多項式を単項式の線形結合として定義することは、特定の多項式式であり、多項式の標準形、正規形、または展開形と呼ばれることがよくあります。多項式式が与えられれば、分配法則を使用して、因数間に和があるすべての積を展開し、次に交換法則（2 つのスカラーの積を除く）と結合法則を使用して、結果として得られる和の項をスカラーと単項式の積に変換することで、表現された多項式の展開形を計算できます。その後、同類の項を再グループ化することで標準形が得られます。 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$

多項式表現とそれが表す多項式との区別は比較的最近のものであり、主にコンピュータ代数の台頭によってもたらされました。コンピュータ代数では、たとえば、2 つの多項式表現が同じ多項式を表しているかどうかをテストすることは、簡単な計算ではない場合があります。

カテゴリー的特徴づけ

$K$ が可換環である場合、多項式環 $K [X 1, \dots, X n]$ には次の普遍特性があります。つまり、すべての可換 $K$ 代数 $A$ と、 $A$ の元のすべての $n$ 組 $(x 1, \dots, x n)$ に対して、それぞれを対応するに写像する $K$ $[$ $X$ $1$ $, \dots,$ $X$ $n$ $]$ から $A$ への一意の代数準同型が存在し、この準同型はすべての多項式においてをに置き換えることで構成される評価準同型です。 $X_{i}$ $x_{i}.$ $X_{i}$ $x_{i}$

すべての普遍的特性の場合と同様に、これはペアを一意の同型性まで特徴付けます。 $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$

これは随伴関手の観点からも解釈できる。より正確には、 $SET$ と $ALG$ をそれぞれ集合と可換 $K代数の$ 圏とする（ここでも、また以下でも、射は自明に定義される）。代数をその基底集合に写す忘却関手が存在する。一方、写像は逆方向の関手を定義する。（ $X$ が無限大の場合、 $K$ $[$ $X$ $]は$ $X$ の有限個の元におけるすべての多項式全体の集合である。） $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $X\mapsto K[X]$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$

多項式環の普遍性は、 $F$ と $POLが$ 随伴関数であることを意味する。つまり、一対一の関係が存在する。

\operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).

これは、多項式環は可換環の圏における自由対象であるため、自由可換環であるとも表現できる。同様に、整数係数を持つ多項式環はその変数集合上の自由可換環である。なぜなら、可換環と整数上の可換環は同じものであるからである。

段階的構造

すべての多項式環は次数付き環です。つまり、多項式環は直和として表すことができます。ここで、は次数のすべての同次多項式(および零多項式)で構成される部分空間です。この場合、任意の元およびに対して、それらの積はに属します。 $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}$ $R_{i}$ $i$ $f\in R_{i}$ $g\in R_{j}$ $fg$ $R_{i+j}$

リング上の一変量と多変量

の多項式は、の同じべきを含む項をグループ化することで、環上の不定値における一変数多項式として考えることができる。つまり、恒等式を使うことで、 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $X_{n}$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],$ $X_{n},$

\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},

これは、環演算の分配法則と結合法則から生じます。

これは代数同型性が存在することを意味する

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]

それぞれの不定値をそれ自身に写像する。（この同型性はしばしば等式として書かれるが、これは多項式環が唯一の同型性まで定義されるという事実によって正当化される。）

言い換えれば、多変数多項式環は、より小さな多項式環上の一変数多項式とみなすことができます。これは、不定値の個数に関する帰納法によって、多変数多項式環の性質を証明する際によく用いられます。

主なプロパティを以下に示します。

から渡されるプロパティ $R$ に $R [X]$

この節では、 $R$ は可換環、 $K$ は体、 $X$ $は$ 単一の不定元、そしていつものように整数環を表します。R から $R$ $[$ $X$ $]$ へ移る際にも成り立つ主要な環の性質を以下に列挙します。 $\mathbb {Z}$

Rが整域である場合、R [ X ]についても同じことが当てはまります(多項式の積の最高係数は、ゼロでない場合は、因子の最高係数の積であるため)。
- 特に、およびは整域です。 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Rが一意の因数分解域であるならば、 R [ X ]についても同様である。これはガウスの補題と、 L がRの分数体であるときの一意の因数分解の性質から生じる。 $L[X],$
- 特に、とは一意の因数分解領域です。 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Rがネーター環であれば、 R [ X ]についても同様である。
- 特に、およびはネーター環です。これはヒルベルトの基底定理です。 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Rがノイザン環である場合、ここで " " はクルル次元を表します。 $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim$
- 特に、そして $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$
Rが正則環である場合、 R [ X ]についても同じことが成り立ちます。この場合、が成り立ちます。ここで、「」はグローバル次元を表します。 $\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$ $\operatorname {gl} \,\dim$
- 特に、とは正則環であり、後者の等式はヒルベルトの朔望定理である。 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$

体上の複数の不定値

体上の多変数多項式環は、不変量論と代数幾何学において基本的な概念である。上述のような性質のいくつかは、単一の不定元の場合に帰着できるが、必ずしもそうであるわけではない。特に幾何学への応用上、多くの興味深い性質は、不定元に対するアフィン変換や射影変換に対して不変でなければならない。これは、不定元のいずれかを不定元上の再帰関数として選択できないことを意味することが多い。

ベズーの定理、ヒルベルトの零点定理、ヤコビ予想は、体上の多変数多項式に特有の最も有名な性質です。

ヒルベルトの「Nullstellensatz」

零点定理（ドイツ語で「零点定理」）は、ダヴィド・ヒルベルトによって初めて証明された定理であり、代数学の基本定理のいくつかの側面を多変数の場合に拡張したものである。この定理は代数幾何学の基礎を成すものであり、代数多様体（大まかに言えば、暗黙の多項式方程式によって定義される点の集合）の代数的性質と幾何学的性質との間に強い結びつきを確立するものである。 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

Nullstellensatzには3つの主要なバージョンがあり、それぞれが他のバージョンの帰結となります。そのうち2つのバージョンを以下に示します。3つ目のバージョンについては、Nullstellensatzに関するメインの記事を参照してください。

最初のバージョンは、非零一変数多項式が複素零点を持つのは、定数でない場合と同値であるという事実を一般化したものである。つまり、多項式 $S$ の集合が $K$ を含む代数閉体において共通の零点を持つのは、 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $1 が$ $S$ によって生成されるイデアルに属さない、つまり $1が$ 多項式係数を持つ $S$ の元の線形結合でない場合と同値である、ということである。

2番目のバージョンは、複素数上の既約な一変数多項式が、形式の多項式に関連付けられているという事実を一般化したものである。その主張は、 $K$ が代数的に閉じている場合、の最大イデアルは、形式 $X-\alpha .$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .$

ベズーの定理

$ベズーの定理は、 n$ 次一変数多項式は、その重複度を考慮すれば $n$ 個の複素根を持つという代数の基本定理の多変数版の一般化として考えることができます。

二変数多項式の場合、正の次数の共通因数を持たない 2 つの変数の次数 $d$ と $eの 2 つの多項式は、零点をその重複度とともにカウントし、$ 無限大の零点を含む場合、係数を含む代数的に閉じた体にちょうど $de$ 個の共通零点を持つことを示します。

一般的なケースを述べ、「無限遠における零点」を特別な零点として考えずに、同次多項式を扱い、射影空間内の零点を考えるのが便利です。この文脈では、同次多項式の射影零点とは、のスケーリングを基準として、 ( $0, \dots, 0)$ とは異なる $K$ の元の $($ $n$ $+ 1)$ 組であり、が成り立ちます。ここで、「のスケーリングを基準として」とは、とが任意の非零点に対して同じ零点として考えられることを意味します。言い換えれば、零点とは、 $n$ 次元の射影空間における点の同次座標の集合です。 $P(X_{0},\ldots ,X_{n})$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda \in K.$

そして、ベズーの定理は次のように述べている。Kの代数的に閉じた拡大において有限個の共通の射影零点のみを持つ $n$ $+ 1次$ $の$ 不定元における $n$ 次の斉次多項式が与えられたとき、これらの零点の重複度の和は、 $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1}\cdots d_{n}.$

ヤコビアン予想

一般化

多項式環は、一般化された指数を持つ多項式環、べき級数環、非可換多項式環、歪んだ多項式環、多項式環など、さまざまな方法で一般化できます。

無限の変数

多項式環のわずかな一般化の一つは、無限個の不定値を許容することです。各単項式は依然として有限個の不定値のみを含み（したがって、その次数は有限のままです）、各多項式は依然として単項式の（有限の）線型結合です。したがって、任意の個々の多項式は有限個の不定値のみを含み、多項式を含む任意の有限計算は有限個の不定値を含む多項式の部分環内に留まります。この一般化は、通常の多項式環と同様に自由可換環であるという性質を持ちますが、唯一の違いは、それが無限集合上の自由対象であるという点です。

一般化多項式として、有界次数を持つ単項式の無限（または有限）形式和を定義することで、厳密により大きな環を考えることもできる。この環は、変数の無限和を含むため、通常の多項式環よりも大きい。しかし、無限変数の冪級数の環よりも小さい。このような環は、無限集合上の対称関数の環を構成するために用いられる。

一般化された指数

単純な一般化では、変数の指数が引き出される集合が変わるだけです。指数を加算できる限り、加算と乗算の式は意味をなします: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j}。加算が意味をなす (閉じていて結合的である) 集合はモノイドと呼ばれます。モノイドNから環Rへの関数のうち、有限個の場所でのみ非ゼロとなるものの集合には、R [ N ] ( Rに係数を持つNのモノイド環)と呼ばれる環の構造を与えることができます。加算は成分ごとに定義されるため、c = a + bの場合、Nのすべてのnについてc _n = a _n + b _nとなります。乗算はコーシー積として定義されるため、c = a ⋅ bの場合、 Nのすべてのnについて、c _{n は}すべてのa _i b _jの和になります。ここで、 i、j は、合計がnになるNのすべての要素のペアにわたります。

Nが可換な場合、 R [ N ]の関数aを形式的な和として表記すると便利です。

\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}

そして、加算と乗算の公式はおなじみのものになります。

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}

そして

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}

ここで、後者の合計は、合計がnになるN内のすべてのi、jに対して取られます。

(Lang 2002, II,§3) のような一部の著者は、このモノイド定義を出発点として、正則な一変数多項式はNが非負整数のモノイドである特別な場合であるとさえ主張しています。多変数多項式では、N は単に非負整数のモノイドの複数のコピーの直積であるとみなします。

Nを非負有理数の加法モノイドとすることで、環と群の興味深い例がいくつか形成される(Osborne 2000, §4.4)。ピュイズー級数も参照のこと。

べき級数

べき級数は、無限個の非零項を許容することで、指数の選択を異なる方向に一般化します。これには、コーシー積の和が有限和であることを保証するために、指数に使用されるモノイドNに関するさまざまな仮定が必要です。代わりに、環に位相を配置して、収束する無限和に制限することもできます。非負整数であるNの標準的な選択では問題はなく、形式的べき級数環は、成分ごとの加算とコーシー積で与えられる乗算を伴う、 Nから環Rへの関数の集合として定義されます。べき級数環は、 $x$ によって生成されるイデアルに関する多項式環の環完備と見なすこともできます。

非可換多項式環

多変数多項式環において、積X ⋅ YとY ⋅ Xは単純に等しいと定義される。これら2つの形式的な積の区別を維持することで、より一般的な多項式環の概念が得られる。形式的には、環Rに係数を持つn 個の非可換変数の多項式環はモノイド環R [ N ]である。ここでモノイドNはn文字の自由モノイドであり、 n個の記号からなるアルファベット上のすべての文字列の集合とも呼ばれ、乗算は連結によって与えられる。係数と変数は互いに交換する必要はないが、係数と変数は互いに交換可能である。

可換環Rに係数を持つn変数の多項式環が階数nの自由可換R代数であるのと同様に、可換環Rに係数を持つn変数の非可換多項式環は、 n個の生成元上の自由結合的、単位R代数であり、 n > 1 のときに非可換です。

微分環と歪多項式環

多項式の他の一般化としては、微分環と歪多項式環があります。

微分多項式環は、環RとRからRへの微分δから構成される微分作用素の環である。この微分はRに作用し、作用素として見るとXと表記される。Rの元はRに乗算によっても作用する。作用素の合成は通常の乗算で表される。したがって、関係δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b は次のように書き直すことができる。

X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).

この関係は、 Rに係数を持つXの 2 つの多項式間の歪んだ乗算を定義するように拡張することができ、これによりそれらは非可換環になります。

標準的な例としては、ワイル代数と呼ばれるものがあり、R を（通常の）多項式環k [ Y ] とし、δ を標準的な多項式の導関数とする。上記の関係においてa = Yとすると、標準的な交換関係X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1 が得られる。この関係を結合法則と分配法則によって拡張することで、ワイル代数を明示的に構築することができる（Lam 2001, §1,ex1.9）。 ${\tfrac {\partial }{\partial Y}}$

歪多項式環は、環RとRの環準同型 fに対して同様に定義され、関係X ⋅ r = f ( r )⋅ Xの乗法を拡張して、標準加算にわたって分配される結合乗法を生成します。より一般的には、正の整数のモノイドNからRの準同型環への準同型Fが与えられると、式X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿによって歪多項式環を構築できます。(Lam 2001, §1,ex 1.11) 歪多項式環は交差積代数と密接に関連しています。

多項式リグ

多項式環の定義は、代数構造Rが体または環であるという要件を、半体またはrigのみであるという要件に緩和することで一般化できます。その結果得られる多項式構造/拡張R [ X ] は多項式 rigです。例えば、自然数を係数とするすべての多変数多項式の集合は多項式 rig です。

参照

注記

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^ ハーシュタイン、ホール、p.73
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^ K. Kitamura (1973)「可換環の二次拡大」、大阪数学ジャーナル10: 15-20、Project Euclidから入手可能

参考文献

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[13] K. Kitamura (1973)「可換環の二次拡大」、大阪数学ジャーナル10: 15-20、Project Euclidから入手可能

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