Application of Lagrangian mechanics to field theories
ラグランジュ場の理論は、 古典場の理論 における形式論の一つです。これは ラグランジュ力学 の場の理論的類似物です 。ラグランジュ力学は、それぞれ有限個の 自由度 を持つ離散粒子系の運動を解析するために使用されます。ラグランジュ場の理論は、無限個の自由度を持つ
連続体と 場 に適用されます。
場のラグランジアン形式論、そしてもっと一般的には古典場の理論 の発展の動機の一つは、数学理論として受け入れがたい形式的な困難に悩まされていることで悪名 高い量子場の理論 に、明確な数学的基礎を与えることである 。ここで提示されるラグランジアンはその量子場のそれと同一であるが、場を量子化するのではなく古典場として扱うことで、 偏微分方程式の数学に対する従来の形式的アプローチと互換性のある定義を与え、特性を持つ解を得ることができる。これにより、 ソボレフ空間 のような特性のよく特徴付けられた空間上の解の定式化が可能になる 。これにより、存在証明から形式級数の 一様収束、 ポテンシャル理論 の一般設定に至るまで、さまざまな定理を与えることができる 。さらに、 リーマン多様体 や ファイバー束 への一般化によって洞察と明快さが得られ、幾何学的構造を明確に識別し、対応する運動方程式から切り離すことができる。幾何学的構造をより明確に捉えることで、 チャーン・ガウス・ボネの定理 や リーマン・ロッホの定理から アティヤ・シンガーの指数定理 や チャーン・サイモンズの理論 に至るまで、幾何学の高度に抽象的な定理を用いて洞察を深めることができるようになりました 。
概要 場の理論では、独立変数は時空 （ x , y , z , t ） における事象、あるいはより一般的には リーマン多様体 上の 点 s に置き換えられる。従属変数は時空におけるその点における場の値に置き換えられ、 運動方程式は 作用 原理 によって得られる 。作用原理は次のように表される。 ここで、 作用 , , は 従属変数 、それらの導関数、および s 自身の 関数である。 φ ( x , y , z , t ) {\displaystyle \varphi (x,y,z,t)} δ S δ φ i = 0 , {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,} S {\displaystyle {\mathcal {S}}} φ i ( s ) {\displaystyle \varphi _{i}(s)}
S [ φ i ] = ∫ L ( φ i ( s ) , { ∂ φ i ( s ) ∂ s α } , { s α } ) d n s , {\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}
ここで、括弧は を表し 、 s = { s α } は 時間変数を含むシステムの n個の 独立変数 の 集合を表し、 α = 1, 2, 3, ..., n で添え字付けされます。カリグラフィ書体のは 密度 を表すために使用され 、 は場の関数の 体積形 、すなわち場の関数の定義域の測度 です。 { ⋅ ∀ α } {\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} d n s {\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}
数学的定式化では、ラグランジアンをファイバー束 上の関数として表すのが一般的であり 、オイラー・ラグランジュ方程式は ファイバー束上の 測地線を指定するものとして解釈でき、 接線多様体 、 シンプレクティック多様体 、 接触幾何学 といった話題につながる。 [1] 物理学における場の理論は、ゲージ不変ファイバー束の観点から展開することができる。 [2]
定義 ラグランジアン場の理論では、一般化座標 の関数としてのラグランジアンは 、ラグランジアン密度、すなわち系内の場とその導関数、そして場合によっては空間座標と時間座標そのものの関数に置き換えられます。場の理論では、独立変数 tは時空 ( x , y , z , t ) における事象 、あるいはより一般的には多様体上の点 s に置き換えられます。
多くの場合、「ラグランジアン密度」は単に「ラグランジアン」と呼ばれます。
スカラー場 1つのスカラー場に対して 、ラグランジアン密度は次の形を取る: [nb 1] [3] φ {\displaystyle \varphi } L ( φ , ∇ φ , ∂ φ / ∂ t , x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}
多くのスカラー場に対して L ( φ 1 , ∇ φ 1 , ∂ φ 1 / ∂ t , … , φ n , ∇ φ n , ∂ φ n / ∂ t , … , x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}
数学的定式化では、スカラー場は ファイバー束 上の 座標 であると理解され、場の導関数は ジェット束 の セクション であると理解されます。
ベクトル場、テンソル場、スピノル場 上記は ベクトル場 、 テンソル場 、 スピノル場 にも一般化できます。物理学では、 フェルミオン はスピノル場によって記述されます。 ボソン はテンソル場によって記述され、テンソル場にはスカラー場とベクトル場が特別なケースとして含まれます。
例えば、 実 数値 スカラー体 ,がある場合 、体多様体は です 。体 が実 ベクトル体 である場合、体多様体は と 同型 です。 m {\displaystyle m} φ 1 , … , φ m {\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
アクション ラグランジアンの時間積分は作用と呼ばれ、 S で 表さ れ ます 。場の理論では、 時間積分が作用となる ラグランジアン L と、全 時空 にわたって積分して作用を求める ラグランジアン 密度とを区別することがあります。 S = ∫ L d t , {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} S [ φ ] = ∫ L ( φ , ∇ φ , ∂ φ / ∂ t , x , t ) d 3 x d t . {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}
ラグランジアン密度の空間 体積積分は ラグランジアンである。3Dでは、 L = ∫ L d 3 x . {\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}
作用は、 場（およびその導関数）の関数であるため、
しばしば「作用 汎関数」と呼ばれます。
重力が存在する場合、または一般曲線座標系を使用する場合、ラグランジアン密度には の係数が含まれる。これにより、作用は一般座標変換に対して不変となる。数学文献では、時空は リーマン多様体 とみなされ 、積分は 体積形式となる。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} g {\textstyle {\sqrt {g}}} M {\displaystyle M} S = ∫ M | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x m L {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}
ここで、 は ウェッジ積 、は 上の 計量テンソル の 行列式の平方根です 。平坦時空（例えば、 ミンコフスキー時空 ）の場合、単位体積は 1、すなわち で あり、平坦時空での場の理論を議論する際には一般的に省略されます。同様に、ウェッジ積記号の使用は、多変数微分積分学における体積の通常の概念を超える洞察を提供しないため、同様に省略されます。一部の古い教科書、例えば Landau や Lifschitz では、 体積形式が書かれています。これは、負の符号が (+−−−) または (−+++) の符号を持つ計量テンソルに適切であるためです（どちらの場合も行列式が負であるため）。一般リーマン多様体上の場の理論を議論する場合、体積形式は通常、 という省略表記で書かれます。 ここで、 は ホッジスター です 。つまり 、 ∧ {\displaystyle \wedge } | g | {\textstyle {\sqrt {|g|}}} | g | {\displaystyle |g|} g {\displaystyle g} M {\displaystyle M} | g | = 1 {\textstyle {\sqrt {|g|}}=1} − g {\textstyle {\sqrt {-g}}} ∗ ( 1 ) {\displaystyle *(1)} ∗ {\displaystyle *} ∗ ( 1 ) = | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x m {\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}} S = ∫ M ∗ ( 1 ) L {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}
上記の表記法は、全く不要であると考えられる場合が少なくなく、 頻繁に見られます。誤解しないでください。上記の積分には、明示的には書かれていなくても、体積形式が暗黙的に含まれています。 S = ∫ M L {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}
オイラー・ラグランジュ方程式 オイラー ・ラグランジュ方程式は、 場の 測地線の流れを 時間の関数として 記述する。 について 変化 させると、次式が得られる。 φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } 0 = δ S δ φ = ∫ M ∗ ( 1 ) ( − ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) + ∂ L ∂ φ ) . {\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}
境界条件 に関して解くと、 オイラー・ラグランジュ方程式 が得られる 。 ∂ L ∂ φ = ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) . {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}
ラグランジアン項 ラグランジアンは多くの場合、多項式 項の和で構成され、 理論と関係する場の 対称性 によって許容される項の種類が決まります。例えば、 相対論的理論では各項は ローレンツ不変でなければなりませんが、 ゲージ場 を持つ理論では 各項 はゲージ不変でなければなりません。
2つの場の積を含み 導関数を含まない項は 質量項 として知られ 、 場に 質量を与える。 [4] 例えば、 質量の実スカラー場は 、次のように表される質量項を持つ。 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} m {\displaystyle m}
L m = − 1 2 m 2 ϕ 2 ( x ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}=-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}(x).} 2つの場を持つ他の項、つまり少なくとも1つの導関数を持つ項は、 運動項 として知られています。運動項は場 を動的にし、ほとんどの理論では 量子論 における 確率を保つ ために、運動項の導関数は最大でも2つに制限されます 。また、運動項は通常、正のエネルギーを保証するために 正定値 です。 [注 2] 例えば、相対論的実スカラー場の運動項は次のように与えられます。
L k = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi .} 運動項を持たない場も存在し、 補助場 、背景場、あるいは 電流 として機能します。運動項と質量項のみを持つ理論は 自由場理論 を形成します。
1項あたり2つ以上の場を持つ項は 相互作用項 と呼ばれます。 [5] これらの項の存在により、粒子が互いに 散乱 する相互作用理論が生まれます。これらの項の前にある係数は 結合定数 と呼ばれ、相互作用の強さを決定します。例えば、実スカラー場理論における 4次の相互作用は 次のように表されます。
L i = − g 4 ! ϕ 4 , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}=-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4},} ここで は結合定数です。この項は、2つのスカラー場が互いに散乱する散乱過程を引き起こします。相互作用する項は任意の数の導関数を持つことができ、各導関数は散乱項に 運動量依存性を与えます。これは 運動量空間 を見れば分かります 。 g {\displaystyle g}
1つのフィールドのみを持つ項は オタマジャクシ項として知られており、 オタマジャクシファインマン図 を生み出す 。 [4] : 415 並進対称性 を持つ理論では 、このような項は通常、シフトによっていくつかのフィールドを再定義することによって削除できる。 [注 3]
場を持たない定数項は、非重力理論では物理的な影響を及ぼさない。 [6] 古典的な場の理論では、運動方程式はラグランジアン の変分にのみ依存するため、定数項は役割を果たさない。場の量子理論では、定数項は 分割関数に無関係な全体的な乗法項を提供するだけなので、やはり役割を果たさない。物理的にこれは、これらの理論では絶対的な エネルギー スケールが 存在せず、 位置エネルギーは 物理的変化なしに任意の定数だけシフトできるからである。しかし、 重力システムでは、定数項は計量行列式で乗算され、時空に結合される。それらは 宇宙定数 の役割を果たし 、古典レベルと量子レベルの両方で理論のダイナミクスに直接影響を与える。
多項式項は、しばしば特定 の標準 正規化を用いて表現され、 そこから導かれる ファインマン則を簡略化するために使用されます。通常、場の 多重度 の 階乗 の積で割ります。例えば、2つの実スカラー場を持つ理論では、 という形式の項は で割ります 。この数え方では粒子と 反粒子が 区別されるため、 という形式の複素スカラー場項は ではなく で 割ります 。 g ϕ n φ m {\displaystyle g\phi ^{n}\varphi ^{m}} n ! m ! {\displaystyle n!m!} g ′ ϕ ¯ p ϕ p {\displaystyle g'{\bar {\phi }}^{p}\phi ^{p}} p ! p ! {\displaystyle p!p!} ( 2 p ) ! {\displaystyle (2p)!}
例 多種多様な物理系が、場のラグランジアンを用いて定式化されてきました。以下は、場の理論に関する物理学の教科書に見られる最も一般的なラグランジアンの例です。
ニュートンの重力 ニュートン重力のラグランジアン密度は次のとおりです。
L ( x , t ) = − 1 8 π G ( ∇ Φ ( x , t ) ) 2 − ρ ( x , t ) Φ ( x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)} ここで、 Φ は 重力ポテンシャル 、 ρ は質量密度、 G （単位：m 3 ·kg −1 ·s −2）は 重力定数 です 。密度の 単位は J·m −3 です。ここで相互作用項には、kg·m −3 単位の連続的な質量密度 ρ が含まれます。これは、場に対して点源を用いると数学的に困難が生じるため必要です。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}}
このラグランジアンは の形で表すことができ 、 は 運動項、 は相互 作用項となる。時間経過に伴う変化を扱うためにこれをどのように修正できるかについては、 ノルドストロームの重力理論 も参照のこと。この形式は、次のスカラー場理論の例でも再び用いられる。 L = T − V {\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V} T = − ( ∇ Φ ) 2 / 8 π G {\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G} V = ρ Φ {\displaystyle V=\rho \Phi }
Φ に関する積分の変化は 次のようになります。 δ L ( x , t ) = − ρ ( x , t ) δ Φ ( x , t ) − 2 8 π G ( ∇ Φ ( x , t ) ) ⋅ ( ∇ δ Φ ( x , t ) ) . {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}
部分積分し、全積分を破棄し、 δ Φ で割ると、 式は次のようになります。 これは次の式と等価であり、 これによって ガウスの重力の法則 が得られます。 0 = − ρ ( x , t ) + 1 4 π G ∇ ⋅ ∇ Φ ( x , t ) {\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)} 4 π G ρ ( x , t ) = ∇ 2 Φ ( x , t ) {\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}
スカラー場理論 ポテンシャル内を運動するスカラー場のラグランジアンは と書くことができます。
スカラー理論が、大学の教科書で よく使われる自由点粒子の 運動項 の ラグランジアン（ と書く）に似ているのは、決して偶然ではありません 。スカラー理論とは、ポテンシャル内を運動する粒子の場の理論による一般化です。 が メキシカンハットポテンシャル のとき、結果として生じる場は ヒッグス場 と呼ばれます 。 V ( ϕ ) {\displaystyle V(\phi )} L = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − V ( ϕ ) = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m 2 ϕ 2 − ∑ n = 3 ∞ 1 n ! g n ϕ n {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}} L = T − V {\displaystyle L=T-V} T = m v 2 / 2 {\displaystyle T=mv^{2}/2} V ( ϕ ) {\displaystyle V(\phi )}
シグマモデルラグランジアン シグマ モデルは 、円や球などの リーマン多様体 上を動くように制約されたスカラー点粒子の運動を記述します。これは、スカラー場とベクトル場、つまり平坦な多様体上を動くように制約された場の場合を一般化します。ラグランジアン は、通常、次の 3 つの同値な形式のいずれかで表されます。 ここで、は 微分 です 。同値な表現は、 体の多様体上のリーマン計量を使用したものです。つまり、場は 多様 体 の 座標 チャート 上の 単なる 局所座標 です。3 つ目の一般的な形式は、
と を使用したもので 、 リー 群 SU(N)です。この群は、任意のリー群、またはより一般的には 対称空間 で置き換えることができます 。トレースは、隠れた キリング形式 にすぎません。キリング形式は体多様体上の 2 次形式を提供し、ラグランジアンはこの形式の引き戻しにすぎません。あるいは、ラグランジアンとは、 マウラー・カルタン形式 を基本時空に引き戻すものと見ることもできます。 L = 1 2 d ϕ ∧ ∗ d ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }} d {\displaystyle \mathrm {d} } L = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j ( ϕ ) ∂ μ ϕ i ∂ μ ϕ j {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}} g i j {\displaystyle g_{ij}} ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} L = 1 2 t r ( L μ L μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)} L μ = U − 1 ∂ μ U {\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U} U ∈ S U ( N ) {\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}
一般的に、シグマ模型は 位相ソリトン 解を示す。最も有名でよく研究されているのは、 時の試練に耐えてきた 核子 の模型として機能している スキルミオンである。
特殊相対論における電磁気学 点粒子（荷電粒子）が 電磁場 と相互作用することを考えます。相互作用項は、 A·s·m −3 単位の連続電荷密度 ρと A·m −2 単位の電流密度を含む項に置き換えられます 。結果として得られる電磁場のラグランジアン密度は、以下のようになります。 − q ϕ ( x ( t ) , t ) + q x ˙ ( t ) ⋅ A ( x ( t ) , t ) {\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)} j {\displaystyle \mathbf {j} } L ( x , t ) = − ρ ( x , t ) ϕ ( x , t ) + j ( x , t ) ⋅ A ( x , t ) + ϵ 0 2 E 2 ( x , t ) − 1 2 μ 0 B 2 ( x , t ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}
これをϕ について変化させると 、 ガウスの法則 が得られます 。 0 = − ρ ( x , t ) + ϵ 0 ∇ ⋅ E ( x , t ) {\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}
代わりに について を変化させると が得られ 、 アンペールの法則 が得られます 。 A {\displaystyle \mathbf {A} } 0 = j ( x , t ) + ϵ 0 E ˙ ( x , t ) − 1 μ 0 ∇ × B ( x , t ) {\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}
テンソル表記 を使用すると 、これをすべてより簡潔に記述できます。 項は、実際には2つの 4次元ベクトル の内積です 。 電荷密度を現在の4次元ベクトルに、ポテンシャルをポテンシャル4次元ベクトルにパッケージ化します。 これら2つの新しいベクトルは です。 次に、相互作用項を と記述できます。 さらに、E フィールドと B フィールドを、いわゆる 電磁テンソル にパッケージ化できます。 このテンソルは と定義します。 探している項は次のようになります。 ミンコフスキー計量 を使用して 、EMF テンソルのインデックスを上げました。 この表記法では、マクスウェル方程式は次のようになります。 ここで、ε は レヴィ・チヴィタ テンソル です。 したがって、特殊相対論における電磁気学のラグランジュ密度は、ローレンツ ベクトルとテンソルで記述すると 次のようになります。 この表記法では、古典電磁気学がローレンツ不変理論であることは明らかです。 等価原理 により 、電磁気学の概念を曲がった時空に拡張することが簡単になります。 [7] [8] − ρ ϕ ( x , t ) + j ⋅ A {\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} } j μ = ( ρ , j ) and A μ = ( − ϕ , A ) {\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )} − ρ ϕ + j ⋅ A = j μ A μ {\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }} F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} ϵ 0 2 E 2 − 1 2 μ 0 B 2 = − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν = − 1 4 μ 0 F μ ν F ρ σ η μ ρ η ν σ {\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }} ∂ μ F μ ν = − μ 0 j ν and ϵ μ ν λ σ ∂ ν F λ σ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0} L ( x ) = j μ ( x ) A μ ( x ) − 1 4 μ 0 F μ ν ( x ) F μ ν ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}
電磁気学とヤン・ミルズ方程式 微分形式 を使用すると、 （擬似）リーマン多様体に対する真空中の 電磁作用 S は、 （ 自然単位 、 c = ε 0 = 1 を使用）次のように 記述できます。 ここで、 A は電磁ポテンシャル 1 形式、 J は電流 1 形式、 F は場の強度 2 形式、星印は ホッジ スター 演算子を表します。これは、ここでの扱いが座標フリーである点を除けば、上のセクションとまったく同じラグランジアンです。つまり、積分関数を基底に展開すると、同一の長い式が得られます。形式 では、形式に座標微分が組み込まれているため、追加の積分測度は不要であることに注意してください。作用を変化させると、次の式が得られます。 これらは、電磁ポテンシャルのマクスウェル方程式です。F は正確な形式 であるため、F = d A を代入すると 、 場 の 方程式 が 直ちに 得 られます 。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} S [ A ] = − ∫ M ( 1 2 F ∧ ∗ F − A ∧ ∗ J ) . {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).} d ∗ F = ∗ J . {\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .} d F = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}
A場 は U(1) ファイバー 束 上の アフィン接続 として理解できる 。つまり、古典電磁力学、そのすべての効果と方程式は、 ミンコフスキー時空 上の 円束 の観点から 完全に 理解できる。
ヤン ＝ミルズ方程式は、電磁気学の リー群 U(1) を任意のリー群に 置き換えることで、上記と全く同じ形で書くことができます。 標準模型 では、慣例的にU(1)とみなさ れますが、一般の場合の方が一般的です。いずれの場合も、量子化を行う必要はありません。ヤン＝ミルズ方程式は歴史的には量子場理論に根ざしていますが、上記の方程式は純粋に古典的なものです。 [2] S U ( 3 ) × S U ( 2 ) × U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}
チャーン・サイモンズ関数 上記と同様に、作用を1次元少ない、つまり 接触幾何学的な 設定で考えることができます。これは チャーン・サイモンズ汎関数 を与え、次のように書き表されます。 S [ A ] = ∫ M t r ( A ∧ d A + 2 3 A ∧ A ∧ A ) . {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}
チャーン・サイモンズ理論は、 大統一理論 に見られると予想される幅広い幾何学的現象のおもちゃのモデルとして、物理学で深く研究されました 。
ギンツブルグ・ランダウ・ラグランジアン ギンツブルグ・ランダウ理論 のラグランジアン密度は、 スカラー場の理論 のラグランジアンと ヤン・ミルズ作用 のラグランジアンを組み合わせたものである 。これは次のように書くことができる。 [9] ここで、は ファイバー を持つ ベクトル束 の 断面である 。 は 超伝導体 の秩序パラメータ に対応し、同様に、 第2項が有名な 「ソンブレロの帽子」ポテンシャル であることに注意すれば、 ヒッグス場 に対応します 。 場 は （非アーベル）ゲージ場、すなわち ヤン・ミルズ場 であり、 は その場の強度である。 ギンツブルグ・ランダウ汎関数の オイラー・ラグランジュ方程式は ヤン・ミルズ方程式 および で
あり、 は ホッジ スター演算 子、すなわち完全に反対称なテンソルである。これらの方程式はヤン・ミルズ・ヒッグス方程式 と密接に 関連 し て いる 。 L ( ψ , A ) = | F | 2 + | D ψ | 2 + 1 4 ( σ − | ψ | 2 ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}} ψ {\displaystyle \psi } C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ψ {\displaystyle \psi } A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} D ⋆ D ψ = 1 2 ( σ − | ψ | 2 ) ψ {\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi } D ⋆ F = − Re ⟨ D ψ , ψ ⟩ {\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle } ⋆ {\displaystyle {\star }}
ディラック・ラグランジアン ディラック場 のラグランジアン密度は次 式で表されます。 [10] : 143 ここで は ディラックスピノル 、 はその ディラック随伴 、は の ファインマンスラッシュ表記 です 。 [ 疑わしい – 議論 する ] 古典理論ではディラックスピノルに特に注目する必要はありません。 ワイルスピノルはより一般的な基礎を提供します。ワイルスピノルは時空の クリフォード代数 から直接構築でき 、その構築は任意の次元数で機能し、 [11]ディラックスピノルは特殊なケースとして現れます。ワイルスピノルには、リーマン多様体上の計量の ヴィールバイン で使用できるという追加の利点があります。これにより、 スピン構造 の概念が可能になります。 これは、おおよそ言うと、曲がった時空で一貫してスピノルを定式化する方法です。 L = ψ ¯ ( i ℏ c ∂ / − m c 2 ) ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi } ψ {\displaystyle \psi } ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} ∂ / {\displaystyle {\partial }\!\!\!/} γ σ ∂ σ {\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}
量子電磁力学的ラグランジアン QED のラグランジアン密度は、 ディラック場のラグランジアンと電磁力学のラグランジアンをゲージ不変な方法で組み合わせたものである。これは以下の式で
表される。 ここで は 電磁テンソル 、 D は ゲージ共変微分 、 は の ファインマン 表記 であり、 ここで は 電磁四元ポテンシャル である。上記に「量子」という言葉が使われているが、これは歴史的な遺物である。ディラック場の定義は量子化を全く必要とせず、 クリフォード代数 の第一原理から構築された反可換 ワイルスピノル の純粋に古典的な場として記述することができる。 [11] 完全なゲージ不変な古典的な定式化はBleeckerに示されている。 [2] L Q E D = ψ ¯ ( i ℏ c D / − m c 2 ) ψ − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }} F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }} D / {\displaystyle {D}\!\!\!\!/} γ σ D σ {\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }} D σ = ∂ σ − i e A σ {\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }} A σ {\displaystyle A_{\sigma }}
量子色力学ラグランジアン 量子色力学 のラグランジアン密度は、1つ以上の質量を持つ ディラックスピノル のラグランジアンと 、ゲージ場のダイナミクスを記述する ヤン＝ミルズ作用 のラグランジアンを組み合わせたものである。この組み合わせたラグランジアンはゲージ不変である。これは次のように書ける。 [12] ここで、 D はQCD ゲージ共変微分 、 n = 1, 2, ...6は クォークの 種類を数え、は グルーオン場の強度テンソル である 。上記の電気力学の場合と同様に、「量子」という言葉の登場は、その歴史的発展を認めているに過ぎない。ラグランジアンとそのゲージ不変性は、純粋に古典的な方法で定式化し、扱うことができる。 [2] [11] L Q C D = ∑ n ψ ¯ n ( i ℏ c D / − m n c 2 ) ψ n − 1 4 G α μ ν G α μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }} G α μ ν {\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}
アインシュタインの重力 物質場が存在する場合 の一般相対性理論におけるラグランジュ密度は、 宇宙 定数 、 曲率スカラー 、 計量テンソル と縮約された リッチテンソル 、 リッチテンソル は クロネッカーデルタ と縮約された リーマン テンソル です 。 の積分は アインシュタイン・ヒルベルト作用 として知られています 。リーマンテンソルは 潮汐力テンソルであり、時空上の 計量接続 を定義する クリストッフェル記号 とクリストッフェル記号の導関数から構成されます 。重力場自体は歴史的に計量テンソルに帰せられてきましたが、現代の見解では、この接続は「より基本的な」ものです。これは、非ゼロの ねじれ を持つ接続を記述できるという理解によるものです。これらは幾何学を少しも変えずに計量を変更します。実際の「重力の向き」（例えば地球の表面では下向き）は、リーマンテンソルに由来します。リーマンテンソルは、運動する物体が感じ、反応する「重力場」を記述するものです。（この最後の記述には注意が必要です。「力場」そのものは存在しません。運動する物体は、 接続によって記述される多様体上の 測地線 に沿って移動します。 つまり、 「 直線 」上を移動します。） L GR = L EH + L matter = c 4 16 π G ( R − 2 Λ ) + L matter {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}} Λ {\displaystyle \Lambda } R {\displaystyle R} L EH {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}
一般相対論のラグランジアンは、ヤン＝ミルズ方程式と明らかに類似した形で書くこともできます。これはアインシュタイン＝ヤン＝ミルズ作用原理と呼ばれます。これは、微分幾何学のほとんどが、アフィン 接続と任意のリー群を持つ束上で「問題なく」機能することに注目することによって行われます。そして、その対称群、すなわち フレームフィールド に対してSO(3,1)を代入すると 、上記の方程式が得られます。 [2] [11]
このラグランジアン をオイラー–ラグランジュ方程式に代入し、計量テンソル を 場とすると、 アインシュタイン場の方程式 が得られます。は エネルギー運動量テンソル で、 によって定義されます
。 ここで 、 は行列とみなされる場合の計量テンソルの行列式です。一般に、一般相対論では、ラグランジュ密度の作用の積分測度は です 。これにより、計量行列式の根が ヤコビ行列式 に等しいため、積分座標は独立になります。マイナス符号は、計量シグネチャの結果です（行列式自体は負です）。 [7]これは、前述の 体積形式 が非平坦時空で顕在化した 例です。 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} R μ ν − 1 2 R g μ ν + g μ ν Λ = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.} T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} T μ ν ≡ − 2 − g δ ( L m a t t e r − g ) δ g μ ν = − 2 δ L m a t t e r δ g μ ν + g μ ν L m a t t e r . {\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.} g {\displaystyle g} − g d 4 x {\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
一般相対論における電磁気学 一般相対論における電磁気学のラグランジュ密度は、上記のアインシュタイン・ヒルベルト作用も含んでいる。純粋な電磁ラグランジアンはまさに物質ラグランジアンである 。ラグランジアンは L matter {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}} L ( x ) = j μ ( x ) A μ ( x ) − 1 4 μ 0 F μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) g μ ρ ( x ) g ν σ ( x ) + c 4 16 π G R ( x ) = L Maxwell + L Einstein–Hilbert . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}
このラグランジアンは、上記の平坦なラグランジアンにおけるミンコフスキー計量を、より一般的な（おそらく曲がっている）計量 に置き換えるだけで得られます 。 このラグランジアンを使用して、電磁場がある場合のアインシュタイン場の方程式を生成できます。 エネルギー運動量テンソルは 次の式です。 このエネルギー運動量テンソルはトレースレス、つまり であることが示せます。 アインシュタイン場の方程式の両辺のトレースをとると、 次の式が得られます。 したがって、エネルギー運動量テンソルがトレースレスであるということは、電磁場の曲率スカラーがゼロになることを意味します。 アインシュタイン方程式は次
のようになります。 さらに、マクスウェル方程式は次のようになります
。 ここで、 は 共変微分 です 。 自由空間では、電流テンソルを 0 に設定できます 。自由空間における球対称質量分布の周りでアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式の両方を解くと、 ライスナー・ノルドストローム荷電ブラックホール と定義線要素（ 自然単位 で書かれ、電荷 Q を持つ）が得られる。 [7] g μ ν ( x ) {\displaystyle g_{\mu \nu }(x)} T μ ν ( x ) = 2 − g ( x ) δ δ g μ ν ( x ) S Maxwell = 1 μ 0 ( F λ μ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)} T = g μ ν T μ ν = 0 {\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0} R = − 8 π G c 4 T {\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T} R μ ν = 8 π G c 4 1 μ 0 ( F μ λ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)} D μ F μ ν = − μ 0 j ν {\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }} D μ {\displaystyle D_{\mu }} j μ = 0 {\displaystyle j^{\mu }=0} d s 2 = ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) d t 2 − ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) − 1 d r 2 − r 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}
電磁気学と重力学のラグランジアン（5次元を使う）を統一する一つの方法は、 カルツァ＝クラインの理論 によって与えられている。 [2]実質的には、前述のヤン＝ミルズ方程式の場合と同じようにアフィン 束を 構成し、4次元部分と1次元部分への作用を別々に考える。7次元 球面が4次元球面と3次元球面の積として書けることや、11次元球面が4次元球面と7次元球面の積であるという事実などの因数分解は、 万物の理論が見つかったという初期の興奮の大部分を説明するものであった。残念ながら、7次元球面は 標準モデル 全体を囲むほど大きくないことが判明し 、これらの希望は打ち砕かれた。
追加の例
参照
注記 ^ ラグランジュ密度関数におけるすべての導関数と座標を以下のように略記するのは、表記法の常套手段です
。four -gradient を 参照してください 。μ は 、0（時間座標）、1、2、3（空間座標）の値を取るインデックスであるため、厳密には1つの導関数または座標のみが存在することになります。一般に、すべての空間および時間導関数はラグランジュ密度関数に現れます。例えば、直交座標系では、ラグランジュ密度関数の完全な形式は以下のようになります。 ここでも同じことを書きますが、 ∇ を用いてすべての空間導関数をベクトルとして略記しています。 L ( φ , ∂ μ φ , x μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })} L ( φ , ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z , ∂ φ ∂ t , x , y , z , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)} ^ より正確には、それらは、ほとんどが負の測定基準署名に対しては正定値であり、ほとんどが正の測定基準署名に対しては負定値である。 ^ これは必ずしも当てはまりません。例えば、運動項とオタマジャクシ項のみを含む実スカラー場理論では、場を消去するシフト対称性は存在しません。しかし、この理論は安定な 真空 を持ちません。
引用 ^ アブラハム、ラルフ；マースデン、ジェロルド・E. (2008). 『力学の基礎』 AMS Chelsea Publishing (第2版). プロビデンス、ロードアイランド州: AMS Chelsea Pub./アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4438-0 。 ^ abcdef ブリーカー、デイヴィッド (2005). ゲージ理論と変分原理 . ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-44546-5 。 ^ Mandl, F.; Shaw, G. (2010). 「ラグランジュ場の理論」. 量子場の理論 （第2版）. Wiley. p. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7 。 ^ ab Schwartz, MD (2014). 『量子場の理論と標準模型 』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107034730 。 [ ページが必要 ] ^ Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). "4". 量子場の理論入門 . CRC Press. pp. 77– 130. ISBN 978-0201503975 。 ^ Zee, A. (2003). 『量子場理論入門 』 プリンストン大学出版局. p. 448-449. ISBN 978-0691010199 。 ^ abc Zee, Anthony (2013). アインシュタインの重力を一言で表すと … プリンストン: プリンストン大学出版局. pp. 344–390. ISBN 9780691145587 。 ^ ケイヒル、ケビン（2013年） 『物理数学 』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 9781107005211 。 ^ ヨスト、ユルゲン (2002). 「ギンツブルグ・ランダウ汎関数」. リーマン幾何学と幾何学解析 （第3版）. シュプリンガー出版社. pp. 373–381. ISBN 3-540-42627-2 。 ^ イツィクソン, クロード; ズーバー, ジャン＝ベルナール (2005). 量子場理論 . ドーバー物理学の本 (ドーバー編). ミネオラ, ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-13469-7 。 ^ abcd Jost, Jürgen (2005). リーマン幾何学と幾何学解析. Universitext. ベルリン/ハイデルベルク: Springer-Verlag. doi :10.1007/3-540-28891-0. ISBN 978-3-540-25907-7 。 ^ クロード・イティクソンとジャン＝ベルナール・ズーバー（1980） 量子場理論 [ ページが必要 ] [ ISBN欠落 ] 
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b611482dbb4372e4099dbd2a0d1d85398e33625)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d560ca7f50accea120979fd0a8fff5707979f6)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right)。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de2c4985590ad977943d0feb4ddf40ea55dd83c)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right)。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f106f7abb66f2f598299bd4ca2b6ab4cb66e21)
