ラグランジアン力学

Formulation of classical mechanics

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736–1813）

物理学において、ラグランジュ力学は、ダランベールの仮想仕事原理に基づく古典力学の別の定式化である。これは、イタリア系フランス人の数学者であり天文学者でもあるジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが1760年にトリノ科学アカデミーで発表した際に導入され^[1]、1788年の大著『解析力学^{』 [2]}に結実した。ラグランジュのアプローチは、力学における多くの問題の解析を大幅に簡素化し、相対性理論や場の量子論を含む物理学の他の分野にも決定的な影響を与えた。

ラグランジュ力学は、機械系を、配置空間Mとその空間内のラグランジュ関数と呼ばれる滑らかな関数からなるペア( M , L )として記述する。多くの系において、L = T − Vであり、ここでTとV はそれぞれ系の運動エネルギーと位置エネルギーである。 ^[3] ${\textstyle L}$

定常作用原理は、Lから導かれる系の作用汎関数が、系の時間発展を通して定常点（具体的には、最大値、最小値、または鞍点）に留まらなければならないことを要求する。この制約により、ラグランジュ方程式を用いて系の運動方程式を計算することができる。^[4]

導入

ビーズは摩擦のないワイヤー上で動くように拘束されています。ワイヤーはビーズをワイヤー上に留めるために反力Cをビーズに及ぼします。この場合、非拘束力Nは重力です。ビーズがワイヤー上で初期位置にある場合、異なる動きが生じる可能性があることに留意してください。

単振り子。棒は剛体なので、錘の位置は方程式f ( x , y ) = 0に従って拘束され、拘束力Cは棒の張力です。この場合も、非拘束力Nは重力です。

ニュートンの法則と力の概念は、機械システムを教えるための通常の出発点です。^[5]この方法は多くの問題に有効ですが、他の問題ではこのアプローチは悪夢のように複雑です。^[6]たとえば、水平面上を転がるトーラスと内部で滑る真珠の運動を計算する場合、トーラスの角速度のような時間変化する拘束力、トーラスに対する真珠の運動により、ニュートン方程式でトーラスの運動を決定することが困難でした。^[7]ラグランジュ力学は、力ではなくエネルギーを基本要素として採用し、^[5]より複雑な問題に取り組むことができるより抽象的な方程式につながります。^[6]

特に、ラグランジュのアプローチは、あらゆる物体の位置と速度に独立した一般化座標を設定することであった。これにより、ラグランジュ関数（全運動エネルギーから系の位置エネルギーを差し引いたもの）の一般形を記述することが可能となり、これを粒子のあらゆる運動経路にわたって合計することで「作用」の式が得られ、彼はこれを最小化することで一般化された方程式群を得た。この合計量は、粒子が実際に進む経路に沿って最小化される。この選択により、結果として得られる一般化方程式系に拘束力を考慮する必要がなくなる。特定の瞬間における粒子への拘束力の影響を直接計算するわけではないため、方程式の数が少なくなる。^[7]

さまざまな物理システムにおいて、質量のある物体のサイズと形状が無視できる場合は、それを点粒子として扱うことが簡略化に役立ちます。質量がm ₁、m ₂、...、m _NであるN個の点粒子のシステムでは、各粒子にはr ₁、r ₂、...、r _Nで示される位置ベクトルがあります。多くの場合、直交座標で十分なので、r ₁ = ( x ₁、y ₁、z ₁ )、r ₂ = ( x ₂、y ₂、z ₂ )などとなります。3次元空間では、各位置ベクトルには点の位置を一意に定義するために3 つの座標が必要なので、システムの構成を一意に定義するには 3 N 個の座標があります。これらはすべて、粒子を見つけるための空間内の特定の点です。空間内の一般点はr = ( x、y、z )と表されます。各粒子の速度は、粒子が運動経路に沿って移動する速さであり、位置の時間微分です。したがって 、ニュートン力学では、運動方程式はニュートンの法則によって与えられます。第二法則「正味の力は質量×加速度に等しい」は、各粒子に適用されます。3次元のN粒子系の場合、粒子の位置に関する2階常微分方程式は3N個あります。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}},\ldots ,\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}.}$$ $${\displaystyle \sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},}$$

ラグランジアン

ラグランジアン力学では、力の代わりにシステムのエネルギーを用いる。ラグランジアン力学の中心量はラグランジアンであり、これはシステム全体のダイナミクスを要約する関数である。全体として、ラグランジアンにはエネルギーの単位があるが、すべての物理システムに適用できる単一の表現はない。物理法則に従って正しい運動方程式を生成する関数であれば、ラグランジアンとして採用することができる。しかしながら、幅広い応用分野に対して一般的な表現を構築することは可能である。電磁場が存在しない場合の粒子システムの非相対論的ラグランジアンは^[8]で与えられる。 ここで はシステムの全運動エネルギーであり、粒子の運動エネルギーの総和Σ に等しい。ラベルの付いた各粒子には質量があり、v _k ² = v _k · v _kはその速度の二乗の大きさであり、速度と粒子自身のドット積に等しい。 ^[9] $${\displaystyle L=T-V,}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{k},}$

運動エネルギーTはシステムの運動のエネルギーであり、速度v _kのみの関数であり、位置r _kや時間tの関数ではないため、T = T ( v ₁、v ₂、 ...) となります。

システムの位置エネルギーVは、粒子間の相互作用のエネルギー、つまり、任意の 1 つの粒子が他のすべての粒子と外部の影響によってどれだけのエネルギーを持っているかを反映します。保存力(例:ニュートンの重力) の場合、これは粒子の位置ベクトルのみの関数であるため、V = V ( r ₁、r ₂、...) となります。適切なポテンシャル (例:電磁ポテンシャル)から導出できる非保存力の場合は、速度も現れ、V = V ( r ₁、r ₂、...、v ₁、v ₂、...) となります。時間とともに変化する外部フィールドまたは外部駆動力がある場合、ポテンシャルも時間とともに変化するため、最も一般的にはV = V ( r ₁、r ₂、...、v ₁、v ₂、...、t ) となります。

数学的定式化（有限粒子系の場合）

ラグランジアンと同等だがより数学的に正式な定義は以下の通りである。^[10] 3次元空間におけるN個の粒子 のシステムの場合、システムの構成空間は滑らかな多様体であり、各構成は特定の瞬間における各粒子の空間位置を指定し、多様体はシステムの制約によって許容されるすべての構成で構成される。 ${\displaystyle Q\subseteq \mathbb {R} ^{3N}}$ ${\displaystyle q\in Q}$

ラグランジアンは滑らかな関数です。ここでは配置空間の接線束です。つまり、 の各要素は粒子の位置と速度の両方を表し、 と がそれぞれi番目の粒子の位置と速度を表す組として表すことができます。時間依存性があるため、ラグランジアンは時間に依存する力やポテンシャルを記述することができます。 ${\displaystyle L:TQ\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle TQ\subseteq \mathbb {R} ^{6N}}$ ${\displaystyle TQ}$ ${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\ldots {\dot {q}}_{N})}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

系の軌道は、時間経過に伴う構成の変化を記述する滑らかな関数である 。その速度は の時間微分であり、したがって、この対は任意の に対して束の要素となる。したがって、軌道の作用汎関数は、経路に沿ったラグランジアンの積分として定義できる。 ${\displaystyle q:[t_{0},t_{1}]\to Q,}$ ${\displaystyle {\dot {q}}(t)\in T_{q(t)}Q}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle (q(t),{\dot {q}}(t))\in TQ}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt.}$

ラグランジュ力学における運動の法則は、与えられた二つの状態間のすべての軌道のうち、系が実際に取る軌道は作用関数の臨界点（多くの場合、局所最小値となるが、必ずしもそうではない）でなければならないという公理から導かれる。この公理はオイラー・ラグランジュ方程式につながる（下記も参照）。

運動方程式

質量 の粒子のシステムの場合、運動エネルギーは次のようになります。ここでは粒子iの速度です。 ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$ ${\displaystyle T(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\|{\dot {q}}_{i}\|^{2},}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$

位置エネルギーは 構成（および場合によっては時間）のみに依存し、通常は保存力から生じます。 ${\displaystyle V(q,t)}$

標準ラグランジアンは次の差で与えられます。 ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}})-V(q,t).}$

この定式化は、保存型システムと時間依存型システムの両方をカバーし、連続型システム（フィールド）、制約型システム、および曲線構成空間を持つシステムへの一般化の基礎となります。

TまたはV、あるいはその両方が、時間変動制約や外部の影響により時間に明示的に依存する場合、ラグランジアンL ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ... t )は明示的に時間依存です。位置エネルギーも運動エネルギーも時間に依存しない場合、ラグランジアンL ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ...)は明示的に時間に依存しません。いずれの場合も、ラグランジアンは一般化座標を通じて常に暗黙的な時間依存性を持ちます。

これらの定義を用いると、ラグランジュ方程式は^[11]

ラグランジュ方程式

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$

ここで、k = 1、2、...、N は粒子のラベルであり、各制約方程式f _iごとにラグランジュの乗数 λ _iがあり、 それぞれが指定された変数に関する偏導関数∂/∂のベクトルの省略形です（ベクトル全体に関する導関数ではありません）。^{[注 1]各オーバードットは}時間導関数の省略形です。この手順では、位置座標と乗数に 3 N個の結合した 2 次微分方程式と、C個の制約方程式があるため、ニュートンの法則と比較して、解くべき方程式の数が 3 Nから3 N + Cに増えます。ただし、粒子の位置座標と一緒に解くと、乗数から制約力に関する情報が得られます。制約方程式を解くことで座標を削除する必要はありません。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)}$$

ラグランジアンでは、位置座標と速度成分はすべて独立変数であり、ラグランジアンからの導関数は、通常の微分規則に従ってこれらに対して個別に取られます (たとえば、 v _{z ,2} = dz ₂ / dtで定義される粒子 2 のz速度成分に対するLの偏導関数は、単に∂ L /∂ v _{z ,2}です。速度成分を対応する座標z ₂に関連付けるために、扱いにくい連鎖律や全導関数を使用する必要はありません)。

各制約方程式において、1つの座標は他の座標から決定されるため冗長である。したがって、独立座標の数はn = 3 N − Cである。各位置ベクトルを、 n個の 一般化座標の共通集合に変換することができる。これは、便宜上、n組q = ( q ₁ , q ₂ , ... q _n )と表記される。これは、各位置ベクトル、すなわち位置座標を、一般化座標と時間の関数として表すことにより実現される。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)={\big (}x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k}(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t{\big )}.}$$

ベクトルqは系の配置空間における点である。一般化座標の時間微分は一般化速度と呼ばれ、各粒子について、その速度ベクトルの変換、すなわちその位置の時間に関する全微分は、 $${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}.}$$

このv _kが与えられると、一般化座標における運動エネルギーは、一般化速度、一般化座標、および時間に依存する。ただし、位置ベクトルは時間変動制約により時間に明示的に依存する。 ${\displaystyle T=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).}$

これらの定義を用いると、オイラー・ラグランジュ方程式は、^{[12] [13]}

ラグランジュ方程式

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}}$

は変分法から得られる数学的結果であり、力学でも用いられます。ラグランジアンL ( q , d q /d t , t )を代入すると、系の運動方程式が得られます。方程式の数はニュートン力学に比べて減少しており、一般座標系における3 Nからn = 3 N − Cの結合2階微分方程式となります。これらの方程式には拘束力は全く含まれておらず、非拘束力のみを考慮する必要があります。

運動方程式には偏微分が含まれるが、偏微分の結果は粒子の位置座標における常微分方程式のままである。全時間微分d/d tは、しばしば暗黙の微分を伴う。どちらの方程式もラグランジアンでは線形であるが、一般に座標系では非線形連立方程式となる。

拡張機能

既に述べたように、このLの形式は多くの重要なシステムクラスに適用可能ですが、あらゆるシステムに適用できるわけではありません。相対論的ラグランジアン力学においては、このLは特殊相対論（ローレンツ変換の下でスカラー）または一般相対論（4次元スカラー）と整合する関数に全体を置き換える必要があります。^[14]磁場が存在する場合、位置エネルギーの表現式を再述する必要があります。^[要出典]また、散逸力（例えば摩擦）の場合、エネルギー損失を考慮するために、ラグランジアンに加えて「レイリー散逸関数」と呼ばれる別の関数を導入する必要があります。^[15]

1 つ以上の粒子はそれぞれ 1 つ以上のホロノミック制約を受けることがあります。このような制約は、形式f ( r、t ) = 0の方程式で説明されます。システム内の制約の数をCとすると、各制約には方程式f ₁ ( r、t ) = 0、 f ₂ ( r、t ) = 0、 ...、f _C ( r、t ) = 0 が含まれ、各方程式はどの粒子にも適用できます。粒子kが制約iを受ける場合、f _i ( r _k、t ) = 0となります。どの瞬間においても、制約を受けた粒子の座標は互いにリンクされており、独立していません。制約方程式により、粒子が移動できる許容経路が決まりますが、各瞬間における粒子の位置や速度は決まりません。非ホロノミック制約は、粒子の速度、加速度、または位置の高次導関数によって決まります。ラグランジュ力学は^、もし制約条件が存在するとしても、それがすべてホロノミックである系にのみ適用できる。非ホロノミック制約条件の3つの例としては、制約方程式が積分不可能な場合、制約条件に不等式がある場合、あるいは制約条件に摩擦のような複雑な非保存力が関与している場合が挙げられる。非ホロノミック制約条件は特別な扱いが必要であり、ニュートン力学に戻るか、他の手法を用いる必要がある場合がある。^[17]

ニュートン力学からラグランジアン力学へ

ニュートンの法則

アイザック・ニュートン（1642–1727）

簡単にするために、ニュートンの法則は、一般性をあまり失うことなく 1 つの粒子について示すことができます ( N個の粒子のシステムでは、これらの方程式すべてがシステム内の各粒子に適用されます)。一定質量mの粒子の運動方程式は、1687 年のニュートンの第 2 法則を現代のベクトル表記で表したものです。ここで、 aは粒子の加速度、F は粒子に作用する合力です。質量が変化するところでは、方程式を一般化して運動量の時間微分を取る必要があります。3 次元空間では、このベクトル方程式には 3 つの要素があるため、解くべき 3 つの結合した 2 次常微分方程式になります。解は、 t = 0のときのrとvの初期条件に従う、時刻tにおける粒子の位置ベクトルrです。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

ニュートンの法則は直交座標系では簡単に使えますが、直交座標系は必ずしも便利ではなく、他の座標系では運動方程式が複雑になることがあります。曲線座標 ξ = ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ) の組において、テンソル指数表記法は「ラグランジュ形式」^{[18] [19]}で表されます。ここで、 F ^aは粒子に作用する合力のa番目の反変成分、 Γ ^a _bcは第二種クリストッフェル記号、 は粒子の運動エネルギー、g _{bc は曲線座標系の}計量テンソルの共変成分です。指数a、b、cはすべて 1、2、3 の値を取ります。曲線座標は一般化座標とは異なります。 $${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right),\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}},}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}}$$

ニュートンの法則をこの形式で表現するのは複雑すぎるように思えるかもしれませんが、利点もあります。クリストッフェル記号で表される加速度成分は、代わりに運動エネルギーの導関数を評価することで回避できます。粒子に作用する合力がない場合、F = 0、粒子は加速せず、等速直線上を等速直線で動きます。数学的には、微分方程式の解は測地線、つまり空間内の 2 点間の極値長さの曲線です (これらは最終的に最小値、つまり最短経路になることもありますが、必ずしもそうとは限りません)。平坦な 3D の実空間では、測地線は単なる直線です。したがって、自由粒子の場合、ニュートンの第 2 法則は測地線方程式と一致し、自由粒子は測地線、つまり移動できる極値軌道に従うと述べています。粒子が力F ≠ 0を受ける場合、粒子は作用する力によって加速し、自由であればたどる測地線から外れます。ここで平坦な3次元空間で与えられた量を4次元の曲がった時空に適切に拡張すると、上記のニュートンの法則の形はアインシュタインの一般相対性理論にも引き継がれ、その場合、自由粒子はもはや通常の意味での「直線」ではない曲がった時空内の測地線に従う。^[20]

しかし、粒子に作用する合力Fを知る必要があり、そのためには、合力の非拘束力Nと合力の拘束力Cが必要になります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} .}$$

拘束力は一般的に時間に依存するため、複雑になることがあります。また、拘束がある場合、曲線座標は独立ではなく、1つ以上の拘束方程式によって関連付けられます。

拘束力は運動方程式から除去して非拘束力のみを残すことも、拘束方程式を運動方程式に含めることもできます。

ダランベールの原理

ジャン・ダランベール（1717–1783）

曲線に拘束された質量mの粒子に対する拘束力Cと仮想変位δ r。結果として生じる非拘束力はNである。

解析力学における基本的な結果はダランベールの原理である。これは1708年にジャック・ベルヌーイが静的平衡を理解するために導入し、 1743年にダランベールが動的問題を解くために発展させたものである^[21] 。この原理は、N個の粒子に対して仮想仕事、すなわち仮想変位δ r _kに沿った仕事がゼロであると主張する。^[9] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

仮想変位δ r _{k は}、定義により、ある瞬間に系に作用する拘束力と一致する系の構成の微小変化である。^[22]すなわち、拘束力が拘束された運動を維持するような変化である。これらは、粒子を加速・移動させるために作用する拘束力と非拘束力の合力によって引き起こされる系内の実際の変位とは異なる。^{[注 2]}仮想仕事とは、任意の力（拘束力の有無にかかわらず）に対して仮想変位に沿って行われる仕事である。

拘束力はシステム内の各粒子の運動に垂直に作用して拘束を維持するので、システムに作用する拘束力による全仮想仕事はゼロである：[ ^{23] [注3]} $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

このようにダランベールの原理により、拘束力のない力のみに集中し、運動方程式から拘束力を除外することができる。^{[23] [24]}示された形式は座標の選択にも依存しない。しかし、変位δ r _{k が}拘束方程式によって結び付けられている可能性があり、その場合N個の個々の加数を0に設定できないため、任意の座標系で運動方程式をそのまま設定することはできない。したがって、個々の加数が0の場合にのみ総和が0となるような相互に独立した座標系を求める。各加数を0に設定すると、最終的に分離された運動方程式が得られる。

ダランベールの原理による運動方程式

粒子kに拘束条件がある場合、位置r _k = ( x _k , y _k , z _k )の座標は拘束方程式によって結び付けられるため、仮想変位 δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k )の座標も拘束方程式によって結び付けられます。一般化座標は独立しているため、一般化座標における仮想変位に変換することでδ r _kに伴う複雑さを回避できます。これらは全微分と同じ形で関連しています。[ ^9] $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$

これは仮想的な変位であり、ある瞬間の制約に沿った変位であるため、時間に時間増分を乗じた値に関して部分的な時間微分は存在しません。

上記のダランベールの原理の最初の項は、仮想変位δ r _kに沿った非拘束力N _kによって行われる仮想仕事であり、一般性を失うことなく、一般化された力の定義によって一般化された類似物に変換することができる。 $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}.}$$

これは一般座標への変換の半分です。残っているのは加速度項を一般座標に変換することですが、これはすぐには分かりません。ニュートンの第二法則のラグランジュ形を思い出すと、運動エネルギーの一般座標と速度に関する偏微分を求めることで、目的の結果が得られます。^[9] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$$

ダランベールの原理は、要求どおりに一般化座標系で表され、これらの仮想変位δq _jは独立かつ非ゼロであるため、係数はゼロと等しくすることができ、ラグランジュの方程式^{[25] [26]}または一般化された運動方程式[ ^{27]が得られる。} $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$$

これらの式は、ニュートンの非拘束力に関する法則と等価である。この式における一般化された力は、非拘束力のみから導かれる。拘束力はダランベールの原理から除外されているため、求める必要はない。一般化された力は、ダランベールの原理を満たす限り、非保存力であってもよい。^[28]

オイラー・ラグランジュ方程式とハミルトンの原理

システムが進化するにつれて、qは配置空間を通る経路を描きます（一部のみを示しています）。システムが辿る経路（赤）は、システムの構成（δ q ）の小さな変化に対して定常作用（δ S = 0）を示します。^[29]

速度に依存する非保存力の場合、位置と速度に依存するポテンシャルエネルギー関数Vを見つけることができるかもしれない。一般化された力Q _{i が}ポテンシャルVから導出され、 ^{[30] [31]}ラグランジュ方程式に等しく、ラグランジアンをL = T − Vと定義すると、第二種ラグランジュ方程式、すなわちオイラー・ラグランジュの運動 方程式が得られる。 $${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

しかし、オイラー・ラグランジュ方程式は、図示のようにポテンシャルが見出せる場合にのみ、非保存力を考慮することができます。これは非保存力に対して必ずしも可能であるとは限らず、ラグランジュ方程式はポテンシャルを考慮せず、一般化された力のみを考慮に入れるため、オイラー・ラグランジュ方程式よりも一般性が高いと言えます。

オイラー・ラグランジュ方程式も変分法から導かれる。ラグランジアンの変分はLの全微分に似た形をしているが、仮想変位とその時間微分が微分に置き換わっており、仮想変位の定義に従って時間増分は存在しない。時間に関する部分積分により、δq _jの時間微分を∂ L /∂(d q _j /d t )に置き換えることができ、その過程でd( δ​​q _j )/d tがδq _jに置き換えられ、独立した仮想変位をラグランジアンの微分から因数分解することができる。 $${\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right),\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

ここで、すべてのjについて条件δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0が成り立つ場合、積分されない項はゼロになります。さらに、δLの時間積分全体がゼロである場合、δq _jは独立であり、定積分がゼロになる唯一の方法は被積分関数がゼロになることであるため、 δq _jの各係数もゼロでなければなりません。すると、運動方程式が得られます。これはハミルトンの原理によって要約できます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0.}$$

ラグランジアンの時間積分は作用と呼ばれる別の量であり、^{[32]で定義される}関数である。これはt ₁からt ₂までのすべての時間におけるラグランジアン関数を取り込み、スカラー値を返す。その次元は[角運動量]、[エネルギー]·[時間]、または[長さ]·[運動量]と同じである。この定義を用いると、ハミルトンの原理は $${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,}$$ $${\displaystyle \delta S=0.}$$

粒子が加えられた力に応じて加速すると考える代わりに、配置空間における経路の終点が初期時間と最終時間に固定された状態で、粒子が定常作用によって経路を選択すると考えることもできる。ハミルトンの原理は、いくつかの作用原理の一つである。^[33]

歴史的に、力を受けて粒子がたどることができる最短経路を見つけるというアイデアは、 1696年にジャン・ベルヌーイによって解決された最速降下問題、また同時期にライプニッツ、ダニエル・ベルヌーイ、ロピタル、翌年にニュートンによって解決された問題など、変分法を力学の問題に初めて応用する動機となりました。 ^[34]ニュートン自身も変分法に沿って考えていましたが、出版しませんでした。^[34]これらのアイデアは、今度はフェルマー、モーペルテュイ、オイラー、ハミルトンなどの力学の変分原理につながりました。

ハミルトンの原理は、制約方程式が特定の形、すなわち座標における一階微分方程式の線形結合に表せる場合、非ホロノミック制約にも適用できる。得られた制約方程式は一階微分方程式に書き直すことができる。 ^[35]ここではこれについては説明しない。

ラグランジュ乗数と制約

ラグランジアンLは、 N個の粒子に対して、直交座標r _k座標で変化させることができる。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

ハミルトンの原理は、 Lが表される座標が独立でない場合（ここではr _{k ）}でも有効ですが、制約条件は依然としてホロノミックであると仮定されます。^[36]いつものように、端点はすべてのkに対してδ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0に固定されます。δ r _kが独立ではないため、単純に δ r k の係数をゼロにすることは_できません。代わりに、ラグランジュの乗数法を使用して制約条件を含めることができます。各制約式f _i ( r _k , t ) = 0にi = 1, 2, ..., Cのラグランジュ乗数λ _iを乗じ、その結果を元のラグランジアンに加えると、新しいラグランジアンが得られます。 $${\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t).}$$

ラグランジュ乗数は時間tの任意の関数であるが、座標r _kの関数ではないため、乗数は位置座標と同等である。この新しいラグランジュ関数を時間に関して変化させ積分すると、次のようになる。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

導入された乗数は、 r _kが独立でなくても、δ r _kの係数がゼロになるように求められる。運動方程式は次のように示される。前述の解析から、この積分の解を得ることは、第一種ラグランジュ方程式である、という命題と等価である。また、新しいラグランジアンに対するλ _iオイラー・ラグランジュ方程式は、制約方程式を返す。 $${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0.}$$

rk座標のみの関数である何らかの位置エネルギー V の勾配によって与えられる保存力の場合、_{ラグランジアン}L = T − V を代入して運動エネルギーの導関数を（負の）合力として識別し、位置の導関数を非拘束力に等しくすると、拘束力が拘束方程式とラグランジュ乗数によって明示的に与えられることがわかります。 $${\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}},}$$

ラグランジアンの性質

非一意性

与えられたシステムのラグランジアンは一意ではない。ラグランジアンLに非零定数aを乗じ、任意の定数bだけずらすと、新しいラグランジアンL ′ = aL + bはLと同じ運動を記述する。上記のように、与えられた時間間隔[ t _st , t _fin ]における軌跡qと、固定された端点P _st = q ( t _st )およびP _fin = q ( t _fin )に制限すると、同じシステムを記述する2つのラグランジアンは、関数f ( q , t )の「全時間微分」によって異なる可能性がある。^[37]ここで、 $${\displaystyle L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},}$$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

ラグランジアンLとL ′は_どちらも同じ運動方程式を生成します^{[38] [39]。}_これは対応する作用SとS ′がqに依存しない最後の2つの成分f ( Pfin、tfin )と_f ( Pst、tst ₎を介して関連しているためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt\\&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\&=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}}$$

点変換に対する不変性

一般化座標qが与えられ、これらの変数を点変換Q = Q ( q , t )に従って新しい一般化座標Qに変換すると、 q = q ( Q , t )と逆変換が可能になり、新しいラグランジアンL ′ は新しい座標の関数となり、制約条件についても同様に 、偏微分に関する連鎖律により、ラグランジュ方程式はこの変換に対して不変となる。^{[40] [引用が必要]} $${\displaystyle {\begin{aligned}L'(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&=L(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t),t),\\\phi _{j}'(\mathbf {Q} ,t)&=\phi _{j}(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),t)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial Q_{i}}}+\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi '_{j}}{\partial Q_{i}}}.}$$

証拠

座標変換 の場合、となり、 となり、 となります。 ${\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(\mathbf {q} ,t)}$ $${\displaystyle d{Q_{i}}=\sum _{k}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}d{q_{k}}+{\frac {\partial Q_{k}}{\partial t}}dt,}$$ ${\displaystyle {\dot {Q_{i}}}=\sum _{k}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial Q_{k}}{\partial t}}(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {Q_{i}}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}}$

また、次の関係も成り立ちます 。同様に、 次の関係は を意味します。この2つの関係は証明に使用できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {Q_{i}}}}{\partial q_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}Q_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}Q_{k}}{\partial q_{j}\partial t}}(\mathbf {q} ,t)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {Q_{i}}}{\partial q_{j}}}\right)=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}Q_{i}}{\partial q_{k}\partial q_{j}}}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}Q_{k}}{\partial t\partial q_{j}}}(\mathbf {q} ,t)}$$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}\right)={\frac {\partial {\dot {Q}}_{i}}{\partial q_{k}}}}$

一般化座標の初期セットにおけるオイラー・ラグランジュ方程式から始めると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial q_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial q_{i}}}=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial {q}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {q}_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}\right){\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial {\dot {Q}}_{k}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}\right)=0\\\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial Q_{k}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{k}}}\right){\frac {\partial Q_{k}}{\partial q_{i}}}=0\\\end{aligned}}}$$

からの変換は可逆なので、オイラー・ラグランジュ方程式の形は不変である、すなわち、 ${\displaystyle q\rightarrow Q}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}-{\frac {{\partial }L}{\partial Q_{i}}}-\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial Q_{i}}}=0.}$$

巡回座標と保存運動量

ラグランジアンの重要な性質の一つは、保存量を容易に読み取ることができることである。座標q _iに「正準共役な」一般化運動量は次のように定義される。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$$

ラグランジアンL が何らかの座標q _iに依存しない場合、オイラー・ラグランジュ方程式から直ちに次の式が成り立ち 、積分すると、対応する一般化運動量は定数、つまり保存量に等しいことが示される。これはノイマンの定理の特殊なケースである。このような座標は「巡回」または「無視可能」と呼ばれる。 $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$$

たとえば、あるシステムが、 rとz を直線に沿った長さ、sをある曲線に沿った弧の長さ、θとφを角度とするラグランジアンを持つとします。z、s、φ は、その速度はラグランジアンに存在しますが、これらはすべて存在しないことに注意してください。この場合、運動量はすべて保存量です。各一般化運動量の単位と性質は、対応する座標に依存します。この場合、p _zはz方向の並進運動量、p _sもsが測定される曲線に沿った並進運動量、p _{φ は}角度φが測定される平面内の角運動量です。システムの動きがどんなに複雑であっても、すべての座標と速度は、これらの運動量が保存されるように変化します。 $${\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t),}$$ $${\displaystyle p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}},\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}},\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}},}$$

エネルギー

ラグランジアンが与えられた場合、対応する機械システムのハミルトニアンは定義により、一般化座標が自然座標である場合、つまり位置ベクトルを表現する際に明示的な時間依存性がない場合、この量はエネルギーと等しくなります。 より：ここで、は導出のために定義された対称行列です。 ${\displaystyle L,}$ $${\displaystyle H={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}-L.}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{n})}$ $${\displaystyle T={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {m}{2}}\left(2\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)=2T}$$ $${\displaystyle H=\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-L=2T-(T-V)=T+V=E}$$ ${\displaystyle a_{ij}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}}$

座標変換に対する不変性

どの時点tにおいても、エネルギーは配置空間座標がq → Qに変化しても不変です(自然座標を使用)。この結果の他に、以下の証明は、このような座標の変化によって、導関数が線形形式の係数として変化することを示しています。 $${\displaystyle E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t).}$$ ${\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q}}_{i}}$

証拠

座標変換Q = F ( q )に対して、 ベクトル空間からベクトル空間への接写像、ヤコビアンが成り立つ。座標において、前の式は積の法則を含む微分により、 $${\displaystyle d\mathbf {Q} =F_{*}(\mathbf {q} )d\mathbf {q} ,}$$ ${\displaystyle F_{*}(\mathbf {q} )}$ $${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\cdot \left(\left.{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right|_{\mathbf {q} }\right)\ {\biggl |}\ {\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {Q}}_{i}\cdot \left(\left.{\frac {\partial }{\partial Q_{i}}}\right|_{F(\mathbf {q} )}\right)\ {\biggl |}\ {\dot {Q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle \textstyle F_{*}(\mathbf {q} )=\left(\left.{\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}}}\right|_{\mathbf {q} }\right)_{i,j=1}^{n}}$$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {Q}}_{i},}$ ${\displaystyle d\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=F_{*}(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }}.}$ $${\displaystyle d{\dot {\mathbf {Q} }}=G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} +F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} &\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,d(F_{*}(\mathbf {q} )){\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i,j=1}^{n}{\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}dq_{k}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i,k=1}^{n}d\mathbf {q} .\end{aligned}}}$$

ベクトル表記では、 $${\displaystyle {\begin{aligned}dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}d\mathbf {Q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}d{\dot {\mathbf {Q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}F_{*}(\mathbf {q} )+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right)d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

一方で、 $${\displaystyle dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt.}$$

先ほど述べたように、ラグランジアンは配置空間座標の選択に依存しません。つまり、と なります。このことから、 と が成り立ちます。これは、 と のそれぞれに対して、 が明確に定義された線型形式であり、その係数は反変1-テンソルであることを示しています。の両辺を と に適用し、上記の式を に適用すると、 が得られます。エネルギーの不変性は次のように表されます。 ${\displaystyle L(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).}$ ${\displaystyle dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }},}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.}$$ ${\displaystyle E}$

保全

ラグランジアン力学において、系が閉じている場合、そのラグランジアンは時間に明示的に依存しません。エネルギー保存則は、閉じた系のエネルギーは運動の積分であると規定しています。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$

より正確には、q = q ( t )を極値とする（言い換えれば、q はオイラー・ラグランジュ方程式を満たす）。この極値に沿ってLの全時間微分をとり、EL方程式を用いると、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dL}{dt}}&={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}+{\ddot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}-{\dot {L}}\\-{\frac {\partial L}{\partial t}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\mathbf {\dot {q}} -L\right)={\frac {dH}{dt}}\end{aligned}}}$$

ラグランジアンL が時間に明示的に依存しない場合、∂ L /∂ t = 0となり、H は粒子の時間発展によって変化せず、実際には運動の積分となり、次のことを意味します。したがって、選択された座標が自然座標であれば、エネルギーは保存されます。 $${\displaystyle H(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{constant of time}}.}$$

運動エネルギーと位置エネルギー

これらすべての状況下において、^[41]定数は系の全エネルギーである。運動エネルギーと位置エネルギーは系の進化に伴って変化するが、系の運動はそれらの和、すなわち全エネルギーが一定となるように行われる。これは有益な簡略化である。なぜなら、エネルギーEは積分定数であり、この問題においては任意定数として扱われるからであり、このエネルギー関係か​​ら速度を積分して座標を求めることが可能であるかもしれないからである。 $${\displaystyle E=T+V}$$

機械的な類似性

位置エネルギーが座標の同次関数で時間に依存しない場合^[42]、すべての位置ベクトルが同じ非ゼロ定数αでスケーリングされ、r _k ′ = α r _kとなり、時間が係数βでスケーリングされ、t ′ = βtとなると、速度v _kは係数α / βでスケーリングされ、運動エネルギーTは( α / β ) ²でスケーリングされます。ラグランジアン全体が同じ係数でスケーリングされている場合、 $${\displaystyle V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$$ $${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}}}.}$$

長さと時間がスケールされているため、系内の粒子の軌道は、大きさは異なるものの幾何学的に相似な経路を辿ります。元の軌道において時間tで移動した長さlは、新しい軌道において時間t ′で移動した新しい長さl ′に対応し、これは以下の比で与えられます。 $${\displaystyle {\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}.}$$

相互作用する粒子

あるシステムにおいて、2つのサブシステムAとBが相互作用しない場合、システム全体のラグランジアンLはサブシステムのラグランジアンLAと_LBの合計となる。^[37] $${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}.}$$

相互作用がある場合、これは不可能です。状況によっては、系Lのラグランジアンを、相互作用しないラグランジアンの和と、相互作用に関する情報を含む 別のラグランジアンL _{ABに分離することが可能です。} $${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}.}$$

これは、相互作用しないラグランジアンを運動エネルギーのみとし、相互作用するラグランジアンを系全体の位置エネルギーとみなすことによって物理的に説明できるかもしれない。また、相互作用が無視できる極限状態では、L _{AB は}ゼロに近づき、上記の相互作用しないケースに帰着する。

相互作用しない2つ以上のサブシステムへの拡張は簡単です。全体のラグランジアンは、各サブシステムの個別のラグランジアンの和です。相互作用がある場合は、相互作用ラグランジアンを追加できます。

特異ラグランジアンの帰結

オイラー-ラグランジュ方程式から次のことが分かります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial q_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {dq_{j}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {d{\dot {q}}_{j}}{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\\&\sum _{j}W_{ij}(q,{\dot {q}},t){\ddot {q}}_{j}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}-\sum _{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j},\\\end{aligned}}}$$

ここで、行列は と定義される。行列が正則であれば、上記の方程式を解いて をの関数として表すことができる。行列が逆行列でない場合、すべての を の関数として表すことはできないが、ハミルトン運動方程式は標準形をとらない。^[43] ${\displaystyle W_{ij}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial {\dot {q}}_{j}}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle ({\dot {q}},q,t)}$ ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle ({\dot {q}},q,t)}$

例

次の例では、第 2 種のラグランジュ方程式を機械問題に適用します。

保守的な力

質量mの粒子はスカラーポテンシャルの勾配∇から導かれる保存力の影響下で運動する。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r} ).}$$

さらに多くの粒子がある場合、上記の結果に従って、総運動エネルギーはすべての粒子の運動エネルギーの合計となり、ポテンシャルはすべての座標の関数となります。

直交座標

粒子のラグランジアンは次のように書ける。 $${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z).}$$

粒子の運動方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式をx座標に適用することで求められ、導関数も与えられます 。同様に 、 y座標とz座標 にも適用できます。これらの方程式をベクトル形式でまとめると、保存力を受ける粒子の運動に関するニュートンの第二法則が求められます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}},}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},}$$ $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V}$$

2Dおよび3Dの極座標

物理学で一般的に使用される球面座標( r、θ、φ ) (ISO 80000-2:2019 規則) を使用すると、 rは原点への半径距離、θは極角 (緯度、天頂角、法線角、傾斜角とも呼ばれる)、φは方位角であり、中心ポテンシャルのラグランジアンは次のようになります。したがって、球面座標では、オイラー–ラグランジュ方程式は次のようになります。 φ座標はラグランジアンには現れないため巡回的であるため、システムで保存される運動量は、 r、θおよびdφ / dt がすべて時間とともに変化できる角運動量ですが、 p _{φ が}一定である場合に限られます。 $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}$$ $${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {\partial V}{\partial r}}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0.}$$ $${\displaystyle p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }},}$$

2次元極座標のラグランジアンは、θを定数値π /2に固定することによって復元されます。

可動支持台上の振り子

座標の定義を含む状況のスケッチ（クリックして拡大）

質量m、長さℓの振り子を考えます。振り子は質量Mの支持台に取り付けられており、支持台は直線に沿って-方向に移動できます。支持台の直線に沿った座標を とし、振り子の位置を鉛直からの角度で表します。振り子の錘の座標と速度成分は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} }={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta .\end{array}}}$$

一般化座標はととすることができる。すると、系の運動エネルギーは となり、位置エネルギーはとなり、ラグランジアン は ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)}$$ $${\displaystyle V=mgy_{\mathrm {pend} }}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta .\end{array}}}$$

ラグランジアンにはxがないので、巡回座標となる。運動量保存量は、支持座標のラグランジュ方程式は、 $${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0.}$$

角度θのラグランジュ方程式は、簡略化すると $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;}$$ $${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.}$$

これらの方程式は非常に複雑に見えるかもしれませんが、ニュートンの法則を用いてこれらを求めるには、すべての力を注意深く特定する必要があり、それははるかに手間がかかり、誤りが生じやすい作業だったでしょう。極限ケースを考慮することで、このシステムの正しさを検証できます。例えば、は慣性系において静止している単振り子の運動方程式を与えるはずですが、 は一定加速度系における振り子の方程式を与えるはずです。さらに、適切な初期条件と選択した時間ステップを与えれば、結果を 反復的にステップ実行することで、数値的に結果を得ることは簡単です。 ${\displaystyle {\ddot {x}}\to 0}$ ${\displaystyle {\ddot {\theta }}\to 0}$

二体中心力問題

Two bodies of masses m ₁ and m ₂ with position vectors r ₁ and r ₂ are in orbit about each other due to an attractive central potential V . We may write down the Lagrangian in terms of the position coordinates as they are, but it is an established procedure to convert the two-body problem into a one-body problem as follows. Introduce the Jacobi coordinates ; the separation of the bodies r = r ₂ − r ₁ and the location of the center of mass R = ( m ₁ r ₁ + m ₂ r ₂ )/( m ₁ + m ₂ ) . The Lagrangian is then ^{[44] [45] [nb 4]} where M = m ₁ + m ₂ is the total mass, μ = m ₁ m ₂ /( m ₁ + m ₂ ) is the reduced mass , and V the potential of the radial force, which depends only on the magnitude of the separation | r | = | r ₂ − r ₁ |。ラグランジアンは質量中心項L _cmと相対運動項L _relに分割されます。 $${\displaystyle L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}}$$

Rのオイラー・ラグランジュ方程式は、質量の中心が一定速度で直線上を移動することを示す単純な方程式です 。 $${\displaystyle M{\ddot {\mathbf {R} }}=0,}$$

相対運動は距離の大きさにのみ依存するため、極座標（r、θ）を使用し、 r = | r |とするのが理想的である。つまり、 θは対応する保存された（角）運動量を持つ巡回座標である。 $${\displaystyle L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu \left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r),}$$ $${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .}$$

半径座標rと角速度d θ /d tは時間とともに変化しますが、 ℓが一定となるように変化します。rに関するラグランジュ方程式は $${\displaystyle \mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}.}$$

この方程式は、ニュートンの法則を用いて共回転座標系、つまり縮約質量とともに回転し、静止しているように見える座標系において得られるラジアル方程式と同一である。このラジアル方程式^[46]から角速度d θ /d tを消去すると、これは質量μの粒子が内向きの中心力-d V /d rと、この文脈では（ラグランジュ）遠心力と呼ばれる第二の外向きの力を受ける1次元問題の運動方程式となる。（遠心力#用語のその他の用法を参照）。 $${\displaystyle \mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.}$$ $${\displaystyle F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}.}$$

もちろん、1 次元の定式化に完全にとどまる場合、ℓ は外部の外向きの力の課されたパラメータとしてのみ入力され、角運動量としての解釈は、1 次元の問題の起源となったより一般的な 2 次元の問題に依存します。

ニュートン力学を用いて共回転系においてこの式を導出する場合、その系における遠心力は系自体の回転に起因すると解釈するのは明らかです。一般化座標系( r , θ )を用い、系を全く考慮せずにラグランジュ定式化に従って直接この式を導出する場合、遠心力は極座標系の使用から生じると解釈できます。ヒルデブランドは次のように述べています。^[47]

このような量は真の物理的な力ではないため、しばしば慣性力と呼ばれます。慣性力の有無は、個々の問題ではなく、選択された座標系に依存します。特に、直交座標を選択した場合、遠心力は消え、曲線運動の向心力となる中心力のみが定式化されます。

架空の力は座標系の選択に起因しているというこの見解は、ラグランジュ法の利用者によってしばしば表明される。この見解はラグランジュ的アプローチにおいて自然に生じる。なぜなら、座標系の選択によって（おそらく無意識のうちに）参照フレームが選択されるからである。例えば、慣性参照フレームと非慣性参照フレームにおけるラグランジュ関数の比較については^{[48]を参照のこと。また、 [49]}における「全」ラグランジュ定式化と「更新」ラグランジュ定式化に関する議論も参照のこと。残念ながら、この「慣性力」の用法は、ニュートン力学における慣性力の考え方と矛盾する。ニュートン力学の見解では、慣性力は観測フレームの加速（慣性参照フレームではないという事実）に起因しており、座標系の選択に起因しているわけではない。この点を明確にするために、ラグランジュ慣性力を一般化慣性力と呼び、ニュートン力学のベクトル慣性力と区別するのが最も安全である。つまり、ヒルデブランドが（155ページ）「我々は常に一般化された力、速度、加速度、運動量を扱っている。簡潔にするため、『一般化された』という形容詞は頻繁に省略する。」と述べているように、ヒルデブランドに従わないようにすべきである。

系のラグランジアンは一意ではないことが知られている。ラグランジアン形式論においては、ニュートン力学の仮想力は、仮想力が消滅する代替ラグランジアンの存在によって識別することができ、これは系の対称性を利用することで発見されることもある。^[50]

非保守的な力を含む拡張

散逸力

散逸（つまり非保存システム）も、自由度をある一定の倍数にして定式化された有効ラグランジアンで扱うことができる。^{[51] [52] [53] [54]}

より一般的な定式化では、力は保存力と粘性力の両方_{を持つ可能性がある。F i}から適切な変換が見つかる場合、レイリーは次の形式の散逸関数Dを使用することを提案している： ^[55]ここで、C _jkは物理系の減衰係数に関連する定数であるが、必ずしもそれらと等しいとは限らない。Dがこのように定義されると、^[55]および $${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

電磁気

テスト粒子とは、質量と電荷が非常に小さく、外部系への影響が無視できると仮定される粒子です。多くの場合、質量と電荷以外の特性を持たない、単純化された仮想的な点粒子です。電子やアップクォークのような現実の粒子はより複雑で、ラグランジアンに新たな項を持ちます。場は非保存ポテンシャルを形成するだけでなく、速度に依存することもあります。

電荷qを持つ荷電粒子が電磁場と相互作用するラグランジアンは、速度依存ポテンシャルの典型的な例である。電気スカラーポテンシャルϕ = ϕ ( r , t )と磁気ベクトルポテンシャルA = A ( r , t )は、電場E = E ( r , t )と磁場B = B ( r , t )から以下のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\quad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$$

電磁場中の質量を持つ荷電粒子のラグランジアンは、最小結合と呼ばれます。これは、ラグランジアンは運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものであるという一般的な経験則が間違っていることを示す良い例です。オイラー・ラグランジュ方程式と組み合わせると、ローレンツ力の法則 が得られます。 $${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi ,}$$ $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} }$$

ゲージ変換では、 f ( r、t ) が空間と時間の任意のスカラー関数である 場合、前述のラグランジアン変換は次のように変換されます。これにより、依然として同じローレンツ力の法則が生成されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}},}$$ $${\displaystyle L\rightarrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)f=L+q{\frac {df}{dt}},}$$

標準運動量（位置rに共役）は、運動運動量にAフィールドからの寄与（潜在的運動量と呼ばれる） を加えたものであることに注意してください。 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} .}$$

この関係は、量子力学と量子場の理論における最小結合の規定にも用いられます。この表現から、正準運動量pはゲージ不変ではなく、したがって測定可能な物理量ではないことがわかります。しかし、 rが巡回的である場合（つまり、ラグランジアンが位置rに依存しない場合）、これはϕ場とA場が均一な場合に発生しますが、ここで与えられた正準運動量pは保存運動量であり、測定可能な物理的な運動量m vは保存運動量ではありません。

その他の文脈と表現

ラグランジュ力学の考え方は物理学の他の分野にも数多く応用されており、変分法からの一般化された結果を採用することができます。

古典力学の代替定式化

古典力学の密接に関連する定式化としてハミルトニアン力学があります。ハミルトニアンはラグランジアンにルジャンドル変換を施すことで定義され、元の変数に正準共役な新しい変数を導入します。例えば、一般化座標系が与えられた場合、正準共役な変数は一般化運動量です。これにより変数の数は倍になりますが、微分方程式は1階になります。ハミルトニアンは量子力学において特に広く用いられる量です（「ハミルトニアン（量子力学） 」を参照）。 $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L}$$

ルーシアン力学はラグランジアン力学とハミルトン力学のハイブリッド定式化であり、実際にはあまり使用されませんが、巡回座標に対しては効率的な定式化です。

運動量空間定式化

オイラー・ラグランジュ方程式は、一般化座標ではなく一般化運動量を用いて定式化することもできます。一般化座標ラグランジアンL ( q , d q /d t , t )にルジャンドル変換を施すと、元のラグランジアンを用いた一般化運動量ラグランジアンL ′( p , d p /d t , t )が得られ、また、一般化運動量を用いたオイラー・ラグランジュ方程式も得られます。どちらのラグランジアンも同じ情報を含んでおり、どちらを用いても系の運動を解くことができます。実際には、一般化座標の方が一般化運動量よりも使用と解釈が容易です。

一般化座標の高次微分

一般化座標の微分を1次のみに制限する数学的根拠はない。高次の微分を含むラグランジアンに対しては、修正されたEL方程式を導くことが可能である。詳細はオイラー・ラグランジュ方程式を参照のこと。しかし、物理的な観点からは、1次を超える時間微分を含めることには障害がある。これは、オストログラツキーによる非退化高次微分ラグランジアンに対する標準的形式の構築に示唆されている。オストログラツキー不安定性を参照のこと。

光学

ラグランジュ力学は、変分原理を媒質内の光線に適用することで幾何光学に適用でき、EL 方程式を解くことで光線がたどる経路の方程式が得られます。

相対論的定式化

ラグランジアン力学は特殊相対論と一般相対論で定式化できます。ラグランジアン力学のいくつかの特徴は相対論的理論にも保持されていますが、他の点ではすぐに困難が生じます。特に、EL方程式は同じ形をとり、巡回座標と運動量保存の関係は依然として適用されますが、ラグランジアンは修正する必要があり、粒子の運動エネルギーから位置エネルギーを引いた単純なものではないためです。また、多粒子系を明白に共変な方法で扱うのは容易ではありませんが、特定の参照系を選べば可能になる場合があります。

量子力学

量子力学では、作用と量子力学的位相はプランク定数を介して関連しており、定常作用の原理は波動関数の建設的干渉の観点から理解することができます。

1948年、ファインマンは最小作用原理を電子と光子の量子力学に拡張した経路積分の定式化を発見した。この定式化では、粒子は初期状態と最終状態の間のあらゆる可能な経路を辿り、特定の最終状態の確率は、そこに至るすべての可能な軌道の総和によって得られる。古典的領域では、経路積分の定式化はハミルトンの原理、そして光学におけるフェルマーの原理を明瞭に再現する。

古典場の理論

ラグランジュ力学では、一般化座標はシステムの構成を定義する離散的な変数の集合を形成します。古典的な場の理論では、物理システムは離散的な粒子の集合ではなく、3D 空間の領域で定義された連続的な場ϕ ( r , t )です。場に関連付けられているのは、場所rと時間tにおける場とその空間および時間微分で定義されるラグランジュ密度です。粒子の場合と同様に、非相対論的アプリケーションでは、ラグランジュ密度は場の運動エネルギー密度からその位置エネルギー密度を差し引いたものでもあります (これは一般には当てはまらないため、ラグランジュ密度は「リバース エンジニアリング」する必要があります)。したがって、ラグランジュ密度は3D 空間上のラグランジュ密度の体積積分であり 、 d ³ rは 3D微分体積要素です。ラグランジアン密度は場を通じて暗黙的な空間依存性を持ち、明示的な空間依存性を持つ場合もあるため、ラグランジアンは時間の関数ですが、積分ではこれらが除去され、ラグランジアン変数として時間のみが残ります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,{\dot {\phi }},\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$$

ネーターの定理

作用原理とラグランジアン形式は、物理的保存量を物理システムの連続対称性と結び付けるノイマンの定理と密接に結びついています。

ラグランジアンが対称性の下で不変であれば、結果として得られる運動方程式もその対称性の下で不変です。この性質は、理論が特殊相対論または一般相対論のどちらとも整合していることを示すのに非常に役立ちます。

参照

• 天文学ポータル

• 標準座標
• 変分法の基本補題
• 機能的微分
• 一般化座標
• ハミルトン力学
• ハミルトン光学
• ラグランジアン力学の逆問題。運動方程式が与えられたシステムのラグランジアンを見つけるという一般的なテーマです。
• 流れ場のラグランジュおよびオイラー指定
• ラグランジアン点
• ラグランジアン系
• 非自律的な力学
• プラトーの問題
• 制限三体問題

脚注

1. この文脈では、 と表記・定義される変分微分が 用いられることがある。本稿では偏微分と全微分のみを用いる。 $${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \mathbf {r} _{k}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}}$$
2. ここでは仮想変位は可逆であると仮定していますが、一部のシステムではこの原則に違反する非可逆の仮想変位を持つ可能性があります。Udwadia -Kalaba 方程式を参照してください。
3. 言い換えれば、粒子kは拘束力を受けますが、 r _k座標 上の拘束方程式のためです。 $${\displaystyle \mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0}$$ $${\displaystyle C_{k\,x}\delta x_{k}\neq 0,\quad C_{k\,y}\delta y_{k}\neq 0,\quad C_{k\,z}\delta z_{k}\neq 0}$$
4. ラグランジアンは回転系に対しても明示的に記述できる。Padmanabhan, 2000を参照。

注記

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さらに読む

• グプタ、キラン・チャンドラ、「粒子と剛体の古典力学」（Wiley、1988 年）。
• カッセル、ケビン（2013）『変分法とその科学・工学への応用』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-02258-4。
• Goldstein、Herbert他著「古典力学」第3版、Pearson、2002年。

外部リンク

• デイビッド・トン. 「ケンブリッジ古典力学講義ノート」. DAMTP . 2017年6月8日閲覧。
• 最小作用の原理インタラクティブ 優れたインタラクティブな説明/ウェブページ
• Joseph Louis de Lagrange - āuvres complètes (Gallica-Math)
• 制約された運動と一般化座標、4ページ

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