網羅法

尽くし法（ラテン語：methodus exhaustionis）は、図形の中に、その面積が包含図形の面積に収束する多角形の列を（一度に1つずつ）内接させることによって、図形の面積を求める方法です。列が正しく構築されていれば、n番目の多角形と包含図形の面積の差は、 nが大きくなるにつれて任意に小さくなります。この差が任意に小さくなるにつれて、図形の面積の可能な値は、列の要素によって順次確立される下限面積によって体系的に「尽くされ」ます

網羅的証明法は、通常、背理法と呼ばれる一種の背理法を必要とします。これは、まずある領域の面積を別の領域の面積と比較することによって面積を求めるというものです。別の領域の面積は、真の面積に任意に近づくように「網羅」することができます。この証明では、真の面積が2番目の面積より大きいと仮定し、その主張が誤りであることを証明し、次に真の面積が2番目の面積より小さいと仮定し、その主張も誤りであることを証明します。

歴史

The idea originated in the late 5th century BC with Antiphon , although it is not entirely clear how well he understood it. ^[1] The theory was made rigorous a few decades later by Eudoxus of Cnidus , who used it to calculate areas and volumes. It was later reinvented in China by Liu Hui in the 3rd century AD in order to find the area of a circle. ^[2] The first use of the term was in 1647 by Gregory of Saint Vincent in Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum .

尽くしの法は微積分法の前身と見なされています。17世紀から19世紀にかけての解析幾何学と厳密な積分学の発展は、尽くしの法を包含し、もはや問題を解くために明示的に使用されなくなりました。重要な代替アプローチは、不可分法とも呼ばれるカヴァリエリの原理であり、最終的にはロベルヴァル、トリチェリ、ウォリス、ライプニッツなどの微小微積分学へと発展しました。

ユークリッド

ユークリッドは『原論』第12巻で、尽くしの法を用いて以下の6つの命題を証明しました。

Proposition 2 : The area of circles is proportional to the square of their diameters. ^[3]

Proposition 5 : The volumes of two tetrahedra of the same height are proportional to the areas of their triangular bases. ^[4]

命題10：円錐の体積は、同じ底辺と高さを持つ対応する円柱の体積の3分の1である。^[5]

命題11：同じ高さの円錐（または円柱）の体積は、底面積に比例する。^[6]

命題12：他の円錐（または円柱）と相似な円錐（または円柱）の体積は、底辺の直径の比の3乗に比例する。^[7]

命題18：球の体積は、その直径の3乗に比例する。^[8]

アルキメデス

アルキメデスは、円の面積を計算する方法として、辺の数が増え、面積もそれに応じて増加する一連の多角形で円を埋める方法を用いました。これらの多角形の面積を円の半径の2乗で割った商は、多角形の辺の数が増えるにつれてπに任意に近づくため、半径 $r$ の円の面積は $πr$ $2$ であることが証明されます。π $は$ 円周と直径の比（ $C$ $/$ $d$ ）として定義されます。

彼はまた、円の周長と、それに内接する96辺の正多角形と外接する96辺の正多角形の周長を比較することにより、3 + 10 / 71 < π < 3 + 10 / 70（範囲は1 / 497）という境界を示しました。

彼がこの方法で得た他の結果には以下が含まれます。^[9]

直線と放物線の交点によって囲まれる面積は、底辺と高さが同じ三角形の面積の4/3です（放物線の求積法）。
楕円の面積は、長軸と短軸に等しい辺を持つ長方形の面積に比例します。
球の体積は、同じ半径の底辺と高さを持つ円錐の体積の4倍です。
高さが直径に等しい円柱の体積は、同じ直径を持つ球の体積の3/2です。
1回転の螺旋と直線によって囲まれる面積は、線分の長さに等しい半径を持つ円の面積の1/3です。
網羅法の使用は、無限等比級数の計算にも（初めて）成功しました。

その他

ガリレオ・ガリレイは、円錐台の重心を求めるために網羅法を使用しました。^[10]

現代微積分学が発展する直前、クリストファー・レンはサイクロイドの正確な弧長を発見するために、消尽法を用いました。^[11]

例1：アルキメデスの螺旋の面積は、それを囲む円の3分の1です

アルキメデスは、螺旋1回転の面積を計算し、それがそれを囲む円の面積の3分の1であることを発見しました ${\textstyle S}$ ${\textstyle r=\theta }$ ${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$ ${\textstyle a(C)}$

証明の概要として、であることを示すとします。反論として、と仮定します。区間をに均等に分割し、各部分区間について、螺旋を囲む最小および最大の円弧を求めます。説明のために2番目の画像を参照してください。を螺旋の内側の扇形の集合、を外側の扇形の集合とします。すると、は螺旋の面積の過小評価となり、過大評価となります。アルキメデスは、が十分に大きい場合、任意のに対してであることを示すことができました。 ${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}a(C)}$ ${\textstyle a(S)<{\frac {1}{3}}a(C)}$ ${\textstyle [0,2\pi ]}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle a(P)}$ ${\textstyle a(Q)}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle a(Q)-a(P)<\epsilon }$ ${\textstyle 0<\epsilon }$

ここでを定義します。すると、の仮定によりとなり、螺旋がを囲んでいるためとなります。しかし、の面積はの面積と明示的に計算できます。これは、の面積がそれぞれの面積を持つ外側の円弧の面積の合計に等しいためです。つまり、 ${\textstyle \epsilon :={\frac {1}{3}}a(C)-a(S)}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)-a(S)>a(Q)-a(P)}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)>a(Q)+a(S)-a(P)>a(Q)}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle Q}$ $n$ ${\textstyle {\frac {\theta }{2}}r_{i}^{2},}$ ${\textstyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\begin{aligned}a(Q)&={\frac {\theta }{2}}r_{1}^{2}+{\frac {\theta }{2}}r_{2}^{2}+...+{\frac {\theta }{2}}r_{n}^{2}\\&={\frac {\theta }{2}}\left(\theta ^{2}+(2\theta )^{2}+...+(n\theta )^{2}\right)\\&={\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{aligned}}$

アルキメデスも発見した平方和の公式を用いて

こうして不等式に戻ると

${\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {1}{3}}a(C).$

円の半径はだったので、円の面積はです。これを上記の不等式に代入し、とすると、次のようになります。 ${\textstyle 2\pi }$ ${\textstyle a(C)=4\pi ^{3}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$

${\frac {8\pi ^{3}}{12n^{3}}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {4}{3}}\pi ^{3}.$

これはさらに等価になります。

$\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<2n^{2}.$

しかし、これはすべての正のに対して偽です。左辺の最初の項はより大きく、2番目の項はより大きいため、それらの積はより大きくなり、矛盾が生じます。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle 2n}$ ${\textstyle 2n^{2}}$

代わりにの証明は完全に等価です。^[^{説明が必要}^]螺旋の面積は円の面積の3分の1より小さくも大きくもないので、アルキメデスはそれらが等しいと結論付けました。^[12] ${\textstyle a(S)>{\frac {1}{3}}a(C)}$

例2：円は互いに、その直径上の正方形と同じである

この記述はエウドクソスに帰せられますが、彼の解説は残っておらず、ユークリッドの書第12巻命題2に再現されています。 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$

証明の概略として、をそれぞれに内接する -辺正凸多角形と仮定する。を定義する。すると、ユークリッドの第10巻の命題1により、のときはいつでもとなることがわかる。したがって、の定義を用いると、 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\iff a(C_{1})>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}).}$ ${\textstyle P_{1},P_{2}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle C_{1},C_{2}}$ ${\textstyle \epsilon :=a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle n>N}$ ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<\epsilon }$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}),\quad \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<a(P_{1}).}$

しかし、円ではなく任意の2つの正凸多角形に対して、が固定されている限り、であることを示すのは自明です。これを前の文に代入すると、 ${\textstyle {\frac {a(P_{1})}{a(P_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$ $n$

$\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(P_{2})\implies a(C_{2})<a(P_{2}).$

しかし、であるため、これは矛盾です。次のステップは、も偽であることを証明することです。しかし、のラベル付けは完全に恣意的でした。ラベルを付け直すことで、このケースもさらなる証明を必要とせずに成り立ちます。したがって、となります。^[13] ${\textstyle P_{2}\subset C_{2}}$ ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$ ${\textstyle C_{1},C_{2}}$ ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$

解析

リーマン和を用いた面積の計算と網羅法は、どちらの方法も多角形の集合を用いて問題の面積を近似することから始まるという点で似ています。しかし、リーマン和では、近似多角形の面積の極限はとみなされます。逆に、網羅法では極限は回避され、代わりに背理法による二重証明が用いられます。したがって、網羅法を用いると、無限大を厳密に扱うことなく複素面積を計算することができます。 $n\to \infty$

参照

参考文献

^ 「アンティ フォン（紀元前480年～紀元前411年）」www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
^ Dun, Liu. 1966. 「アルキメデスと劉徽の円に関する研究の比較」D. Fan、R.S. Cohen編『中国科学技術史哲学研究』 179、279～287ページ。Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-3463-9279ページ
^ 「ユークリッド原論、第12巻、命題2」aleph0.clarku.edu
^「ユークリッド原論、第12巻、命題5」aleph0.clarku.edu
^ 「ユークリッド原論第12巻命題10」aleph0.clarku.edu
^ 「ユークリッド原論第12巻命題11」aleph0.clarku.edu
^ 「ユークリッド原論第12巻命題12」aleph0.clarku.edu
^「ユークリッド原論第12巻命題18」 aleph0.clarku.edu
^スミス、デイビッド・E. (1958).数学史.ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 0-486-20430-8. {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
^ ハイルブロン、ジョン (2010).ガリレオ. オックスフォード大学出版局. p. 36. ISBN 978-0-19-958352-2.
^ ホワイトサイド、デレク・T. (1960). 「数学者レン」.覚書と記録. 15.ロンドン: 王立協会: 107–111 . doi :10.1098/rsnr.1960.0010
^ Edwards, Charles (1994). The Historical Development of the Calculus . Springer. ISBN 0387943137.
^ Wigderson, Yuval (2019). "Eudoxus" (PDF) (lecture notes).

[1] ^ 「アンティ フォン（紀元前480年～紀元前411年）」www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

[2] Dun, Liu. 1966. 「アルキメデスと劉徽の円に関する研究の比較」D. Fan、R.S. Cohen編『中国科学技術史哲学研究』 179、279～287ページ。Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-3463-9279ページ

[3] 「ユークリッド原論、第12巻、命題2」aleph0.clarku.edu

[4] 「ユークリッド原論、第12巻、命題5」aleph0.clarku.edu

[5] 「ユークリッド原論第12巻命題10」aleph0.clarku.edu

[6] 「ユークリッド原論第12巻命題11」aleph0.clarku.edu

[7] 「ユークリッド原論第12巻命題12」aleph0.clarku.edu

[8] ^「ユークリッド原論第12巻命題18」 aleph0.clarku.edu

[9] スミス、デイビッド・E. (1958).数学史.ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 0-486-20430-8. {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

[10] ハイルブロン、ジョン (2010).ガリレオ. オックスフォード大学出版局. p. 36. ISBN 978-0-19-958352-2.

[11] ホワイトサイド、デレク・T. (1960). 「数学者レン」.覚書と記録. 15.ロンドン: 王立協会: 107–111 . doi :10.1098/rsnr.1960.0010

[12] Edwards, Charles (1994). The Historical Development of the Calculus . Springer. ISBN 0387943137.

[13] Wigderson, Yuval (2019). "Eudoxus" (PDF) (lecture notes).