ミンコフスキー関数

Function made from a set

数学において、関数解析の分野におけるミンコフスキー関数（ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで）またはゲージ関数は、線形空間上の距離の概念を回復する関数です。

が実ベクトル空間または複素ベクトル空間のサブセットである場合、 のミンコフスキー関数またはゲージは、によって 定義される拡張実数で値を取る関数として定義されます。ここで、空集合の最小値は正の無限大として定義されます。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ $${\displaystyle p_{K}(x)=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\},\quad x\in X,}$$

集合は、 の吸収円板であるなどの性質を持つとしばしば仮定され、 がの半ノルムになることを保証する。実際、上のすべての半ノルムは、 を満たす任意の部分集合のミンコフスキー汎関数（つまり）に等しい。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p=p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$

$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$$

(これらの 3 つのセットはすべて必ず吸収され、最初と最後のセットもディスクになります)。 ${\textstyle X}$

このように、すべての半ノルム（純粋に代数的な性質によって定義される関数）は、吸収円板（特定の幾何学的性質を持つ集合）と（一意ではない形で）関連付けることができ、逆に、すべての吸収円板は、そのミンコフスキー関数（必然的に半ノルムとなる）と関連付けることができます。半ノルム、ミンコフスキー関数、吸収円板の間のこれらの関係は、ミンコフスキー関数が関数解析において研究され、利用される主な理由です。特に、これらの関係を通して、ミンコフスキー関数は、ある部分集合の特定の幾何学的性質を、ある関数の特定の代数的性質に「変換」することを可能にします。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle X.}$

ミンコフスキー関数は常に非負（つまり）です。この非負という性質は、劣線型関数や実線型関数など、負の値を許容する他の関数のクラスとは対照的です。しかし、 は実数値ではない可能性があります。なぜなら、任意の与えられた値に対して の値が実数となるのは、 が空でない場合のみだからです。したがって、は通常、 が実数値である ことを保証する性質（例えばに吸収されるなど）を持つと想定されます。 ${\textstyle p_{K}\geq 0}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)}$ ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle p_{K}}$

意味

を実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合とする。のゲージまたはミンコフスキー関数を、拡張された実数で値を取る関数として定義する。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$

$${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$

（空集合の最小値は、つまり であることを思い出してください。）ここでは の略記です。 ${\textstyle \,\infty }$ ${\textstyle \inf \varnothing =\infty }$ ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\textstyle \{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}.}$

任意の に対して、かつ が空でない場合のみ。 に対する算術演算は、任意の非ゼロ実数に対して に対してを演算するように拡張できます。 と の積は未定義のままです。 ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty }$ ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle \pm \infty ,}$ ${\textstyle {\frac {r}{\pm \infty }}:=0}$ ${\textstyle -\infty <r<\infty .}$ ${\textstyle 0\cdot \infty }$ ${\textstyle 0\cdot -\infty }$

ゲージを実数値にするいくつかの条件

凸解析の分野では、写像が の値を取ることは必ずしも問題ではない。しかし、関数解析においてははほとんど常に実数値である（つまり、 の値を取らない）。これは、任意のに対して が空でない場合に限る。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle \,\infty \,}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle \,\infty \,}$ ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\textstyle x\in X.}$

が実数値であるためには、の原点がにおけるの代数的内部または核に属していれば十分である^[1]がにおいて吸収する場合 、これは を意味することを思い出すと、原点はにおけるの代数的内部に属し、したがって は実数値となる。が実数値である場合の の特徴付けは以下に示す。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle 0\in K,}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$

動機付けの例

例1

ノルムを持つノルムベクトル空間 を考え、 をその単位球とする。すると任意の に対して、ミンコフスキー関数はちょうど のノルムとなる。 ${\textstyle (X,\|\,\cdot \,\|),}$ ${\textstyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\textstyle U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle \|x\|=p_{U}(x).}$ ${\textstyle p_{U}}$ ${\textstyle X.}$

例2

を位相を持たないベクトル空間とし、基礎にスカラー場を持つものとする。を任意の線型関数とする（必ずしも連続とは限らない）。固定する。を集合 とし、をのミンコフスキー関数とする。 すると、この関数は以下の性質を持つ。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle \mathbb {K} .}$ ${\textstyle f:X\to \mathbb {K} }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle a>0.}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}}$$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K.}$ $${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$ ${\textstyle p_{K}}$

1. それは劣加法です: ${\textstyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}$
2. それは完全に同次である：すべてのスカラーに対して ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle s.}$
3. これは非負です: ${\textstyle p_{K}\geq 0.}$

したがって、は誘導位相を持つ上の半ノルムである。これは「良い」集合によって定義されるミンコフスキー汎関数の特徴である。半ノルムとそのような集合によって与えられるミンコフスキー汎関数との間には一対一対応関係がある。「良い」とは具体的に何を意味するのかについては、以下の節で議論する。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X,}$

ノルムに対するより強い要件とは対照的に、 はを意味する必要がないことに注意してください。 上記の例では、のカーネルから非ゼロの値を取ることができます。したがって、結果のトポロジは、ハウスドルフ で ある必要はありません。 ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ ${\textstyle x=0.}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle f.}$

ゲージが半ノルムであることを保証する一般的な条件

今後、次のように想定されることを保証するために ${\textstyle p_{K}(0)=0,}$ ${\textstyle 0\in K.}$

が半ノルムとなるためには、が円板（つまり凸でバランスが取れている）で、吸収体であることが必要である。これは、最も一般的な仮定である。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle K.}$

定理^[2] —がベクトル空間上の吸収円板である場合、そのミンコフスキー汎関数は、によって定義される写像が上の半ノルムである。さらに、 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle K,}$ ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$ $${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$ ${\textstyle X.}$ $${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.}$$

より一般的には、が凸で原点が の代数的内部に属する場合、は 上の非負部分線型関数であり、特にそれが劣加法かつ正同次であることを意味する。が に吸収される場合、 は正同次であり、任意の実数 に対して となることを意味する。^[3]が上の非負実数値関数であり、正同次である場合、集合と は を満たし、さらに が絶対同 次である場合、 とは両方ともとなる。^[3] ${\textstyle K}$ ${\textstyle K,}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p_{[0,1]K}}$ ${\textstyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ ${\textstyle s\geq 0,}$ ${\textstyle [0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle U:=\{x\in X:q(x)<1\}}$ ${\textstyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ ${\textstyle [0,1]U=U}$ ${\textstyle [0,1]D=D;}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle D}$

吸収ディスクのゲージ

が半ノルムであることを保証する集合に課される最も一般的な要件は、おそらく が吸収円板であることである。これらの仮定は広く普及しているため、 が吸収円板である場合のミンコフスキー汎関数の性質について以下に考察する。上述の結果はすべて に関する仮定をほとんど（あるいは全く）置いていないため、この特殊なケースにも適用できる。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K,}$

定理-が の吸収部分集合であると仮定すると、次のことが証明される。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$

1. が凸であれば、劣加法です。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}}$
2. が釣り合っている場合、は絶対的に同次である。つまり、すべてのスカラーに対して ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle s.}$

吸収円板のゲージが半ノルムであることの証明

凸性と劣加法性 の凸性が劣加法性を意味することを示す簡単な幾何学的論証は以下の通りである。とりあえず と仮定すると、 すべての に対して は 凸であり、 もまた凸である。したがって、 ミンコフスキー汎関数の定義により、 ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}(x)=p_{K}(y)=r.}$ ${\textstyle e>0,}$ ${\textstyle x,y\in K_{e}:=(r,e)K.}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle r+e\neq 0,}$ ${\textstyle K_{e}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\in K_{e}.}$ ${\textstyle p_{K},}$ $${\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+e={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+e.}$$ しかし、左側は ${\textstyle {\frac {1}{2}}p_{K}(x+y),}$ $${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+2e.}$$ は任意なので、望ましい不等式が導かれます。一般的なケースは、明らかな修正を加えることで得られます。 ${\textstyle e>0}$ ${\textstyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y),}$ ${\textstyle p_{K}(x)>p_{K}(y)}$ の凸性と、集合が空でないという最初の仮定を合わせると、 が を吸収することを意味します。 ${\textstyle K,}$ ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\textstyle K}$ バランスと絶対的な均質性 バランスが取れているということは、 ${\textstyle K}$ $${\displaystyle \lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K.}$$ したがって $${\displaystyle p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x).}$$

代数的性質

を実数または複素ベクトル空間とし、を吸収円板とする。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$

• ${\textstyle p_{K}}$は半正規分布である ${\textstyle X.}$
• ${\textstyle p_{K}}$は、非自明なベクトル部分空間を含まない場合に限り、上のノルムとなる。 ^[4] ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$
• ${\textstyle p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}}$任意のスカラー^[4] ${\textstyle s\neq 0.}$
• が吸収ディスクである場合、 ${\textstyle J}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle J\subseteq K}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{J}.}$
• が満たされる集合である場合、は吸収され、はそれに関連付けられたミンコフスキー関数であり、それは^[5]のゲージである。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p=p_{K},}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K;}$ ${\textstyle K.}$
• 特に、が上記の通りであり、が上の任意の半ノルムである場合、次の場合のみ^[5] ${\textstyle K}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle q=p}$ ${\textstyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$
• を満たす場合 ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle p_{K}(x)<1}$ ${\textstyle x\in K.}$

位相的性質

を（実または複素）位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフまたは局所凸 とは限らない）とし、を の吸収円板とする。すると、 ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,}$$

ここでは位相的内部であり、は^[6]におけるの位相的閉包である 。重要なのは、が連続であるとは仮定されておらず、 が何らかの位相的性質を持つとも仮定されていないことである。 ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}K}$ ${\textstyle \operatorname {Cl} _{X}K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$

さらに、ミンコフスキー関数が連続であることと、^[6]が原点の近傍であることに限ります。[6]が連続である 場合、 ^[6] ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle p_{K}}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.}$$

セットの最小要件

このセクションでは、の任意の部分集合のゲージの最も一般的なケースを調べます。 がの吸収ディスクであると仮定される、 より一般的な特殊なケースについては上記で説明しました。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$

プロパティ

このセクションのすべての結果は、 が吸収ディスクである場合に適用できます。 ${\textstyle K}$

全体を通して、 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$

要約—が実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合であるとする ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$

1. 厳密な正の同次性：の正の実数に対して ${\textstyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle r>0.}$
   • 正/非負同次性:が実数値の場合に限り、 は非負同次です ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$
     • すべてのおよびすべての非負実数に対してとなるとき、その写像は非負同次写像と呼ばれます^[7]は定義されていないため、無限大を値として取る写像は非負同次ではありません。 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p(rx)=rp(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle r\geq 0.}$ ${\textstyle 0\cdot \infty }$
2. 実数値：は実数値であるすべての点の集合である。したがって、が実数値であるのは、 ${\textstyle (0,\infty )K}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X,}$ ${\textstyle 0\in K.}$
   • 値 ${\textstyle 0}$:の場合のみ の場合のみ の場合のみ ${\textstyle p_{K}(0)\neq \infty }$ ${\textstyle 0\in K}$ ${\textstyle p_{K}(0)=0.}$
   • 零空間： ならば、 ならば、 ならば、 ならばとなるような正の実数の発散列が存在する。さらに、の零集合は ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ ${\textstyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ ${\textstyle t_{n}x\in K}$ ${\textstyle n.}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.}$
3. 定数との比較:ならば、任意の ならば、そしてその場合に限り、これは次のように言い換えられる: ならば、 ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)<r}$ ${\textstyle x\in (0,r)K;}$ ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$
   • が実数ならば、右辺の集合は部分集合ではなく、その集合を表す。ならば、これらの集合は、 ${\textstyle 0\leq R<\infty }$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,}$ ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ ${\textstyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.}$ ${\textstyle R>0}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.}$
   • 特に、またはの場合ですが、重要なことは、逆は必ずしも真ではないということです。 ${\textstyle x\in RK}$ ${\textstyle x\in (0,R]K}$ ${\textstyle p_{K}(x)\leq R,}$
4. ゲージ比較：任意の部分集合に対して、したがって、 ${\textstyle L\subseteq X,}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{L}}$ ${\textstyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ ${\textstyle p_{L}=p_{K}}$ ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K.}$
   • この割り当ては、もし[ ^8] ${\textstyle L\mapsto p_{L}}$ ${\textstyle K\subseteq L}$ ${\textstyle p_{L}\leq p_{K}.}$
   • 集合はを満たすので、を で置き換えても結果のミンコフスキー関数は変化しない。と についても同様に成り立つ。 ${\textstyle L:=(0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K,}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ ${\textstyle L:=(0,1]K}$ ${\textstyle L:=p_{K}^{-1}([0,1]).}$
   • ならば、そしては、特に素晴らしい性質を持っている。が実数ならば、または^{[注 1] が}実数ならば、 ${\textstyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}}$ ${\textstyle p_{D}=p_{K}}$ ${\textstyle D}$ ${\textstyle r>0}$ ${\textstyle x\in rD}$ ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$ ${\textstyle r>0}$ ${\textstyle p_{D}(x)\leq r}$ ${\textstyle x\in (0,r]D.}$
5. 劣加法性/三角不等式：が劣加法性を持つのは、 が凸である場合に限ります。 が凸である場合と も凸であり、さらに は劣加法性を持ちます。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1]K}$ ${\textstyle p_{K}}$
6. 集合のスケーリング：がスカラーならば、すべてに対して となる。したがってが実数ならば ${\textstyle s\neq 0}$ ${\textstyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ ${\textstyle y\in X.}$ ${\textstyle 0<r<\infty }$ ${\textstyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).}$
7. 対称：が対称（つまり、すべての に対して）であるのは、 が対称集合（つまり）である場合に限ります。これは、 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ ${\textstyle y\in X}$ ${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)K=-(0,1)K}$ ${\textstyle p_{K}=p_{-K}.}$
8. 絶対同次性:すべてのおよびすべての単位長さのスカラー^{[注 2]}に対して、かつその場合限り、すべての単位長さのスカラーに対してであり、、すべてのおよびすべての非ゼロのスカラーであり、さらに も実数値である場合、これはすべてのスカラー(つまり、は絶対同次です^{[注 3]} )。 ${\textstyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle u,}$ ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle s\neq 0.}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle s}$ ${\textstyle p_{K}}$
   • ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$すべての単位長さに対して、かつ、すべての単位長さに対して ${\textstyle u}$ ${\textstyle (0,1)uK=(0,1)K}$ ${\textstyle u.}$
   • ${\textstyle sK\subseteq K}$すべての単位スカラーに対して、かつその場合に限り、すべての単位スカラーに対して、これが当てはまる場合、すべての単位スカラーに対して ${\textstyle s}$ ${\textstyle sK=K}$ ${\textstyle s;}$ ${\textstyle (0,1)K=(0,1)sK}$ ${\textstyle s.}$
   • 任意の均衡集合のミンコフスキー関数は均衡関数である。^[8]
9. 吸収性：が凸型またはバランス型で、が吸収型の場合 ${\textstyle K}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$
   • セットが吸収され、その後吸収される場合 ${\textstyle A}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle A\subseteq K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$
   • が凸の場合、どのケースになるか ${\textstyle K}$ ${\textstyle 0\in K}$ ${\textstyle [0,1]K=K,}$ ${\textstyle (0,1)K\subseteq K.}$
10. ベクトル部分空間への制限：が のベクトル部分空間であり、 が のミンコフスキー関数を表す場合、はのへの制限を表す。 ${\textstyle S}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ ${\textstyle K\cap S}$ ${\textstyle S,}$ ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},}$ ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle S.}$

証拠

これらの基本的な性質の証明は簡単な演習なので、最も重要なステートメントの証明のみが示されています。 を満たす凸部分集合が必ず に吸収されることの証明は簡単で、吸収集合に関する記事に記載されています。 ${\textstyle A\subseteq X}$ ${\textstyle (0,\infty )A=X}$ ${\textstyle X}$ 実際の ${\textstyle t>0,}$ $${\displaystyle \{r>0:tx\in rK\}=\{t(r/t):x\in (r/t)K\}=t\{s>0:x\in sK\}}$$ 両辺の最小値をとると、 $${\displaystyle p_{K}(tx)=\inf\{r>0:tx\in rK\}=t\inf\{s>0:x\in sK\}=tp_{K}(x).}$$ これは、ミンコフスキー関数が厳密に正同次であることを証明しています。ミンコフスキー関数が明確に定義されるためには、すべての非負実数に対して、が実数値であることが必要かつ十分です。 ${\textstyle 0\cdot p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty ;}$ ${\textstyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t\geq 0}$ ${\textstyle p_{K}}$ (7) の仮定から、すべてのスカラーとを満たすすべてのスカラーに対して、が成り立つと結論付けることができる 。すべてのスカラーは、ある実数に対しての形をとる。ここで、 は実数であり、が実数である場合に限り、が実数である。絶対同次性に関する記述の結果は、前述の結論、 の厳密な正同次性、およびが実数値である 場合の の正同次性から直ちに導かれる。 ${\textstyle p_{K}(sx)=p_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle s}$ ${\textstyle |s|=1.}$ ${\textstyle s}$ ${\textstyle re^{it}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r:=|s|\geq 0}$ ${\textstyle e^{it}}$ ${\textstyle s}$ ${\textstyle p_{K},}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle \blacksquare }$

例

1. がの空でない部分集合の集合である場合、すべての に対して となる。 ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$
   • このようにすべての ${\textstyle p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}}$ ${\textstyle x\in X.}$
2. が空でない部分集合の集合であり、を満たす場合 ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle I\subseteq X}$

$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}}$$ すべてに対して ${\textstyle p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\textstyle x\in X.}$

次の例は、封じ込めが適切である可能性があることを示しています。 ${\textstyle (0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$

例:の場合、がの適切な部分集合になる可能性があることを示している。 ${\textstyle R=0}$ ${\textstyle K=X}$ ${\textstyle (0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing }$ ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,}$ ${\textstyle (0,R]K}$ ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ ${\textstyle R=0.}$ ${\textstyle \blacksquare }$

次の例は、例が任意の実数に一般化できる場合、包含が適切であることを示しています。次の例が、それがどのように起こるかの代表的なものである と仮定すると、 ${\textstyle R=1;}$ ${\textstyle R>0.}$ ${\textstyle [0,1]K\subseteq K,}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ ${\textstyle x\not \in (0,1]K.}$

例: を非ゼロとし、 とすると、 となり、 となる。 これより、となる。 これは、を含むすべての について が成り立つことを観察することから導かれる。 したがって、および ただし、となるため、希望どおりとなる。 ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle K=[0,1)x}$ ${\textstyle [0,1]K=K}$ ${\textstyle x\not \in K.}$ ${\textstyle x\not \in (0,1)K=K}$ ${\textstyle p_{K}(x)\geq 1.}$ ${\textstyle p_{K}(x)\leq 1}$ ${\textstyle e>0,}$ ${\textstyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ ${\textstyle x.}$ ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ ${\textstyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.}$ ${\textstyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ ${\textstyle x\not \in (0,1]K,}$ ${\textstyle \blacksquare }$

正同次性はミンコフスキー関数の特徴である

次の定理は、ミンコフスキー関数が、一般的に遭遇する特定の純粋に代数的な特性を持つ関数であることを示しています。 ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$

定理—任意の関数をとします。以下の文は同値です。 ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$

1. 厳密な正の同次性：の正の実数に対して ${\textstyle \;f(tx)=tf(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t>0.}$
   • この文は、すべての正の実数に対して ${\textstyle f(tx)\leq tf(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t>0.}$
2. ${\textstyle f}$はミンコフスキー関数である。つまり、 ${\textstyle S\subseteq X}$ ${\textstyle f=p_{S}.}$
3. ${\textstyle f=p_{K}}$どこ ${\textstyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$
4. ${\textstyle f=p_{V}\,}$どこ ${\textstyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.}$

さらに、never が値をとらない場合(積が常に明確に定義されるように)、このリストは次のように拡張できます。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle \,\infty \,}$ ${\textstyle 0\cdot f(x)}$

5. 正/非負同次性:すべての非負実数およびすべての実数に対して。 ${\textstyle f(tx)=tf(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t\geq 0}$

証拠

すべてと実数に対して成り立つならば、 ${\textstyle f(tx)\leq tf(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle tf(x)=tf\left({\tfrac {1}{t}}(tx)\right)\leq t{\tfrac {1}{t}}f(tx)=f(tx)\leq tf(x)}$ ${\textstyle tf(x)=f(tx).}$ (1) のみが (3) の証明を示唆する。なぜなら、その後の定理の残りは、前述のミンコフスキー関数の基本的な性質から直ちに導かれるからである。これらの性質は、以降、特に説明することなく用いる。そこで、 がすべての実数に対してとなる関数であると仮定し、 ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ ${\textstyle f(tx)=tf(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle K:=\{y\in X:f(y)\leq 1\}.}$ すべての実数の場合、例えば、どちらか 、または 、 ${\textstyle t>0,}$ ${\textstyle f(0)=f(t0)=tf(0)}$ ${\textstyle t=2}$ ${\textstyle f(0)=0}$ ${\textstyle f(0)=\infty .}$ ${\textstyle x\in X.}$ ${\textstyle f(x)=p_{K}(x).}$ ここで、 またはならば となることが示され、特に となることから、 となる。 したがって、またはのどちらの場合もすべての実数に対して となると仮定する。 ここで ならば となることから、すべての実数 に対して となる（ であるため）ことが示され、これは期待どおりとなることを意味する。同様に ならばすべての実数 に対してとなることから、これは期待どおりとなることを意味する。したがって、今後は正の実数であり となると仮定する（ただし、 となる可能性やとなる可能性はまだ排除されていないことが重要である）。 ${\textstyle f(x)=0}$ ${\textstyle f(x)=\infty }$ ${\textstyle f(x)=p_{K}(x),}$ ${\textstyle f(0)=p_{K}(0).}$ ${\textstyle f(x)=0}$ ${\textstyle f(x)=\infty ;}$ ${\textstyle f(tx)=tf(x)=f(x)}$ ${\textstyle t>0.}$ ${\textstyle f(x)=0}$ ${\textstyle tx\in K}$ ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle f(tx)=0\leq 1}$ ${\textstyle p_{K}(x)=0,}$ ${\textstyle f(x)=\infty }$ ${\textstyle tx\not \in K}$ ${\textstyle t>0,}$ ${\textstyle p_{K}(x)=\infty ,}$ ${\textstyle R:=f(x)}$ ${\textstyle x\neq 0}$ ${\textstyle p_{K}(x)}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle \,\infty \,}$ 関数がすべての実数に対してを満たす のと同様に、であることを思い出してください。したがって、 であることと であることに限ります。一般性を失うことなく であることと であることを証明する作業が残っています。 であること から、 であることが示唆されます（したがって、特に であることは保証されています）。であることを証明する作業が残っています。 であることは、 であることと であること に限ります。したがって、矛盾を避けるために であると仮定し、 と がであることとします。ただし、であることに留意してください。 であることから、 であることが示唆される とします。 ${\textstyle f,}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ ${\textstyle t>0.}$ ${\textstyle 0<{\tfrac {1}{R}}<\infty ,}$ ${\textstyle p_{K}(x)=R=f(x)}$ ${\textstyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1=f\left({\tfrac {1}{R}}x\right)}$ ${\textstyle R=1}$ ${\textstyle p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1.}$ ${\textstyle f(x)=1,}$ ${\textstyle x\in K\subseteq (0,1]K,}$ ${\textstyle p_{K}(x)\leq 1}$ ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty }$ ${\textstyle p_{K}(x)\geq 1,}$ ${\textstyle x\not \in (0,1)K.}$ ${\textstyle x\in (0,1)K}$ ${\textstyle 0<r<1}$ ${\textstyle k\in K}$ ${\textstyle x=rk,}$ ${\textstyle k\in K}$ ${\textstyle f(k)\leq 1.}$ ${\textstyle 1=f(x)=f(rk)=rf(k)\leq r<1.}$ ${\textstyle \blacksquare }$

この定理は、ミンコフスキー関数を用いて、特定のクラスの- 値写像（例えば、実数値劣線型関数）を特徴付けるために拡張することができる。例えば、この定理は、すべての実同次関数（線型関数など）が、特定の性質を持つ唯一のミンコフスキー関数を用いてどのように記述できるかを記述するために用いられる。 ${\textstyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$

星集合上のミンコフスキー関数の特徴づけ

命題^[10] —は任意の関数、は任意の部分集合とする。以下の文は同値である。 ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ ${\textstyle K\subseteq X}$

1. ${\textstyle f}$は（厳密に）正同次であり、 ${\textstyle f(0)=0,}$

   $${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$$

2. ${\textstyle f}$は、（つまり、）のミンコフスキー汎関数であり、原点を含み、原点において星型になります。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle f=p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$
   • 原点において集合が星型である場合、かつ となるときはいつでも、原点において星型である集合は、スター集合と呼ばれることがある。^[9] ${\textstyle K}$ ${\textstyle tk\in K}$ ${\textstyle k\in K}$ ${\textstyle 0\leq t\leq 1.}$

半ノルムであるミンコフスキー関数の特徴づけ

上記の記述から直ちに導かれる次の定理では、が に吸収されるとは仮定されておらず、が半ノルムであるときに が吸収されると推論されます。また、が釣り合っている（これはしばしば求められる性質ですが）ことも仮定されていません。その代わりに、 を満たすすべてのスカラーに対してが凸であるという、より弱い条件が与えられます。凸である という一般的な要件も、 が凸であるという要件のみに弱められています。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle s}$ ${\textstyle |s|=1.}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle (0,1)K}$

定理-を実ベクトル空間または複素ベクトル空間のサブセットとすると、次 の条件がすべて満たされる場合にのみ、がのセミノルムとなります。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X}$

1. ${\textstyle (0,\infty )K=X}$（または、実数値であることと同等です）。 ${\textstyle p_{K}}$
2. ${\textstyle (0,1)K}$は凸である（または同等に、劣加法である）。 ${\textstyle p_{K}}$
   • が凸型であれば十分ですが、必ずしもそうである必要はありません。 ${\textstyle K}$
3. ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$すべての単位スカラーについて ${\textstyle u.}$
   • この条件は、が釣り合っているか、より一般的にはすべての単位スカラーに対して ${\textstyle K}$ ${\textstyle uK\subseteq K}$ ${\textstyle u.}$

その場合、ととの両方は凸でバランスのとれた吸収部分集合となる。 ${\textstyle 0\in K}$ ${\textstyle (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\textstyle \bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}}$ ${\textstyle X.}$

逆に、が の半ノルムである場合、集合は上記の3つの条件（したがって結論も）をすべて満たし、さらに 、必然的に凸で、バランスが取れていて、吸収的であり、 ${\textstyle f}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\textstyle f=p_{V};}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle (0,1)V=V=[0,1]V.}$

系—が実ベクトル空間または複素ベクトル空間の凸で、均衡で、吸収的な部分集合である場合、は半ノルムである。 ${\textstyle K}$ ${\textstyle X,}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle X.}$

正の劣線形関数とミンコフスキー関数

任意の位相ベクトル空間上の実数値劣加法関数が 原点で連続であるための必要条件は、それが一様連続である場合である。ここで、加法が非負である場合、が連続であるための必要条件は、 ^[11]における開近傍である場合である。が劣加法でありを満たす 場合、が連続であるための必要条件は、その絶対値が連続である場合である。 ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle f(0)=0,}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle |f|:X\to [0,\infty )}$

非負劣線型関数は、三角不等式を満たす非負同次関数です。以下の結果から、そのような関数に対して、 が成り立つことが直ちに示されます。ミンコフスキー関数が劣線型関数と なるのは、実数値かつ劣加法性を持つ場合のみであり、これは が凸関数である場合のみに当てはまります。 ${\textstyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\textstyle f,}$ ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\textstyle f=p_{V}.}$ ${\textstyle K\subseteq X,}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ ${\textstyle (0,1)K}$

開凸集合と正連続部分線形関数の対応

定理^[11] —が実数または複素数上の位相ベクトル空間（必ずしも局所凸またはハウスドルフである必要はない）であるとする。すると、の空でない開凸部分集合は、あるとある正連続部分線型関数に対しての形をとる集合とちょうど同じである。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$ ${\textstyle z\in X}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle X.}$

証拠

を の開凸部分集合とします。もし ならばとし、そうでなければを任意とします。を のミンコフスキー関数とします。この原点の凸開近傍は を満たします。は凸、吸収、開なので、 は上の連続な部分線形関数です（ただし、は必ずしも絶対同次ではないため、半ノルムである必要はありません）。ミンコフスキー関数の性質から、次式が得られます。 から となり、したがって と なります。 これ で証明が完了します。 ${\textstyle V\neq \varnothing }$ ${\textstyle X.}$ ${\textstyle 0\in V}$ ${\textstyle z:=0}$ ${\textstyle z\in V}$ ${\textstyle p=p_{K}:X\to [0,\infty )}$ ${\textstyle K:=V-z}$ ${\textstyle (0,1)K=K.}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle V-z}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K,}$ ${\textstyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\textstyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\}.}$ ${\textstyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\},}$ ${\textstyle \blacksquare }$

参照

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• 補助正規空間
• コーシーの関数方程式 – 関数方程式
• 最良局所凸位相 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• フィンスラー多様体 – リーマン多様体の一般化
• ハドヴィガーの定理 – 積分幾何学における定理
• フーゴ・ハドヴィガー – スイスの数学者 (1908–1981)
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 形態学的画像処理 - 幾何学的構造を扱うための理論と技術Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• セミノルム – 数学関数
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

注記

1. 一般に、が の場合に限り、 であるというのは誤りである（例えば、がノルムまたはセミノルムである場合を考えてみよう）。正しい記述は、が の場合に限り、 または である、 ... ${\textstyle x\in rD}$ ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle 0<r<\infty }$ ${\textstyle x\in rD}$ ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$
2. は単位長さを持つということは ${\textstyle u}$ ${\textstyle |u|=1.}$
3. が明確に定義され、すべておよびすべてのスカラー（非ゼロのスカラーだけではなく）に対してである場合、そのマップは絶対同次であると呼ばれます。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle |s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle s}$

参考文献

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4. Narici & Beckenstein 2011、pp. 115–154。
5. Schaefer 1999、p.40を参照。
6. Narici & Beckenstein 2011、p.119-120。
7. クブルスリー 2011、200ページ。
8. シェヒター 1996、316ページより。
9. シェクター1996年、303ページ。
10. シェクター、1996 年、313–317 ページ。
11. Narici & Beckenstein 2011、pp. 192–193。

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さらに読む

• F. Simeski、AMP Boelens、M. Ihme. 「ミンコフスキー関数と分子静電モーメントによるシリカ細孔への吸着モデリング」Energies 13 (22) 5976 (2020). doi : 10.3390/en13225976 .

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