Logarithm to the base of the mathematical constant e
自然対数 自然対数関数の一部を示すグラフ。この関数は x が 増加するにつれて正の無限大へとゆっくりと増加し、 x が0 に近づくにつれて負の無限大へとゆっくりと増加します（「ゆっくり」とは、 x の 任意のべき乗則 と比較してゆっくりと増加します ）。 一般的な定義 ln x = log e x {\displaystyle \ln x=\log _{e}x} 発明の動機 双曲線求積法 応用分野 純粋数学と応用数学 ドメイン R > 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{>0}} コドメイン R {\displaystyle \mathbb {R} } 画像 R {\displaystyle \mathbb {R} } +∞での値 +∞ e での値 1 1での値 0 0の値 −∞ 漸近線 x = 0 {\displaystyle x=0} 根 1 逆 exp x {\displaystyle \exp x} デリバティブ d d x ln x = 1 x , x > 0 {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0} 反微分 ∫ ln x d x = x ( ln x − 1 ) + C {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C}
自然 対数は、 数学定数 e を 底と する 対数 であり 、eは 無理 数かつ 超越 数であり、およそ 2.718 281 828 459 。 [1] x の自然対数 は一般にln x 、 log e x と表記される が、底 e が 暗黙的に指定されている場合は、単に log x と表記されることもある。 [2] [3]分かりやすくするために 括弧 が付けられ、 ln( x ) 、 log e ( x ) 、または log( x ) と表記されることもある。これは特に対数の引数が単一の記号でない場合、曖昧さを避けるために行われる。
x の自然対数は、 e を x と等しくするために 必要な 累乗 です 。例えば、 ln 7.5 は 2.0149... です。これは e 2.0149... = 7.5だからです。 e の自然対数 ln e は1 です 。これは e 1 = e だからです。一方、 1 の自然対数は e 0 = 1 なので 0 です 。
自然対数は、任意の正の 実数 aに対して、 曲線 y = 1/ x の 下の1 から a までの面積 として定義できます [4] （ただし 、0 < a < 1 の場合には面積は負になります ）。この定義の単純さは、自然対数を含む他の多くの式にも当てはまり、「自然」という用語の由来となっています。自然対数の定義は、負の数やすべての非ゼロ 複素数 に対しても対数値を与えるように拡張できますが、これは 多価関数 となります。詳しくは 複素対数を 参照してください。
自然対数関数は、 正の実数変数の 実数値関数として考えると、指数 関数 の 逆関数 となり、次の恒等式が成り立ちます。 e ln x = x if x ∈ R + ln e x = x if x ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}
すべての対数と同様に、自然対数は正の数の乗算を加算に変換します。 [5] ln ( x ⋅ y ) = ln x + ln y . {\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}
対数は、 e だけでなく、1 以外の任意の正の底に対して定義できます 。ただし、他の底における対数は自然対数との差が定数倍のみであるため、自然対数 を用いて定義できます 。 log b x = ln x / ln b = ln x ⋅ log b e {\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}
対数は、未知数が他の量の指数として現れる方程式を解くのに役立ちます。例えば、対数は 半減期 、減衰定数、あるいは 指数関数的減衰 問題における未知数を求める際に用いられます。対数は数学や科学の多くの分野で重要であり、 複利を 含む問題を解く際にも用いられます。
歴史 自然対数の概念は、 1649年以前に グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン と アルフォンス・アントニオ・ド・サラサによって解明されました。 [6] 彼らの研究は、 双曲線 の 面積を求めることにより、 方程式 xy = 1の 双曲線の 求積法を 導き出しました。彼らの解は、現在自然対数と関連付けられている性質を持つ、 必要な「 双曲線対数 」 関数を生成しました。
自然対数に関する初期の言及は、 1668年に出版された ニコラウス・メルカトルの 著書『 ロガリトモテクニア』であるが [7] 、数学教師 ジョン・スペイデル は、1619年にすでに事実上自然対数の表を作成していた [8]。スペイデルの対数は e を底とする対数であると言われてきた が、値が 整数 として表現される複雑さのため、これは完全に真実ではない。 [8] : 152
表記規則 ln x と log e x という表記はどちらも x の自然対数を明確に表し 、明示的な底を指定しない log x も自然対数を指す場合があります。この用法は数学では一般的ですが、一部の科学的文脈や多くの プログラミング言語 でも用いられます。 [注 1] ただし、 化学 などの他の文脈では、 log x は 常用対数（底10） を表すために使用される場合があります。また、 コンピュータ サイエンス、特に 時間計算量 の文脈では、 2進対数（底2） を指す場合もあります 。
一般的に、数 xの b を底とする対数は log b x と表記されます 。つまり、 8 の 2 を底とする 対数は log 2 8 = 3 となります 。
定義 自然対数はいくつかの同等の方法で定義できます。
指数の逆数 最も一般的な定義は の逆関数 として定義される ので、 となります 。 は任意の実数入力 に対して正かつ逆関数であるため 、 のこの定義は 任意の正の x に対して明確に定義されます。 e x {\displaystyle e^{x}} e ln ( x ) = x {\displaystyle e^{\ln(x)}=x} e x {\displaystyle e^{x}} x {\displaystyle x} ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)}
積分の定義 ln a は 、曲線 f ( x ) = 1/ x の下の、 1 から a までの網掛け領域の面積です 。a が 1 より小さい場合 、面積は負の値となります。 双曲線の下の面積は対数則を満たします。ここで、 A ( s , t ) は s と t の間の双曲線の下の面積を表します 。 正の実数a の自然対数は、 方程式 y = 1/ x を満たす双曲線 のグラフの下の、 x = 1 と x = a の間の 面積 として定義されます 。これは 積分です [4] aが 内にある 場合 、その領域の 面積は負で あり、対数は負です。 ln a = ∫ 1 a 1 x d x . {\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.} ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)}
この関数は対数の基本的な乗法性を満たすので対数である： [5] ln ( a b ) = ln a + ln b . {\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}
これは、次のように、 ln ab を定義する積分を 2 つの部分に分割し、 2 番目の部分で 変数置換 x = at (つまり dx = a dt ) を行うことで実証できます。 ln a b = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 a t a d t = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln a + ln b . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}
簡単に言えば、これは 水平方向に 1/ a 、垂直方向に aだけ拡大縮小するだけです。この変換では面積は変化しませんが、 a と ab の間の領域は再構成されます。関数 a /( ax )は関数 1/ x に等しいため 、結果として得られる面積は正確に ln b となります。
すると、数 e は、 ln a = 1 となる 唯一の実数 a として定義できます。
プロパティ 自然対数には次のような数学的特性があります。
ln 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0} ln e = 1 {\displaystyle \ln e=1} ln ( x y ) = ln x + ln y for x > 0 and y > 0 {\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0} ln ( x / y ) = ln x − ln y for x > 0 and y > 0 {\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0} ln ( x y ) = y ln x for x > 0 {\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0} ln ( x y ) = ( ln x ) / y for x > 0 and y ≠ 0 {\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0} ln x < ln y for 0 < x < y {\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y} lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1} lim α → 0 x α − 1 α = ln x for x > 0 {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0} x − 1 x ≤ ln x ≤ x − 1 for x > 0 {\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0} ln ( 1 + x α ) ≤ α x for x ≥ 0 and α ≥ 1 {\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}
デリバティブ 実数値関数 としての自然対数の 微分は [ 4] で与えられる。 d d x ln x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}
自然対数のこの微分をどのように確立するかは、それが最初にどのように定義されているかによって異なります。自然対数が積分として定義されている場合、 微積分学の基本定理 の最初の部分から微分は直ちに導かれます 。 ln x = ∫ 1 x 1 t d t , {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}
一方、自然対数が（自然）指数関数の逆関数として定義されている場合、 対数の特性と指数関数の定義を使用して
導関数（ x > 0の場合）を求めることができます。
数の定義から指数関数は 次 のように定義できる。 e = lim u → 0 ( 1 + u ) 1 / u , {\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},} e x = lim u → 0 ( 1 + u ) x / u = lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 / h , {\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},} u = h x , h = u x . {\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}
すると、導関数は第一原理から求められます。 d d x ln x = lim h → 0 ln ( x + h ) − ln x h = lim h → 0 [ 1 h ln ( x + h x ) ] = lim h → 0 [ ln ( 1 + h x ) 1 h ] all above for logarithmic properties = ln [ lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 h ] for continuity of the logarithm = ln e 1 / x for the definition of e x = lim h → 0 ( 1 + h x ) 1 / h = 1 x for the definition of the ln as inverse function. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}
また、次のものもございます: d d x ln a x = d d x ( ln a + ln x ) = d d x ln a + d d x ln x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}
したがって、逆関数とは異なり 、関数内の定数は微分を変えません。 e a x {\displaystyle e^{ax}}
シリーズ ln(1 + x ) のテイラー多項式は、 −1 < x ≤ 1 の範囲でのみ正確な近似値を提供します。 x > 1 を超えると 、高次テイラー多項式はますます近似値が 低下します 。 自然対数は0で定義されないため、他の多くの基本関数とは異なり、 マクローリン級数 を持たない 。代わりに、他の点の周りのテイラー展開を求める。例えば、 次の場合 [9] ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} | x − 1 | ≤ 1 and x ≠ 0 , {\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,} ln x = ∫ 1 x 1 t d t = ∫ 0 x − 1 1 1 + u d u = ∫ 0 x − 1 ( 1 − u + u 2 − u 3 + ⋯ ) d u = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + ( x − 1 ) 3 3 − ( x − 1 ) 4 4 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( x − 1 ) k k . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}
これは1付近 の テイラー級数 である。変数変換により メルカトル級数 が得られる。
これは、 および に対して有効である。 ln x {\displaystyle \ln x} ln ( 1 + x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k x k = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ , {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,} | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1} x ≠ − 1. {\displaystyle x\neq -1.}
レオンハルト・オイラー [ 10] は、を無視し ながらも、この級数を に適用し、 調和 級数が の自然対数 、すなわち無限大の対数に等しい ことを示しました。今日では、より正式には、 Nで切断された調和級数は、 N が大きい場合、 N の対数に近く、その差は オイラー・マスケローニ定数 に収束することが証明されています 。 x ≠ − 1 {\displaystyle x\neq -1} x = − 1 {\displaystyle x=-1} 1 1 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}
この図は、 ln(1 + x ) と、その 0 付近のいくつかの テイラー多項式 の グラフです。これらの近似は、領域 -1 < x ≤ 1 でのみ関数に収束します 。この領域外では、高次テイラー多項式は 関数の より悪い近似になります。
正の整数n の場合 の便利な特殊ケースは 次のようになります。 x = 1 n {\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}} ln ( n + 1 n ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k n k = 1 n − 1 2 n 2 + 1 3 n 3 − 1 4 n 4 + ⋯ {\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }
もし そうなら Re ( x ) ≥ 1 / 2 , {\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,} ln ( x ) = − ln ( 1 x ) = − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 1 x − 1 ) k k = ∑ k = 1 ∞ ( x − 1 ) k k x k = x − 1 x + ( x − 1 ) 2 2 x 2 + ( x − 1 ) 3 3 x 3 + ( x − 1 ) 4 4 x 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}
ここで、 正の整数 n をとると、次のようになります。 x = n + 1 n {\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}} ln ( n + 1 n ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k ( n + 1 ) k = 1 n + 1 + 1 2 ( n + 1 ) 2 + 1 3 ( n + 1 ) 3 + 1 4 ( n + 1 ) 4 + ⋯ {\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }
すると 、 次の式が
得られる 。再び正の整数 n に
置換する
と 、次の式が得られる。 Re ( x ) ≥ 0 and x ≠ 0 , {\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,} ln ( x ) = ln ( 2 x 2 ) = ln ( 1 + x − 1 x + 1 1 − x − 1 x + 1 ) = ln ( 1 + x − 1 x + 1 ) − ln ( 1 − x − 1 x + 1 ) . {\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).} ln ( 1 + y ) − ln ( 1 − y ) = ∑ i = 1 ∞ 1 i ( ( − 1 ) i − 1 y i − ( − 1 ) i − 1 ( − y ) i ) = ∑ i = 1 ∞ y i i ( ( − 1 ) i − 1 + 1 ) = y ∑ i = 1 ∞ y i − 1 i ( ( − 1 ) i − 1 + 1 ) = i − 1 → 2 k 2 y ∑ k = 0 ∞ y 2 k 2 k + 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}} ln ( x ) = 2 ( x − 1 ) x + 1 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ( ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ) k = 2 ( x − 1 ) x + 1 ( 1 1 + 1 3 ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 + 1 5 ( ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ) 2 + ⋯ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}} x = n + 1 n {\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}} ln ( n + 1 n ) = 2 2 n + 1 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) ( ( 2 n + 1 ) 2 ) k = 2 ( 1 2 n + 1 + 1 3 ( 2 n + 1 ) 3 + 1 5 ( 2 n + 1 ) 5 + ⋯ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}
これは、ここで説明したシリーズの中で、これまでのところ最も速い収束です。
自然対数は無限積として表すこともできる: [11] ln ( x ) = ( x − 1 ) ∏ k = 1 ∞ ( 2 1 + x 2 k ) {\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}
2つの例は次のようになります。 ln ( 2 ) = ( 2 1 + 2 ) ( 2 1 + 2 4 ) ( 2 1 + 2 8 ) ( 2 1 + 2 16 ) . . . {\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...} π = ( 2 i + 2 ) ( 2 1 + i ) ( 2 1 + i 4 ) ( 2 1 + i 8 ) ( 2 1 + i 16 ) . . . {\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}
このアイデンティティから、次のことが簡単にわかります。 1 ln ( x ) = x x − 1 − ∑ k = 1 ∞ 2 − k x 2 − k 1 + x 2 − k {\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}
例えば： 1 ln ( 2 ) = 2 − 2 2 + 2 2 − 2 4 4 + 4 2 4 − 2 8 8 + 8 2 8 ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }
積分における自然対数 自然対数を用いると、 の形の関数の積分が簡単に行えます 。g ( x ) の 原始 微分 は で 与え られます 。これは 連鎖律 と以下の事実によるものです。 g ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}} ln ( | f ( x ) | ) {\displaystyle \ln(|f(x)|)} d d x ln | x | = 1 x , x ≠ 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}
言い換えれば、を含まない実数直線上の区間を積分すると 、 Cは 積分の任意定数 である 。 [ 12] x = 0 {\displaystyle x=0} ∫ 1 x d x = ln | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}
同様に、積分が の区間にわたる場合 、 f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0}
∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C . {\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.} たとえば、が無限大と なる点を含まない区間での の積分を考えます 。 tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)} tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)} ∫ tan x d x = ∫ sin x cos x d x = − ∫ d d x cos x cos x d x = − ln | cos x | + C = ln | sec x | + C . {\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}
自然対数は 部分積分 を使って積分することができます。 ∫ ln x d x = x ln x − x + C . {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}
すると : u = ln x ⇒ d u = d x x {\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}} d v = d x ⇒ v = x {\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x} ∫ ln x d x = x ln x − ∫ x x d x = x ln x − ∫ 1 d x = x ln x − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}
効率的な計算 x > 1 の 場合、 x の値が 1 に近いほど、1 を中心とするテイラー級数の収束速度が速くなります。対数に関連付けられた恒等式を利用してこれを利用できます。 ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} ln 123.456 = ln ( 1.23456 ⋅ 10 2 ) = ln 1.23456 + ln ( 10 2 ) = ln 1.23456 + 2 ln 10 ≈ ln 1.23456 + 2 ⋅ 2.3025851. {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}
このような技術は、計算機が登場する以前から、数値表を参照したり、上記のような操作を行ったりして使用されていました。
10の自然対数 10の自然対数はおよそ 2.302 585 09 [13]は 、 例えば科学的記数法 で表された数値の自然対数の計算において 、 仮数部 に10の累乗を掛けたものとして役立ちます。 ln ( a ⋅ 10 n ) = ln a + n ln 10. {\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}
これは、[1, 10) の範囲内の比較的小さな小数の対数を使用して、非常に大きい数または非常に小さい 数 の対数を効果的に計算できることを意味します 。
高精度 自然対数を高桁精度で計算する場合、テイラー級数法は収束が遅いため効率的ではありません。特に xが1に近い場合、指数関数の逆関数を求める際に ハレー法 または ニュートン法 を用いるのが良い代替策です。指数関数の級数の方が収束が速いためです。ハレー法を用い て y の値を 、あるいはそれと同等のニュートン法を用いて を求める場合、反復計算は へ と簡略化されます
。 これはに 3 次収束します。 exp ( y ) − x = 0 {\displaystyle \exp(y)-x=0} exp ( y / 2 ) − x exp ( − y / 2 ) = 0 {\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0} y n + 1 = y n + 2 ⋅ x − exp ( y n ) x + exp ( y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}} ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)}
極めて高精度な計算を行うためのもう一つの方法は、式 [14] [15] です。
ここで、 M は 1 と 4/ s の算術幾何平均 を表し 、 m は p ビットの精度が得られるように選ばれます。(ほとんどの場合、 m の値は 8 で 十分です。) 実際、この方法を用いると、逆に自然対数のニュートン逆変換を用いて指数関数を効率的に計算することも可能です。(定数 と π は 、いくつかの既知の収束の速い級数のいずれかを用いて、必要な精度に事前に計算しておくことができます。) あるいは、次の式を用いることもできます。 ln x ≈ π 2 M ( 1 , 4 / s ) − m ln 2 , {\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,} s = x 2 m > 2 p / 2 , {\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},} ln 2 {\displaystyle \ln 2} ln x = π M ( θ 2 2 ( 1 / x ) , θ 3 2 ( 1 / x ) ) , x ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}
ヤコビシータ関数 はここに ある 。 [16] θ 2 ( x ) = ∑ n ∈ Z x ( n + 1 / 2 ) 2 , θ 3 ( x ) = ∑ n ∈ Z x n 2 {\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}
ウィリアム・カーハン の提案に基づき、1979 年に ヒューレット・パッカード HP-41C 電卓で初めて実装された (画面上では "LN1" とのみ表記) 電卓、 オペレーティング システム( バークレー UNIX 4.3BSD [17] など )、 数式処理システム 、プログラミング言語 ( C99 [18] など) には、特別な 自然対数プラス 1 関数 (別名 LNP1 [ 19] [20] または log1p [18] ) が用意されています。これらの関数は、0 に近い対数に対してより正確な結果を得るために、0 に近い引数 x を関数 log1p( x ) に渡し、値 ln(1+ x ) を返すようにします (1 に近い値 y を 関数 ln( y ) に渡す代わりに)。 [18] [19] [20] 関数 log1pは 、浮動小数点演算において、自然対数のテイラー展開の2番目の項と絶対値1の項がほぼ相殺されるのを防ぎます。これにより、引数、結果、そして中間ステップがすべてゼロに近づき、浮動小数点数として最も正確に表現できるようになります。 [19] [20]
IEEE 754-2008標準では、 e を底とするほか 、 2 進対数 と 10 進対数 に対して 1 付近の同様の対数関数として 、 log 2 (1 + x ) と log 10 (1 + x ) を定義しています。
同様の逆関数として「 expm1 」 [18] 、 「expm」 [19] 、[20] 、「exp1m」も存在し、いずれも expm1( x ) = exp( x ) − 1 の意味を持つ 。 [注2]
逆双曲正接 に関する恒等式は 、 log1p( x ) を実装していないシステム上で、 x の小さな値に対して高精度の値を与えます 。 l o g 1 p ( x ) = log ( 1 + x ) = 2 a r t a n h ( x 2 + x ) , {\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}
計算の複雑さ 算術幾何平均 （上記2つの方法） を用いた自然対数の計算にかかる 計算量 はです 。ここで、 n は自然対数を評価する精度の桁数であり、 M ( n )は2つの n 桁の数値を乗算する計算量です 。 O ( M ( n ) ln n ) {\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}
連分数 単純な連分数 は利用できませんが 、 次のようないくつかの一般化された連分数 が存在します。 ln ( 1 + x ) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 − ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + 4 2 x 5 − 4 x + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}} ln ( 1 + x y ) = x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱ = 2 x 2 y + x − ( 1 x ) 2 3 ( 2 y + x ) − ( 2 x ) 2 5 ( 2 y + x ) − ( 3 x ) 2 7 ( 2 y + x ) − ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}
これらの連分数、特に最後の連分数は、1 に近い値に対して急速に収束します。ただし、はるかに大きな数の自然対数は、小さな数の自然対数を繰り返し加算することで簡単に計算でき、同様に急速に収束します。
たとえば、2 = 1.25 3 × 1.024 なので、 2 の自然対数は 次のように計算できます。 ln 2 = 3 ln ( 1 + 1 4 ) + ln ( 1 + 3 125 ) = 6 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ + 6 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}
さらに、10 = 1.25 10 × 1.024 3 なので、10の自然対数も同様に計算できます。 自然対数の逆数は次のように書くこともできます。 ln 10 = 10 ln ( 1 + 1 4 ) + 3 ln ( 1 + 3 125 ) = 20 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ + 18 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}} 1 ln ( x ) = 2 x x 2 − 1 1 2 + x 2 + 1 4 x 1 2 + 1 2 1 2 + x 2 + 1 4 x … {\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }
例えば： 1 ln ( 2 ) = 4 3 1 2 + 5 8 1 2 + 1 2 1 2 + 5 8 … {\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }
複素対数 指数関数は、任意の複素数 z に対して e z という複素数 を与える関数に拡張できます。 x = z complexの無限級数を用いるだけです 。この指数関数を逆関数にすることで、通常の対数の特性のほとんどを示す複素対数を得ることができます。ただし、2つの問題があります。e x = 0 となる x は存在しないこと、そして e 2 iπ = 1 = e 0 となることです 。複素指数関数でも乗法性は成立するため、 すべての複素数 z と整数 kに対して、 e z = e z +2 kiπ が 成立します。
したがって、対数は 複素平面 全体に対して定義することはできず、定義できたとしても 多価である。つまり、任意の複素対数は、任意の 2 iπ の整数倍を加えることで、「等価な」対数に変換できる。複素対数は、 切断平面 上では単価である 。例えば、 ln i = iπ / 2 または 5 インチ / 2 または − 3 π / 2 など。また、 i 4 = 1 ですが、4 ln i は 2 iπ 、 10 iπ 、または −6 iπ などと定義することもできます 。
参照
注記
参考文献 ^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA001113 (eの10進展開)」. オンライン整数シーケンス百科事典 . OEIS財団. ^ ハーディ, GH; ライト, EM (1975). 『数論入門』 （第4版）. オックスフォード. 1.7 項の脚注: 「 log x は、もちろん、e を底とする x の「ネイパー」対数です。「常用」対数には数学的な興味はありません 。」 ^ モーティマー, ロバート G. (2005). 物理化学のための数学（第3版）. アカデミック・プレス . p. 9. ISBN 0-12-508347-5 。 9ページの抜粋 ^ abc Weisstein, Eric W. 「自然対数」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月29日 閲覧 。 ^ ab 「ルール、例、および公式」。対数。 ブリタニカ百科事典 。 2020年8月29日 閲覧。 ^ バーン、RP (2001)。 「アルフォンス・アントニオ・デ・サラサと対数」。 ヒストリア マセマティカ 。 28 : 1–17 . 土井 :10.1006/hmat.2000.2295。 ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (2001年9月). 「数e」. The MacTutor History of Mathematics archive . 2009年2月2日 閲覧 。 ^ ab Cajori, Florian (1991). 『数学史』（第5版）. AMS Bookstore. p. 152. ISBN 0-8218-2102-4 。 ^ Math2.orgの「対数展開」 ^ レオンハルト・オイラー 、『Analysin Infinitorum』の紹介。トーマス・プリムス。ブスケ、ローザンヌ、1748 年。Exemplum 1、p. 228;出演作品: オペラ オムニア、シリーズ プリマ、オペラ マセマティカ、ヴォリューン オクタヴム、トイブナー 1922 ^ RUFFA, Anthony. 「無限級数恒等式を生成する手順」 （PDF） . International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 2022年2月27日 閲覧 。 （3654ページ、式2.6） ^ 詳細な証明については、たとえば、George B. Thomas, Jr と Ross L. Finney 著、 『Calculus and Analytic Geometry 』第 5 版、Addison-Wesley 1979 年、第 6-5 節、305-306 ページを参照してください。 ^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA002392（10の自然対数の10進展開）」. オンライン整数シーケンス百科事典 . OEIS財団. ^ Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982). 「log(x) の実用的に高速な多重精度評価」 Journal of Information Processing . 5 (4): 247– 250 . 2011年3月30日 閲覧。 ^ Ahrendt, Timm (1999). 「指数関数の高速計算」. Stacs 99. コンピュータサイエンス講義ノート. 第1564巻. pp. 302– 312. doi :10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN 978-3-540-65691-3 。 ^ ボルウェイン、ジョナサン・M.; ボルウェイン、ピーター・B. (1987). 円周率とAGM：解析的数論と計算複雑性の研究 （初版）. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。 225ページ ^ Beebe, Nelson HF (2017-08-22). 「第10.4章 1に近い対数」. 『数学関数計算ハンドブック - MathCWポータブルソフトウェアライブラリを用いたプログラミング』 （第1版）. ソルトレイクシティ、ユタ州、米国: Springer International Publishing AG . pp. 290– 292. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6 LCCN 2017947446. S2CID 30244721. 1987年、Berkeley UNIX 4.3BSDはlog1p()関数を導入した 。 ^ abcd Beebe, Nelson HF (2002-07-09). 「expm1 = exp(x)−1 の計算」 (PDF) . 1.00. ソルトレイクシティ、ユタ州、米国: ユタ大学 数学科、科学計算センター. 2015年11月2日 閲覧 。 ^ abcd HP 48Gシリーズ – 上級ユーザーズリファレンスマニュアル (AUR) (第4版). Hewlett-Packard . 1994年12月 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . 2015年9月6日 閲覧。 ^ abcd HP 50g / 49g+ / 48gII グラフ電卓 上級ユーザーズリファレンスマニュアル (AUR) (第2版). Hewlett-Packard . 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010 . 2015年10月10日 閲覧。 検索可能なPDF
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7210259ed243c3b86451e39eb2b50dccc7832e1)
![{\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196be723b66e16fed1cf00d43cc450d2e93468d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{対数特性については上記すべて}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{対数の連続性}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{逆関数としてのlnの定義について。}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e12dece20904dd40cd69415a900d0ee66e36793)
![{\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a685fc50f560fbfd45cd8c625c839137a0cb42)
![{\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b509b3f7ce72ef554df0dfb48f10dbdc772055)
![{\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438561a80d9075271b2dcd15bea94412d2683e69)
![{\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def29e93c87165f8547949c7e10896c45dc22d2f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f9f9bda019d60b5ac5d5fd29ea2dd952c5b90a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90abfa2132828fc8eea5d3551dfa4df25dbdfa87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc10de9595aca079ef56e7b76a2a23af56e453da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931b5e1a786450547bd77e466677d9a983974886)
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