プロカアクション

Action of a massive abelian gauge field

物理学、特に場の理論と素粒子物理学において、プロカ作用（Proca Action）は、ミンコフスキー時空における質量mのスピン -1の質量場を記述する。これに対応する方程式は、プロカ方程式と呼ばれる相対論的波動方程式である。^[1]プロカ作用と方程式は、ルーマニアの物理学者アレクサンドル・プロカにちなんで名付けられている。

プロカ方程式は標準モデルに関係しており、そこでは3つの質量を持つベクトルボソン、つまりZボソンとWボソンを記述します。

この記事では、4次元ベクトルの言語で(+−−−)メトリックシグネチャとテンソルインデックス表記を使用します。

ラグランジアン密度

関係する場は複素4次元ポテンシャル であり、は一種の一般化電位、は一般化磁気ポテンシャルである。この場は複素4次元ベクトルのように変換される。 ${\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle B^{\mu }}$

ラグランジアン密度は次のように与えられる: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

ここで、 は真空中の光速、は換算プランク定数、 は4 次元勾配です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

方程式

この場合のオイラー・ラグランジュの運動方程式は、プロカ方程式とも呼ばれ、次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }{\Bigl (}\ \partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }\ {\Bigr )}+\left({\frac {\ m\ c\ }{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

^これは[3]と共役同値である。

${\displaystyle \left[\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {\ m\ c\ }{\hbar }}\right)^{2}\ \right]B^{\nu }=0}$

そして（質量ゼロの場合）は次のように帰着する。 ${\displaystyle \ m=0\ }$

${\displaystyle \ \partial _{\nu }B^{\nu }=0\ ,}$

これは一般化ローレンツゲージ条件と呼ぶことができる。すべての基本定数を含む非ゼロ源の場合、場の方程式は次のようになる。

${\displaystyle c\ \mu _{0}\ j^{\nu }\;=\;\left[\ g^{\mu \nu }\left(\partial _{\sigma }\partial ^{\sigma }+{\frac {\ m^{2}\ c^{2}\ }{\ \hbar ^{2}}}\right)-\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\ \right]B_{\mu }\ }$

電源自由方程式が電荷や電流のないマクスウェル方程式に帰着し、上記がマクスウェル電荷方程式に帰着する場合。このプロカ場方程式は、空間と時間に関して2次の方程式であるため、クライン・ゴルドン方程式と密接に関連しています。 ${\displaystyle \ m=0\ ,}$

ベクトル計算表記法では、ソースフリー方程式は次のようになります。

${\displaystyle \ \Box \ \phi -{\frac {\ \partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\ \partial \phi \ }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)~=~-\left({\frac {\ m\ c\ }{\hbar }}\right)^{2}\phi \ }$

${\displaystyle \ \Box \ \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{\ c^{2}}}\ {\frac {\ \partial \phi \ }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)~=~-\left({\frac {\ m\ c\ }{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \ }$

はダランベール演算子です。 ${\displaystyle \ \Box \ }$

ゲージ固定

プロカ作用は、ヒッグス機構を介してゲージ固定されたシュテッケルベルク作用である。プロカ作用を量子化するには、第二級制約を用いる必要がある。

それらが電磁気学のゲージ変換に対して不変でない場合 ${\displaystyle \ m\neq 0\ ,}$

${\displaystyle \ B^{\mu }\mapsto B^{\mu }-\partial ^{\mu }f\ }$

ここでは任意の関数です。 ${\displaystyle \ f\ }$

参照

• 電磁場
• 光子
• 量子電気力学
• 量子重力
• ベクトルボソン
• 相対論的波動方程式
• クライン・ゴルドン方程式（スピン0）
• ディラック方程式（スピン1/2）

参考文献

1. 素粒子物理学（第2版）、BR Martin、G. Shaw、Manchester Physics、John Wiley & Sons、2008年、ISBN 978-0-470-03294-7
2. W. Greiner、「相対論的量子力学」、Springer、p. 359、ISBN 3-540-67457-8
3. Parker, CB編 (1994). 「共役同値性」. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (第2版). ニューヨーク: McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3。

さらに読む

• 超対称性の解明、P.ラベル、マグロウヒル（米国）、2010年、ISBN 978-0-07-163641-4
• 量子場理論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8
• 量子力学の謎を解き明かす、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145546 9

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