Generalization of topological interior
数学の一分野である関数解析 において 、 ベクトル空間 のサブセットの代数 的内部 または 放射状核は、 内部 の概念を洗練させたものです 。
意味 がベクトル空間のサブセットである と仮定する。 に対する の代数 的内部
（ または ラジアルカーネル ） は、 が ラジアルセット である におけるすべての点の集合である 。点はの 内部点 と呼ばれ、 [2] で あり、 任意の に対して と なる実数が存在する とき、 で ラジアル であるとされる。
この最後の条件は とも書くことができる。 ここで、集合
は から 始まり で終わる
線分（または閉区間）であり、この
線分は のサブセットであり、 そのサブセットでは から の方向 （つまり、 に平行/ の並進）に放射状 に伸びる 放射線 が から始まる。したがって幾何学的には、サブセットの内点 は 、あらゆる可能な方向（ベクトル）において から始まり その方向に向かう （非退化の）線分（つまり、 放射線 のサブセット ）が含まれるという特性を持つ点である。 の代数的内部 （ に関して ）は、そのような点すべての集合である。つまり、それ は A {\displaystyle A} X . {\displaystyle X.} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} a 0 ∈ A {\displaystyle a_{0}\in A} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} a 0 {\displaystyle a_{0}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} t x > 0 {\displaystyle t_{x}>0} t ∈ [ 0 , t x ] , {\displaystyle t\in [0,t_{x}],} a 0 + t x ∈ A . {\displaystyle a_{0}+tx\in A.} a 0 + [ 0 , t x ] x ⊆ A {\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A} a 0 + [ 0 , t x ] x := { a 0 + t x : t ∈ [ 0 , t x ] } {\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}} a 0 {\displaystyle a_{0}} a 0 + t x x ; {\displaystyle a_{0}+t_{x}x;} a 0 + [ 0 , ∞ ) x , {\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,} a 0 {\displaystyle a_{0}} x {\displaystyle x} [ 0 , ∞ ) x {\displaystyle [0,\infty )x} A {\displaystyle A} a 0 ∈ A {\displaystyle a_{0}\in A} x ≠ 0 , {\displaystyle x\neq 0,} A {\displaystyle A} a 0 {\displaystyle a_{0}} a 0 + [ 0 , ∞ ) x {\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X}
が の線型部分空間である 場合 、この定義は に関する の代数的内部 に一般化できます 。 では 常に が成り立ち、 の場合、 は の アフィン 包 です (これは に等しい )。 M {\displaystyle M} X {\displaystyle X} A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} aint M A := { a ∈ X : for all m ∈ M , there exists some t m > 0 such that a + [ 0 , t m ] ⋅ m ⊆ A } . {\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ for all }}m\in M,{\text{ there exists some }}t_{m}>0{\text{ such that }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.} aint M A ⊆ A {\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A} aint M A ≠ ∅ {\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing } M ⊆ aff ( A − A ) , {\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),} aff ( A − A ) {\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)} A − A {\displaystyle A-A} span ( A − A ) {\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}
代数的閉包
ポイント は x ∈ X {\displaystyle x\in X} 部分集合から 線形アクセス可能で あるとは、 線分 に含まれる を意味する。 の に関する 代数的閉包は
、 （ および ） から線形アクセス可能な A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} a ∈ A {\displaystyle a\in A} [ a , x ) := a + [ 0 , 1 ) ( x − a ) {\displaystyle [a,x):=a+[0,1)(x-a)} A . {\displaystyle A.} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} acl X A , {\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A . {\displaystyle A.}
代数的内部（コア） 集合 が M := X , {\displaystyle M:=X,} aint X A {\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A} 代数的内部 または の 核 A {\displaystyle A} であり、またはで 表されます
。正式には、が ベクトル空間である場合、の代数的内部 は [6] A i {\displaystyle A^{i}} core A . {\displaystyle \operatorname {core} A.} X {\displaystyle X} A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} aint X A := core ( A ) := { a ∈ A : for all x ∈ X , there exists some t x > 0 , such that for all t ∈ [ 0 , t x ] , a + t x ∈ A } . {\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}
Aが X において 代数的に開い ているとは 以下のときである。 A = aint X A {\displaystyle A=\operatorname {aint} _{X}A}
が空でない場合、これらの追加の部分集合は、凸関数解析における多くの定理（ ウルシェスクの定理 など ）の記述にも役立ちます。 A {\displaystyle A}
i c A := { i A if aff A is a closed set, ∅ otherwise {\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
i b A := { i A if span ( A − a ) is a barrelled linear subspace of X for any/all a ∈ A , ∅ otherwise {\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
が フレシェ空間 、 が凸、 が 閉じている 場合、 となり ます が、一般に が空 でない 間 に となる可能性があります 。 X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} aff A {\displaystyle \operatorname {aff} A} X {\displaystyle X} i c A = i b A {\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A} i c A = ∅ {\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing } i b A {\displaystyle {}^{ib}A}
例 もし、 しかし 、 そして A = { x ∈ R 2 : x 2 ≥ x 1 2 or x 2 ≤ 0 } ⊆ R 2 {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}} 0 ∈ core ( A ) , {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),} 0 ∉ int ( A ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)} 0 ∉ core ( core ( A ) ) . {\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}
コアの特性 仮定する A , B ⊆ X . {\displaystyle A,B\subseteq X.}
一般に、が 凸集合 である 場合は、 次のようになります。 core A ≠ core ( core A ) . {\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).} A {\displaystyle A} core A = core ( core A ) , {\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),} そして その時 すべてのために x 0 ∈ core A , y ∈ A , 0 < λ ≤ 1 {\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1} λ x 0 + ( 1 − λ ) y ∈ core A . {\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.} A {\displaystyle A} が実ベクトル空間の 吸収部分集合 となるのは、 [3] 0 ∈ core ( A ) . {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).} A + core B ⊆ core ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)} A + core B = core ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)} もし B = core B . {\displaystyle B=\operatorname {core} B.} 凸集合の核と代数的閉包は、どちらも凸である。 が凸なら
ば 、 線分は に含まれる。 C {\displaystyle C} c ∈ core C , {\displaystyle c\in \operatorname {core} C,} b ∈ acl X C {\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C} [ c , b ) := c + [ 0 , 1 ) b {\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b} core C . {\displaystyle \operatorname {core} C.}
位相的内部との関係 を位相ベクトル空間 とし 、 内部演算子を表すと、次のように なります 。 X {\displaystyle X} int {\displaystyle \operatorname {int} } A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X}
int A ⊆ core A {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A} が凸で 有限次元の 場合、 A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} int A = core A . {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.} が凸で内部が空でない 場合、 [8] A {\displaystyle A} int A = core A . {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.} が閉凸集合で 完備距離空間 である 場合 、 [9] A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} int A = core A . {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}
相対代数的内部 のとき 、集合 は で表され、それは の相対代数的内部 と呼ばれます この名前は、 のときかつその場合に限り 、 であり ( ただし のときかつその場合に限り) であるという事実に由来します 。 M = aff ( A − A ) {\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)} aint M A {\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A} i A := aint aff ( A − A ) A {\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A} A . {\displaystyle A.} a ∈ A i {\displaystyle a\in A^{i}} aff A = X {\displaystyle \operatorname {aff} A=X} a ∈ i A {\displaystyle a\in {}^{i}A} aff A = X {\displaystyle \operatorname {aff} A=X} aff ( A − A ) = X {\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}
相対的な内部 が位相ベクトル空間のサブセットである 場合 、 の 相対内部 はセットです。
つまり、 は、を 含む 最小のアフィン線形サブスペースであるA の位相内部です 。次のセットも便利です。 A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} rint A := int aff A A . {\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.} aff A , {\displaystyle \operatorname {aff} A,} X {\displaystyle X} A . {\displaystyle A.} ri A := { rint A if aff A is a closed subspace of X , ∅ otherwise {\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
準相対内部 が位相ベクトル空間の部分集合である 場合 、 の 準相対内部 は集合 A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} qri A := { a ∈ A : cone ¯ ( A − a ) is a linear subspace of X } . {\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}
ハウスドルフ 有限次元位相ベクトル空間 において、 qri A = i A = i c A = i b A . {\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}
参照
参考文献
^ John Cook (1988年5月21日). 「線形位相空間における凸集合の分離」 (PDF) . 2012年 11月14日 閲覧 。 ^ ab ヤシュケ、ステファン;クヒラー、ウーヴェ (2000)。 「一貫したリスク尺度、評価限界、および ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )-ポートフォリオの最適化」 (PDF) 。 ^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). 関数解析I：線型関数解析 . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6 。 ^ カントロヴィッツ、シュムエル (2003). 『現代分析入門 』 オックスフォード大学出版局 . p. 134. ISBN 9780198526568 。 ^ ボナンズ、J.フレデリック; シャピロ、アレクサンダー（2000年）、最適化問題の摂動分析、シュプリンガー・オペレーションズ・リサーチ・シリーズ、シュプリンガー、注釈2.73、p.56、 ISBN 9780387987057 。
参考文献
スペース
定理 オペレーター 代数 未解決の問題 アプリケーション 高度なトピック
基本概念 主な結果 地図 セットの種類 集合演算 TVSの種類
![{\displaystyle t\in [0,t_{x}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16747de8b50f297e31f0faf306bcf29f99e1c6de)
![{\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d323d0ede0d16ed6bc6a2f9ed7d85d98f74ceec)
![{\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358073de6ecb8ba88644038fc85a7285175a7939)
![{\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ すべての }}m\in M に対して、{\text{ }}t_{m}>0{\text{ が存在し、 }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\} が成り立ちます。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7d7d28ade91c5aa4bd325442fb718c38360cc6)
![{\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ すべての }}x\in X に対して、{\text{ 何らかの }}t_{x}>0,{\text{ が存在し、すべての }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\} に対して、}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0b62d222e43648babc5681d1080467daae7f1d)
