Generalized sphere of dimension n (mathematics)
直交投影 としての2球ワイヤーフレーム ステレオ投影が 球面を平面に投影できる のと同様に、 三次元球面を 三 次元空間に投影することもできます 。この画像は、 三 次元空間に投影された3つの座標方向、すなわち緯線（赤）、 経線（青）、および超経線（緑）を示しています。ステレオ投影の 等角 性により、曲線は4次元と同様に互いに直交して交差します（黄色の点）。すべての曲線は円であり、 ⟨0,0,0,1⟩と 交差する曲線は 無限大の半径（＝直線）を持ちます。 数学 において 、 n 球面 または 超球面 は 、n 次元 円 と n 次元 球面 を 任意 の n {\displaystyle n} 非負 整数 に 一般 化 した もの です 。 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} n {\displaystyle n}
円は 1 次元 、球は 2 次元で あると考えられます。これは、それらの内部の点がそれぞれ 1 と 2 の自由度を持つためです。ただし、 1 次元の円の典型的な 埋め込みは 2 次元空間にあり、2 次元の球は通常 3 次元空間 に埋め込まれて描画され、一般的な -球は n {\displaystyle n} - 次元 n + 1 {\displaystyle n+1} 空間に埋め込まれます。 超 球という用語は、一般的に - 次元の球を区別するために使用されます 。これらの球は n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} - 次元 n + 1 ≥ 4 {\displaystyle n+1\geq 4} の空間に埋め込まれている ため、簡単に視覚化することはできません。 - 球は - n {\displaystyle n} 次元 の 球面幾何学 の n {\displaystyle n} 設定です 。
次元 ユークリッド空間 に埋め込まれた 超曲面 として外部的に考えると、 球面 は、与えられた 中心 点から等距離 （ 半径 ）にある 点 の 軌跡 です 。その 内部は 、半径よりも中心に近いすべての点から成り、 次元 球体 です。特に、 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} n {\displaystyle n} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)}
0 {\displaystyle 0} -球面は、 線分 ( 1 {\displaystyle 1} -球)の両端にある点のペアです 。 1 {\displaystyle 1} 球は 円 で あり、 2次元 平面内の 円盤 （ 球）の 円周 です。 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle 2} 球面は 、単に球面と呼ばれることが多く、 3 次元空間 における 球体の 境界 です。 3 {\displaystyle 3} 3 -球面 は、 4次元空間 における - 球 4 {\displaystyle 4} の境界です 。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -球面は - n {\displaystyle n} 球の境界です 。 デカルト座標系 が与えられた場合 、 半径 の 単位 球面 n {\displaystyle n} は 次 1 {\displaystyle 1} のように定義できます 。
S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = 1 } . {\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.} 本質的に考えると、 の n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} とき、 -球面は正の n {\displaystyle n} 定曲率 の リーマン多様体 であり 、 向き付け可能 である。 -球面の 測地線は 大円と 呼ばれる 。 n {\displaystyle n}
立体 射影は 、無限遠に単一の隣接 点を持つ -球面を n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} -空間に 写像します 。これにより定義された 測定基準 の下では、 - 球面のモデルとなります 。 R n ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}} n {\displaystyle n}
より一般的な位相 幾何学の設定では 、 単位 -球面に 同相な 位相 空間は - 球面 と呼ばれます 。逆立体射影の下では、 -球面は - 空間 の 一点コンパクト化 です。 - 球面は、他のいくつかの位相的記述を受け入れます。たとえば、2 つの 次元空間を接着したり、 -立方体 の境界を 点と同一視したり、(帰納的に) - 球面の 懸架 を形成したりすることで構築できます。 が 単連結 である場合 、 - 球面 (円) は単連結ではなく、 -球面は連結されておらず、2 つの離散的な点から構成されます。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0}
説明 任意の自然数 n {\displaystyle n} に対して 、半径 の -球面は、 n {\displaystyle n} 次元 ユークリッド 空間 内 の点の集合として定義され、その点は ある固定点 から距離 にあります。ここで は 任意の正の 実数 、 は 次元空間内の任意の点です 。具体的には、 r {\displaystyle r} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} r {\displaystyle r} c {\displaystyle \mathbf {c} } r {\displaystyle r} c {\displaystyle \mathbf {c} } ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)}
0-球面は2点のペアであり 、 線分 { c − r , c + r } {\displaystyle \{c-r,c+r\}} （ -球面）の 境界 です 1 {\displaystyle 1} 。 1 球面は 、 半径 、 中心 の 円 であり、円板 ( 球)の境界です 。 r {\displaystyle r} c {\displaystyle \mathbf {c} } 2 {\displaystyle 2} 2 次元球面 は 、次元 ユークリッド 空間内の 通常の 2 {\displaystyle 2} 次元 球面であり、通常の球面 ( 球面)の境界です 。 3 {\displaystyle 3} 3 {\displaystyle 3} 3 球面 は、 次元ユークリッド空間内の 3 {\displaystyle 3} 次元球面 です 。 4 {\displaystyle 4}
直交座標 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 空間 ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})} 内の点の集合は、 n {\displaystyle n} 球面 S n ( r ) {\displaystyle S^{n}(r)} を定義し 、次の式で表されます。
r 2 = ∑ i = 1 n + 1 ( x i − c i ) 2 , {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},} ここで 、 c = ( c 1 , c 2 , … , c n + 1 ) {\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})} は中心点、 r {\displaystyle r} は半径です。
上記の -球面は n {\displaystyle n} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -次元ユークリッド空間に存在し、 n {\displaystyle n} - 多様体 の例である 。 半径 の -球面 の 体積 形式 は 次 ω {\displaystyle \omega } のように与えられる 。 n {\displaystyle n} r {\displaystyle r}
ω = 1 r ∑ j = 1 n + 1 ( − 1 ) j − 1 x j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x j − 1 ∧ d x j + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 = ⋆ d r {\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr} ここでは ホッジスター演算子 である。この式の の場合の議論と証明については、Flanders (1989, §6.1) を参照のこと 。結果として、 ⋆ {\displaystyle {\star }} r = 1 {\displaystyle r=1}
d r ∧ ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 . {\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
n -ボール - n {\displaystyle n} 球面に囲まれた空間は ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} - 球面 と呼ばれます 。 -球面が ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} - 球面 を含む場合、その球面は 閉球面と 呼ばれ 、 含まない場合は 開球面 と 呼ばれます。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
具体的には：
- 1 {\displaystyle 1} 球 、 つまり 線分は 、0 球の内部です。 - 2 {\displaystyle 2} ボール 、 ディスクは 、 円 ( - 1 {\displaystyle 1} 球)の内部にあります 。 - 3 {\displaystyle 3} ボール 、 つまり通常の ボールは、 球 ( - 2 {\displaystyle 2} 球)の内部にあります 。 - 4 {\displaystyle 4} 球は 3 - 球 の内部 などです 。
位相的記述 位相的に 、 - 球面は n {\displaystyle n} - 次元 ユークリッド空間の 一点コンパクト化 として構成できます 。簡単に言うと、 - 球面は - 次元 ユークリッド空間に全方向の無限大を表す一点を加えたもので ある と記述できます 。特に、 - 球面から一点を除去すると、 -球面は と同相になります 。 これ は 、 立体射影 の基礎となります 。 [1] n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} S n = R n ∪ { ∞ } {\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
体積と面積 を S n − 1 {\displaystyle S_{n-1}} 次元ユークリッド空間に埋め込まれた半径 の 単位 - 球 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} の 表面積とし 、 をその内部にある単位 -球体の体積とします。任意の - 球体の表面積は半径の 乗に比例し、任意の - 球体の体積は半径の 乗 に比例します。 1 {\displaystyle 1} n {\displaystyle n} V n {\displaystyle V_{n}} n {\displaystyle n} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
半径 1の n球の 体積 ( V n {\displaystyle V_{n}} ) と 表面積 ( S n − 1 {\displaystyle S_{n-1}} ) のグラフ 。 0 {\displaystyle 0} 球体 は単一の点として定義されることもあります。 次元 0 {\displaystyle 0} ハウス ドルフ測度 は集合内の点の数です。つまり
V 0 = 1. {\displaystyle V_{0}=1.} 単位 -球とは、長さ 1 {\displaystyle 1} の 区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 内に単一の座標を持つ点を持つ線分であり、 - 球はその 2 つの端点から構成され、座標 を持ちます。 2 {\displaystyle 2} 0 {\displaystyle 0} { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}}
S 0 = 2 , V 1 = 2. {\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.} 単位 1 {\displaystyle 1} -球面はユークリッド平面内の 単位円 であり、その内部は 単位円板 （ 2 {\displaystyle 2} -球）です。
S 1 = 2 π , V 2 = π . {\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .} 3次元空間 における 2次元球面 の内部は 単位 球体 です 。 3 {\displaystyle 3}
S 2 = 4 π , V 3 = 4 3 π . {\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .} 一般に、 S n − 1 {\displaystyle S_{n-1}} と は、 V n {\displaystyle V_{n}} 次の式で閉じた形で与えられます。
S n − 1 = 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) , V n = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}} ここで 、 は Γ {\displaystyle \Gamma } ガンマ関数 です 。 Γ {\displaystyle \Gamma } の半整数値には、 分子の係数を打ち消す の係数が含まれていることに注意してください。 π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
n {\displaystyle n} が無限大に近づくにつれて、単位 - n {\displaystyle n} 球体の体積（半径 の n {\displaystyle n} -球体の体積 と 辺の長さ の -立方体 の体積の比）はゼロに近づきます。 [2] 1 {\displaystyle 1} n {\displaystyle n} 1 {\displaystyle 1}
再発 半径 の 球の境界における 球の表面積、または正確には 次元の体積は、 微分 方程式 によって 球 の体積と関係している 。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} R {\displaystyle R}
S n R n = d V n + 1 R n + 1 d R = ( n + 1 ) V n + 1 R n . {\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.} 同様に、単位 -球を同心円 n {\displaystyle n} - ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 球殻 の 和集合として表すと 、
V n + 1 = ∫ 0 1 S n r n d r = 1 n + 1 S n . {\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.} 単位 -球面を、円（ ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} - 1 {\displaystyle 1} 球面）と - n {\displaystyle n} 球面の積の和集合として表すこともできます 。すると S n + 2 = 2 π V n + 1 {\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}} となります。 S 1 = 2 π V 0 {\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}} なので、次の式は
S n + 1 = 2 π V n {\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}} すべての n {\displaystyle n} に当てはまります。上記の基本ケース S 0 = 2 {\displaystyle S_{0}=2} 、 V 1 = 2 {\displaystyle V_{1}=2} とともに 、これらの再発式を使用して、任意の球の表面積や任意のボールの体積を計算できます。
球座標 次元ユークリッド空間において、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間で定義された 球面座標系 に類似した 座標系を定義することができます 。この座標系では、座標は放射状座標 と 角座標 で 構成され、角度 は ラジアン（または 度）の範囲で、 は ラジアン（または 度）の範囲で表されます 。 が直交座標である場合 、 から は 次のように 計算できます。 [3] [a] 3 {\displaystyle 3} r {\displaystyle r} n − 1 {\displaystyle n-1} φ 1 , φ 2 , … , φ n − 1 {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}} φ 1 , φ 2 , … , φ n − 2 {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}} [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} [ 0 , 180 ] {\displaystyle [0,180]} φ n − 1 {\displaystyle \varphi _{n-1}} [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} [ 0 , 360 ) {\displaystyle [0,360)} x i {\displaystyle x_{i}} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} r , φ 1 , … , φ n − 1 {\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}
x 1 = r cos ( φ 1 ) , x 2 = r sin ( φ 1 ) cos ( φ 2 ) , x 3 = r sin ( φ 1 ) sin ( φ 2 ) cos ( φ 3 ) , ⋮ x n − 1 = r sin ( φ 1 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) cos ( φ n − 1 ) , x n = r sin ( φ 1 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) sin ( φ n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}} 以下に説明する特殊なケースを除いて、逆変換は一意です。
r = x n 2 + x n − 1 2 + ⋯ + x 2 2 + x 1 2 , φ 1 = atan2 ( x n 2 + x n − 1 2 + ⋯ + x 2 2 , x 1 ) , φ 2 = atan2 ( x n 2 + x n − 1 2 + ⋯ + x 3 2 , x 2 ) , ⋮ φ n − 2 = atan2 ( x n 2 + x n − 1 2 , x n − 2 ) , φ n − 1 = atan2 ( x n , x n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}} ここで、 atan2 は 2 つの引数を取る逆正接関数です。
逆変換が一意ではない特殊なケースがいくつかあります。任意の に対して は、 φ k {\displaystyle \varphi _{k}} がすべて 0 の場合に曖昧になります 。この場合、 は 0 に選択できます。(例えば、 球面の場合、極角が または の場合、点は極、天頂、または天底のいずれかであり、方位角の選択は任意です。) k {\displaystyle k} x k , x k + 1 , … x n {\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}} φ k {\displaystyle \varphi _{k}} 2 {\displaystyle 2} 0 {\displaystyle 0} π {\displaystyle \pi }
球面体積要素と面積要素 弧長要素は、 次元ユークリッド空間の 体積要素を 球座標で 表すために、簡潔にするために と とすると、 変換の ヤコビ行列は次のようになります。 d s 2 = d r 2 + ∑ k = 1 n − 1 r 2 ( ∏ m = 1 k − 1 sin 2 ( φ m ) ) d φ k 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}r^{2}\left(\prod _{m=1}^{k-1}\sin ^{2}\left(\varphi _{m}\right)\right)d\varphi _{k}^{2}} n {\displaystyle n} s k = sin φ k {\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}} c k = cos φ k {\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}
J n = ( c 1 − r s 1 0 0 ⋯ 0 s 1 c 2 r c 1 c 2 − r s 1 s 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 s 1 ⋯ s n − 2 c n − 1 ⋯ ⋯ − r s 1 ⋯ s n − 2 s n − 1 s 1 ⋯ s n − 2 s n − 1 r c 1 ⋯ s n − 1 ⋯ − r s 1 ⋯ s n − 2 c n − 1 ) . {\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.} この行列の行列式は帰納法で計算できます。 のとき 、 簡単 n = 2 {\displaystyle n=2} な計算で行列式が であることが示されます。 r {\displaystyle r} が n {\displaystyle n} 大きい場合 、 は J n {\displaystyle J_{n}} J n − 1 {\displaystyle J_{n-1}} から次のように 構築できることに注意してください。列 n {\displaystyle n} を除いて、 の行 n − 1 {\displaystyle n-1} と は n {\displaystyle n} の行 と同じですが、 行 には の追加の係数が、 行 には の追加の係数がそれぞれ乗算されます 。列 では、 の 行 と は の 行 の列 と同じですが、 行 には の追加の係数が、行 には の追加の係数がそれぞれ乗算されます。 の 行列 式 は 、 最後 の 列 で ラプラス 展開 によって 計算 でき ます 。 の再帰的記述により、 とその行と列の 要素を削除して形成される部分行列は 、最後の行に を掛けることを除いて とほぼ等しくなります。同様に、 とその行と列の要素を削除して形成される部分行列は、最後の行に を掛けることを除いて とほぼ等しくなります。したがって、 の行列式は次のようになります 。 J n {\displaystyle J_{n}} n − 1 {\displaystyle n-1} J n − 1 {\displaystyle J_{n-1}} cos φ n − 1 {\displaystyle \cos \varphi _{n-1}} n − 1 {\displaystyle n-1} sin φ n − 1 {\displaystyle \sin \varphi _{n-1}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} n {\displaystyle n} J n {\displaystyle J_{n}} n − 1 {\displaystyle n-1} n − 1 {\displaystyle n-1} J n − 1 {\displaystyle J_{n-1}} sin φ n − 1 {\displaystyle \sin \varphi _{n-1}} n − 1 {\displaystyle n-1} cos φ n − 1 {\displaystyle \cos \varphi _{n-1}} n {\displaystyle n} J n {\displaystyle J_{n}} J n {\displaystyle J_{n}} ( n − 1 , n ) {\displaystyle (n-1,n)} J n − 1 {\displaystyle J_{n-1}} sin φ n − 1 {\displaystyle \sin \varphi _{n-1}} ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} J n − 1 {\displaystyle J_{n-1}} cos φ n − 1 {\displaystyle \cos \varphi _{n-1}} J n {\displaystyle J_{n}}
| J n | = ( − 1 ) ( n − 1 ) + n ( − r s 1 ⋯ s n − 2 s n − 1 ) ( s n − 1 | J n − 1 | ) + ( − 1 ) n + n ( r s 1 ⋯ s n − 2 c n − 1 ) ( c n − 1 | J n − 1 | ) = ( r s 1 ⋯ s n − 2 | J n − 1 | ( s n − 1 2 + c n − 1 2 ) = ( r s 1 ⋯ s n − 2 ) | J n − 1 | . {\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}} 帰納法は球座標における体積要素の 閉じた形式表現 を与える。
d n V = | det ∂ ( x i ) ∂ ( r , φ j ) | d r d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 = r n − 1 sin n − 2 ( φ 1 ) sin n − 3 ( φ 2 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) d r d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}} これから積分することで、球の体積の公式を導くことが でき ます n {\displaystyle n} 。
同様に、半径 の -球面 の 表面積 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 要素は 、 -球面の面積要素を一般化したものとなり 、 次 の よう に与えられる 。 r {\displaystyle r} 2 {\displaystyle 2}
d S n − 1 V = R n − 1 sin n − 2 ( φ 1 ) sin n − 3 ( φ 2 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 . {\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.} 角座標上の 直交基底 の自然な選択は、 超球面多項式 の積である。
∫ 0 π sin n − j − 1 ( φ j ) C s ( n − j − 1 2 ) cos ( φ j ) C s ′ ( n − j − 1 2 ) cos ( φ j ) d φ j = 2 3 − n + j π Γ ( s + n − j − 1 ) s ! ( 2 s + n − j − 1 ) Γ 2 ( n − j − 1 2 ) δ s , s ′ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}} j = 1 , 2 , … , n − 2 {\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2} については 、また は e i s φ j {\displaystyle e^{is\varphi _{j}}} 球面調和関数 に従って 角度 について j = n − 1 {\displaystyle j=n-1} です。
多球座標 標準球面座標系は、 を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R × R n − 1 {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}} の積として表すことから生じます 。これら2つの要素は極座標を用いて関連付けることができます。 x {\displaystyle \mathbf {x} } の各点について 、標準直交座標系は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x = ( x 1 , … , x n ) = ( y 1 , z 1 , … , z n − 1 ) = ( y 1 , z ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )} 混合極座標系と直交座標系に変換できる。
x = ( r sin θ , ( r cos θ ) z ^ ) . {\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).} これは、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の点は、原点から始まり を通過する光線を の方向に 回転させ、光線に沿っ ての 距離を移動させることで表現できることを示しています 。この分解を繰り返すと、最終的に標準球面座標系が得られます。 z ^ = z / ‖ z ‖ ∈ S n − 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}} ( 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (1,0,\dots ,0)} θ = arcsin y 1 / r {\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r} r = ‖ x ‖ {\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }
多球座標系はこの構成の一般化から生じる。 [4] 空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} は、より次元の小さい2つのユークリッド空間の積として分割されるが、どちらの空間も直線である必要はない。具体的には、 p {\displaystyle p} と が q {\displaystyle q} n = p + q {\displaystyle n=p+q} となる正の整数であるとする 。すると R n = R p × R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}} となる。この分解を用いると、点 は x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} 次のように表される
。
x = ( x 1 , … , x n ) = ( y 1 , … , y p , z 1 , … , z q ) = ( y , z ) . {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).} これを次のように記述することで、混合極座標系と直交座標系に変換できます。
x = ( ( r sin θ ) y ^ , ( r cos θ ) z ^ ) . {\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).} ここで 、およびは、 および に関連付けられた単位ベクトルです 。これは 、 を 、 、 、 および角度 で表します。 のドメインは、 の 場合、 、 と の どちら か 一方が の場合 、 、 および のどちらも でない 場合、 で ある ことが示さ れます 。逆変換は y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} y {\displaystyle \mathbf {y} } z {\displaystyle \mathbf {z} } x {\displaystyle \mathbf {x} } y ^ ∈ S p − 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}} z ^ ∈ S q − 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}} r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} p = q = 1 {\displaystyle p=q=1} [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 1 {\displaystyle 1} [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle [0,\pi /2]} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 1 {\displaystyle 1}
r = ‖ x ‖ , θ = arcsin ‖ y ‖ ‖ x ‖ = arccos ‖ z ‖ ‖ x ‖ = arctan ‖ y ‖ ‖ z ‖ . {\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}} これらの分割は、関係する因子の 1 つが 2 次元以上である限り繰り返すことができます。 多球座標系は、 直交座標がなくなるまでこれらの分割を繰り返す結果です。 と のドメインは 球面 であるため、最初の分割後の分割ではラジアル座標は必要ありません。したがって、多球座標系の座標は、負でない半径と の 角度です。可能な多球座標系は、 の 葉を持つ二分木に対応します。ツリー内の各非葉ノードは分割に対応し、角度座標を決定します。たとえば、ツリーのルートは を表し、その直下の子は と への最初の分割を表します 。葉ノードは の直交座標に対応します。多球座標から直交座標に変換するための式は、ルートから葉ノードへのパスを見つけることによって決定できます。これらの式は、パスがたどる枝ごとに 1 つの因子を持つ積です。対応する角座標が であるノードの場合、左の分岐を取ると の係数が導入され、右の分岐を取ると の係数が導入されます 。多球座標から直交座標への逆変換は、ノードをグループ化することによって決定されます。共通の親を持つすべてのノードペアは、上記の分割式を使用して、極座標と直交座標の混合座標系から直交座標系に変換できます。 y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} n − 1 {\displaystyle n-1} n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} θ i {\displaystyle \theta _{i}} sin θ i {\displaystyle \sin \theta _{i}} cos θ i {\displaystyle \cos \theta _{i}}
多球座標は特殊直交群 による解釈も可能である。 R n = R p × R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}} の分割によって 部分群が決定される。
SO p ( R ) × SO q ( R ) ⊆ SO n ( R ) . {\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).} これは、2つの因数をそれぞれ固定した部分群です。商の 剰余類 代表集合を選択することは、 多球座標分解のこのステップで代表角を選択することと同じです。 S p − 1 × S q − 1 ⊆ S n − 1 {\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}
多球座標系では、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の体積測度と S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} 上の面積測度 は積です。各角度に1つの因数があり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の体積測度には動径座標にも因数があります。面積測度は次の式で表されます。
d A n − 1 = ∏ i = 1 n − 1 F i ( θ i ) d θ i , {\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},} ここで因子は 木 によって F i {\displaystyle F_{i}} 決定される。同様に、体積の尺度は
d V n = r n − 1 d r ∏ i = 1 n − 1 F i ( θ i ) d θ i . {\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.} 分解 に対応し、角度座標 R n 1 + n 2 = R n 1 × R n 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}} θ {\displaystyle \theta } を持つ木のノードがあるとします 。対応する因子 は F {\displaystyle F} n 1 {\displaystyle n_{1}} と n 2 {\displaystyle n_{2}} の値に依存します 。面積の尺度が球の面積が 1 {\displaystyle 1} となるように正規化されると、これらの因子は次のようになります。 n 1 = n 2 = 1 {\displaystyle n_{1}=n_{2}=1} の場合、
F ( θ ) = d θ 2 π . {\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.} n 1 > 1 {\displaystyle n_{1}>1} および n 2 = 1 {\displaystyle n_{2}=1} 、および が B {\displaystyle \mathrm {B} } ベータ関数 を表す 場合 、
F ( θ ) = sin n 1 − 1 θ B ( n 1 2 , 1 2 ) d θ . {\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .} もし n 1 = 1 {\displaystyle n_{1}=1} かつ n 2 > 1 {\displaystyle n_{2}>1} ならば、
F ( θ ) = cos n 2 − 1 θ B ( 1 2 , n 2 2 ) d θ . {\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .} 最後に、 n 1 {\displaystyle n_{1}} と の n 2 {\displaystyle n_{2}} 両方が1より大きい場合、
F ( θ ) = ( sin n 1 − 1 θ ) ( cos n 2 − 1 θ ) 1 2 B ( n 1 2 , n 2 2 ) d θ . {\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}
立体投影 3次元に埋め込まれた2次元球面を 立体射影 によって2次元平面に写像できるのと同様に 、 球面 は 立体 射影の 次元 版によって 次元 n {\displaystyle n} 超 平面 に写像できます。例えば、 半径 の2次元球面上の 点 n {\displaystyle n} は 、 平面 上 の 点 に写像されます 。 言い換えれ ば、 n {\displaystyle n} [ x , y , z ] {\displaystyle [x,y,z]} 1 {\displaystyle 1} [ x 1 − z , y 1 − z ] {\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}} x y {\displaystyle xy}
[ x , y , z ] ↦ [ x 1 − z , y 1 − z ] . {\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].} 同様に、半径 の - 球面 の n {\displaystyle n} 立体投影は 、 - S n {\displaystyle S^{n}} 軸 1 {\displaystyle 1} に 垂直な - 次元 超 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 平面 に 次のように 写像 されます 。 R n − 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}} x n {\displaystyle x_{n}}
[ x 1 , x 2 , … , x n ] ↦ [ x 1 1 − x n , x 2 1 − x n , … , x n − 1 1 − x n ] . {\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
確率分布
参照: フォン・ミーゼス・フィッシャー分布 § 一様超球分布 。
Marsaglia のアルゴリズムを使用して生成された、単位 2 球面の表面上の均一分布から抽出された点の集合。 単位 - ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 球面（つまり、単位 n {\displaystyle n} -ボールの表面）上に均一に分布したランダムな点を生成するために、Marsaglia（1972）は次のアルゴリズムを示しています。
正規分布 の n {\displaystyle n} 次元ベクトルを生成します（ 実際には分散の選択は任意ですが、 を 使用すれば十分です ） 。この点の「半径」を計算します。 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle N(0,1)} x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 . {\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.} ベクトル は 1 r x {\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} } 単位 球 n {\displaystyle n} の表面全体に均一に分布します 。
Marsaglia によって提示された代替案は、単位 n 立方体 内の点 x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} を一様ランダムに選択することです。そのためには、各 を 上の 一様分布 から独立してサンプリングし 、 上記のように を計算し、 (つまり、点が 球体内にない場合) であればその点を棄却して再サンプリングし、球体内の点が得られたら、それを係数 で球面に拡大します 。その後、再び が 単位 球体の表面上に一様に分布します。この方法は、 単位立方体 のごくわずかな部分しか 球面には含まれないため、高次元では非常に非効率になります。10 次元では、立方体の 2% 未満が球面で埋められるため、通常は 50 回以上の試行が必要になります。70 次元では、立方体の 未満が 埋められるため、通常は 1 兆京回の試行が必要になり、これはコンピューターが実行できる回数をはるかに超えます。 x i {\displaystyle x_{i}} ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} r {\displaystyle r} r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} n {\displaystyle n} 1 r {\displaystyle {\tfrac {1}{r}}} 1 r x {\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} } n {\displaystyle n} 10 − 24 {\displaystyle 10^{-24}}
単位 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -球面から一様ランダムに選択された点 （例えば、Marsagliaのアルゴリズムを用いて）を用いると、単位 n {\displaystyle n} -球面内から一様ランダムに選択された点を得るのに必要なのは半径だけです。 が u {\displaystyle u} 区間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} から一様ランダムに生成された数であり、 が単位 x {\displaystyle \mathbf {x} } - ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 球面から一様ランダムに選択された点である場合 、 は単位 u 1 / n x {\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} } n {\displaystyle n} -球面内に一様分布します 。
あるいは、単位 n {\displaystyle n} -球面からの縮約によって、単位 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -球面内から点を一様にサンプリングすることもできる 。特に、 が単位 ( x 1 , x 2 , … , x n + 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -球面から一様に選択された点である場合 、 ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} は単位 - n {\displaystyle n} 球面内で一様に分布する（つまり、単に2つの座標を捨てるだけである）。 [5]
n {\displaystyle n} が十分に大きい場合、 n {\displaystyle n} 球体の体積の大部分は その表面に非常に近い領域に含まれるため、その体積から選択された点もおそらく表面に近いものとなる。これは、数値計算やその他の応用において生じる、いわゆる次元の呪いにつながる現象の一つで ある 。
最初の座標の分布 y = x 1 2 {\displaystyle y=x_{1}^{2}} を - ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 球面から一様にランダムに抽出された点の最初の座標の2乗とすると 、その 確率密度関数は 、 に対して 、 y ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle y\in [0,1]}
ρ ( y ) = Γ ( n 2 ) π Γ ( n − 1 2 ) ( 1 − y ) ( n − 3 ) / 2 y − 1 / 2 . {\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}
を適切にスケールしたバージョンとすると、極限において の 確率密度関数 は に収束します 。これはポーター・トーマス分布と呼ばれることもあります。 [6] z = y / N {\displaystyle z=y/N} N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } z {\displaystyle z} ( 2 π z e z ) − 1 / 2 {\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}
特定の分野 0 球 ある に対して 離散位相を 持つ 点のペア 。 { ± R } {\displaystyle \{\pm R\}} パス連結されて いない唯一の球面 。 平行化可能 。 R > 0 {\displaystyle R>0} 1 球 一般に 円 と呼ばれる。非自明な 基本群 を持つ。アーベル・リー群構造 U(1) ； 円群 。 実射影直線 に 同相 。 平行化可能 2 球 一般的には単に 球面 と呼ばれる。複素構造については リーマン球面を 参照。 複素射影直線に同相である。 3 球 平行化可能、 - 球面 上の 主 -束 U ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 、 リー群 構造 Sp(1) = SU ( 2 ) 。 2 {\displaystyle 2} 4 球 四元数射影直線 に同相なので 、 H P 1 {\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}} . SO ( 5 ) / SO ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)} . 5 球 U ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (1)} 複素射影空間 C P 2 {\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}} 上の 主 -バンドル 。 SO ( 6 ) / SO ( 5 ) = SU ( 3 ) / SU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)} 。 与えられた 次元多様体が に対して に同相であるかどうかは 決定不能である 。 [7] n {\displaystyle n} S n {\displaystyle S^{n}} n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} 6 球 は、純粋単位八元数 の集合から生じる ほぼ複素構造 を持つ 。 。それが 複素構造 を持つかどうかという問題は、 ハインツ・ホップ にちなんで ホップ問題 として知られている 。 [8] SO ( 7 ) / SO ( 6 ) = G 2 / SU ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)} 7 球 単位八元数 の集合としての 位相的 準群 構造。 上の 主 -バンドル 。 並列化可能 。 。 -球面は、最初の エキゾチック球面が 発見されたのがこの次元であったため、特に興味深いものです 。 SU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} S 4 {\displaystyle S^{4}} SO ( 8 ) / SO ( 7 ) = SU ( 4 ) / SU ( 3 ) = Sp ( 2 ) / Sp ( 1 ) = Spin ( 7 ) / G 2 = Spin ( 6 ) / SU ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)} 7 {\displaystyle 7} 8 球 八元数射影 直線に同相で ある 。 O P 1 {\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}} 23 球 次元空間では高密度の 球詰めが 可能であり、これは リーチ格子 のユニークな性質に関連しています 。 24 {\displaystyle 24}
八面体球 八面体 n {\displaystyle n} -球面 は - n {\displaystyle n} 球面と同様に定義されます が、 1 -ノルムを使用します。
S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ 1 = 1 } {\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}} 一般的には交差多面体 の形をとります 。
八面体 - 球面 1 {\displaystyle 1} は正方形（内部を除く）です。八面体 - 球面は 2 {\displaystyle 2} 正八面体で ある ため、その名前が付けられています。八面体 - 球面は、孤立した n {\displaystyle n} 点の ペア の 位相的な結合 です 。 [9] 直感的には、2 つのペアの位相的な結合は、一方のペアの各点ともう一方のペアの各点の間に線分を引くことによって生成されます。これにより、正方形が生成されます。これを 3 番目のペアに結合するには、正方形上の各点と 3 番目のペアの各点の間に線分を引きます。これにより、八面体が生成されます。 n + 1 {\displaystyle n+1}
参照
注記 ^正式には、この式は に対してのみ正しいです 。 に対しては で始まる行を 省略する必要があり、 に対しては 極座標 の式を使用する必要があります。 の場合は に簡約されます 。 大文字のπ表記と 空積の 通常の規則を用いると、 に対して有効な式は で、 に対しては となります 。 n > 3 {\displaystyle n>3} n − 3 {\displaystyle n-3} x 3 = ⋯ {\displaystyle x_{3}=\cdots } n = 2 {\displaystyle n=2} n = 1 {\displaystyle n=1} x = r {\displaystyle x=r} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} x n = r ∏ i = 1 n − 1 sin φ i {\displaystyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}} x k = r cos φ k ∏ i = 1 k − 1 sin φ i {\displaystyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}} k = 1 , … , n − 1 {\displaystyle k=1,\ldots ,n-1} ^ James W. Vick (1994). ホモロジー理論 , p. 60. Springer ^ スミス, デイビッド・J.; ヴァマナムルシー, マヴィナ・K. (1989). 「単位球はどれくらい小さいか?」. 数学雑誌 . 62 (2): 101– 107. doi :10.1080/0025570X.1989.11977419. JSTOR 2690391. ^ Blumenson, LE (1960). 「n次元球面座標の導出」. アメリカ数学月刊誌 . 67 (1): 63– 66. doi :10.2307/2308932. JSTOR 2308932. ^ N. Ja. VilenkinとAU Klimyk、 「リー群と特殊関数の表現、第2巻：クラスI表現、特殊関数、積分変換」 、ロシア語からの翻訳：VA GrozaとAA Groza、「Math. Appl.」第74巻、Kluwer Acad. Publ.、ドルドレヒト、1992年、 ISBN 0-7923-1492-1 、223～226ページ。 ^ Voelker, Aaron R.; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. (2017). n-球面とn-球面からのベクトルと座標の効率的なサンプリング（レポート）. 理論神経科学センター. doi :10.13140/RG.2.2.15829.01767/1. ^ Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.), "One Pager on Eigenvectors", Introduction to Random Matrices: Theory and Practice , SpringerBriefs in Mathematical Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 65– 66, doi :10.1007/978-3-319-70885-0_9, ISBN 978-3-319-70885-0 、 2023年5月19日 取得 ^ スティルウェル、ジョン （1993）、古典位相学と組合せ群論、数学大学院テキスト第72巻、シュプリンガー、p.247、 ISBN 9780387979700 。 ^ Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). 「ホップ問題の歴史について」. 微分幾何学とその応用 . 57 : 1– 9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359. ^ Meshulam, Roy (2001-01-01). 「クリーク複体とハイパーグラフマッチング」. Combinatorica . 21 (1): 89– 94. doi :10.1007/s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.
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外部リンク
次元空間 その他の次元 多面体 と 図形 数体系 数値による寸法 参照
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle [0,180]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d573d37a907c3c4c266cda6e0b59c0431fa4145)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a805778bf9d799471fa3a5c630f10ede8cdb65)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e9fe30e0a99791037b4830754781640325ceb1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{nj-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4a9f8f8aa5b675b72ab682bf68a106a4a13982)
![{\displaystyle [0,\pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db58baa407ae179d23402f61cb3edcfd7e4fa5b1)
![{\displaystyle [x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0bfedf9a4341d42ead3affff487ec9debd8365)
![{\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51efa71f30a9e0db86f940c79a0a94b15d9567bd)
![{\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a0479f611a4006c342d713a525232159140474)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d724ec5ccaf13bd398dedce93ba71fa382b39c7)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle y\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75565b2f1c9aa708980c991de7726f71e1e8c556)
