Group of unitary matrices with determinant of 1
数学において、 n 次 特殊ユニタリ群( SU( n ) と表記) は、 行列式 が 1である n × n ユニタリ行列 の リー群 です 。
より一般的な ユニタリ群 の行列 は 、特殊なケースにおける実数 1 ではなく、絶対値 1 の 複素 行列式を持つ場合があります。
群演算は 行列の乗算 である。特殊ユニタリ群は ユニタリ群 U( n ) の 正規部分群 であり、すべての n × n ユニタリ行列 からなる。コンパクト古典群として 、 U( n )は 標準的な内積 を保存する群である 。 [a] 特殊ユニタリ群自体は 一般線型群 の部分群であり 、 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} SU ( n ) ⊂ U ( n ) ⊂ GL ( n , C ) . {\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}
SU ( n )群は 素粒子物理学 の 標準モデル において広く応用されており 、特に SU(2)群は 電弱相互作用 において 、 SU(3)群は 量子色力学 において広く応用されている 。 [1]
最も単純なケースである SU(1)は、単一の要素のみを持つ 自明な群 です 。群 SU(2)は ノルム 1の 四元数 群と 同型で あり 、したがって 3 次元球面 と 微分同相 です。 単位四元数は 3 次元空間での回転を表すために使用できるため (符号を除いて一意)、 SU(2) から 核が {+ I , − I } で ある 回転群 SO(3) への 射影準 同型 があります。 [b]四元数はクリフォード代数 Cl(3) の偶数部分代数として識別できるため 、 SU(2)は実際には スピノル の対称群の 1 つである Spin (3) と同一であり 、回転のスピノル表示が可能です。
プロパティ 特殊ユニタリ群 SU( n ) は、厳密に実 リー群 である（より一般的な 複素リー群に対して）。 実多様体 としての次元は n 2 − 1 である 。位相的には、 コンパクト かつ 単連結で ある。 [2]代数的には、 単純リー群 である （つまり、その リー代数は 単純である。下記参照）。 [3]
SU( n ) の 中心 は 巡回群 と同型であり、 ζが n 乗根の1の対角行列ζIと n × n 単位 行列 I から 構成 さ れ ます。 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
n ≥ 3 の ときの その 外部自己同型群 は であり、 SU(2) の外部自己同型群は 自明群 である 。 Z / 2 Z , {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}
階数 n − 1 の 最大トーラスは 、行列式が 1 である対角行列の集合によって与えられる 。SU ( n ) の ワイル群は 対称群 S n であり、これは 符号付き置換行列 で表される（符号は行列式が 1 であることを保証するために必要である ）。
SU( n ) の リー代数 は と表記され、リー括弧を正規 交換子とする、 トレースレス 反エルミート n × n 複素行列 の集合と同一視できる 。 素粒子物理学者は、しばしば異なる同等の表現を用いる。 トレースレスエルミート n × n 複素行列の集合で、リー括弧は交換子の − i 倍で与えられる 。 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
リー代数 の リー代数は、 n × n の零点を持つ 歪 エルミート行列から構成される。 [4] この（実）リー代数は n 2 − 1次元を持つ。このリー代数の構造に関する詳細は、以下の § リー代数構造 を参照のこと 。 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} SU ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)}
基本表現 物理学の文献では、リー代数をトレースゼロのエルミート行列 （歪エルミート行列ではなく）の空間と同一視することが一般的です 。つまり、物理学者のリー代数は数学者のものとは係数 だけ異なります。この慣例に従うと、トレースゼロの エルミート 複素 n × n 行列である 生成元 T a を 選択できます 。ここで、 i {\displaystyle i}
T a T b = 1 2 n δ a b I n + 1 2 ∑ c = 1 n 2 − 1 ( i f a b c + d a b c ) T c {\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}
ここで、 f は構造定数 であり 、すべてのインデックスで反対称ですが、 d 係数はすべてのインデックスで対称です。
結果として、コミュテータは次のようになります。
[ T a , T b ] = i ∑ c = 1 n 2 − 1 f a b c T c , {\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}
対応する反交換子は次のようになります。
{ T a , T b } = 1 n δ a b I n + ∑ c = 1 n 2 − 1 d a b c T c . {\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}
交換関係における i の係数は物理学の慣例から生じたものであり、数学者の慣例を使用する場合には存在しません。
従来の正規化条件は
∑ c , e = 1 n 2 − 1 d a c e d b c e = n 2 − 4 n δ a b . {\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}
生成子はヤコビ恒等式を満たす: [5]
[ T a , [ T b , T c ] ] + [ T b , [ T c , T a ] ] + [ T c , [ T a , T b ] ] = 0. {\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}
物理学の文献では慣例的に、生成子は 前置因子を持つトレースレスエルミート複素行列として定義されています 。群の場合、生成子は 次の ように選択されます。ここで、は パウリ行列 であり、 1 の場合は定義されます。 ここで、は ゲルマン行列 です 。 [6] これらの定義により、生成子は次の正規化条件を満たします。 T a {\displaystyle T_{a}} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} 1 2 σ 1 , 1 2 σ 2 , 1 2 σ 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}} σ a {\displaystyle \sigma _{a}} S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} T a = 1 2 λ a {\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}} λ a {\displaystyle \lambda _{a}}
T r ( T a T b ) = 1 2 δ a b . {\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}
随伴表現 ( n 2 − 1) 次元の 随伴表現 では、生成元は ( n 2 − 1) × ( n 2 − 1) 行列で表され 、その要素は構造定数自体によって定義されます。
( T a ) j k = − i f a j k . {\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}
SU(2)群 二項演算に 行列乗算 を用いると、 SU(2)は 群を形成する。 [7]
SU ( 2 ) = { ( α − β ¯ β α ¯ ) : α , β ∈ C , | α | 2 + | β | 2 = 1 } , {\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}
ここで上線は 複素活用 を表します。
3次元球面との微分同相写像 S 3 と の ペアとして 考えると 、方程式は次のよう になる。 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} α = a + b i {\displaystyle \alpha =a+bi} β = c + d i {\displaystyle \beta =c+di} | α | 2 + | β | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}
これは3次元球面S 3 の方程式である 。これは埋め込み写像を用いても見ることができる。
φ : C 2 → M ( 2 , C ) φ ( α , β ) = ( α − β ¯ β α ¯ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
ここで、 は 2行2列の複素行列の集合を表し、 は（ と の 微分同相 写像 を考慮することにより ）実線型写像となる。したがって、 φ の3次元球面 へ の 制限 （モジュラスが1であるため） S 3 は、 のコンパクト部分多様体への3次元球面の埋め込み 、すなわち φ ( S 3 ) = SU(2) となる。 M ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} M ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} M ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}
したがって、多様体として、 S 3 はSU(2) と微分同相であり 、 SU(2) が 単連結 であり、 S 3 がコンパクトで連結なリー群 の構造を備えることができることを示しています 。
ベルソル群との同型性 ノルム1の 四元数は 回転群SO(3)を 生成するため バーソル と呼ばれる。SU (2) 行列：
( a + b i c + d i − c + d i a − b i ) ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}
四元数にマッピングできる
a 1 ^ + b i ^ + c j ^ + d k ^ {\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}
この写像は実際には 群同型で ある。さらに、行列の行列式は対応する四元数のノルムの2乗である。明らかに SU(2) の任意の行列はこの形であり、行列式が 1 であるため、対応する四元数のノルムは 1 である。したがって、 SU(2)は バーソル群と同型である。 [8]
空間回転との関係 あらゆるバーサーは3次元における空間回転に自然に関連付けられ、バーサーの積は関連する回転の合成に関連付けられます。さらに、あらゆる回転はこのように正確に2つのバーサーから生じます。つまり、SU( 2)から SO(3) への2:1 射影準同型写像が存在し 、その結果、 SO(3) は 商群 SU(2)/{±I} と同型であり、 SO(3) の基礎となる多様体は 3次元球面 S 3 の対蹠点を同一視することによって得られ、 SU(2) は SO(3) の 普遍被覆 です 。
リー代数 SU(2) の リー 代数 は、トレースゼロを持つ 2×2の 歪 エルミート行列から構成される。 [9] 明示的には、
s u ( 2 ) = { ( i a − z ¯ z − i a ) : a ∈ R , z ∈ C } . {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}
リー代数は次の行列によって生成される。
u 1 = ( 0 i i 0 ) , u 2 = ( 0 − 1 1 0 ) , u 3 = ( i 0 0 − i ) , {\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}
上記で指定した一般要素の形式を持ちます。
これはパウリ行列を 使用して と書くこともできます 。 s u ( 2 ) = span { i σ 1 , i σ 2 , i σ 3 } {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}
これらは四元数 関係を 満たし 、 したがって交換子括弧は次のように指定さ れる 。 u 2 u 3 = − u 3 u 2 = u 1 , {\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,} u 3 u 1 = − u 1 u 3 = u 2 , {\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,} u 1 u 2 = − u 2 u 1 = u 3 . {\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}
[ u 3 , u 1 ] = 2 u 2 , [ u 1 , u 2 ] = 2 u 3 , [ u 2 , u 3 ] = 2 u 1 . {\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}
上記の生成子は、 パウリ行列 と および によって関連付けられています 。この表現は、 量子力学において 電子 などの 基本粒子 の スピンを 表すために日常的に用いられています。また、 ループ量子重力 における3次元空間の記述における 単位ベクトル としても機能します 。これらは、単一量子ビットゲートの標準的な生成子である パウリX、Y、Zゲートにも対応しており、 ブロッホ球 の軸を中心とした3次元回転に対応しています 。 u 1 = i σ 1 , u 2 = − i σ 2 {\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}} u 3 = + i σ 3 . {\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}
リー代数は SU(2) の表現 を解明するために役立つ。
SU(3) SU(3) 群は、 行列式 が1であるすべての 3×3 ユニタリ 行列 からなる 8次元の 単純リー群 です。
トポロジー 群 SU(3) は単連結なコンパクト・リー群である。 [10]その位相構造は、 SU(3) が の 単位球面に 推移的に 作用すること に注目することで理解できる 。 球面上の任意の点の 安定化群は SU(2) と同型であり、SU(2) は位相的には 3 次元球面である。したがって、 SU(3) は、 ファイバー S 3 を持つ基底 S 5 上のファイバー束 であることがわかる 。ファイバーと基底は単連結であるため、 SU(3)の単純連結性は、標準的な位相的結果（ファイバー束の ホモトピー群の長い正確な列 ）によって導かれる 。 [11] S 5 {\displaystyle S^{5}} C 3 ≅ R 6 {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}
S 5 上のSU (2) バンドルは によって分類される 。なぜなら、そのようなバンドルは、2つの半球面上の自明なバンドルと、それらの交差上の遷移関数（ S 4 のコピー）を見ることによって構成できる ためである。 π 4 ( S 3 ) = Z 2 {\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}} S N 5 , S S 5 {\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}
S N 5 ∩ S S 5 ≃ S 4 {\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}
そして、そのような遷移関数はすべて写像のホモトピー類によって分類される。
[ S 4 , S U ( 2 ) ] ≅ [ S 4 , S 3 ] = π 4 ( S 3 ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}
であり、 ではなく であるので 、 SU(3) は 自明な束 SU(2) × S 5 ≅ S 3 × S 5 にはなり得ず、したがって唯一の非自明な（ねじれた）束でなければならない。これは、ホモトピー群上の誘導された長完全列を見ることで示される。 π 4 ( S U ( 3 ) ) = { 0 } {\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}} Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2}
表現論 SU(3) の表現論は よく理解されている。 [12] これらの表現の複素化リー代数の観点からの記述は、 リー代数表現 または SU(3) のクレプシュ・ゴルダン係数 に関する論文に記載されている 。 s l ( 3 ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}
リー代数 SU(3) の リー代数の 定義的（素粒子物理学、エルミート）表現における 生成元 Tは、 s u ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}
T a = λ a 2 , {\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}
ここで λa 、 ゲルマン行列は SU (2) の パウリ行列の SU(3) 類似体 である 。
λ 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) , λ 2 = ( 0 − i 0 i 0 0 0 0 0 ) , λ 3 = ( 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) , λ 4 = ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) , λ 5 = ( 0 0 − i 0 0 0 i 0 0 ) , λ 6 = ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ) , λ 7 = ( 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ) , λ 8 = 1 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
これらの λ a は 、要求どおり、 リー代数 のすべての トレースレスエルミート 行列 H を張る。λ 2 、 λ 5 、 λ 7は反対称 で あることに注意する。
彼らは関係に従う
[ T a , T b ] = i ∑ c = 1 8 f a b c T c , { T a , T b } = 1 3 δ a b I 3 + ∑ c = 1 8 d a b c T c , {\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}
あるいは、
[ λ a , λ b ] = 2 i ∑ c = 1 8 f a b c λ c , { λ a , λ b } = 4 3 δ a b I 3 + 2 ∑ c = 1 8 d a b c λ c . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}
f は リー代数の 構造定数 であり、次のように与えられる。
f 123 = 1 , f 147 = − f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = − f 367 = 1 2 , f 458 = f 678 = 3 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}
一方、これらと順列関係にない他のすべての f abc は ゼロである。一般に、集合{2, 5, 7} の添え字が奇数個含まれない限り、それらはゼロとなる 。 [c]
対称係数 d は値を取る
d 118 = d 228 = d 338 = − d 888 = 1 3 d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 d 344 = d 355 = − d 366 = − d 377 = − d 247 = d 146 = d 157 = d 256 = 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}
集合 {2, 5, 7} のインデックスの数が奇数の場合、それらは消えます。
トレースレス3×3エルミート行列 H によって生成される一般的な SU(3)群要素は、 tr( H 2 ) = 2 として正規化され、 Hの 2次行列 多項式 として表すことができます 。 [13]
exp ( i θ H ) = [ − 1 3 I sin ( φ + 2 π 3 ) sin ( φ − 2 π 3 ) − 1 2 3 H sin ( φ ) − 1 4 H 2 ] exp ( 2 3 i θ sin ( φ ) ) cos ( φ + 2 π 3 ) cos ( φ − 2 π 3 ) + [ − 1 3 I sin ( φ ) sin ( φ − 2 π 3 ) − 1 2 3 H sin ( φ + 2 π 3 ) − 1 4 H 2 ] exp ( 2 3 i θ sin ( φ + 2 π 3 ) ) cos ( φ ) cos ( φ − 2 π 3 ) + [ − 1 3 I sin ( φ ) sin ( φ + 2 π 3 ) − 1 2 3 H sin ( φ − 2 π 3 ) − 1 4 H 2 ] exp ( 2 3 i θ sin ( φ − 2 π 3 ) ) cos ( φ ) cos ( φ + 2 π 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}} LPで
φ ≡ 1 3 [ arccos ( 3 3 2 det H ) − π 2 ] . {\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}
リー代数構造 上で述べたように、 SU( n ) の リー代数はトレースゼロを持つ n × nの 歪 エルミート行列から構成される 。 [14] s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
リー代数の 複素化は 、トレースが零である n × n 複素行列 全体の成す空間で ある。 [15] カルタン 部分代数は トレースが零である対角行列から成り、 [16] これは、その成分の和が零となる ベクトルと同一視される。 根は、 (1, −1, 0, ..., 0)の n ( n − 1) 通りの順列 全体から成り立つ 。 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} s l ( n ; C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
単純なルート の選択 は
( 1 , − 1 , 0 , … , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , − 1 , … , 0 , 0 ) , ⋮ ( 0 , 0 , 0 , … , 1 , − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}
したがって、 SU( n )は ランク n −1 であり 、その ディンキン図は An − 1 、つまり n −1個 のノードのチェーンで与えられます 。 ... [ 17] その カルタン行列 は
( 2 − 1 0 … 0 − 1 2 − 1 … 0 0 − 1 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … 2 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}
その ワイル群 または コクセター群は 対称群 S n 、 つまり ( n − 1) 単体 の 対称群 です 。
一般化特殊ユニタリ群 体 F に対して 、 F 上 の一般化特殊ユニタリ群 SU( p , q ; F ) は、 階数 n = p + q のベクトル空間の 行列式 1 の すべて の 線型変換の 群 であり、 符号 ( p , q ) の 非退化 エルミート形式 を不変に保つ。この群は、しばしば F 上 の符号 p q の特殊ユニタリ群 と呼ばれる 。体 F は 可 換環 に置き換えることができ、その場合、ベクトル空間は 自由加群 に置き換えられる 。
具体的には、 署名 p q のエルミート行列 A を固定し 、すべての GL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}
M ∈ SU ( p , q , R ) {\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}
満足する
M ∗ A M = A det M = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}
環や体を参照せずにSU( p , q ) という表記を目にすることがよくあります 。この場合、参照されている環または体は であり、これは古典的な リー群 の1つを与えます。 の ときの A の標準的な選択は C {\displaystyle \mathbb {C} } F = C {\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }
A = [ 0 0 i 0 I n − 2 0 − i 0 0 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}
ただし、の部分環への制限下でより多くの動作を示す特定の次元については、 A のより良い選択肢がある可能性があります 。 C {\displaystyle \mathbb {C} }
例 この種の群の重要な例として、 ピカール・モジュラー群 が挙げられる。ピカール・モジュラー群は、2次元の複素双曲空間に（射影的に）作用するのと同様に、 2次元の実 双曲空間 に（射影的に）作用する 。2005年、ガボール・フランシックスと ピーター・ラックスはこの群の HC 2 への作用の明示的な基本領域を計算した 。 [18] SU ( 2 , 1 ; Z [ i ] ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])} SL ( 2 , 9 ; Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}
さらなる例としては があり 、これは と同型です 。 SU ( 1 , 1 ; C ) {\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )} SL ( 2 , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}
重要なサブグループ 物理学では、特殊ユニタリー群は フェルミオン対称性を表すために用いられる。 対称性の破れ の理論では、 特殊ユニタリー群の部分群を見つけることが重要となる。 大統一理論物理学 において重要な SU( n ) の部分群は、 p > 1、 n − p > 1 のとき、
SU ( n ) ⊃ SU ( p ) × SU ( n − p ) × U ( 1 ) , {\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}
ここで、 × は直積 を表し 、 U(1) は 円群 として知られ、 絶対値 が1であるすべての 複素数 の乗法群です 。
完全性のために、直交部分群 と シンプレクティック 部分群も存在する 。
SU ( n ) ⊃ SO ( n ) , SU ( 2 n ) ⊃ Sp ( n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}
SU( n ) の 階数 は n −1 、 U(1)の 階数 は1なので、部分群の階数の合計が元の群の階数以下であるかどうかが有効なチェックとなる。SU ( n ) は他の様々なリー群の部分群である。
SO ( 2 n ) ⊃ SU ( n ) Sp ( n ) ⊃ SU ( n ) Spin ( 4 ) = SU ( 2 ) × SU ( 2 ) E 6 ⊃ SU ( 6 ) E 7 ⊃ SU ( 8 ) G 2 ⊃ SU ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}} E 6 、 E 7 、 G 2 については、 スピン グループ と 単純リー グループを 参照してください 。
偶然の同型 も存在する ： SU(4) = Spin(6) 、 SU(2) = Spin(3) = Sp(1) 、 [d] および U(1) = Spin(2) = SO(2) 。
最後に、 SU(2)は SO(3) の 二重被覆群 であり、この関係は 非相対論的 量子力学における2 スピノル の回転の理論で重要な役割を果たすことに 言及しておく 。
SU(1, 1) S U ( 1 , 1 ) = { ( u v v ∗ u ∗ ) ∈ M ( 2 , C ) : u u ∗ − v v ∗ = 1 } , {\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},} ここで、 は 複素数 uの 複素共役 を表します 。 u ∗ {\displaystyle ~u^{*}~}
この群はSL(2,ℝ) および Spin(2,1) [19] と同型であり 、コンマで区切られた数字は 群によって保存される 二次形式 の 符号を表す。SU (1,1) の定義式は エルミート形式 であり、 u と vを 実数成分で展開すると 等 方二次形式 となる。 u u ∗ − v v ∗ {\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}
この群の初期の登場は、 1852年に ジェームズ・コックルによって導入された コクオータニオン （分割四元数） の「単位球面」であった。
j = [ 0 1 1 0 ] , k = [ 1 0 0 − 1 ] , i = [ 0 1 − 1 0 ] . {\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}
すると、 2× 2 単位行列 と、 要素 i、j 、 k はすべて、 四元数 と同様に 反交換 となります。また、は依然として −I 2 （単位行列の負） の平方根ですが、 四元数とは異なり、はそうではありません。四元数と 余四元数の両方において、すべてのスカラー量は I 2 の暗黙的な倍数として扱われ 、 1 と表記されます。 j k = [ 0 − 1 1 0 ] = − i , {\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~} i j k = I 2 ≡ [ 1 0 0 1 ] , {\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~} k i = j , {\displaystyle ~k\,i=j~,} i j = k , {\displaystyle \;i\,j=k\;,} i {\displaystyle i} j 2 = k 2 = + I 2 {\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}
スカラー w を持つコクオータニオンは 、 ハミルトンのクオータニオンと同様の共役関係を持つ。その二次形式は q = w + x i + y j + z k {\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~} q = w − x i − y j − z k {\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~} q q ∗ = w 2 + x 2 − y 2 − z 2 . {\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}
2 枚 双曲面は代数の 虚数単位 に対応しており、この双曲面上の 任意の点 p は オイラーの公式 に従って正弦波の 極 として使用できることに注意してください 。 { x i + y j + z k : x 2 − y 2 − z 2 = 1 } {\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}
双曲面は SU(1, 1)の下で安定であり、 Spin(2, 1) と同型である。 偏光 の研究で指摘されているように、波の極の変動性は、 楕円偏光を 極 p ≠ ± i {\displaystyle ~p\neq \pm i~} を持つ波の楕円形状の表れと 見なすことができるかもしれない 。 1892年以来用いられてきた ポアンカレ球 モデル は、2枚双曲面モデルと比較され、 [20] SU(1, 1) 干渉法 の実用化 が進められている。
SU(1, 1) の元を メビウス変換 として解釈すると 、 単位円板は 安定となるため、この群は双曲平面幾何学の ポアンカレ円板モデル の 運動を表す。実際、 複素射影直線 上の 点 [ z, 1 ] に対して、 SU(1, 1) の作用は 次のように与えられる。
( u v v ∗ u ∗ ) [ z , 1 ] = [ u z + v , v ∗ z + u ∗ ] = [ u z + v v ∗ z + u ∗ , 1 ] {\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}
射影座標 では ( u z + v , v ∗ z + u ∗ ) ∼ ( u z + v v ∗ z + u ∗ , 1 ) . {\displaystyle (\;u\,z+v,\;v^{*}\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v\,}{v^{*}\,z+u^{*}}},\;1\;\right).}
複素数演算の 書き方は s u v + s u v ¯ = 2 ℜ ( s u v ) , {\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}
| u z + v | 2 = S + z z ∗ and | v ∗ z + u ∗ | 2 = S + 1 , {\displaystyle {\bigl |}u\,z+v{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v^{*}\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,} どこ S = v v ∗ ( z z ∗ + 1 ) + 2 ℜ ( u v z ) . {\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}
したがって、 それらの比率は開いたディスク内にあります。 [21] z z ∗ < 1 ⟹ | u z + v | < | v ∗ z + u ∗ | {\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v{\bigr |}<{\bigl |}\,v^{*}\,z+u^{*}\,{\bigr |}}
参照
^ 上の標準内積の保存の観点からの U( n ) と SU( n ) の特徴付けについては 、 古典群を 参照してください。 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ^ SU(2) → SO(3) の準同型性の明示的な記述については 、 「SO(3) と SU(2) の関係」 を参照してください。 ^ したがって、すべての f abc のうち、ゼロにならないのは1 ⁄ 6 未満 です。 ^ Sp( n ) は の コンパクトな実数形 である 。USp ( 2n ) と表記されることもある 。Sp ( n ) 行列の次元は 2 n × 2 n である 。 Sp ( 2 n , C ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}
引用 ^ ハルゼン、フランシス 、 マーティン、アラン (1984). 『クォークとレプトン：現代素粒子物理学入門 』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-88741-2 。 ^ ホール 2015、提案 13.11 ^ Wybourne, BG (1974). 物理学者のための古典群 . Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 。 ^ ホール 2015 提案 3.24 ^ ジョージ・ハワード (2018年5月4日). 素粒子物理学におけるリー代数：アイソスピンから統一理論へ（第1版）. ボカラトン: CRC Press. Bibcode :2018laip.book.....G. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0 。 ^ ジョージ・ハワード (2018年5月4日). 素粒子物理学におけるリー代数：アイソスピンから統一理論へ（第1版）. ボカラトン: CRC Press. Bibcode :2018laip.book.....G. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0 。 ^ ホール 2015 演習 1.5 ^ Savage, Alistair. 「リー群」 （PDF） . MATH 4144ノート. ^ ホール 2015 提案 3.24 ^ ホール 2015 提案 13.11 ^ ホール 2015 セクション 13.2 ^ ホール 2015 第6章 ^ Rosen, SP (1971). 「SU(3)の様々な表現における有限変換」. Journal of Mathematical Physics . 12 (4): 673– 681. Bibcode :1971JMP....12..673R. doi :10.1063/1.1665634. Curtright , TL; Zachos, CK (2015). 「SU(3)の基本表現に関する基本的な結果」. 数理物理学報告 . 76 (3): 401– 404. arXiv : 1508.00868 . Bibcode :2015RpMP...76..401C. doi :10.1016/S0034-4877(15)30040-9. S2CID 119679825. ^ ホール 2015 提案 3.24 ^ ホール 2015 セクション 3.6 ^ ホール 2015 セクション 7.7.1 ^ ホール 2015 セクション 8.10.1 ^ Francsics, Gabor; Lax, Peter D. (2005年9月). 「2次元複素数におけるピカール・モジュラー群の明示的基本領域」. arXiv : math/0509708 . ^ ギルモア, ロバート (1974). リー群、リー代数とその応用 . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ . pp. 52, 201−205. MR 1275599. ^ モタ、RD;オジェダ＝ギレン、D.サラザール・ラミレス、M.バージニア州グラナドス (2016)。 「ストークスパラメータと偏光理論への SU(1,1) アプローチ」。 アメリカ光学学会誌 B． 33 (8): 1696 ～ 1701 年 。arXiv : 1602.03223 。 Bibcode :2016JOSAB..33.1696M。 土井 ：10.1364/JOSAB.33.001696。 S2CID 119146980。 ^ Siegel, CL (1971). 『複素関数理論の話題 』第2巻. シェニッツァー, A.; トレトコフ, M. 訳. Wiley-Interscience. pp. 13– 15. ISBN 0-471-79080 × 。
参考文献 
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![{\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d13b4aac12698770cefc03cda97884c5d6d9501)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d540cf990ed87348dc38f038644938711ce2ed)
![{\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da532e2434fd294dbca0834da6f8192eb1dc480)
![{\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c2ccda7f3f274352dea60d8bd45e8364c3f5d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27272365d50c95972a5a66b020caf63b836131df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84522e4ae5ab8f237d70c19f62e7b45affdb3c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab840c966e3c626f971e8dc41833e7e7ae6e4c09)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3911db5c2d7bd1d44edad1dff8db8099b077ed6)
![{\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b54c3b30a637ef4902d486f9d86c0a7e46db78)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45355ecc0d2aaa11c11dc7f84ef94be718c62c43)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccea74a7cd5e572050071cc3638ca857c1942fe)
