Mathematical formulation of vector pairs used in physics (rigid body dynamics)
ねじ理論は、 剛体 の 運動学 と 力学 において生じる、 角速度 と 線速度 、 力 と モーメント など、 双対ベクトル [1] としても知られる ベクトル のペアの代数計算です 。 [2] [3]
ねじ理論は、 剛体力学の 中核を成す直線の幾何 学 を 数学的に 定式化する ものであり、直線は 空間運動の ねじ軸と力の 作用線を形成する。直線の プリュッカー座標 を形成するベクトルの対は 単位ねじを定義し、一般のねじは 実数 の対の乗算と ベクトルの加算 によって得られる。 [4]
ねじ理論の重要な定理には、以下のものがあります。 転送原理は 、ベクトルを使用した点の幾何学的計算は、ベクトルをねじに置き換えて得られる直線の幾何学的計算と平行であることを証明します。 [1] シャスルの定理は 、2 つの剛体の姿勢間の任意の変更が 1 本のねじで実行できることを証明します。 ポアンソの定理は、 剛体の長軸と短軸 (中間軸ではない) の周りの回転は安定していることを証明します。
ねじ理論は、ロボット力学 [5] [6] [7] [8] 、機械設計、 計算幾何学 、 多体力学において重要なツールです。これは、 剛体運動の 補間に用いられてきたねじと 双対四元数 との関係に一部起因しています 。 [9] ねじ理論に基づいて、並列機構（並列マニピュレータや並列ロボット）の型合成のための効率的なアプローチも開発されています。 [10]
基本概念 純ねじのピッチは、軸の周りの回転とその軸に沿った移動を関連付けます 剛体の空間変位は、直線の周りの回転と、同じ直線に沿った並進によって定義され、これを「 スクリュー運動 。これは シャスルの定理 。スクリュー運動を定義する6つのパラメータは、スクリュー軸を定義するプルッカーベクトルの4つの独立した成分と、この線に沿った直線スライドの周りの回転角であり、 スクリュー 。比較のために、空間変位を定義する6つのパラメータは、回転を定義する3つの オイラー角 と並進ベクトルの3つの成分によっても表すことができます。
ねじ ねじは、力やトルク、直線速度や角速度など、空間的な剛体の運動の研究で生じる2つの3次元ベクトルから構成される6次元ベクトルです。ねじの成分は、空間内の直線のプリュッカー座標、直線に沿ったベクトルの大きさ、そしてこの直線周りのモーメントを定義します
ねじれ ねじれ は 、剛体の速度を軸周りの角速度と軸に沿った線速度として表すために使用されるねじれです。剛体内のすべての点は、軸に沿った速度成分は同じですが、軸からの距離が長いほど、この軸に垂直な面内の速度は大きくなります。したがって、運動する剛体において速度ベクトルによって形成される螺旋状の場は、点がねじれ軸から放射状に離れるほど平坦になります。
一定のねじり運動をしている物体の点は、固定座標系において螺旋を描く。この螺旋運動のピッチがゼロの場合、軌跡は円を描き、純粋な回転運動となる。この螺旋運動のピッチが無限大の場合、軌跡はすべて同じ方向の直線となる。
レンチ ニュートンの法則を剛体に適用する際に生じる力とトルクのベクトルは、 レンチ と呼ばれるネジに組み立てることができます。力は作用点と作用線を持つため、空間内の直線の プリュッカー座標 を定義し、ピッチはゼロです。一方、トルクは空間内の直線に束縛されない純粋なモーメントであり、無限ピッチのネジです。これら2つの大きさの比がネジのピッチを定義します
ねじの代数 ねじを 順序 付き対
とします
S = ( S , V ) , {\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),} ここで、 S と V は3次元実ベクトルです。これらの順序付きペアの和と差は、成分ごとに計算されます。ねじはしばしば 双対ベクトル と呼ばれます。
ここで、実数の順序付き対 â = ( a , b )を導入する。これは 双対スカラー と呼ばれる 。これらの数の加減算を成分ごとに行い、乗算を次のように定義する。 ねじ S = ( S , V ) と双対スカラー â = ( a , b ) の乗算は、成分ごとに次のように計算される。 a ^ c ^ = ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , a d + b c ) . {\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\hat {\mathsf {c}}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).} a ^ S = ( a , b ) ( S , V ) = ( a S , a V + b S ) . {\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).}
最後に、ねじの点積と外積を次の式で導入します。 これは双対スカラーであり、 これはねじです。ねじの点積と外積はベクトル代数の恒等式を満たし、ベクトル代数における計算と直接的に並列する計算を可能にします。 S ⋅ T = ( S , V ) ⋅ ( T , W ) = ( S ⋅ T , S ⋅ W + V ⋅ T ) , {\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),} S × T = ( S , V ) × ( T , W ) = ( S × T , S × W + V × T ) , {\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ),}
双対スカラー ẑ = ( φ , d )が 双対角 を定義すると 、正弦と余弦の無限級数定義から、同じく双対スカラーである関係式が得られます
。一般に、双対変数の関数は f (ẑ) = ( f ( φ ), df ′( φ )) と定義されます。 ここで、 f ′( φ ) は f ( φ )の微分です 。 sin z ^ = ( sin φ , d cos φ ) , cos z ^ = ( cos φ , − d sin φ ) , {\displaystyle \sin {\hat {\mathsf {z}}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {\mathsf {z}}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}
これらの定義により、次の結果が得られます。
単位ねじは 直線の プリュッカー座標であり、次の関係を満たす。 | S | = S ⋅ S = 1 ; {\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;} ẑ = ( φ , d ) を双対角とし、 φ は S と T の軸の共通法線周りの角度、 d は 共通法線に沿ったこれらの軸間の距離とすると、 S ⋅ T = | S | | T | cos z ^ ; {\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {\mathsf {z}}};} NをS軸とT軸の共通法線を定義する単位ねじとし、 ẑ = ( φ , d ) をこれらの軸間の双対角とすると、 S × T = | S | | T | sin z ^ N . {\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {\mathsf {z}}}{\mathsf {N}}.}
レンチ ネジの一般的な例は、 剛体に作用する力に関連付けられた レンチ です。力 Fの作用点を P とし、この点を固定フレーム内に配置するベクトルを P とします。レンチ W = ( F , P × F ) はネジです。剛体に作用するすべての力 F i , i = 1, ..., nから得られる合力とモーメントは、個々のレンチWi i の合計 、つまり
R = ∑ i = 1 n W i = ∑ i = 1 n ( F i , P i × F i ) . {\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).} 2つの等しいが反対の力 F と -Fがそれぞれ点 A と点 B に作用する場合 、結果として次の式が得られる
ことに注意する。
R = ( F − F , A × F − B × F ) = ( 0 , ( A − B ) × F ) . {\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).} これは、形状のネジが
M = ( 0 , M ) , {\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),} 純粋な瞬間として解釈することができます。
ねじれ 剛体の ねじれ を定義するには、空間変位のパラメータ化された集合 D( t ) = ([A( t )], d ( t )) によって定義される剛体の運動を考慮する必要があります。ここで、[A]は回転行列、 d は並進ベクトルです。これにより、運動体座標に固定された点 p は、固定されたフレーム内で、次式で与えられる曲線 P (t)
を描きます
P ( t ) = [ A ( t ) ] p + d ( t ) . {\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).} P の速度 は
V P ( t ) = [ d A ( t ) d t ] p + v ( t ) , {\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),} ここで v は移動フレームの原点の速度、すなわちd d /dtである。 この式に p = [ A T ]( P − d )を代入すると、
V P ( t ) = [ Ω ] P + v − [ Ω ] d or V P ( t ) = ω × P + v + d × ω , {\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,} ここで、[Ω] = [d A /d t ][ A T ]は角速度行列、ωは角速度ベクトルです。
ねじ
T = ( ω → , v + d × ω → ) , {\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!} は運動する物体のねじれ です 。ベクトル V = v + d × ω は、固定された座標系の原点に対応する物体内の点の速度です
2つの重要な特別なケースがあります。(i) d が定数、つまり v = 0のとき、ねじれは直線の周りの純粋な回転であり、ねじれは
L = ( ω , d × ω ) , {\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),} (ii) [Ω] = 0のとき、つまり物体が回転せず v 方向にのみ滑る場合、ねじれは次のように表される純粋な滑りとなる。
T = ( 0 , v ) . {\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}
回転関節 回転関節 の場合 、回転軸が点 q を通り、ベクトル ω に沿って向いているとすると、関節のねじれは次のように表されます
ξ = { ω q × ω } . {\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\q\times {\boldsymbol {\omega }}\end{Bmatrix}}.}
直動関節 直動関節 の場合 、ベクトル v がスライドの方向を定義すると、関節のねじれは次のように表されます
ξ = { 0 v } . {\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}
ネジの座標変換は、直線上の点の座標の変換から得られる直線のプルッカー ベクトルの座標変換から始めると簡単に理解できます。
物体の変位を D = ([ A ], d )で定義する。ここで[ A ]は回転行列、 d は並進ベクトルである。物体上の2点 p と qで定義される直線を考え、この直線は プリュッカー座標系 で 、
q = ( q − p , p × q ) , {\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),} すると、固定フレームでは変換された点の座標 P = [ A ] p + d と Q = [ A ] q + d が得られ、次のようになります。
Q = ( Q − P , P × Q ) = ( [ A ] ( q − p ) , [ A ] ( p × q ) + d × [ A ] ( q − p ) ) {\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))} このように、空間変位は、次のように表される直線のプルッカー座標の変換を定義する。
{ Q − P P × Q } = [ A 0 D A A ] { q − p p × q } . {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.} 行列[ D ]は、外積演算を実行する歪対称行列です。つまり、[ D ] y = d × y です。
空間変位D = ([ A ], d )から得られる6×6行列は、 双対行列に組み立てられる。
[ A ^ ] = ( [ A ] , [ D A ] ) , {\displaystyle [{\hat {\mathsf {A}}}]=([A],[DA]),} これをスクリュー s = ( s . v ) に作用させて、
S = [ A ^ ] s , ( S , V ) = ( [ A ] , [ D A ] ) ( s , v ) = ( [ A ] s , [ A ] v + [ D A ] s ) . {\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {\mathsf {A}}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).} 双対行列[Â] = ([ A ], [ DA ])は行列式が1であり、 双対直交行列 と呼ばれます 。
リー代数の要素としてのツイスト パラメータ化された4x4同次変換によって定義された剛体の動きを考えてみましょう。
P ( t ) = [ T ( t ) ] p = { P 1 } = [ A ( t ) d ( t ) 0 1 ] { p 1 } . {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.} この表記法では、 P = ( X 、 Y 、 Z 、 1) と P = ( X 、 Y 、 Z )を区別していませんが 、これは文脈上明らかです。
この動きの速度は、物体の点の軌跡の速度を計算することによって定義されます。
V P = [ T ˙ ( t ) ] p = { V P 0 } = [ A ˙ ( t ) d ˙ ( t ) 0 0 ] { p 1 } . {\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.} ドットは時間に関する微分を表し、 p は定数なのでその微分はゼロになります。
p の逆変換を速度方程式に代入し、 軌道 P ( t )に作用させて P の速度を得る 。つまり、
V P = [ T ˙ ( t ) ] [ T ( t ) ] − 1 P ( t ) = [ S ] P , {\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},} ここで
[ S ] = [ Ω − Ω d + d ˙ 0 0 ] = [ Ω d × ω + v 0 0 ] . {\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.} [Ω]は角速度行列であることを思い出してください。行列[ S ]は、同次変換のリー群 SE(3)のリー代数 se(3) の元です。[ S ]の成分は ツイストスクリューの成分であり、このため[ S ]はツイストとも呼ばれます
行列[ S ]の定義から 、常微分方程式を定式化することができる。
[ T ˙ ( t ) ] = [ S ] [ T ( t ) ] , {\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],} 定数のねじれ行列[ S ]を持つ運動[ T ( t )]を求める 。解は指数行列である。
[ T ( t ) ] = e [ S ] t . {\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.} この定式化は一般化することができ、SE( n )における初期配置 g (0)とse( n )におけるねじれ ξ が与えられたとき、新しい位置と方向への同次変換は次式で計算できる。
g ( θ ) = exp ( ξ θ ) g ( 0 ) , {\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),} ここで、 θ は 変換のパラメータを表します。
反射によるネジ 変換幾何学 において 、変換の基本概念は 鏡映（数学） である。平面変換では、平行線の鏡映によって並進が行われ、交差する2本の直線の鏡映によって回転が行われる。同様の概念から螺旋変換を生み出すには、 空間 内の平面を使用しなければならない。平行平面は 螺旋軸 （螺旋の回転を生み出す交差平面の交線）に垂直でなければならない。したがって、平面における4回の鏡映によって螺旋変換が実現される。逆幾何学の伝統は 射影 幾何学 の考え方の一部を借用し、 解析幾何学 に依存しない変換の言語を提供している 。
ホモグラフィ ねじの変位によって生じる並進と回転の組み合わせは、指数写像で表すことが でき ます
双対数の場合、 ε 2 = 0 となるため 、 exp( aε ) = 1 + aε となり、指数級数のその他の項はすべて消滅します。
F = {1 + εr : r ∈ H }, ε 2 = 0 とします 。F は、任意のベクトル四元数 r と s に対して、回転 q → p −1 qp と並進 (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) に対して安定であることに 注意 し て ください 。F は 、 8 次元 双対 四 元 数 空間 における 3 次元 平面 です 。 この 3 次元 平面 F は 空間 を 表し 、 構成 さ れ た ホモグラフィは F に 制限され 、空間の螺旋変位となります。
a を r 軸周りの所望の回転角度の半分 、 br を ねじ軸 上の変位の半分とし ます 。すると、 z = exp(( a + bε ) r ) 、 z * = exp(( a − bε ) r ) となります。このとき、ホモグラフィーは
[ q : 1 ] ( z 0 0 z ∗ ) = [ q z : z ∗ ] ∼ [ ( z ∗ ) − 1 q z : 1 ] . {\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz:z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz:1].} z * の逆関数は
1 exp ( a r − b ε r ) = ( e a r e − b r ε ) − 1 = e b r ε e − a r , {\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},} したがって、ホモグラフィは q を
( e b ε e − a r ) q ( e a r e b ε r ) = e b ε r ( e − a r q e a r ) e b ε r = e 2 b ε r ( e − a r q e a r ) . {\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).} ここで、任意の四元数ベクトル p 、 p * = − p に対して、 q = 1 + pε ∈ F とします。ここで、必要な回転と平行移動が実行されます。
明らかに、 双対四元数 環 の 単位群は リー群で ある。部分群は、 パラメータ ar と bsによって生成される リー代数 を持つ。ここで、 a , b ∈ R 、 r , s ∈ H である。これら6つのパラメータは、単位群の部分群、すなわち単位球面を生成する。もちろん、これには F と 3次元ベルソル球面 が 含ま れる。
剛体に作用する力の仕事 剛体上 の点 X 1 , X 2 ... X n に作用する力の集合 F 1 , F 2 ... F n を考える。X i , i = 1,..., n の軌跡は、 剛体の回転運動 [ A ( t )] と、 剛体上の参照点の
並進運動 d ( t ) によって定義され、次のように表される。
X i ( t ) = [ A ( t ) ] x i + d ( t ) i = 1 , … , n , {\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,} ここで、 x i は移動体の座標です。
各点X i の速度 は
V i = ω → × ( X i − d ) + v , {\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,} ここで ω は角速度ベクトル、 vは d ( t )の微分です 。
各点の
変位 δ r i = v i δt に対する力の仕事は次のように与えられる。
δ W = F 1 ⋅ V 1 δ t + F 2 ⋅ V 2 δ t + ⋯ + F n ⋅ V n δ t . {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.} 各点の速度を運動体のねじれに基づいて定義すると、
δ W = ∑ i = 1 n F i ⋅ ( ω → × ( X i − d ) + v ) δ t . {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.} この式を展開し、ωと v の係数を集めると、
δ W = ( ∑ i = 1 n F i ) ⋅ d × ω → δ t + ( ∑ i = 1 n F i ) ⋅ v δ t + ( ∑ i = 1 n X i × F i ) ⋅ ω → δ t = ( ∑ i = 1 n F i ) ⋅ ( v + d × ω → ) δ t + ( ∑ i = 1 n X i × F i ) ⋅ ω → δ t . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}} 運動体のねじれとそれに作用するレンチを導入し、
T = ( ω → , d × ω → + v ) = ( T , T ∘ ) , W = ( ∑ i = 1 n F i , ∑ i = 1 n X i × F i ) = ( W , W ∘ ) , {\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),} 仕事は形をとる
δ W = ( W ⋅ T ∘ + W ∘ ⋅ T ) δ t . {\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.} 6×6行列[Π]は、ねじを使った仕事の計算を簡略化するために使用され、
δ W = ( W ⋅ T ∘ + W ∘ ⋅ T ) δ t = W [ Π ] T δ t , {\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,} ここで
[ Π ] = [ 0 I I 0 ] , {\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},} そして[I]は3×3の単位行列です。
相反ねじ レンチのねじりに対する仮想仕事がゼロの場合、レンチの力とトルクはねじりに対する拘束力となります。レンチとねじりは相反的であると言われます。 つまり 、
δ W = W [ Π ] T δ t = 0 , {\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,} すると、ねじ W と T は 相互になります。
ロボット工学のひねり ロボットシステムの研究では、仕事の計算で6×6行列[Π]を必要としないために、ねじれの要素は転置されることがよくあります。 [1] この場合、ねじれは次のように定義されます
T ˇ = ( d × ω → + v , ω → ) , {\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),} したがって仕事の計算は次のようになる
δ W = W ⋅ T ˇ δ t . {\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.} この場合、もし
δ W = W ⋅ T ˇ δ t = 0 , {\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,} すると、レンチ W はねじれ T と逆の関係になります。
歴史 この数学的枠組みは、 1876年に ロバート・スタウェル・ボール卿によって、 機構 の運動学と 静力学 （剛体力学） への応用のために開発されました。 [4]
フェリックス・クラインは、ねじ理論を 楕円幾何学 と エアランゲン・プログラム の応用と捉えました 。 [11] 彼はまた、楕円幾何学と、 ケーリー・クライン計量を 用いたユークリッド幾何学の新たな視点を提示しました。フォン・シュタウトの円錐曲線と計量に対称行列を適用し、ねじに適用した例は 、 ハーヴェイ ・ リプキンによって説明されています。 [12] その他の著名な貢献者としては、 ユリウス・プリュッカー 、 W・K・クリフォード 、FM・ディメントバーグ、 ケネス・H・ハント 、J・R・フィリップスなどが挙げられます。 [13]
変換幾何学におけるホモグラフィの考え方は、 1世紀以上前に ソフス・リーによって提唱されました。さらに以前、 ウィリアム・ローワン・ハミルトンは単位四元数の バーサー 形式をexp( ar )=cosa + rsina として 示し まし た 。この考え方は、 複素平面 における 単位円 を媒介変数化する オイラーの公式 にも見られます。
ウィリアム・キングドン・クリフォードは 運動学 における双対四元数の使用を開始し 、その後 アレクサンドル・コテルニコフ 、 エドゥアルト・スタディ （ 『運動の幾何学 』）、 ヴィルヘルム・ブラシュケ が続いた。しかし、ソフス・リーの視点が再び取り上げられた。 [14]
1940年、 ジュリアン・クーリッジは 『幾何学的手法の歴史』 の261ページで、ねじの変位における双対四元数の使用について述べた。彼は1885年の アーサー・ブッフハイム の貢献に言及している 。 [15] クーリッジは、ハミルトンが実四元数に使用したツールに基づいて記述したに過ぎない。
参照
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外部リンク ジョー・ルーニー、ウィリアム・キングドン・クリフォード、ロンドン・オープン大学デザイン・イノベーション学部 Ravi Banavarによるロボット工学、幾何学、制御に関するノート（2017年8月29日、 Wayback Machineにアーカイブ）
![{\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5be07d3709c4de99ed5c9bd3cf78fbd73bdeef3)
![{\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca128ad255b35f005c595be5dcb3c20741c2266)
![{\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1d5e2fa5833b2ca4b5bea7fa5f2328c189d11)
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![{\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a8dd3e054623e0445832935a5dd35370a8d6d1)
![{\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6405ae0c4b3cc25fa7211d6a35715d1287d8a5ed)
![{\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fa38fab9abcd23c99639cd4125d6a0854feeac)
![{\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00047d680398cb631e1fd08f3fc8b9417af916d)
![{\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz:z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz:1]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b65368790b45966041a0b242d4b4d8d4801fac)
![{\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60431e120e5040101d97de61f813c94a44f7028)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\右)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9281a1ef27d1b3d40fb25efa560c19996570539)
![{\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58ad36775ce29befe65fee3eba57067c32aa8a)
![{\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8153c2e5a808b6d1bd8bd1bae079792c5c3b96)
![{\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e31129ded6adadd50034cd65ef2a4cb8569292)
