Algebraic structure used in analysis
数学 において 、 リー代数 （リーだいすう、発音 LEE ）は、 リー括弧 と呼ばれる演算を伴う ベクトル空間 であり、 交代双線型写像 であり、 ヤコビ恒等式 を満たします。言い換えれば、リー代数は、 乗算演算（リー括弧と呼ばれる）が交代であり、ヤコビ恒等式を満たす、体上の 代数 です。2つのベクトルおよびのリー括弧は と 表記されます 。リー代数は、通常 、非結合代数 です。ただし、すべての 結合代数は、 交換 リー括弧 を持つ同じベクトル空間からなるリー代数を生じます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g × g → g {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx}
リー代数は、同じく 滑らかな多様 体 である リー群 と密接な関係がある。すべてのリー群は、 単位元における 接空間 であるリー代数を生じる。（この場合、リー括弧はリー群の 可換性の破れを測る尺度となる。）逆に、 実数 または 複素数 上の任意の有限次元リー代数には、 被覆空間を除いて一意に対応する 連結 リー群 が存在する （ リーの第三定理 ）。この 対応関係 により、線型代数のより単純な対象であるリー代数を用いて、リー群の構造と 分類を 研究することができる。
より詳細に述べると、任意のリー群において、単位元 1 の近傍における乗算演算は一階可換である。言い換えれば、すべてのリー群 Gは（一階に関しては）近似的に実ベクトル空間、すなわち単位元における G の 接空間である 。二階に関しては、群演算は非可換となる場合があり、 単位元近傍における G の非可換性を記述する二階項はリー代数の構造を与える。これらの二階項（リー代数）が、 単位元近傍における G の群構造を完全に決定するという事実は注目に値する。それらは被覆空間に至るまで、 G を大域的に決定する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
物理学において、リー群は物理系の対称群として現れ、そのリー代数（単位元に近い接ベクトル）は無限小対称運動と考えることができる。したがって、リー代数とその表現は物理学、特に 量子力学 と素粒子物理学において広く用いられている。
基本的な例（結合代数から直接導かれるものではない）は、外積 によって定義されるリー括弧付きの 3次元空間である。 これは なので歪対称であり 、結合性の代わりにヤコビ恒等式を満たす。 g = R 3 {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}} [ x , y ] = x × y . {\displaystyle [x,y]=x\times y.} x × y = − y × x {\displaystyle x\times y=-y\times x}
x × ( y × z ) + y × ( z × x ) + z × ( x × y ) = 0. {\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.} これは空間の回転 のリー群のリー代数であり 、各ベクトルは 軸 の周りの無限小回転として表すことができ 、その角速度は の大きさに等しい 。リー括弧は、2つの回転間の非可換性を表す尺度である。回転は自身と可換であるため、交代性 が成り立つ 。 v ∈ R 3 {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}} v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} [ x , x ] = x × x = 0 {\displaystyle [x,x]=x\times x=0}
リー代数の基本的な例としては、 後述するように、ベクトル空間からそれ自身への 線型写像全体の成す空間が挙げられます。ベクトル空間が n次元のとき、このリー代数は 一般線型 リー代数 と呼ばれます。これは、すべての 行列 の成す空間でもあります 。リー括弧は、行列（または線型写像）の交換子として定義されます 。 g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} n × n {\displaystyle n\times n} [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX}
歴史 リー代数は、1870年代に ソフス・リー によって 無限小変換 の概念を研究するために導入され [1] 、1880年代に ヴィルヘルム・キリング によって独立に発見されました [2] 。 リー代数の 名称は1930年代に ヘルマン・ワイル によって与えられました。古い文献では、 無限小群 という用語が 使用されていました。
リー代数の定義 リー代数は、 リー括弧と呼ばれる 二項演算 を伴う 体 上のベクトル空間であり、以下の公理を満たす: [a] g {\displaystyle \,{\mathfrak {g}}} F {\displaystyle F} [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
[ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],} [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]} 内の すべてのスカラー と 内のすべての要素について 。 a , b {\displaystyle a,b} F {\displaystyle F} x , y , z {\displaystyle x,y,z} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0\ } すべて in 。 x {\displaystyle x} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ x , [ y , z ] ] + [ z , [ x , y ] ] + [ y , [ z , x ] ] = 0 {\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ } すべて in 。 x , y , z {\displaystyle x,y,z} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} リー群が与えられれば、そのリー代数のヤコビ恒等式は群演算の結合性から導かれます。
双線型性を用いてリー括弧を展開し 、交代性を利用すると、 のすべての に対して となることが示される 。 したがって 、双線型性と交代性を合わせると、次の式が成り立つ。 [ x + y , x + y ] {\displaystyle [x+y,x+y]} [ x , y ] + [ y , x ] = 0 {\displaystyle [x,y]+[y,x]=0} x , y {\displaystyle x,y} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[ x , y ] = − [ y , x ] , {\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ } のすべての 場合について。もし体が 標数 2を持たないならば 、反可換性は交代性を意味する。なぜなら [3] x , y {\displaystyle x,y} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ x , x ] = − [ x , x ] . {\displaystyle [x,x]=-[x,x].} 導出特性 、リー括弧の反可換性により、ヤコビ恒等式を の「ライプニッツ規則」として書き換えることができます 。 a d x = [ x , − ] {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}=[x,-]} [ x , [ y , z ] ] = [ [ x , y ] , z ] + [ y , [ x , z ] ] , {\displaystyle [x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]],\ } すべて in 。 x , y , z {\displaystyle x,y,z} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} リー代数は、 のような小文字の フラクトゥール 文字で表記するのが慣例です。リー代数がリー群に関連付けられている場合、その代数は群名のフラクトゥール文字で表記されます。例えば、 SU( n ) のリー代数 は です 。 g , h , b , n {\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}} s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
ジェネレータとディメンション 体上のリー代数の 次元とは 、 ベクトル空間 としての次元を 意味します。物理学では、 リー群 Gのリー代数のベクトル空間 基底は、 G の 生成元 の集合と呼ばれることがあります。（ いわば、 それらは G の「無限小生成元」です。）数学では、リー代数の 生成元 の集合 Sとは、 S を含む任意のリー部分代数（以下に定義）が のすべてでなければならないような の部分集合を意味します 。同様に、は（ベクトル空間として） S の元のすべての反復括弧によって張られます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
基本的な例
アーベルリー代数 リー代数は、そのリー括弧が恒等零であるとき、 アーベル的であると 呼ばれます。恒等零のリー括弧を持つ任意のベクトル空間は 、リー代数になります。リー括弧の交代性により、すべての1次元リー代数はアーベル的になります。 V {\displaystyle V}
行列のリー代数 体上の 結合的代数において、 乗法が と表記される 場合、交換子 によってリー括弧が定義される 。この括弧を用いると、 はリー代数となる。（ヤコビ恒等式は 上の乗法の結合性から導かれる 。） [4] A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} x y {\displaystyle xy} [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} 上記のリー括弧を持つ -ベクトル空間 の 自己 準同型環 は と表記されます。 F {\displaystyle F} V {\displaystyle V} g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} 体 F と正の整数 nに対して、 F上の n × n 行列 の空間（ または と 表記 ）は、行列の交換子によって括弧が与えられるリー代数である 。 [5] これは前の例の特別な場合であり、リー代数の重要な例である。これは 一般線型 リー代数と呼ばれる。 g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} g l n ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)} [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} F が 実数である とき、 は 一般線型群 のリー代数です。一般線型群は n x nの 可逆な 実数行列（または、非零の 行列式 を持つ行列）の群 であり、群演算は行列乗算です。同様に、 は複素リー群 のリー代数です 。 上のリー括弧は、 行列乗算の可換性が破綻すること、または線型写像の合成の可換性が破綻することを表わします。任意の体 F に対して、は F 上の 代数群 のリー代数と見なすことができます 。 g l ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )} G L ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} g l ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )} G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} g l ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )} g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)}
定義
部分代数、イデアル、準同型 リー括弧は結合的で ある必要はない 。つまり、 は と等しい必要はない。しかしながら、結合的 環 や代数（そして群） の用語の多くは、リー代数にも類似している。 リー部分代数 とは、リー括弧の下で閉じた 線型部分空間である。 イデアルとは 、より強い条件を満たす線型部分空間である。 [6] [ [ x , y ] , z ] {\displaystyle [[x,y],z]} [ x , [ y , z ] ] {\displaystyle [x,[y,z]]} h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} i ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}
[ g , i ] ⊆ i . {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.} リー群とリー代数との対応において、部分群はリー部分代数に対応し、 正規部分群は イデアルに対応する。
リー代数 準同型 は、それぞれのリー括弧と互換性のある線型写像である。
ϕ : g → h , ϕ ( [ x , y ] ) = [ ϕ ( x ) , ϕ ( y ) ] for all x , y ∈ g . {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.} リー代数の 同型 は 全単射準 同型です。
群の正規部分群と同様に、リー代数のイデアルはまさに準同型写像の 核 である。リー代数と その中の イデアルが与えられたとき、 商リー代数 が定義され、リー代数の 射影準同型写像を持つ。リー代数に対して 第一同型定理が 成り立つ。すなわち、リー代数の任意の準同型写像に対して 、 の像は のリー部分代数であり、 と同型である 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} g / i {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}} g → g / i {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}} ϕ : g → h {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} ϕ {\displaystyle \phi } h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g / ker ( ϕ ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )}
リー群のリー代数において、リー括弧は一種の無限小交換子である。結果として、任意のリー代数において、2つの元は、 その括弧が消滅する場合、 可換 であると言われる 。 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} [ x , y ] = 0 {\displaystyle [x,y]=0}
部分集合の中心化部分代数 は と 可換な元の集合 、すなわち である 。 自身の中心化部分代数は 中心 で ある 。同様に、部分空間 S に対して、 の 正規化 部分代数はである 。 [7] がリー部分代数である 場合、 は が のイデアル となる最大の部分代数である 。 S ⊂ g {\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}} S {\displaystyle S} z g ( S ) = { x ∈ g : [ x , s ] = 0 for all s ∈ S } {\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} z ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})} S {\displaystyle S} n g ( S ) = { x ∈ g : [ x , s ] ∈ S for all s ∈ S } {\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}} S {\displaystyle S} n g ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)} S {\displaystyle S} n g ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}
例 における対角行列の 部分空間は アーベルリー部分代数である。（これは の カルタン部分代数 であり、 コンパクトリー群 の理論における 最大トーラス に類似している。）ここでは に対して はイデアルではない 。例えば のとき、 次の計算から次のようになる。 t n {\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}} g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} t n {\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}} g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} n = 2 {\displaystyle n=2}
[ [ a b c d ] , [ x 0 0 y ] ] = [ a x b y c x d y ] − [ a x b x c y d y ] = [ 0 b ( y − x ) c ( x − y ) 0 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
(必ずしも であるとは限りません )。 t 2 {\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}
リー代数のすべての 1 次元線形部分空間 はアーベル リー部分代数ですが、必ずしもイデアルである必要はありません。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
積と半直積 2つのリー代数とに対して 、 積リー 代数は 、リー括弧 [8] を持つすべての順序付きペアからなる ベクトル空間です。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g'}}} g × g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}} ( x , x ′ ) , x ∈ g , x ′ ∈ g ′ {\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}
[ ( x , x ′ ) , ( y , y ′ ) ] = ( [ x , y ] , [ x ′ , y ′ ] ) . {\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).} これはリー環の 圏 における積である。 と のコピーは 互いに可換 で あることに注意されたい。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}'} g × g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}} [ ( x , 0 ) , ( 0 , x ′ ) ] = 0. {\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}
をリー代数、 を のイデアルと する 。正準写像が を分解する（すなわち、 をリー代数の準同型として許容する）場合、 は と の半直積、 で ある と 言われる 。 リー代数の半直和 も参照のこと 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g → g / i {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}} g / i → g {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} g / i {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}} g = g / i ⋉ i {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}
派生 体 F上の 代数 A に対して 、 A の F 上の 微分は ライプニッツ則 を満たす 線型写像である。 D : A → A {\displaystyle D\colon A\to A}
D ( x y ) = D ( x ) y + x D ( y ) {\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)} すべての に対して成り立つ。（この定義は、おそらく 非結合的な代数 に対しても意味を成す 。）2つの微分 と が与えられたとき 、 それらの交換子は再び微分となる。この操作により、 Aの F 上 のすべての微分 空間は リー代数となる。 [9] x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} D 1 {\displaystyle D_{1}} D 2 {\displaystyle D_{2}} [ D 1 , D 2 ] := D 1 D 2 − D 2 D 1 {\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}} Der k ( A ) {\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}
非公式に言えば、 A の微分空間は A の 自己同型群 のリー代数である 。（これは自己同型群がリー群である場合、例えば F が実数で A が ベクトル空間として有限次元を持つ場合など、文字通りに真である。）このため、微分空間はリー代数を構成する自然な方法である。つまり、それらは A の「無限小自己同型」である。実際、
( 1 + ϵ D ) ( x y ) ≡ ( 1 + ϵ D ) ( x ) ⋅ ( 1 + ϵ D ) ( y ) ( mod ϵ 2 ) {\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}} （ここで、1 はA 上の恒等写像を表す）は、 D が微分である という定義を正確に与えます。
例: ベクトル場のリー代数。 A を 滑らかな多様体 X上の 滑らかな関数 の 環とします 。すると、 A の上 の微分は X 上の ベクトル場 と同値になります 。(ベクトル場 v は、関数を v の方向に微分することで滑らかな関数の空間の微分を与えます。) これにより、ベクトル場の空間は リー代数になります ( ベクトル場のリー括弧を 参照)。 [10] 非公式に言うと、は X の 微分同相群 のリー代数です 。したがって、ベクトル場のリー括弧は微分同相群の非可換性を記述します。 リー群 G の多様体 Xへの 作用は 、リー代数の準同型を決定します 。(例を以下に示します。) C ∞ ( X ) {\displaystyle C^{\infty }(X)} R {\displaystyle \mathbb {R} } Vect ( X ) {\displaystyle {\text{Vect}}(X)} Vect ( X ) {\displaystyle {\text{Vect}}(X)} g → Vect ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}
リー代数は非結合的代数とみなすことができ、 体 F 上の各リー代数はその微分リー代数を決定する 。つまり、 の微分は 次のような 線型写像である。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Der F ( g ) {\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} D : g → g {\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
D ( [ x , y ] ) = [ D ( x ) , y ] + [ x , D ( y ) ] {\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]} 。 任意の に関連付けられた 内部 微分は によって定義される 随伴写像である 。（これはヤコビ恒等式の結果としての微分である。）これはリー代数の準同型 を与える 。像は のイデアルであり、 外部微分 のリー代数 は商リー代数 として定義される。（これは 群の 外部自己同型群 とちょうど類似している。）標数 0 の体上の 半単純リー代数 （以下で定義）に対して、すべての微分は内部である。 [11] これは半単純リー群の外部自己同型群が有限であるという定理に関連している。 [12] x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} a d x {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}} a d x ( y ) := [ x , y ] {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]} ad : g → Der F ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})} Inn F ( g ) {\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})} Der F ( g ) {\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})} Out F ( g ) = Der F ( g ) / Inn F ( g ) {\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}
対照的に、アーベルリー代数は多くの外微分を持つ。すなわち、 リー括弧零点を持つベクトル空間に対して、リー代数は と同一視できる 。 V {\displaystyle V} Out F ( V ) {\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)} g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}
例
行列リー代数 行列 群は 、可逆行列 からなるリー群であり、 G の群演算は 行列の乗算である。対応するリー代数は、 線型空間 の内部で G に接するベクトルとなる行列の空間である。これは 、 G 内の滑らかな曲線の単位行列 における微分から構成される 。 G ⊂ G L ( n , R ) {\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )} I {\displaystyle I}
g = { X = c ′ ( 0 ) ∈ M n ( R ) : smooth c : R → G , c ( 0 ) = I } . {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.} のリー括弧は 行列の交換子によって与えられる 。リー代数 が与えられれば、 の元の 指数行列 によって生成される部分群としてリー群を復元することができる 。 [13] （正確には、 G が連結でない場合は、これは G の 恒等成分 を与える。）ここで指数写像は によって定義され 、これはすべての行列 に対して収束する 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} g ⊂ g l ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} exp : M n ( R ) → M n ( R ) {\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )} exp ( X ) = I + X + 1 2 ! X 2 + 1 3 ! X 3 + ⋯ {\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots } X {\displaystyle X}
同じコメントは、 の複素リー部分群 と複素指数行列 (同じ式で定義) にも当てはまります。 G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} exp : M n ( C ) → M n ( C ) {\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}
ここにいくつかの行列リー群とそのリー代数を示す。 [14]
正の整数 n に対して、 特殊線型群は行列式が 1 であるすべての実 n × n 行列 から構成される。これは、体積と 向きを 保存する、 から 自身への線型写像の群である。 より抽象的に言えば、は 一般線型群の 交換子部分群 である 。そのリー代数は、 トレースが 0 であるすべての実 n × n 行列 から構成される。同様に、類似の複素リー群 とそのリー代数 を定義することができる 。 S L ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} S L ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )} G L ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} s l ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )} S L ( n , C ) {\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )} s l ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )} 直交 群は 幾何学において基本的な役割を果たします。直交群とは、 ベクトルの長さを保存する、 から 自身への線型写像の群です。例えば、回転や鏡映は に属します。同様に、これは n x n 直交行列 の群であり、 （ は行列の 転置を 表す）を意味します 。直交群には 2 つの連結成分があり、恒等成分は 特殊直交群 と呼ばれ、行列式が 1 である直交行列で構成されます。どちらの群も同じリー代数 （ （ ） 内の歪対称行列の部分空間）を持ちます 。 歪対称行列による無限小回転 も参照してください。 O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} A T = A − 1 {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}} A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} g l ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )} X T = − X {\displaystyle X^{\rm {T}}=-X} 複素直交群 、その単位元 、およびリー代数は、 n x n 複素行列 に適用される同じ公式によって与えられます。同様に、 は 上の 標準 対称双線型形式 を保存するの部分群です 。 O ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )} S O ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )} s o ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} O ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )} G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ユニタリ 群は、（標準 エルミート内積 に関して） におけるベクトルの長さを保存する の部分群です。同様に、これは n × n ユニタリ行列 の群です（ を満たし 、 は 行列の 共役転置 を表します）。そのリー代数は、 （ ） の歪エルミート行列で構成されます 。これは 上のリー代数で あり、 上のリー代数ではありません 。（実際、歪エルミート行列の i 倍は、歪エルミートではなく、エルミートです。）同様に、ユニタリ群は 複素リー群 の実リー部分群です 。たとえば、は 円群 であり 、そのリー代数は（この観点から） です 。 U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} A ∗ = A − 1 {\displaystyle A^{*}=A^{-1}} A ∗ {\displaystyle A^{*}} u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} g l ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )} X ∗ = − X {\displaystyle X^{*}=-X} R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)} i R ⊂ C = g l ( 1 , C ) {\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )} 特殊 ユニタリ群は 、行列式が 1 である行列の部分群である 。そのリー代数は、 トレースが零である歪エルミート行列から構成される。 S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} シン プレクティック群は 、上の 標準 交代双線型形式を 保存するの部分群である 。そのリー代数は シンプレクティック・リー代数 である。 S p ( 2 n , R ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )} G L ( 2 n , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} s p ( 2 n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )} 古典 的なリー代数 は、上記に挙げたものと、任意の体上の変種です。
2次元 ここでは低次元リー代数のいくつかについて説明します。さらなる例については、 低次元実リー代数の分類を 参照してください。
任意の体 F 上に、同型を除いて、次元 2 の 非可換リー代数が一意に存在します。 [15] ここで は 基底を持ち、 その括弧は によって与えられます。(公理から および が成り立つため、これによってリー括弧が完全に決定されます 。) 実数上、は 実数直線 の アフィン変換 の リー群のリー代数と見なすことができます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} X , Y {\displaystyle X,Y} [ X , Y ] = Y {\displaystyle \left[X,Y\right]=Y} [ X , X ] = 0 {\displaystyle [X,X]=0} [ Y , Y ] = 0 {\displaystyle [Y,Y]=0} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G = A f f ( 1 , R ) {\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )} x ↦ a x + b {\displaystyle x\mapsto ax+b} アフィン群 G は行列群と同一視できる ( a b 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)} 行列乗算の下では、 、となる 。そのリー代数は、 すべて の行列 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g l ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )} ( c d 0 0 ) . {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).} これらの用語では、上記の基底 は行列によって与えられる。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} X = ( 1 0 0 0 ) , Y = ( 0 1 0 0 ) . {\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).} 任意の体 に対して 、1次元部分空間は 2次元リー代数 のイデアルとなり 、式 で表され ます。リー代数 と はどちらも アーベル代数です（1次元であるため）。この意味で、 はアーベル「部分」に分解でき、これは以下の用語で言うところの可解（ただし冪零ではない）であることを意味します。 F {\displaystyle F} F ⋅ Y {\displaystyle F\cdot Y} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ X , Y ] = Y ∈ F ⋅ Y {\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y} F ⋅ Y {\displaystyle F\cdot Y} g / ( F ⋅ Y ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
三次元 体 F 上のハイゼンベルク 代数 は、次のような 基底を持つ3次元リー代数である [16] h 3 ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)} X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} [ X , Y ] = Z , [ X , Z ] = 0 , [ Y , Z ] = 0 {\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0} 。 これは、交換子リー括弧と基底を持つ
3×3の厳密な 上三角 行列のリー代数として見ることができる。 X = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , Y = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , Z = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) . {\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad } 実数上、は ハイゼンベルク群 のリー代数 、すなわち行列の群で
ある。 h 3 ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )} H 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )} ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)} 行列乗算の下で。 任意の体F に対して 、 の中心は 1次元イデアル であり 、その商は と同型なアーベル体である 。以下の用語法を用いると、 は 冪零体（アーベル体ではないが）となる。 h 3 ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)} F ⋅ Z {\displaystyle F\cdot Z} h 3 ( F ) / ( F ⋅ Z ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)} F 2 {\displaystyle F^{2}} h 3 ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)} 回転群SO(3) の リー代数 は、3×3の歪対称行列の空間である 。基底は3つの行列 [17]で与えられる。 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} R {\displaystyle \mathbb {R} } F 1 = ( 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ) , F 2 = ( 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 ) , F 3 = ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) . {\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad } これらの生成器間の交換関係は [ F 1 , F 2 ] = F 3 , {\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},} [ F 2 , F 3 ] = F 1 , {\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},} [ F 3 , F 1 ] = F 2 . {\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.} におけるベクトルの外積は、 標準基底を用いて同じ式で与えられる。したがって、リー代数は と同型である 。また、は 量子力学におけるスピン1粒子の スピン（物理学） 角運動量成分演算子 と等価である 。 [18] R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} リー代数は、 前の例のようには分割できません。 リー代数は 単純 であり、つまりアーベル代数ではなく、そのイデアルは 0 と のすべてだけです 。 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 次元3のもう一つの単純なリー代数（この場合は ） は、トレースゼロの2×2行列の空間である 。基底は3つの行列によって与えられる。 C {\displaystyle \mathbb {C} } s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} H = ( 1 0 0 − 1 ) , E = ( 0 1 0 0 ) , F = ( 0 0 1 0 ) . {\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).} リー括弧は次のように与えられます。 [ H , E ] = 2 E , {\displaystyle [H,E]=2E,} [ H , F ] = − 2 F , {\displaystyle [H,F]=-2F,} [ E , F ] = H . {\displaystyle [E,F]=H.} これらの式を用いることで、リー代数が 単純であることが示され、その有限次元表現（以下で定義）が分類される。 [19] 量子力学の用語では、 E と F はそれぞれ 昇順演算子と降順演算子 と考えることができる 。実際、 の任意の表現について 、上記の関係式は、 E が （複素数 c に対して） H の c - 固有空間 を - 固有空間に写像し 、 F が c - 固有空間を - 固有空間に 写像することを意味している 。 s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ( c + 2 ) {\displaystyle (c+2)} ( c − 2 ) {\displaystyle (c-2)} リー代数は の複素 化 、つまり テンソル積 と同型である 。 リー括弧の式は の場合の方が解析が容易である。その結果、 の複素表現を リー代数 の表現と関連付けて 解析することが一般的である 。 s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} s o ( 3 ) ⊗ R C {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}
無限の次元 正の次元の滑らかな多様体上のベクトル場のリー代数は、 上の無限次元リー代数です 。 R {\displaystyle \mathbb {R} } Kac -Moody 代数は 、 上の無限次元リー代数の大きなクラスであり 、有限次元単純リー代数 ( など ) とよく似た構造を持ちます。 C {\displaystyle \mathbb {C} } s l ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )} モヤル 代数は、すべての 古典的なリー代数を 部分代数として含む無限次元のリー代数です 。 ヴィラソロ 代数は 弦理論 において重要である 。 体F 上のリー代数を基礎ベクトル空間へ 運ぶ関数には、 ベクトル空間 V上の 自由リー代数 と呼ばれる 左随伴関数が存在する。これは、リー代数の定義から生じる関係のみを法として、 V の元のすべての反復リー括弧によって張られる。 自由リー代数は、 少なくとも2次元の V に対して無限次元である。 [20] V ↦ L ( V ) {\displaystyle V\mapsto L(V)} L ( V ) {\displaystyle L(V)}
表現
定義 ベクトル空間 V が与えられ、 V からそれ自身へのすべての線型写像からなるリー代数を で表す。 括弧は で与えられる 。 V 上の リー代数の 表現 はリー代数準同型である。 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
π : g → g l ( V ) . {\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).} つまり、 は、の各要素を V からそれ自身への線型写像に 送り 、 のリー括弧は 線型写像の交換子に対応する。 π {\displaystyle \pi } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
表現が 忠実 であるとは、その核がゼロの時である。 アドーの定理は 、標数ゼロの体上の任意の有限次元リー代数は、有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持つと述べている。 岩澤健吉は この結果を、任意の標数を持つ体上の有限次元リー代数に拡張した。 [21]同様に、体 F 上の任意の有限次元リー代数は、 ある正の整数 n に対してのリー部分代数と同型である 。 g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}
随伴表現 任意のリー代数に対して 、 随伴表現 は表現 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad : g → g l ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} によって与えられます。(これは ヤコビ恒等式による の表現です。) ad ( x ) ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
表現理論の目標 リー代数（特に、以下に定義する半単純リー代数）の研究において重要な側面の 1 つは、それらの表現の研究です。アドーの定理は重要な結果ですが、表現論の主な目標は、与えられたリー代数の忠実な表現を見つけることではありません 。確かに、半単純の場合、随伴表現は既に忠実です。そうではなく、目標は のすべての可能な表現を理解することです 。特性 0 の体上の半単純リー代数について、 ワイルの定理 [22] によれば、すべての有限次元表現は既約表現（非自明な不変部分空間を持たない表現）の直和になります。有限次元既約表現は、いくつかの観点からよく理解されています。 半単純リー代数の表現論 と ワイル指標式 を参照してください。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
普遍包絡代数 体 F上の結合代数 A をリー代数 A に（ によって ） 渡す関手は、 左随伴関数 を持ち、これは 普遍包絡代数と呼ばれます。これを構築するには、 F 上の リー代数が与えられた とき、 [ X , Y ] := X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]:=XY-YX} g ↦ U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
T ( g ) = F ⊕ g ⊕ ( g ⊗ g ) ⊕ ( g ⊗ g ⊗ g ) ⊕ ⋯ {\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots } を 上の テンソル代数 とし 、ベクトル空間 上の自由結合代数とも呼ばれる 。ここで は F ベクトル空間の テンソル積 を表す 。Iを の 元によって生成される の 両側 イデアル とすると 、普遍包絡代数は商環 となる。 これは ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理 を満たす。すなわち、 が F ベクトル空間として の の基底である 場合 、 の基底は自然数 との 順序付き積すべてによって与えられる 。特に、写像は 単射で ある 。 [23] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ⊗ {\displaystyle \otimes } T ( g ) {\displaystyle T({\mathfrak {g}})} X Y − Y X − [ X , Y ] {\displaystyle XY-YX-[X,Y]} X , Y ∈ g {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}} U ( g ) = T ( g ) / I {\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I} e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} e 1 i 1 ⋯ e n i n {\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}} i 1 , … , i n {\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}} g → U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}
の表現は、普遍包絡代数上の 加群 と同値である 。 が単射であるという事実は 、任意のリー代数（無限次元でもよい）が忠実な表現（無限次元）、すなわち 上の表現を持つことを意味する 。これはまた、任意のリー代数が、何らかの結合代数に付随するリー代数に含まれることも示している。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g → U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
物理学における表現論 リー代数の表現論は、理論物理学の様々な分野で重要な役割を果たしている。そこでは、ある自然な交換関係を満たす状態空間上の作用素について考察する。これらの交換関係は、典型的には問題の対称性、具体的には、関連する対称群のリー代数の関係から生じる。一例として、 角運動量作用素 が挙げられ、その交換関係は回転群の リー代数の交換関係である 。典型的には、状態空間は関連する作用素の下で既約とは程遠いが、それを既約な部分に分解しようと試みることはできる。その際には、与えられたリー代数の既約表現を知る必要がある。例えば、 水素原子 の研究では、量子力学の教科書は、リー代数の有限次元既約表現を（多かれ少なかれ明示的に）分類している 。 [18] s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
構造理論と分類 リー代数はある程度分類可能です。これはリー群の分類に対する強力なアプローチです。
アーベル、冪零、可解 アーベル群 、 冪零群 、 可解群 と同様に 、アーベルリー代数、冪零リー代数、可解リー代数を定義することができます。
リー代数は アーベル的 である g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} リー括弧が消える場合、 つまり 内のすべての x と yに対して [ x , y ] = 0 となる場合 。特に、アーベルリー群（ 加法群や トーラス群 など）のリー代数はアーベルである。体上のすべての有限次元アーベルリー代数は、 ある に対して と同型であり 、これはリー括弧がゼロである n 次元ベクトル空間を意味する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} F {\displaystyle F} F n {\displaystyle F^{n}} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}
より一般的なリー代数のクラスは、与えられた長さのすべての交換子が消滅することによって定義されます。まず、 リー代数の 交換子部分代数 （または 導来部分代数 ）は であり、これは を満たすすべての括弧 によって 張られる線型部分空間を意味します 。交換子部分代数は におけるイデアルであり、実際には商リー代数がアーベルとなる最小のイデアルです。これは 群の 交換子部分群 に類似しています。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ g , g ] {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
リー代数 は、 下中心 級数 が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g ⊇ [ g , g ] ⊇ [ [ g , g ] , g ] ⊇ [ [ [ g , g ] , g ] , g ] ⊇ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots } は有限ステップ後にゼロになる。同様に、 に有限個のイデアル列が存在するとき 、
は冪零である。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
0 = a 0 ⊆ a 1 ⊆ ⋯ ⊆ a r = g , {\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},} が各 j に対して中心となるよう なリー代数である 。 エンゲルの定理 によれば、任意の体上のリー代数が冪零となるための必要十分条件は、随伴自己 準同型写像 における任意の uに対して a j / a j − 1 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}} g / a j − 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad ( u ) : g → g , ad ( u ) v = [ u , v ] {\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]} はべき乗で ある 。 [24]
より一般的には、リー代数は、 導来級数が次 の場合に 解ける と言われます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g ⊇ [ g , g ] ⊇ [ [ g , g ] , [ g , g ] ] ⊇ [ [ [ g , g ] , [ g , g ] ] , [ [ g , g ] , [ g , g ] ] ] ⊇ ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots } 有限ステップ後にはゼロになる。同様に、 リー部分代数の有限列が存在する場合、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
0 = m 0 ⊆ m 1 ⊆ ⋯ ⊆ m r = g , {\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},} となるようなイデアルが 、各 j に対してアーベル関数 となる 。 [25] m j − 1 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}} m j {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}} m j / m j − 1 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}
体上のすべての有限次元リー代数は、その 根基 と呼ばれる唯一の最大可解イデアルを持ちます。 [26] リー対応 のもとでは 、冪零（それぞれ可解）リー群は 上の冪零（それぞれ可解）リー代数に対応します 。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
例えば、正の整数 n と標数 0 の体 F の場合、 の根号は その中心、つまり単位行列が張る1次元部分空間です。可解リー代数の例として、 における上三角行列の空間が挙げられます 。これは の場合には冪零ではありません 。冪零リー代数の例として、 における真上三角行列の空間が挙げられます 。これは の場合にはアーベルではありません 。 g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} b n {\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}} g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} u n {\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}} g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3}
シンプルとセミシンプル リー代数は 、アーベル代数でなく、 の唯一のイデアルが 0 と である場合に 単純である と呼ばれます 。（特に、1次元（必然的にアーベル代数） は、その唯一のイデアルが 0 と であっても、定義により単純ではありません 。）有限次元リー代数は、 の唯一の解けるイデアルが 0 である場合に 半単純で あると呼ばれます。 特性ゼロにおいて、リー代数が 半単純であるための必要十分条件は、それが単純リー代数の積 と同型である場合です 。 [27] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ≅ g 1 × ⋯ × g r {\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}
例えば、リー代数は任意の および任意の 標数ゼロの体 F （または n を割り切れない標数） に対して単純である。 上の リー代数は 任意の に対して単純である。 上の リー代数は または の 場合には単純である 。 [28] （「例外的な同型」および が存在する 。） s l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} R {\displaystyle \mathbb {R} } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} R {\displaystyle \mathbb {R} } n = 3 {\displaystyle n=3} n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} s o ( 3 ) ≅ s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)} s o ( 4 ) ≅ s u ( 2 ) × s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}
リー代数の半単純性の概念は、その表現の完全還元可能性（半単純性）と密接に関連している。基底体 Fが 特性零を持つとき、半単純リー代数のすべての有限次元表現は 半単純 （すなわち、既約表現の直和）である。 [22]
特性零の体上の有限次元リー代数は、その随伴表現が半単純であるとき、 簡約的である と呼ばれる。すべての簡約的リー代数は、可換リー代数と半単純リー代数の積に同型である。 [29]
例えば、は特性値ゼロの F に対して簡約的である 。 に対して 、 は積 g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
g l ( n , F ) ≅ F × s l ( n , F ) , {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),} ここで、 F は 単位行列が張る1次元部分空間 の 中心を表します。特殊線型リー代数は 単純であるため、 にはイデアルがほとんど含まれません。つまり、0、中心 F 、 、および のすべて のみです 。 g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} s l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)} g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)} s l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)} g l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}
カルタンの基準 カルタンの基準（ エリー・カルタン による ）は、特性零の有限次元リー代数が可解または半単純であるための条件を与える。これは、 によって定義される 上の対称 双線型形式である キリング形式で表される。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K ( u , v ) = tr ( ad ( u ) ad ( v ) ) , {\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),} ここでtrは線型作用素のトレースを表す。つまり、リー代数 が半単純であるための必要十分条件は、キリング形式が 非退化で あることである。リー代数 が可解であるための必要十分条件は、 [30] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} K ( g , [ g , g ] ) = 0. {\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}
分類 レヴィ 分解は 、標数零の体上の任意の有限次元リー代数は、その可解根基と半単純リー代数の半直積であると主張する。 [31] さらに、上述のように、標数零の半単純リー代数は単純リー代数の積である。これは、単純リー代数の分類問題に焦点を絞るものである。
標数ゼロの代数閉体 F 上の有限次元単純リー代数は、 1880年代と1890年代にキリングとカルタンによって ルート系 を用いて分類された。すなわち、すべての単純リー代数は A n 、 B n 、 C n 、 D n 、 E 6 、 E 7 、 E 8 、 F 4 、または G 2のいずれかの 型 である。 [32]ここで、 A n 型の単純リー代数 は 、 B n は 、 C n は 、 D n は である 。他の5つは 例外リー代数 として知られている。 s l ( n + 1 , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)} s o ( 2 n + 1 , F ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)} s p ( 2 n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)} s o ( 2 n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}
上の有限次元単純リー代数の分類は より複雑ですが、これもカルタンによって解決されています（同等の分類については 単純リー群を 参照）。複素化を考慮することで、 上の リー代数を解析することができます 。 R {\displaystyle \mathbb {R} } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } g ⊗ R C {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
2004 年までの数年間、特性 の代数的閉体上の有限次元単純リー代数は、 リチャード・アール・ブロック 、ロバート・リー・ウィルソン、アレクサンダー・プレメット、ヘルムート・ストラーデ によって分類されました。( 制限リー代数#単純リー代数の分類を 参照してください。) 特性が 0 の単純リー代数よりも、正特性の単純リー代数がはるかに多く存在することが判明しました。 p > 3 {\displaystyle p>3}
リー群との関係 点における 球面 の接空間 。 がリー群の単位元であれば、接空間はリー代数となる。 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} リー代数はそれ自体で研究することができますが、歴史的には リー群を 研究するための手段として生まれました。
リー群とリー代数の関係は、次のようにまとめることができます。各リー群は、 （具体的には、恒等元における接空間）上のリー代数を決定します。逆に、任意の有限次元リー代数 に対して、 リー代数 と 連結したリー群が存在します 。これは リーの第 3 定理です。 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を 参照してください 。このリー群は一意に決まりませんが、同じリー代数を持つ任意の 2 つのリー群は 局所同型で あり、より強いことに、それらは同じ 普遍被覆 を 持ちます。たとえば、特殊直交群 SO(3) と特殊ユニタリ群 SU(2) は同型リー代数を持ちますが、SU(2) はSO(3) の 単連結な 二重被覆です。 R {\displaystyle \mathbb {R} } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
単連結 リー群に対しては 完全な対応関係があり、リー代数をとると、 単連結リー群から 上の有限次元リー代数への カテゴリの同値性が 得られる。 [33] R {\displaystyle \mathbb {R} }
リー代数とリー群の対応は、 リー群の分類 やリー群の 表現論 など、様々な用途で用いられます。有限次元表現の場合、実リー代数の表現と対応する単連結リー群の表現の間には圏の同値性があります。これはリー群の表現論を簡素化します。線型代数を用いてリー代数の表現を分類する方が、多くの場合より容易です。
任意の連結リー群は、離散 中心部分群を法としてその普遍被覆と同型である 。 [34]したがって、リー代数が分かれば、リー群の分類は単に 中心 の離散部分群を数えるだけの問題となる 。例えば、実半単純リー代数はカルタンによって分類されており、したがって半単純リー群の分類はよく理解されている。
無限次元リー代数の場合、リー理論はそれほどうまく機能しない。指数写像は必ずしも局所 同相写像 である必要はない（例えば、円の微分同相群においては、指数写像の像に含まれない恒等写像に任意に近い微分同相写像が存在する）。さらに、既存の無限次元リー群の概念を用いると、無限次元リー代数の中にはどの群にも属さないものも存在する。 [35]
リー理論は、有限次元群の無限次元表現に対しても、それほどうまく機能しない。加法群 の場合でも 、 の無限次元表現を 微分して同じ空間上のリー代数の表現を得ることは通常できず、その逆も同様である。 [36] ハリシュ・チャンドラ加群 の理論は、 群の無限次元表現とリー代数との間のより微妙な関係である。 G = R {\displaystyle G=\mathbb {R} } G {\displaystyle G}
複素リー代数 が与えられたとき、 その複素化 が に同型であるとき 、実リー代数は の 実形式 と呼ばれる 。実形式は必ずしも一意ではない。例えば、 は同型を除いて2つの実形式を持ち、 は である 。 [37] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g 0 ⊗ R C {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} s l ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
半単純複素リー代数が与えられたとき 、 その 分割形式は分割する実形式である。すなわち、実固有値を持つ随伴表現を介して作用するカルタン部分代数を持つ。分割形式は存在し、同型性を除いて一意である。 コンパクト形式 は、コンパクトリー群のリー代数となる実形式である。コンパクト形式は存在し、同型性を除いて一意である。 [37] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
追加構造を持つリー代数 リー代数は、リー括弧と両立する追加の構造を備えることがあります。例えば、 次数付きリー代数 は、両立する次数を持つ リー代数（またはより一般的には リー超代数）です。 微分次数付きリー代数 もまた微分を持ち、これにより、基礎となるベクトル空間は 鎖複素数 になります。
例えば、 単連結位相 空間の ホモトピー群は、 ホワイトヘッド積 を用いて次数付きリー代数を形成する 。関連する構成において、 ダニエル・キレンは 有理数 上の微分次数付きリー代数を用いて、 有理数ホモトピー理論を 代数的な用語で 記述した。 [38] Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
嘘リング 体上のリー代数の定義は、任意 の可換環 R上のリー代数の定義に拡張される。すなわち、 R 上の リー代数は、ヤコビ恒等式を満たす 交代 R -双線型写像を持つ R - 加群 である。 整数 環上の リー代数は、 リー環 と呼ばれることもある 。（これはリー群の概念とは直接関係しない。） g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ , ] : g × g → g {\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
リー環は、ラザード対応 [39]を通して有限 p群 （素数 p に対して） の研究に用いられる 。 有限 p 群の下中心因子は有限アーベル p群である。下中心因子の直和は、括弧を2つの剰余類代表の 交換子 として定義することにより、リー環の構造を与える。 以下の例を参照のこと。
p進リー群は p進数 体上 のリー代数 と p進整数 環上のリー代数と関連している 。 [40] クロード・シュヴァレー による リー型有限群 の構成には 、複素数上の単純なリー代数が整数上のリー代数から来ていること、さらに（より注意して）整数上の 群スキーム を示すことが含まれていた。 [41] Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
例 抽象群の研究から生じるリー環の構成法を以下に述べる。群の元に対して 、 交換子 を定義する 。 を群 の 濾過、すなわち 任意の に対してが 含まれる ような部分群の連鎖とする。（ラザード対応では、濾過を G の下中心級数とする 。）すると、 x , y {\displaystyle x,y} [ x , y ] = x − 1 y − 1 x y {\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy} G = G 1 ⊇ G 2 ⊇ G 3 ⊇ ⋯ ⊇ G n ⊇ ⋯ {\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots } G {\displaystyle G} [ G i , G j ] {\displaystyle [G_{i},G_{j}]} G i + j {\displaystyle G_{i+j}} i , j {\displaystyle i,j} L = ⨁ i ≥ 1 G i / G i + 1 {\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}} はリー環であり、その加法は群の乗法（これは各商群上でアーベル的である ）によって与えられ、リー括弧は 群内の交換子によって与えられる： [42] G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} G i / G i + 1 × G j / G j + 1 → G i + j / G i + j + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}} [ x G i + 1 , y G j + 1 ] := [ x , y ] G i + j + 1 . {\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.} たとえば、位数 8 の 二面体群 の下中心級数に関連付けられたリー環は、体上の次元 3 のハイゼンベルク リー代数です 。 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
圏論的記法を用いた定義 リー代数の定義は、 圏論の言語を用いてより抽象的に再定式化することができる。すなわち、個々の要素を考慮せずに、線型写像、すなわち ベクトル空間の圏 における 射 を用いてリー代数を定義できる 。（本節では、代数が定義される体の標数は2とは異なると仮定する。）
リー代数の圏論的定義には、2つの 編組同型 が必要である。A が ベクトル空間である場合、 交換同型は 次のように定義される
。 τ : A ⊗ A → A ⊗ A {\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}
τ ( x ⊗ y ) = y ⊗ x . {\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.} 巡回 順列組紐 は次のように定義される。 σ : A ⊗ A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A {\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}
σ = ( i d ⊗ τ ) ∘ ( τ ⊗ i d ) , {\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),} ここで は恒等射である。同様に、 は次のように定義される
。 i d {\displaystyle \mathrm {id} } σ {\displaystyle \sigma }
σ ( x ⊗ y ⊗ z ) = y ⊗ z ⊗ x . {\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.} この記法を用いると、リー代数はベクトル空間のカテゴリの 対象と射として定義できる。 A {\displaystyle A}
[ ⋅ , ⋅ ] : A ⊗ A → A {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A} 2つの射影等式を満たす
[ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( i d + τ ) = 0 , {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,} そして
[ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( [ ⋅ , ⋅ ] ⊗ i d ) ∘ ( i d + σ + σ 2 ) = 0. {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}
一般化 リー代数の一般化はいくつか提案されており、その多くは物理学から来ている。その中には、 次数付きリー代数 、 リー超代数 、 リーn代数など がある。
参照
^より一般的には、任意 の可換環 R 上のリー代数の概念がある 。これは、ヤコビ恒等式を満たす 交代 R双線型写像を持つ R 加群である(Bourbaki (1989、第 2 節))。
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![{\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4088678283b0a044ae8cc05195049d53d9620eaf)
![{\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b52052aefb28559d76f31f6c797c368d3e96929)
![{\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d357a07d3fb64786da9f02bb9ad5f0a5027c3bf)
![{\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356514684addccaaccc0b2872fa1521294d21727)
![{\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b8356e46a3dcb952c873b955d8c2b92a6b8d20)
![{\displaystyle [H,E]=2E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd63df80a45e648e06523d79ec54fb58fb983aa)
![{\displaystyle [H,F]=-2F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4e701a2a7794aa7f45bd73548cfc76ed3c15de)
![{\displaystyle [E,F]=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a9a7010cc9afe8d7257d8b833a6ee305906097)
![{\displaystyle [H,E]=2E,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0724104bfa8d9a27be0808d1e60bfe9260de224)
![{\displaystyle [H,F]=-2F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de529622ee7d586214ea82b402482e0c745bd43)
![{\displaystyle [E,F]=H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba89c7cfcba5d3ca99e32f528f7f0754760a147)
![{\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883d113b6039d5f39214bec543d5198c7a16aa6b)
![{\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0531a61ef94ff9a718626747063c2206801b965d)
![{\displaystyle XY-YX-[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0fc4a127573996751401a925b4efa1bbf091fb)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdae7b3a7c17f4b13b9eea7f88b9a466d2e97aa)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91dd572bb8c426d9126a9f99523ee5495b1ec1e5)
![{\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1b5c04d185bd495cc049795d628ba972f21ba9)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fe77ec47dc765341fa337ad4db0f7a2da49893)
![{\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecced3d594ff22f930666328433047354c990ea)
![{\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81496f53471252882e7d08939e14220155b4cc1c)
![{\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c399517540666ad126816d1e0a58f9ee49685f0f)
![{\displaystyle [G_{i},G_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150f820d7588613c24f71d2c3d5fa7428b220c85)
![{\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2819cbe5fb95f3932525eeac1b134f08f3b6e1a)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86381d10e68c37a8e2e58ba9ed3a04cfd8eb894)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f226e135fda085b9cbfcd06be5297da26c6721cd)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c5898590051c9eb3d726a05dec1fd49d89d2a2)
