第二量子化

Formulation of the quantum many-body problem

第二量子化は占有数表現とも呼ばれ、量子 多体系を記述および解析するために用いられる形式論である。量子場の理論では正準量子化と呼ばれ、場（典型的には物質の波動関数）は場の演算子として考えられ、これは第一量子化において位置や運動量などの物理量も演算子として考えられるのと似ている。この手法の鍵となるアイデアは1927年にポール・ディラック[1]によって導入され、後^にパスクアル・ジョーダン^[2]とウラジミール・フォック[ ³ ]によって最も顕著に発展した。^[4]このアプローチでは、量子多体系の状態はフォック状態基底で表現され、これは各単一粒子状態を一定数の同一粒子で満たすことによって構築される。^{[5]第二量子化形式論では、フォック状態を構築および処理するために}生成演算子と消滅演算子を導入し、量子多体系の研究に有用なツールを提供している。

量子多体状態

第二量子化形式論の出発点は、量子力学における粒子の識別不可能性の概念である。古典力学では各粒子は異なる位置ベクトルでラベル付けされ、s集合の異なる構成は異なる多体状態に対応するが、量子力学では粒子は同一であり、2つの粒子、すなわち を交換しても、異なる多体量子状態 は生じない。これは、量子多体波動関数が2つの粒子の交換に対して不変（位相因子を除く）でなければならないことを意味する。粒子の統計によれば、多体波動関数は粒子交換に対して対称または反対称のいずれかになり得る。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$粒子がボソンであれば、

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$粒子がフェルミオンである場合。

この交換対称性は、多体系波動関数に制約を課します。多体系に粒子が追加または除去されるたびに、波動関数は対称性制約を満たすために適切に対称化または反対称化されなければなりません。第一量子化形式論では、この制約は、波動関数を 単粒子状態のパーマネント（ボソンの場合）またはデターミナント（フェルミオンの場合）の線形結合として表すことで保証されます。第二量子化形式論では、対称化の問題は生成演算子と消滅演算子によって自動的に処理されるため、表記ははるかに単純になります。

第一量子化多体波動関数

（これは複数の量子数の合成インデックスである場合もある）でラベル付けされた一粒子波動関数の完全な集合を考える。次の波動関数は ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

は、 i番目の粒子が一粒子状態 を占めるN粒子状態を表します。この略記法では、波動関数の位置引数は省略可能であり、i番目の一粒子波動関数はi番目の粒子の状態を記述するものとみなされます。この波動関数は対称化も反対称化もされていないため、一般に同一粒子の多体波動関数とはみなされません。ただし、対称化演算子 および反対称化演算子 によって対称化（反対称化）形式にすることができます。 ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ボソンの場合、多体波動関数は対称化されなければならない。

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

一方、フェルミオンの場合、多体波動関数は反対称化されなければならない。

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

ここでは、 N体置換群（または対称群）の要素が、状態ラベル間の置換を実行し、対応する置換符号を表します。は、波動関数を正規化する正規化演算子です。 （これは、 n次対称化テンソルに適切な数値正規化係数を適用する演算子です。その値については、次のセクションを参照してください。） ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

単一粒子の波動関数を行列 に配置すると、i行j列の行列要素が となり、ボソン多体波動関数は単純に永久として表すことができ、フェルミオン多体波動関数は行列式（スレーター行列式とも呼ばれる）として表すことができます。^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

第二量子化フォック状態

第一量子化波動関数は、物理的に実現可能な多体状態を記述するために複雑な対称化手順を必要とします。これは、第一量子化の言語が区別できない粒子に対して冗長であるためです。第一量子化言語では、多体状態は「どの粒子がどの状態にあるか？」といった一連の質問に答えることで記述されます。しかし、粒子は同一であり、そもそもどの粒子がどの粒子であるかを区別することは不可能であるため、これらは物理的な疑問ではありません。一見異なる状態に見える とは、実際には同じ量子多体状態の冗長な名前です。したがって、第一量子化記述におけるこの冗長性を排除するために、対称化（または反対称化）を導入する必要があります。 ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$ ${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

第二の量子化言語では、「各粒子がどの状態にあるか」を問う代わりに、「各状態には何個の粒子があるか」を問う。この記述は粒子のラベル付けに言及しないため、冗長な情報が含まれず、量子多体状態の正確かつより簡潔な記述につながる。このアプローチでは、多体状態は占有数基底で表され、基底状態は占有数の集合でラベル付けされ、これは次のように表される。

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

は、単粒子状態（または）にある粒子が存在することを意味する。占有数を合計すると、粒子の総数、すなわち となる。フェルミオンの場合、パウリの排他原理により、占有数は0か1のみとなる。一方、ボソンの場合、占有数は任意の非負整数となり得る。 ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

占有数状態はフォック状態とも呼ばれます。すべてのフォック状態は、多体ヒルベルト空間、またはフォック空間の完全な基底を形成します。任意の一般的な量子多体状態は、フォック状態の線形結合として表現できます。 ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

フォック空間は、より効率的な言語を提供するだけでなく、可変個の粒子を許容することにも留意すべきである。ヒルベルト空間として、フォック空間は前節で述べたn粒子のボゾンまたはフェルミオンテンソル空間の和と同型であり、これには1次元の零粒子空間Cも含まれる。

すべての占有数がゼロであるフォック状態は真空状態と呼ばれ、 と表記されます。占有数が 1 つだけゼロでないフォック状態はシングルモード フォック状態と呼ばれ、 と表記されます。最初に量子化された波動関数に関して、真空状態は単位テンソル積であり、 と表記できます。単一粒子状態はその波動関数 に簡約されます。その他の単一モードの多体 (ボソン) 状態は、や のように、そのモードの波動関数のテンソル積にすぎません。マルチモード フォック状態 (つまり、複数の単一粒子状態が関係している状態) の場合、対応する最初に量子化された波動関数には、粒子統計に従って適切な対称化が必要になります。たとえば、ボソン状態の場合は 、フェルミオン状態の場合は です (簡単のため、 との間の記号は省略されています)。一般に、正規化は となります。ここで、Nは粒子の総数です。フェルミオンの場合、この式は となり、0 か 1 のいずれかしか取れません。フォック状態に対応する第一量子化波動関数は次のようになる。 ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle =1}$ ${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {1}{N!{\prod _{\alpha }{n_{\alpha }!}}}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {1}{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

ボソンと

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

フェルミオンの場合。フェルミオンの場合のみであることに注意してください。したがって、上記のテンソル積は、実質的には占有されている単一粒子状態全体の積になります。 ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

生成と消滅の演算子

生成演算子と消滅演算子は、多体系に粒子を追加または除去するために導入されます。これらの演算子は第二量子化形式の中核を成し、第一量子化状態と第二量子化状態の間のギャップを埋めます。第一量子化された多体系波動関数に生成（消滅）演算子を適用すると、粒子統計に依存した対称的な方法で波動関数から単一粒子状態が挿入（削除）されます。一方、第二量子化されたフォック状態はすべて、真空状態に生成演算子を繰り返し適用することで構築できます。

生成消滅演算子（ボソンの場合）は、もともと量子調和振動子の文脈で上昇演算子と下降演算子として構築され、その後量子場理論の場演算子に一般化されました。^[7]これらは量子多体理論の基礎であり、あらゆる多体演算子（多体系のハミルトニアンやすべての物理的観測量を含む）がそれらによって表現できるという意味で重要です。

挿入と削除の操作

粒子の生成と消滅は、最初の量子化された波動関数から単一粒子状態を対称的または反対称的に挿入および削除することによって実現される。 を単一粒子状態とし、1 をテンソル恒等式（零粒子空間Cの生成元であり、基本ヒルベルト空間上のテンソル代数においてを満たす）とし、を一般テンソル積状態とする。挿入演算子 および削除演算子は、以下の再帰方程式で定義される線型演算子である。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$ ${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$ ${\displaystyle \otimes _{\pm }}$ ${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

クロネッカーのデルタ記号は、の場合は 1 、それ以外の場合は 0 を返します。挿入演算子または削除演算子の添え字は、対称化（ボソンの場合）または反対称化（フェルミオンの場合）が実装されているかどうかを示します。 ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \pm }$

ボソン生成消滅演算子

ボソン生成演算子（および消滅演算子）は通常、（および）と表記されます。生成演算子は単粒子状態 にボソンを1つ追加し、消滅演算子は単粒子状態 からボソンを削除します。生成演算子と消滅演算子は互いにエルミート共役ですが、どちらもエルミート演算子（）ではありません。 ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

意味

ボソン生成（消滅）演算子は線形演算子であり、N粒子の第一量子化波動関数に対するその作用は次のように定義される。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

ここで、単一粒子状態を可能な挿入位置に対称的に挿入し、単一粒子状態を可能な削除位置から対称的に削除します。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

例

以下、簡略化のため、一粒子状態間のテンソル記号は省略する。状態 をとり、状態 上にボソンを一つ生成する。 ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

次に、状態からボソンを1つ消滅させる。 ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

フォック州での行動

単一モード真空状態から始めて、生成演算子を繰り返し適用すると、 ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

生成演算子はボソン占有数を1増加させる。したがって、すべての占有数状態はボソン生成演算子によって真空状態から構築できる。

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

一方、消滅演算子はボソン占有数を1だけ減少させる。 ${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

また、真空状態には消滅すべきボソンが残っていないため、真空状態も消滅します。上記の式を用いると、 ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

ボソン数演算子を定義する意味。 ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

上記の結果は、ボソンの任意のフォック状態に一般化できます。

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

これら2つの方程式は、第二量子化形式におけるボソン生成消滅演算子の定義的性質とみなすことができます。基礎となる第一量子化波動関数の複雑な対称化は、生成消滅演算子（第一量子化波動関数に作用する場合）によって自動的に処理されるため、その複雑さは第二量子化レベルでは顕在化せず、第二量子化公式は単純かつ簡潔です。

オペレーターのID

フォック状態におけるボソン生成消滅演算子の作用から、以下の演算子恒等式が導かれる。

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

これらの交換関係は、ボソン生成消滅演算子の代数的定義とみなすことができます。ボソン多体波動関数が粒子交換に対して対称であるという事実は、ボソン演算子の交換関係によっても示されます。

量子調和振動子の上昇演算子と下降演算子も同じ交換関係式を満たすため、ボソンは振動子のエネルギー量子（フォノン）として解釈できる。調和振動子（または調和振動モードの集合）の位置演算子と運動量演算子は、フォノン生成演算子とフォノン消滅演算子のエルミート結合によって与えられる。

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

これは位置演算子と運動量演算子の間の標準的な交換関係を再現する（） ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

この考え方は量子場理論で一般化されており、量子場理論では物質場の各モードを量子ゆらぎの影響を受ける振動子とみなし、ボソンは場の励起（またはエネルギー量子）として扱われます。

フェルミオン生成消滅演算子

フェルミオン生成（消滅）演算子は通常、( ) と表記されます。生成演算子は単粒子状態 にフェルミオンを1つ追加し、消滅演算子は単粒子状態 からフェルミオンを削除します。 ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

意味

フェルミオン生成（消滅）演算子は線形演算子であり、N粒子の第一量子化波動関数に対するその作用は次のように定義される。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

ここで、単一粒子状態を可能な挿入位置に反対称的に挿入し、単一粒子状態を可能な削除位置から反対称的に削除します。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

2個（あるいはそれ以上）のフェルミオン状態における生成消滅演算子の結果を見ることは、交換効果を示すため、特に有益です。いくつかの例示的な演算を以下の例に示します。2フェルミオン状態における生成消滅演算子の完全な代数は、Quantum Photonicsに掲載されています。^[8]

例

以下、簡略化のため、単粒子状態間のテンソル記号は省略する。状態 を取り、占有状態上にさらに1つのフェルミオンを生成しようとすると、多体波動関数全体が消滅する。 ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

状態のフェルミオンを消滅させ、状態 を取り、 ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

マイナス記号 (フェルミオン記号として知られる) は、フェルミオン波動関数の反対称特性により現れます。

フォック州での行動

単一モード真空状態から始めて、フェルミオン生成演算子を適用すると、 ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

単一粒子状態が空の場合、生成演算子は状態をフェルミオンで満たします。しかし、状態がすでにフェルミオンによって占有されている場合、生成演算子をさらに適用すると状態は消滅し、 2つの同一のフェルミオンが同時に同じ状態を占有することはできないというパウリの排他原理が示されます。しかしながら、フェルミオンはフェルミオン消滅演算子によって占有状態から除去することができます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

真空状態は消滅演算子の作用によって消滅します。

ボソンの場合と同様に、フェルミオンフォック状態はフェルミオン生成演算子を用いて真空状態から構築することができる。

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

簡単に確認できる（列挙によって）

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

フェルミオン数演算子を定義する意味。 ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

上記の結果は、フェルミオンの任意のフォック状態に一般化できます。

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^[9]

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

フェルミオンの占有数は0か1しか取れないことを思い出すとよい。これら2つの方程式は、第二量子化形式におけるフェルミオン生成演算子と消滅演算子の定義特性とみなすことができる。フェルミオンの符号構造（ジョーダン・ウィグナー弦とも呼ばれる）は、単一粒子状態（スピン構造）の定義済み順序付けを要求し^{[説明が必要]}、先行するすべての状態におけるフェルミオンの占有数を数えることを伴う。したがって、フェルミオン生成演算子と消滅演算子はある意味で非局所的であると考えられる。この観察から、フェルミオンは長距離エンタングルメントされた局所量子ビット系における創発粒子であるという考えが導かれる。^[10] ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

オペレーターのID

フォック状態におけるフェルミオン生成消滅演算子の作用から、以下の演算子恒等式が導かれる。

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

これらの反交換関係は、フェルミオン生成・消滅作用素の代数的定義とみなすことができます。フェルミオン多体波動関数が粒子交換に対して反対称であるという事実は、フェルミオン作用素の反交換関係によっても示されます。

生成演算子と消滅演算子は互いにエルミート共役であるが、どちらもエルミート演算子ではない（）。フェルミオン生成演算子と消滅演算子のエルミート結合は ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

マヨラナフェルミオン演算子と呼ばれる。これらは、「フェルミオン的」調和振動子の位置および運動量演算子のフェルミオン的類似物とみなすことができる。これらは反交換関係を満たす。

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

ここで、任意のマヨラナフェルミオン作用素を同等の立場で表します（複素フェルミオン作用素のReまたはImの組み合わせに由来するかどうかに関係なく）。反交換関係は、マヨラナフェルミオン作用素がクリフォード代数を生成することを示し、これは多体ヒルベルト空間におけるパウリ作用素として体系的に表現できます。 ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

量子場演算子

をフェルミオンまたはボソンのいずれ かの単一粒子状態に対する一般的な消滅（生成）演算子として定義し、演算子の実空間表現は量子場演算子を定義し、 ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

これらは第二量子化演算子であり、係数は であり、通常の第一量子化波動関数です。したがって、例えば、期待値はいずれも通常の第一量子化波動関数になります。大まかに言えば、は、以下のように、必ずしも平面波である必要はなく、任意の基底状態 を介して、位置rに粒子をシステムに追加するすべての可能な方法の総和です。 ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

と は空間のあらゆる点で定義される第二量子化演算子であるため、量子場演算子と呼ばれる。これらは以下の基本的な交換子関係と反交換子関係に従う。 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ボソン場、

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$フェルミオン場。

同次システムでは実空間と運動量表現間の変換が望ましい場合が多く、そのためフーリエ基底における量子場演算子は次の式を生成します。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

命名法に関するコメント

^{ジョーダン[11]}によって導入された「第二量子化」という用語は、歴史的な理由から誤った呼称として使われ続けてきた。量子場理論の起源においては、ディラック方程式は相対論的な波動関数を記述する（そのため、時代遅れの「ディラックの海」解釈が生まれた）という誤った考えが持たれていた。これは、古典的なスピノル場を量子化すると（スカラー場のように）フェルミオン量子場（ボソン量子場とは対照的に）が生じるという誤った考えに基づくものであった。

「二度目」という表現が示唆するように、「再び」量子化するのではない。量子化される場は、粒子を量子化した結果として生成されたシュレーディンガー波動関数ではなく、古典場（電磁場やディラックスピノル場など）であり、本質的には結合した振動子の集合体であり、これは以前に量子化されていない。この集合体中の各振動子を量子化するだけであり、システムの半古典的扱いから完全に量子力学的扱いへと移行する。

参照

• 正準量子化
• 最初の量子化
• 幾何量子化
• 量子化（物理学）
• シュレーディンガー関数
• スカラー場理論

参考文献

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