短期金利モデル

OASを返すツリー(黒と赤): 短期金利が最高値です。債券価値の推移を見ると、額面への引き寄せが明確に示されています。

短期金利モデルは、金利デリバティブの文脈において、通常 と表記される短期金利の将来的な変化を記述することによって金利の将来的な変化を説明する数学モデルです。 ${\displaystyle r_{t}\,}$

短期金利

短期金利モデルでは、確率状態変数は瞬間スポット金利とみなされる。^{[ 1 ]}短期金利 は、ある主体が時点 から極めて短期間に資金を借り入れることができる（連続複利、年率）金利である。現在の短期金利を特定しても、利回り曲線全体を特定するわけではない。しかし、裁定なしの議論によれば、ある程度緩い技術的条件下で、リスク中立尺度の下での確率過程としての発展をモデル化すると、時点 に満期を迎え、ペイオフが 1 であるゼロクーポン債の時点 における価格は次のように与えられる。 ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

ここで、はプロセスの自然な濾過である。ゼロクーポン債によって生じる金利は、利回り曲線、より正確にはゼロ曲線を形成する。したがって、短期金利のモデルを指定することで、将来の債券価格が特定される。これは、瞬間フォワードレートも通常の式で特定される ことを意味する。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

短期金利モデルは、しばしば内生的と外生的に分類されます。内生的短期金利モデルは、金利またはゼロクーポン債価格の期間構造がモデルの出力となる短期金利モデルです。つまり、期間構造は「モデルの内部」（内生的）であり、モデルパラメータによって決定されます。外生的短期金利モデルは、そのような期間構造が入力となるモデルです。モデルには、与えられた市場の期間構造を入力できる時間依存の関数またはシフトが含まれるため、期間構造は外部（外生的）からもたらされます。^{[ 2 ]} 他の著者は、「内生的」および「外生的」の代わりに、「均衡」および「裁定なし」という表現を使用しています。^{[ 3 ]} ${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

特定の短期金利モデル

このセクション全体を通して、リスク中立確率測度 とその微分の下での標準ブラウン運動を表します。モデルが対数正規分布である場合、変数はオルンスタイン・ウーレンベック過程に従うと仮定され、は に従うと仮定されます。 ${\displaystyle W_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

1ファクター短期金利モデル

以下は、単一の確率的要因（短期金利）がすべての金利の将来的な推移を決定する1ファクターモデルです。金利の平均回帰を捉えていないレンドルマン・バーターモデルとホー・リーモデルを除き、これらのモデルはオルンスタイン・ウーレンベック過程の特殊なケースと考えることができます。ヴァシセックモデル、レンドルマン・バーターモデル、CIRモデルは内生モデルであり、自由パラメータの数が有限であるため、これらのパラメータ値を、ゼロクーポン債やフォワード金利契約、スワップなどの線形商品の観測市場価格（「キャリブレーション」）と一致するように指定することはできません。通常、これらの線形商品に対してベストフィットを行い、市場価格に最も近い内生的短期金利モデルのパラメータを見つけます。この方法では、キャップ、フロア、スワップションなどのフィッティングオプションは考慮されません。これらのパラメータは線形商品へのフィッティングに使用されているためです。この問題は、パラメータが時間とともに決定論的に変化できるようにするか、^{[ 4 ] [ 5 ]}、内生モデルに決定論的なシフトを加えることで克服されます。^{[ 6 ]} このようにして、Ho-Leeモデルやその後継モデルなどの外生モデルを市場データに合わせて較正することができ、利回り曲線を構成する債券の価格を正確に返すことができ、残りのパラメータをオプションの較正に使用できます。実装は通常、（二項）短期金利ツリー^{[ 7 ]}またはシミュレーションを介して行われます。「格子モデル（金融）」§「オプション価格設定のための金利デリバティブとモンテカルロ法」を参照してください。ただし、一部の短期金利モデルはゼロクーポン債、さらにはキャップやフロアに対して閉形式の解を持っているため、較正作業が大幅に容易になります。

まず、次の内生モデルをリストします。

1. マートンのモデル（1973）は、短期レートを次のように説明する。ここで、スポットマルチンゲール測度の下での1次元ブラウン運動である。^{[ 8 ]}このアプローチでは、短期レートは算術ブラウン運動に従う。 ${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$ ${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. Vasicekモデル（1977）は短期金利を とモデル化し、 と表記されることが多い。^{[ 9 ]} 2番目の形式の方が一般的で、パラメータの解釈がより直接的になる。パラメータは平均回帰の速度、パラメータは長期平均、パラメータは瞬間的なボラティリティである。この短期金利モデルでは、短期金利にオルンスタイン・ウーレンベック過程が用いられる。短期金利の確率分布はガウス分布であるため、このモデルではマイナス金利が許容される。また、このモデルでは債券価格、債券オプション、キャップ/フロアについて閉形式の解が許容され、Jamshidianのトリックを用いることでスワップションの式も得られる。^{[ 2 ]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$
3. レンドルマン・バーターモデル（1980）^{[ 10 ]}またはドーサンモデル（1978）^{[ 11 ]}は、短期金利を と説明する。このモデルでは、短期金利は幾何ブラウン運動に従う。このモデルはオプションに関する閉形式の公式を持たず、平均回帰も起こさない。さらに、短期間で銀行口座の期待残高が無限大になるという問題も抱えている。同じ問題は、すべての対数正規短期金利モデル^{[ 2 ]に存在する。} ${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. Cox –Ingersoll–Rossモデル（1985）は を仮定しており、 と表記されることが多い。 この係数は（一般に）マイナス金利の可能性を排除する。^{[ 12 ]} 2番目の定式化におけるパラメータの解釈は、Vasicekモデルの場合と同じである。 Feller条件は、厳密に正の短期金利を保証する。 このモデルはFeller平方根過程に従い、非負の金利を持ち、債券価格と債券オプションおよびキャップ/フロアの閉形式の解を許容し、Jamshidianのトリックを使用して、スワップションの式も得ることができる。 このモデルとVasicekモデルは両方ともアフィンモデルと呼ばれている。これは、有限の満期Tの時点tにおける連続複利スポット金利の式が のアフィン関数であるためである。^{[ 2 ]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r_{t}}$

ここで、外生的短期金利モデルをいくつか挙げます。

1. Ho-Leeモデル（1986）は短期金利を としてモデル化する。^{[ 13 ]}パラメータ は、金利または債券価格の初期期間構造をモデルの入力として用いることを可能にする。このモデルは、時間依存の決定論的ドリフトパラメータを持つ算術ブラウン運動に従う。 ${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
2. ハル・ホワイトモデル（1990）は拡張Vasicekモデルとも呼ばれ、 を仮定している。多くの説明では、パラメータの1つ以上が時間に依存しない。短期金利の分布は正規分布であり、モデルはマイナス金利を許容する。定数のとを持つモデルが最も一般的に使用され、債券価格、債券オプション、キャップとフロア、そしてジャムシディアンのトリックによるスワップションの閉形式の解を可能にする。このモデルは、時間依存関数 を通じて金利の初期期間構造の正確な較正を可能にする。バミューダ・スワップションおよび解析的公式のない商品の格子ベースの実装は、通常、三項式 である。^{[ 14 ] [ 15 ]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
3. ブラック・ダーマン・トイ・モデル（1990）は、時間依存の短期金利ボラティリティについては、それ以外の点については対数正規分布に従う。^{[ 16 ]}このモデルにはオプションに関する閉形式の公式はない。また、他の対数正規分布モデルと同様に、有限時間内に期待銀行口座残高が爆発的に増加するという問題を抱えている。 ${\textstyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. ブラック・カラシンスキーモデル（1991）は対数正規分布であり、 である。^{[ 17 ]}このモデルはハル・ホワイトモデルの対数正規分布への適用と見ることができる。^{[ 18 ]}格子ベースの実装も同様に三項分布（二項分布では時間ステップを変化させる必要がある）である。^{[ 7 ]}このモデルには閉形式の解がなく、ゼロクーポン債の価格を生成するには、初期の期間構造に対する基本的なキャリブレーションでさえ数値的手法で行う必要がある。このモデルもまた、有限時間内に期待銀行口座残高が爆発するという問題を抱えている。 ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. Kalotay –Williams–Fabozziモデル（1993）では、短期金利は となり、Ho–Leeモデルの対数正規分布の類似体であり、Black–Derman–Toyモデルの特殊ケースである。^{[ 19 ]}このアプローチは、実質的に「オリジナルのSalomon Brothersモデル」（1987）^{[ 20 ]}に類似しており、これもHo–Leeの対数正規分布の変種である。^{[ 21 ]} ${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. CIR++モデルは、 2001年にブリゴとメルキュリオ^{[ 6 ]}によって導入・詳細に研究され、スコット(1995) ^{[ 22 ]}によっても定式化されていた。CIRモデルを用いているが、時間依存パラメータをダイナミクスに導入する代わりに、外部シフトを追加している。このモデルは次のように定式化される。ここで、は決定論的なシフトである。このシフトを用いることで、市場の期間構造を吸収し、モデルをこれと完全に整合させることができる。このモデルは、基本的なCIRモデルの解析的扱いやすさを維持し、債券およびすべての線形商品、そしてジャムシディアンのトリックを用いたキャップ、フロア、スワップションなどのオプションについて、閉形式の解を導出することができる。このモデルは、シフトが正に制約されている場合は正の金利を維持することを可能にし、シフトが負に許容される場合は負の金利を許容する。このモデルは、このオリジナルバージョンまたはジャンプを用いて、クレジット・デフォルト・スワップションやスワップションなどの信用リスクにも頻繁に適用されている。^{[ 23 ]} ${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$ ${\displaystyle \phi }$

決定論的シフトの考え方は、内生的な形で望ましい特性を持つ他のモデルにも適用できる。例えば、このシフトをヴァシチェクモデルに適用することはできるが、オルンシュタイン・ウーレンベック過程の線形性のため、これは時間依存関数を作成することと等価であり、ハル・ホワイトモデルと一致する。^{[ 6 ]} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b}$

マルチファクター短期金利モデル

上記の1ファクターモデルに加えて、短期金利にはマルチファクターモデルも存在します。その中で最もよく知られているのは、ロングスタッフとシュワルツの2ファクターモデルとチェンの3ファクターモデル（「確率的平均・確率的ボラティリティモデル」とも呼ばれる）です。なお、リスク管理の目的において「現実的な金利シミュレーションを作成する」ためには、これらのマルチファクター短期金利モデルが1ファクターモデルよりも好まれる場合があります。これは、これらのマルチファクター短期金利モデルが、一般的に「実際の利回り曲線の動きとより整合的な」シナリオを生成するためです。^{[ 24 ]}

• ロングスタッフ・シュワルツモデル（1992）は、短期金利ダイナミクスは次のように与えられると仮定している。

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

ここで短期金利は次のように定義される。

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^{[ 25 ]}

• 短期金利の確率平均と変動性を持つチェンモデル（1996）は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^{[ 26 ]}

• 2ファクターHull-Whiteモデル、あるいはG2++モデルは、その扱いやすさから広く用いられてきました。これらのモデルは、BrigoとMercurio (2006)で要約され、同等であることが示されています。このモデルは、相関関係にある可能性のある2つのOrnstein-Uhlenbeck（Vasicek）過程とシフトを加算し、短期金利を求めることに基づいています。このモデルは、期間構造の正確なキャリブレーション、オプションの半閉形式解、相関パラメータを用いた瞬間フォワード金利のボラティリティ期間構造の制御、そして特に金融市場で金利がマイナスに転じた際に重要となったマイナス金利の制御を可能にします。^{[ 27 ]}

その他の金利モデル

金利モデリングにおけるもう一つの主要なフレームワークは、ヒース・ジャロー・モートン・フレームワーク（HJM）です。前述の短期金利モデルとは異なり、このクラスのモデルは一般的に非マルコフ性を示します。そのため、一般的なHJMモデルはほとんどの用途において計算的に扱いにくいものとなります。HJMモデルの大きな利点は、短期金利だけでなく、利回り曲線全体を解析的に記述できることです。一部の用途（例えば、住宅ローン担保証券の評価）においては、これは大きな簡素化となります。1次元または多次元のコックス・インガソル・ロス・モデルとハル・ホワイト・モデルは、どちらもHJMフレームワークで直接的に表現できます。その他の短期金利モデルには、単純な双対HJM表現はありません。

Brace–Gatarek–Musiela モデルや市場モデルなどの複数のランダム性ソースを備えた HJM フレームワークは、高次元のモデルによく使用されます。

フィッシャー・ブラックの影金利に基づくモデルは、金利がゼロ下限に近づくときに使用されます。

参照

• 固定収入の帰属

参考文献

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さらに読む

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