シニョリーニ問題

Elastostatics problem in linear elasticity

シニョリーニ問題は、線形弾性における弾性静力学の問題です。これは、剛体で摩擦のない表面上に載り、その質量力のみを受ける異方性不均質弾性体の弾性平衡配置を求める問題です。この名称は、ガエターノ・フィケラが師アントニオ・シニョリーニに敬意を表して名付けました。彼が名付けた本来の名称は「あいまいな境界条件を伴う問題」です。

歴史

古典的なシニョリーニ問題:オレンジ色の球形の弾性体が青い剛体の摩擦のない平面上に置かれた場合の平衡 構成はどうなるでしょうか?

• -「Il mio discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione」
• -「Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita」、rispose il Dottor Aprile、ma Signorini rispose di nuovo:
• -「大いなる冒険」。究極の仮釈放を求めてください。 ^[1]

— ガエターノ・フィケラ、（フィケラ 1995、p. 49）

この問題は、アントニオ・シニョリーニが1959年にアルタ・マテマティカ国立研究所の講義中に提起した問題で、後に論文(Signorini 1959)として出版され、1933年に出版されたノートで彼が示した短い解説を拡張したものである。シニョリーニ(1959, p. 128)自身は、これを曖昧な境界条件^{の問題と呼んでいた[2]。}なぜなら、任意の接触点において解が満たさなければならない境界条件の組が2つ存在するからである。この問題の記述には等式だけでなく不等式も含まれており、各点において2組の境界条件のどちらが満たされるかは事前には分からない。シニョリーニは、問題が物理的な意味で適切かどうか、すなわち解が存在し、かつ一意であるかどうかを決定することを求めた。彼は若い分析家たちにこの問題を研究するよう明示的に招いた^{[3] 。}

ガエターノ・フィチェラとマウロ・ピコーネがコースに出席し、フィチェラが問題の調査を始めました。境界値問題の理論で同様の問題への言及が見つからなかったため、^[4]彼は第一原理、具体的には仮想仕事原理から始めてこの問題に取り組むことにしました。

フィケラがこの問題を研究している間、シニョリーニは深刻な健康問題に悩まされ始めました。それでも彼は、死の前に自らの疑問の答えを知りたいと願っていました。シニョリーニと強い友情で結ばれていたピコーネは、フィケラに解決策を見つけるよう迫り始めました。フィケラ自身もシニョリーニと同じような感情で結ばれており、1962年最後の数ヶ月は不安な日々でした。^[5]そしてついに1963年1月1日、フィケラは曖昧な境界条件を持つこの問題の唯一の解の存在を完全に証明することができました。彼はこれを師に敬意を表して「シニョリーニ問題」と名付けました。後に(Fichera 1963)として出版された予備的な研究発表は、シニョリーニの死のちょうど1週間前にまとめられ、シニョリーニに提出されました。シニョリーニは自身の疑問が解決されたことに大きな満足感を示しました。
数日後、シニョリーニはかかりつけの医師であるダミアーノ・アプリーレと、上記の会話を交わしました。^[6]

シニョリーニ問題の解決は変分不等式分野の誕生と一致している。^[7]

問題の正式な説明

このセクションとそれに続くサブセクションの内容は、Gaetano Ficheraによる Fichera 1963、Fichera 1964b、および Fichera 1995 の扱いに厳密に従っています。彼の問題の導出は、Signoriniとは異なり、非圧縮性物体と平面の静止面のみを考慮していない点が異なります。^[8]問題は、境界がで内部法線がベクトル である3次元ユークリッド空間のサブセットにある異方性非均質弾性体の自然な構成からの変位ベクトルを見つけることです。この弾性体は、接触面(またはより一般的には接触セット)が であり、その体積力と、自由面 (つまり静止面と接触していない面) に適用される表面力 のみを受ける剛体摩擦面上に静止しています。セットと接触面は物体の自然な構成を特徴付け、事前にわかっています。したがって、物体は一般平衡方程式 ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$

（1）      ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

アインシュタイン記法を用いて次のように記述すると、 ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$

（2）      ${\displaystyle \qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

および 上の次の2組の境界条件（ここではコーシー応力テンソル ）である。明らかに、体積力と表面力は任意に与えることはできないが、物体が平衡状態に達するためには、ある条件を満たす必要がある。この条件は、以降の展開において導出され、分析される。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})}$

曖昧な境界条件

が接触集合の任意の接ベクトルである場合、この集合の各点における曖昧な境界条件は次の2つの不等式で表される。 ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$ ${\displaystyle \Sigma }$

（3）     または（4） ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$                ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

それらの意味を分析してみましょう:

• 各条件セットは 3 つの関係、等式、または不等式で構成され、2 番目のメンバーはすべてゼロ関数です。
• 各第1関係式の第1要素の量は、法線ベクトルに沿った変位ベクトルの成分のノルムに比例します。 ${\displaystyle n}$
• 各2番目の関係の最初の要素の量は、法線ベクトルに沿った張力ベクトルの成分のノルムに比例します。 ${\displaystyle n}$
• それぞれの3番目の関係の最初の要素における量は、接触セットに対する指定された点の任意の接線 ベクトルに沿った張力ベクトルの成分のノルムに比例します。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Sigma }$
• 3 つの関係式の最初の要素の量は、比例するベクトルと同じ方向を持つ場合は正であり、そうでない場合は負です。したがって、比例定数はそれぞれ と です。 ${\displaystyle \scriptstyle +1}$ ${\displaystyle \scriptstyle -1}$

これらの事実を知ると、条件セット(3)は、平衡構成で接触セットを離れない物体の境界の点に適用されます。これは、最初の関係によれば、変位ベクトルは法線ベクトルとして方向付けられる成分を持たず、2番目の関係によれば、張力ベクトルは法線ベクトルとして方向付けられ、同じ方向を持つ成分を持つ可能性があるためです。同様に、条件セット(4)は、平衡構成でそのセットを離れる物体の境界の点に適用されます。これは、変位ベクトルは法線ベクトルとして方向付けられる成分を持ち、張力ベクトルは法線ベクトルとして方向付けられる成分を持たないためです。両方の条件セットについて、物体は剛体で摩擦のない表面上に載っているという仮説によれば、張力ベクトルは接触セットに対する接線成分を持ちません。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

各系は、弾性体がその置かれている表面に侵入することが物理的に不可能であることを表すという意味で、片側拘束を表す。この曖昧さは、接触集合上で非ゼロ量が満たさなければならない未知の値だけでなく、その集合に属する点が境界条件系(3)または(4)を満たすかどうかが事前に分からないことにも由来する。 (3)が満たされる点の集合は上の弾性体の支持面積と呼ばれ、 に対するその補面積は分離面積と呼ばれる。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

上記の定式化は、コーシー応力テンソル、すなわち弾性体の構成方程式が明示されていないため、一般的なものとなっています。線形弾性の仮定を仮定しても、非線形弾性の仮定を仮定しても、同様に有効です。しかし、以下の展開から明らかなように、この問題は本質的に非線形であるため、線形応力テンソルを仮定しても問題は単純化されません。

シニョリーニとフィチェラの定式化における応力テンソルの形

シニョリーニとフィチェラが弾性ポテンシャルエネルギーとして想定した形は次の通りである（以前の展開と同様に、アインシュタインの表記法が採用されている）。

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

どこ

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$弾性テンソルである
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$は微小ひずみテンソルである

コーシー応力テンソルは次の形をとる。

（5）      ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

そして、それは微小ひずみテンソルの成分に関して線形であるが、均質でも等方性でもない。

問題の解決策

シニョリーニ問題の正式な記述に関するセクションについては、このセクションとそれに含まれるサブセクションの内容は、 Fichera 1963、Fichera 1964b、Fichera 1972、Fichera 1995 でのGaetano Ficheraの扱いに厳密に従っています。明らかに、説明は技術的な詳細ではなく、問題(1)、(2)、(3)、(4)、(5)の解決の存在と一意性の証明の基本的な手順に重点を置いています。

位置エネルギー

フィチェラの分析の最初のステップと、シニョリーニ1959のアントニオ・シニョリーニの分析の最初のステップは、位置エネルギーの分析、すなわち次の関数の分析である。

（6）       ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

ここで、は許容変位の集合、すなわち境界条件系(3)または(4)を満たす変位ベクトルの集合に属する。3つの用語の意味は以下の通りである。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

• 1つ目は弾性体の全弾性位置エネルギーである
• 2つ目は、重力などの物体の力による全位置エネルギーです。
• 3つ目は表面力による位置エネルギー、例えば大気圧によって及ぼされる力である。

Signorini (1959, pp. 129–133) は、積分を最小化する許容変位は、集合 の閉包でサポートされる関数であれば、曖昧な境界条件(1)、(2)、(3)、(4)、(5)を持つ問題の解であることを証明できました。しかし、Gaetano Fichera は(Fichera 1964b, pp. 619–620) で反例のクラスを示し、一般に、許容変位はこれらのクラスの滑らかな関数ではないことを示しています。そのため、Fichera は、より広い関数空間で関数(6)を最小化しようとします。その際、彼はまず、求められている最小化許容変位 の近傍における与えられた関数の最初の変分(または関数導関数) を計算し、それが0以上であることを要求します。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I(u)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

以下の関数を定義する

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

そして

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

前述の不等式は次のように書ける。

（7）       ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

この不等式は、シニョリーニ問題に対する変分不等式です。

参照

• 線形弾性
• 変分不等式

注記

1. 英語への自由な翻訳:
   • 「私の弟子フィチェラは私に大きな満足を与えてくれました」。
   • 「しかし、教授、あなたの人生には多くの困難がありました」とアプリーレ博士は答えたが、その後シニョリーニは再びこう答えた。
   • 「しかし、これが最も偉大なものだ」それが彼の最後の言葉だった。
2. イタリア語:問題の曖昧さ、条件。
3. (Signorini 1959, p. 129)に記載されているとおり。
4. (Fichera 1995, p. 49)を参照。
5. この劇的な状況はフィチェラ（1995、p.51）自身によって説明されている。
6. マウロ・ピコーネの追悼に続くエピソードを報告しています。詳細については、 「アントニオ・シニョリーニ」の項目を参照してください。
7. アントマン（1983年、282ページ）によると
8. オリジナルのアプローチについては、Signorini 1959、p.127を参照。

参考文献

歴史的参照

• アントマン、スチュアート（1983）、「解析における弾性の影響：現代の発展」、アメリカ数学会報、9（3）：267-291、doi：10.1090/S0273-0979-1983-15185-6、MR  0714990、Zbl  0533.73001。
• Duvaut、Georges (1971)、「Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus」(PDF)、Actes du Congrès international des mathématiciens、1970、ICM Proceedings、vol. Mathématiques appliquées (E)、Histoire et Enseignement (F) – Volume 3、パリ: Gauthier-Villars、pp.  71– 78変分不等式の分野を説明する簡単な研究調査。
• Fichera、Gaetano (1972)、「一方向制約による弾性の境界値問題」、Flügge、Siegfried ; Truesdell、Clifford A. (編)、Festkörpermechanik/Mechanics of Solids、Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics)、vol. VIa/2 (ペーパーバック 1984 版)、ベルリン –ハイデルベルク– ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  391 – 424、ISBN 0-387-13161-2、Zbl  0277.73001. 片側制約の問題（シニョリーニ問題が属する境界値問題のクラス）に関する百科事典の項目は、クリフォード・トゥルーズデルの招待で物理学ハンドブックに執筆された。
• Fichera、Gaetano (1995)、「La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni」、Incontro Scientifico italo-spagnolo。ローマ、1993 年 10 月 21 日、Atti dei Convegni Lincei (イタリア語)、vol. 114、ローマ:国立アカデミー大学、 47–53ページ 『30年を経て思い出される変分不等式理論の誕生』 （寄稿タイトルの英訳）は、変分不等式理論の創始者の視点からその始まりを描いた歴史的な論文です。
• フィケラ、ガエターノ (2002)、Opere storiche biografiche, divulgative [歴史的、伝記的、漏洩的な作品] (イタリア語)、ナポリ：ジャンニーニ、p. 491数学史と科学普及の分野におけるガエターノ・フィチェラのほぼすべての著作を収録した一冊。
• Fichera, Gaetano (2004)、Opere scelte [ Selected works ]、Firenze : Edizioni Cremonese ( Unione Matematica Italianaによって配布)、pp. XXIX+432 (vol. 1)、pp. VI+570 (vol. 2)、pp. VI+583 (vol. 3)、2009 年 12 月 28 日のオリジナルからアーカイブ、ISBN 88-7083-811-0（第1巻）、ISBN 88-7083-812-9（第2巻）、ISBN 88-7083-813-7（第3巻）。ガエターノ・フィチェラの最も重要な数学論文を収録した3巻本。オルガ・A・オレイニクの略歴も収録。
• Signorini、Antonio (1991)、Opere scelte [ Selected works ]、Firenze : Edizioni Cremonese ( Unione Matematica Italianaによって配布)、pp. XXXI + 695、2009 年 12 月 28 日のオリジナルからアーカイブアントニオ・シニョリーニの最も重要な作品をジュゼッペ・グリオーリの序文と解説とともに集めた一冊。

研究活動

• アンダーソン, ジョン (2016)、「シニョリーニ問題とその自由境界における最適正則性」、Inventiones Mathematicae、1 (1): 1– 82、arXiv : 1310.2511、Bibcode :2016InMat.204....1A、doi :10.1007/s00222-015-0608-6、MR  3480553、S2CID  118934322、Zbl  1339.35345。
• Fichera, Gaetano (1963)、「Sul questiona elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno」[曖昧な境界条件を持つシニョリーニの弾性問題について]、Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei、Classe di Scienze Fisiche、Matematiche e Naturali、8 (イタリア語)、34 (2): 138–142、MR  0176661、Zbl  0128.18305シニョリーニ問題の解決法を発表し、説明する（証明なし）短い研究ノート。
• フィケラ、ガエターノ(1964a)、「問題は、一方向の弾性弾性問題: il 問題、シニョリーニの曖昧な条件」イタリア語)、7 (2): 91–140、Zbl  0146.21204シニョリーニ問題の存在定理と一意性定理が証明された最初の論文。
• Fichera、Gaetano (1964b)、「片側拘束による弾性静的問題: 曖昧な境界条件を伴うシニョリーニ問題」、Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963、ローマ: Edizioni Cremonese、 pp .  613–679前回の論文の英訳です。
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012),障害物型問題における自由境界の正則性, Graduate Studies in Mathematics, vol. 136, Providence, RI : American Mathematical Society , pp. x+221, ISBN 978-0-8218-8794-3、MR  2962060、Zbl  1254.35001。
• Signorini、Antonio (1959)、「Questioni di elasticità non Linearizzata e semilinearizzata」[非線形および半線形弾性のトピック]、Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni、5 (イタリア語)、18 : 95–139、Zbl  0091.38006。

外部リンク

• バルブ、V. (2001) [1994]、「シニョリーニ問題」、数学百科事典、EMSプレス
• アレッシオ・フィガッリ、「シニョリーニ問題に対する大域的同質解について」

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