ウルシェスクの定理

Generalization of closed graph, open mapping, and uniform boundedness theorem

数学、特に関数解析と凸解析において、ウルシェスクの定理は、閉グラフ定理、開写像定理、一様有界性原理を一般化する定理です。

ウルシェスクの定理

以下の表記法と概念が使用されます。ここで、は集合値関数であり、は位相ベクトル空間の空でない部分集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• のアフィン範囲は で表され、線形範囲は で表されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S.}$
• ${\displaystyle S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S}$の代数的内部を表す ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle {}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (S-S)}S}$は の相対代数的内部(つまりにおけるの代数的内部)を表します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$
• ${\displaystyle {}^{ib}S:={}^{i}S}$それ以外の場合は、しばらく/毎回バレル処理されます。 ${\displaystyle \operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle {}^{ib}S:=\varnothing }$
  • が凸ならば、任意のに対して、によって生成された円錐がの樽型線形部分空間である場合、および同値であることを示すことができる。または、同様に、がの樽型線形部分空間である場合、および同値であることを示すことができる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in {}^{ib}S}$ ${\displaystyle S-x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)}$ ${\displaystyle X}$
• の ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ドメインは ${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.}$
• の像 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$は任意の部分集合に対して ${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• の ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$グラフは ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$が閉じている（それぞれ凸）とは、のグラフが閉じている（それぞれ凸）場合である。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
  • が凸であることは、すべてに対してかつすべてに対してであるということに注意する。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$ ${\displaystyle r\in [0,1],}$ ${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• の逆関数 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$は、定義される集合値関数である。任意の部分集合に対して ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
  • が関数である場合、その逆関数は、定義される集合値関数と標準的に同一視して得られる集合値関数である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:Y\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle x\mapsto \{f(x)\}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} _{T}S}$は、​​​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\subseteq T.}$
• ${\displaystyle \operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S}$は、​​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S.}$

声明

定理^[1]  (ウルセスク) —が完備な半計量化可能な局所凸位相ベクトル空間であり、が空でない定義域を持つ閉凸多関数であるとする。が何らかの/任意の に対して樽型空間であると仮定する。 を仮定し、とする(したがってと なる) 。すると、におけるの任意の近傍がにおけるの相対内部に属する(つまり となる)。特に、のとき ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)}$ ${\displaystyle y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}$

帰結

閉グラフ定理

閉グラフ定理—とをフレシェ空間とし、を線型写像とする。すると、が連続であることと、のグラフが閉であることは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

証拠

非自明な方向について、グラフが閉じていると仮定し、が閉じて凸であること、その像がであることが容易に分かる。 与えられたものは に属するので、の任意の開近傍は の近傍である。 したがって、はQEDで連続である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (Tx,x)}$ ${\displaystyle Y\times X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Tx}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x.}$

均一有界性原理

一様有界性原理—とをフレシェ空間とし、を全単射線型写像とする。このとき、が連続であることは、が連続であることと。さらに、が連続であれば、はフレシェ空間の同型となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

証拠

閉グラフ定理を QEDに適用する ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}.}$

開写像定理

開写像定理—をフレシェ空間とし、を連続射影線型写像とする。このとき、T は開写像となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

証拠

明らかに、は閉じた凸関係であり、その像は、の空でない開部分集合であるとし、 が内であり、が内であるとし、 ウルシェスクの定理から、QEDの近傍であることが分かる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T(U),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y=Tx.}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle y.}$

追加の帰結

これらの系には次の表記法と概念が使用される。ここで、は集合値関数であり、は位相ベクトル空間の空でない部分集合である。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• を元とする凸級数 ${\displaystyle S}$は、すべてのと が非負数の級数であるような形式の級数です。 が収束する場合、その級数は収束性があると呼ばれ、 が有界の場合、その級数は有界かつb凸性があると呼ばれます。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in S}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
• ${\displaystyle S}$が理想的凸であるとは、 の任意の収束するb凸級数の和が ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• ${\displaystyle S}$が下イデアル凸であるとは、 Bのあるイデアル凸部分集合の Bへの射影に等しいようなフレシェ空間が 存在する場合である。すべてのイデアル凸集合は下イデアル凸である。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

系—が樽型第1可算空間で、が のサブセットであるとします。すると、次 のようになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

1. が下側イデアル凸である場合、 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C.}$
2. が理想的に凸ならば ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

関連する定理

シモンズの定理

シモンズの定理^[2] —と が局所凸でまず可算であるとする。 が条件 (Hw x )を満たす空でない領域を持つ多重写像であるか、あるいは がフレシェ空間であり、 が下イデアル凸 であるとする。 が何らかの/任意の に対して バレルであるとする。 を とし、とすると、におけるの 任意の近傍はにおけるの相対内部(すなわち) に属する。特に、の ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}$

ロビンソン・ウルシェスク定理

次の定理の(1)(2)の含意はロビンソン・ウルシェスク定理として知られている。^[3] ${\displaystyle \implies }$

ロビンソン・ウルシェスク定理^[3] —とをノルム空間とし、を空でない定義域を持つ多重写像とする。が樽型空間であるとし、 のグラフは条件条件 (Hw x )を満たし、 を満たすものとする。（それぞれ） を（それぞれ）内の閉単位球体と表記する（したがって）。このとき、以下は同値である。 ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle (Y,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle C_{X}}$ ${\displaystyle C_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$

1. ${\displaystyle y_{0}}$の代数的内部に属する ${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$
2. ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right).}$
3. 全ての ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$ ${\displaystyle y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).}$
4. すべてとすべてに対して、が存在する。 ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle x\in x_{0}+AC_{X}}$ ${\displaystyle y\in y_{0}+AC_{Y},}$ ${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}$
5. すべてとすべてに対して、 ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in y_{0}+BC_{Y},}$ ${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}$

参照

• 閉グラフ定理 – グラフの連続性に関する定理
• 閉グラフ定理（関数解析）  - グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 開写像定理（関数解析）  – 線型作用素が開写像となるための条件
• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴
• 一様有界性原理 – 点ごとの有界性は一様有界性を意味するという定理
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間

注記

1. Zălinescu 2002、23ページ。
2. Zălinescu 2002、22-23ページ。
3. Zălinescu 2002、p. 24。

参考文献

• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。
• バッグス、アイヴァン (1974). 「閉グラフを持つ関数」 .アメリカ数学会報. 43 (2): 439– 442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939.

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