Relativistic wave equation describing massless fermions
物理学 、 特に 量子場の理論 において、 ワイル方程式は、 ワイルフェルミオン と呼ばれる 固有の左右性、すなわち カイラリティを持つ、質量のない スピン1/2 粒子を記述する 相対論的波動方程式 である。この方程式は ヘルマン・ワイル にちなんで名付けられている。ワイルフェルミオンは、 ディラックフェルミオン と マヨラナフェルミオン とともに、3種類ある素フェルミオンの1つである 。
標準模型 における 素粒子 はどれもワイル粒子ではありません。 ニュートリノ振動 の確認以前は 、 ニュートリノ はワイル粒子である可能性があると考えられていました（現在ではディラック粒子またはマヨラナ粒子のいずれかであると予想されています）。 凝縮系物理学では、一部の物質はワイル粒子として振る舞う 準粒子 を示すことがあり、 ワイル半金属 という概念につながっています 。
数学的には、任意のディラックフェルミオンは、質量項によって結合された、反対のカイラリティを持つ2つのワイルフェルミオンとして分解できます。 [1]
歴史 ディラック 方程式は1928年に ポール・ディラック により発表され 、 相対論的量子力学の 枠組みの中で スピン1/2 粒子をモデル化するために初めて使用されました。 [2] ヘルマン・ワイルは1929年にディラック方程式の簡略版としてこの方程式を発表しました。 [2] [3] ヴォルフガング・パウリは 1933年にワイル方程式が パリティ に違反しているとしてこれに反対する文章を書きました。 [4]しかしその3年前、パウリは ベータ崩壊 を説明するために ニュートリノという新しい基本 フェルミオン の存在を予言しており 、 最終的にはワイル方程式を使用して記述されました。
1937年、 コニャーズ・ヘリングは、ワイルフェルミオンが凝縮物質中の 準粒子 として存在する可能性があると提唱した 。 [5]
ニュートリノは1956年に実験的に極めて小さな質量を持つ粒子として観測されました（歴史的には質量がないと考えられていたことさえありました）。 [4] 同年、 ウーの実験により、 弱い相互作用によって パリティが 破れる可能性があること が示され 、パウリの批判に対処しました。 [6] これに続き、 1958年にはニュートリノの ヘリシティ が測定されました。 [4] 実験ではニュートリノの質量の兆候が見られなかったため、ワイル方程式への関心が再び高まりました。こうして、 ニュートリノがワイルフェルミオンであるという仮定のもと、 標準模型が構築されました。 [4]
イタリアの物理学者 ブルーノ・ポンテコルボは1957年にニュートリノの質量と ニュートリノ振動 の可能性を提唱していましたが [4] 、 ニュートリノ振動の存在とその非ゼロ質量は 1998年に スーパーカミオカンデによってようやく確認されました。 [4] この発見により、ワイル方程式は質量のない粒子しか記述できないため、ニュートリノの伝播を完全に記述できないことが確認されました。 [2]
2015年、 MZ Hasan 氏（ プリンストン大学 ）とH. Ding氏（ 中国科学院 ）のチーム の協力により、 結晶性 タンタルヒ素（TaAs）で最初の ワイル半金属が実験的に実証されました。 [5] 同年、 M. Soljačić 氏（ マサチューセッツ工科大学）のチームも独立して、 フォトニック結晶 でワイルのような励起を観測しました 。 [5]
方程式 ワイル方程式には2つの形式がある。右手形式は次のように書ける。 [7] [8] [9] σ μ ∂ μ ψ = 0. {\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0.}
この式を展開し、光速を代入 する と 、 c {\displaystyle c}
I 2 1 c ∂ ψ ∂ t + σ x ∂ ψ ∂ x + σ y ∂ ψ ∂ y + σ z ∂ ψ ∂ z = 0 , {\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0,}
どこ
σ μ = ( σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 ) = ( I 2 σ x σ y σ z ) {\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}
はベクトル であり、その成分は の 2×2 単位行列 と のパウリ行列 であり、は 波動関数 （ワイル スピノル の1つ）である 。ワイル方程式の左手形は通常、次のように書かれる。 I 2 {\displaystyle I_{2}} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} μ = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mu =1,2,3} ψ {\displaystyle \psi }
σ ¯ μ ∂ μ ψ = 0 , {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0,}
どこ σ ¯ μ = ( I 2 − σ x − σ y − σ z ) . {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}.}
右手系と左手系のワイル方程式の解は異なります。それぞれ右手系と左手系の ヘリシティ 、したがって カイラリティ を 持ちます。これを明示的に示すと便利です。つまり、 および と します 。 σ μ ∂ μ ψ R = 0 {\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0} σ ¯ μ ∂ μ ψ L = 0 {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0}
平面波解 ワイル方程式の平面 波 解は左手系と右手系のワイルスピノルと呼ばれ、それぞれ2つの成分を持ちます。どちらも以下の形を持ちます。
ψ ( r , t ) = ( ψ 1 ψ 2 ) = χ e − i ( k ⋅ r − ω t ) = χ e − i ( p ⋅ r − E t ) / ℏ , {\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar },}
どこ
χ = ( χ 1 χ 2 ) {\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}
は運動量依存の2成分スピノルであり、
σ μ p μ χ = ( I 2 E − σ → ⋅ p → ) χ = 0 {\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}
または σ ¯ μ p μ χ = ( I 2 E + σ → ⋅ p → ) χ = 0. {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0.}
直接操作することで、
方程式は 質量のない 粒子に対応すると結論付けられます 。結果として、 運動量の大きさは ド・ブロイの関係式 によって 波数 ベクトル に直接関係します。 ( σ ¯ ν p ν ) ( σ μ p μ ) χ = ( σ ν p ν ) ( σ ¯ μ p μ ) χ = p μ p μ χ = ( E 2 − p → ⋅ p → ) χ = 0 , {\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0,} p {\displaystyle \mathbf {p} } k {\displaystyle \mathbf {k} }
| p | = ℏ | k | = ℏ ω c ⇒ | k | = ω c . {\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}.}
この方程式は左手系と右手系のスピノルを使って次のように表すことができます。
σ μ ∂ μ ψ R = 0 , σ ¯ μ ∂ μ ψ L = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0,\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0.\end{aligned}}}
ヘリシティ 左と右の成分は 粒子のらせん性、 つまり角運動量演算子 の線形運動量への投影に対応します 。 λ {\displaystyle \lambda } J {\displaystyle \mathbf {J} } p {\displaystyle \mathbf {p} }
p ⋅ J | p , λ ⟩ = λ | p | | p , λ ⟩ . {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle .}
ここ λ = ± 1 2 {\displaystyle \textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}} 。
ローレンツ不変性 両方程式は ローレンツ変換（ ） の 下で ローレンツ不変で ある。より正確には、方程式は次のように変換される。 x ↦ x ′ = Λ x {\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x} Λ ∈ S O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)} σ μ ∂ ∂ x μ ψ R ( x ) ↦ σ μ ∂ ∂ x ′ μ ψ R ′ ( x ′ ) = ( S − 1 ) † σ μ ∂ ∂ x μ ψ R ( x ) , {\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x),}
ここで 、 右手系体は次のように変換されるものとする 。 S † {\displaystyle S^{\dagger }}
ψ R ( x ) ↦ ψ R ′ ( x ′ ) = S ψ R ( x ) . {\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x).}
この行列は、 ローレンツ群 の 特殊線型群 による 二重被覆 によってローレンツ変換と関連しており 、 S ∈ S L ( 2 , C ) {\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )} S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} σ μ Λ μ ν = ( S − 1 ) † σ ν S − 1 . {\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}.}
したがって、あるローレンツ系で変換前の微分がゼロであれば、別のローレンツ系でもゼロになる。同様に
σ ¯ μ ∂ ∂ x μ ψ L ( x ) ↦ σ ¯ μ ∂ ∂ x ′ μ ψ L ′ ( x ′ ) = S σ ¯ μ ∂ ∂ x μ ψ L ( x ) , {\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x),}
左手系は次のように変換されるものとする。
ψ L ( x ) ↦ ψ L ′ ( x ′ ) = ( S † ) − 1 ψ L ( x ) . {\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x).}
証明: これらの変換特性はどちらも「自明」ではないので、注意深く導出する必要がある。まず、
ψ R ( x ) ↦ ψ R ′ ( x ′ ) = R ψ R ( x ) {\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}
何らかの未知数 が決定される。座標におけるローレンツ変換は、あるいは 、同値として、 R ∈ S L ( 2 , C ) {\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} x ′ μ = Λ μ ν x ν , {\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },} x ν = ( Λ − 1 ) ν μ x ′ μ . {\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }.}
これは、 σ μ ∂ μ ′ ψ R ′ ( x ′ ) = σ μ ∂ ∂ x ′ μ ψ R ′ ( x ′ ) = σ μ ∂ x ν ∂ x ′ μ ∂ ∂ x ν R ψ R ( x ) = σ μ ( Λ − 1 ) ν μ ∂ ∂ x ν R ψ R ( x ) = σ μ ( Λ − 1 ) ν μ ∂ ν R ψ R ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x).\end{aligned}}}
ワイル写像を利用するには、 いくつかの添え字を上げ下げする必要があります。これは言うは易く行うは難しです。なぜなら、これは 平坦空間 ミンコフスキー計量 の 恒等式 を呼び出すからです。上記の恒等式は、しばしば の元を定義するために用いられます 。転置をとって
と書き
ます。こうして であれば元の形 、つまり に戻ります。左手方程式についても同様の処理を行うと、 であれば となることがわかります 。 [a] σ μ Λ μ ν = ( S − 1 ) † σ ν S − 1 , {\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1},} η Λ T η = Λ − 1 , {\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1},} η = diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) {\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)} Λ ∈ S O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)} ( Λ − 1 ) ν μ = ( Λ − 1 T ) μ ν {\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }} σ μ ( Λ − 1 ) ν μ ∂ ν R ψ R ( x ) = σ μ ( Λ − 1 T ) μ ν ∂ ν R ψ R ( x ) = σ μ Λ μ ν ∂ ν R ψ R ( x ) = ( S − 1 ) † σ μ ∂ μ S − 1 R ψ R ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x).\end{aligned}}} S − 1 R = 1 {\displaystyle S^{-1}R=1} R = S {\displaystyle R=S} ψ L ( x ) ↦ ψ L ′ ( x ′ ) = L ψ L ( x ) {\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)} L = ( S † ) − 1 {\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}}
マヨラナとの関係 ワイル方程式は、慣例的に 質量のない粒子 を記述するものとして解釈される。しかし、わずかに変更を加えると、 マヨラナ方程式 の2成分版を得ることができる。 [10]これは、 特殊線型群が シンプレクティック群 と 同型で ある ために生じる 。 シンプレクティック群は、次式を満たすすべての複素2×2行列の集合として定義される 。 S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} S p ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )}
S T ω S = ω , {\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega ,}
どこ ω = i σ 2 = [ 0 1 − 1 0 ] . {\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}
定義関係は ω S ∗ = ( S † ) − 1 ω {\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega } と書き直すことができ、ここで は 複素共役 である 。右手系は、前述のように、次のように変換される。 S ∗ {\displaystyle S^{*}}
ψ R ( x ) ↦ ψ R ′ ( x ′ ) = S ψ R ( x ) , {\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x),}
そして複素共役体は次のようになる。
ψ R ∗ ( x ) ↦ ψ R ′ ∗ ( x ′ ) = S ∗ ψ R ∗ ( x ) . {\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x).}
定義関係を適用すると、次のような結論が導かれる。
m ω ψ R ∗ ( x ) ↦ m ω ψ R ′ ∗ ( x ′ ) = ( S † ) − 1 m ω ψ R ∗ ( x ) , {\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x),}
これは、先に述べたローレンツ共分散 性と全く同じ性質である。したがって、任意の複素位相係数 η = e i ϕ {\displaystyle \eta =e^{i\phi }} を用いた線形結合は 、
i σ μ ∂ μ ψ R ( x ) + η m ω ψ R ∗ ( x ) , {\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x),}
は共変的に変換されます。これをゼロにすると、複素2成分 マヨラナ方程式 が得られます。マヨラナ方程式は、通常、2成分複素方程式ではなく、4成分実方程式として書かれます。上記の方程式は4成分形式にすることができます（詳細は該当記事を参照）。同様に、左カイラルマヨラナ方程式（任意の位相因子を 含む ） ζ {\displaystyle \zeta } は
i σ ¯ μ ∂ μ ψ L ( x ) + ζ m ω ψ L ∗ ( x ) = 0. {\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0.}
前述のように、左カイラル版と右カイラル版はパリティ変換によって関連付けられています。歪んだ複素共役は、 の 電荷共役 形式として認識できます 。したがって、マヨラナ方程式は、スピノルとその電荷共役形式を結び付ける方程式として解釈できます。質量項の2つの異なる位相は、電荷共役演算子の2つの異なる固有値に関連しています。詳細については、 電荷共役 とマヨラナ方程式を参照してください。 ω ψ ∗ = i σ 2 ψ {\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi } ψ {\displaystyle \psi }
一対の演算子、マヨラナ演算子を定義する
。 ここで 、は複素共役を取るための簡略な注意書きである。ローレンツ変換の下では、これらは のように変換されるが、ワイルスピノルは 上記と同様に のように変換される。したがって、これらの対応する組み合わせはローレンツ共変であり、次のように取ることができる。 D L = i σ ¯ μ ∂ μ + ζ m ω K , D R = i σ μ ∂ μ + η m ω K , {\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K,\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K,} K {\displaystyle K} D L ↦ D L ′ = S D L S † , D R ↦ D R ′ = ( S † ) − 1 D R S − 1 , {\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger },\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1},} ψ L ↦ ψ L ′ = ( S † ) − 1 ψ L , ψ R ↦ ψ R ′ = S ψ R , {\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}},\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}},} D L ψ L = 0 D R ψ R = 0 {\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}
複素 2 スピノルのマヨラナ方程式のペアとして。
積と は どちらもローレンツ共変です。積は明示的に であることを証明するには、 と である ことに留意する必要があります。 右辺は 、つまり ならば クライン・ゴルドン演算子 に簡約されます 。したがって、これら2つのマヨラナ演算子はクライン・ゴルドン演算子の「平方根」です。 D L D R {\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}} D R D L {\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}} D R D L = ( i σ μ ∂ μ + η m ω K ) ( i σ ¯ μ ∂ μ + ζ m ω K ) = − ( ∂ t 2 − ∇ → ⋅ ∇ → + η ζ ∗ m 2 ) = − ( ◻ + η ζ ∗ m 2 ) . {\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right).} ω 2 = − 1 {\displaystyle \omega ^{2}=-1} K i = − i K {\displaystyle Ki=-iK} η ζ ∗ = 1 {\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1} η = ζ {\displaystyle \eta =\zeta }
ラグランジアン密度 これらの方程式はラグランジアン密度 から得られる。
L = i ψ R † σ μ ∂ μ ψ R , {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}},}
L = i ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L . {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}.}
スピノルとその 共役 （ と表記 ）を独立変数として扱うことで、関連するワイル方程式が得られます。 † {\displaystyle \dagger }
ワイルスピノル ワイルスピノル という用語は、 クリフォード加群 の要素として、より一般的な設定でも頻繁に使用されます 。これは上記の解と密接に関連しており、 スピノルを 多様体 上に存在する幾何学的対象として自然な幾何学的解釈を与えます。この一般的な設定には複数の利点があります。物理学における フェルミオン としての解釈を明確にし、 一般相対性理論 、あるいは任意の リーマン多様体 や 擬リーマン多様 体 においてスピンを定義する方法を正確に示します 。これは次のように非公式に概略されます。
ワイル方程式はローレンツ群の作用に対して 不変で ある。つまり、 ブースト や 回転 を適用しても方程式自体の形は変化しない。しかし、 スピノル 自体の形は変化する。 時空を 完全に無視すると、スピノルの代数は（複素化された） クリフォード代数によって記述される。スピノルは スピン群 の作用の下で変換する。これは、ベクトルについて、そしてそれが 回転群 の下でどのように変換されるかについて述べる方法と全く同様であるが 、スピノルの場合に適応されている点が異なる。 ψ {\displaystyle \psi }
任意の次元 の 擬リーマン多様体が与えられたとき、その 接束 を考えることができる 。任意の点 において、 接空間は 次元 ベクトル空間 である。このベクトル空間が与えられたとき、 その上に クリフォード代数を構築することができる。 上のベクトル 空間基底が であるとき 、ワイルスピノルのペアを次のように構築することができる [11]。 M {\displaystyle M} ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} T M {\displaystyle TM} x ∈ M {\displaystyle x\in M} T x M {\displaystyle T_{x}M} ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} C l ( p , q ) {\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)} { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} T x M {\displaystyle T_{x}M}
w j = 1 2 ( e 2 j + i e 2 j + 1 ) {\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)} そして w j ∗ = 1 2 ( e 2 j − i e 2 j + 1 ) . {\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right).}
クリフォード代数の観点から適切に検討すると、これらは自然に 反可換性を持ち 、つまり が成り立ちます。これは w j w m = − w m w j {\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}} パウリの排他原理 の数学的実現としてうまく解釈でき 、したがって、これらの抽象的に定義された形式構造をフェルミオンとして解釈できるようになります。 1 {\displaystyle {1}} 次元 ミンコフスキー時空では、そのようなスピノルは2つしか存在せず、慣例により上記のように「左」と「右」とラベル付けされます。ワイルスピノルのより形式的で一般的な表現は、 スピン群 に関する記事に記載されています 。
ワイル方程式の抽象的かつ一般相対論的な形は、次のように理解できる。擬リーマン多様体 が与えられ、その上にスピン群をファイバーとして M {\displaystyle M} ファイバー束 を構築する 。スピン群は 特殊直交群 の 二重被覆で ある ため、スピン群をファイバー 単位で 上のフレーム束と同一視することができる 。このようにして得られる構造は スピン構造 と呼ばれる。 S p i n ( p , q ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)} S O ( p , q ) {\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)} M {\displaystyle M}
ファイバー上の一点を選択することは、時空の 局所座標系を 選択することに相当する。ファイバー上の異なる二点は、（ローレンツ）ブースト／回転、すなわち局所的な座標変換によって関連付けられる。スピン構造の本来の構成要素はワイルスピノルであり、スピン構造はスピノルが（ローレンツ）ブースト／回転の下でどのように振舞うかを完全に記述する。
スピン多様体 が与えられた場合、 計量接続 の類似物は スピン接続 である 。これは実質的に通常の接続と同じであり、スピン指数が一貫した方法で付加されているだけである。共変微分は 、接続を用いて全く従来の方法で定義することができる。 共変微分は クリフォード束に自然に作用する。クリフォード束とは、スピノルが存在する空間である。このような構造とその関係性を一般的に探求することを スピン幾何学 という 。
数学的な定義 n {\displaystyle n} に対して、 複素クリフォード代数の 偶数部分代数は （ ） と同型です。 次元空間における 左手系（それぞれ右手系）の 複素ワイルスピノル は （それぞれ ）の元です 。 C l 0 ( n ) {\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)} C l ( n ) {\displaystyle \mathbb {C} l(n)} E n d ( C N / 2 ) ⊕ E n d ( C N / 2 ) =: Δ n + ⊕ Δ n − {\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}} N = 2 n / 2 {\displaystyle N=2^{n/2}} n {\displaystyle n} Δ n + {\displaystyle \Delta _{n}^{+}} Δ n − {\displaystyle \Delta _{n}^{-}}
特殊なケース ワイルスピノルから構成できる重要な特殊なケースが3つあります。1つは ディラックスピノル で、これは左手系と右手系のワイルスピノルのペアとして考えられます。これらは電荷を持つフェルミオン場を表すように結合しています。電荷 は、ディラック場が複素化されたスピン群 S p i n C ( p , q ) {\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)} の作用下で変換されることによって生じます 。この群は以下の構造を持ちます。 S p i n C ( p , q ) ≅ S p i n ( p , q ) × Z 2 S 1 , {\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1},}
ここで は円であり、 電磁気学 のと同一視できます 。積は、 対点を同一視した 積 （二重被覆）を表すための特殊な表記法です。 S 1 ≅ U ( 1 ) {\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)} U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)} × Z 2 {\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}} S p i n ( p , q ) × S 1 {\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}} ( s , u ) = ( − s , − u ) {\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}
マヨラナ スピノル もまたワイルスピノルのペアですが、今回は左巻きスピノルが右巻きスピノルの電荷共役となるように配置されています。その結果、ディラックスピノルよりも自由度が2つ少ない場が生成されます。マヨラナスピノルは群の作用下でスカラーとして変換されるため、電磁場と相互作用することはできません。つまり、スピノルとして変換されますが、横方向に変換されるため、 スピン群の作用 下で不変です。 s p i n C {\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }} U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)}
3つ目の特殊なケースはELKOスピノルです。これはマヨラナスピノルとほぼ同じように構成されますが、電荷共役対の間にマイナス符号が追加されています。これにより、ELKOスピノルは電気的に中性になりますが、他にもいくつかの非常に驚くべき特性をもたらします。
注記 ^ ここで示した結果は、Aste (2010) [10]の式52および式57と同一であるが、ここでの導出は全く異なる。ここで用いられた二重被覆は、Asteの式48、および ローレンツ群 に関するWikipediaの記事の最新版（2020年12月）と同一である 。
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外部リンク http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf 2012年4月2日アーカイブ（ Wayback Machine） http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf 2016年3月4日アーカイブ（ Wayback Machine） http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf 
