対数恒等式の一覧

数学には多くの対数恒等式が存在します。以下は、これらのうち特に注目すべきものをまとめたものです。これらの恒等式の多くは計算に用いられます。

些細なアイデンティティ

自明な数学的恒等式は（経験豊富な数学者にとっては）比較的単純ですが、必ずしも重要でないわけではありません。自明な対数恒等式は次のとおりです。

もし ${\displaystyle \log _{b}(1)=0}$	それから	${\displaystyle b^{0}=1}$
もし ${\displaystyle \log _{b}(b)=1}$	それから	${\displaystyle b^{1}=b}$

説明

定義により、次のことが分かります。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y,}$$

ここで、および。 ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle b\neq 1}$

を設定すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(0)}=y\iff 1=y\iff y=1}$$

したがって、これらの値を式に代入すると、次のようになります。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(1)=0,}$$

これにより、最初のプロパティが取得されます。

を設定すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(1)}=y\iff b=y\iff y=b}$$

したがって、これらの値を式に代入すると、次のようになります。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(b)=1,}$$

これにより、2 番目のプロパティが得られます。

指数関数の打ち消し

同じ底を持つ対数と指数は互いに打ち消し合います。これは、対数と指数が逆の演算であるためです。掛け算と割り算が逆の演算であり、足し算と引き算が逆の演算であるのと同じです。^[1]

$${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x}$$ $${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x}$$

上記の両方とも、対数を定義する次の2つの式から導き出されます。（この説明では、とという変数は同じ数を指していない可能性があることに注意してください） ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y}$$

方程式 を見て、の値を に代入すると、次の方程式が得られます。 ${\displaystyle b^{x}=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)=x}$

$${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{\log _{b}(y)}=y\iff b^{\log _{b}(y)}=y,}$$

これで最初の方程式が得られます。

これをもっと大まかに考えると、 であり、 " " は である、ということになります。 ${\displaystyle b^{\text{something}}=y}$ ${\displaystyle {\text{something}}}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$

方程式 を見て、の値を に代入すると、次の方程式が得られます。 ${\displaystyle \log _{b}(y)=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b^{x}=y}$

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(b^{x})=x\iff \log _{b}(b^{x})=x,}$$

これにより、2 番目の方程式が得られます。

これをもっと大まかに考えると、 であり、何か「」が であるということです。 ${\displaystyle \log _{b}({\text{something}})=x}$ ${\displaystyle {\text{something}}}$ ${\displaystyle b^{x}}$

より簡単な操作を使用する

対数は計算を容易にするために用いられます。例えば、2つの数を掛け算する場合、対数表を用いて足し合わせるだけで済みます。これらは対数の性質としてよく知られており、以下の表にまとめられています。^[2]以下の最初の3つの演算では、x = b ^cおよび/またはy = b ^d、つまりlog _b ( x ) = cおよびlog _b ( y ) = dを仮定しています。導出においても、対数の定義x = b ^{log _b ( x )}およびx = log _b ( b ^x )が用いられます。

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	なぜなら	${\displaystyle b^{c}b^{d}=b^{c+d}}$
${\displaystyle \log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	なぜなら	${\displaystyle {\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)}$	なぜなら	${\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}}$
${\displaystyle \log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}}$	なぜなら	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$
${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}}$	なぜなら	${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}}$
${\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})}$	なぜなら	${\displaystyle \log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})}$

ここで、、、は正の実数であり、、、およびは実数です。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

これらの法則は、指数の相殺と適切な指数法則から生じます。まず第一法則から見ていきましょう。

$${\displaystyle xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$$

べき乗の法則は指数の法則のもう 1 つを活用します。

$${\displaystyle x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}$$

商に関する法則は次のようになります。

$${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$$ $${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{b}(y)}$$

同様に、根号法則は根号を逆数として書き直すことによって導かれます。

$${\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)}$$

積、商、べき乗の法則の導出

これらは対数に関する3つの主要な法則、規則、または原理^[3]であり、これらに基づいて上記の他の性質が証明されます。これらの対数の性質はそれぞれ対応する指数法則に対応しており、その導出と証明はこれらの事実にかかっています。それぞれの対数法則を導出または証明する方法は複数ありますが、これはその一例にすぎません。

積の対数

積の対数法則を正式に述べると次のようになります。

$${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$$

導出：

とします。ここで、 とします。式と の関係を明らかにしたいのですが、これは指数関数を使って書き直すことでより簡単に行うことができます。指数関数の性質は既に分かっています。また、 と は頻繁に参照することになるため、扱いやすくするために、 、、 という変数名を付けます。 ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$ ${\displaystyle n=\log _{b}(y)}$

これを指数関数として書き直すと、

$${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}}$$

ここから、指数法則を使って（すなわち）と（すなわち）を次のように 関連付けることができます。 ${\displaystyle b^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle xy=(b^{m})(b^{n})=b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}}$$

対数を復元するには、等式の両辺に適用します。 ${\displaystyle \log _{b}}$

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{m+n})}$$

右辺は、前に述べた対数の性質の一つを使って簡略化することができる。 ${\displaystyle \log _{b}(b^{m+n})=m+n}$

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=m+n}$$

ここで、との値を方程式に再度代入します。最終的な式は、 、、 のみで構成されます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$$

これで導出は完了です。

商の対数

商の対数法則を正式に述べると次のようになります。

$${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$$

導出：

とします。ここで、とします。 ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$

式と の関係を明らかにしたいのですが、これは指数関数を使って書き直すことでより簡単に行うことができます。指数関数の性質は既に分かっています。また、 と は頻繁に参照することになるため、扱いやすくするために変数名を付けます。、 と とします。 ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$ ${\displaystyle n=\log _{b}(y)}$

これを指数関数として書き直すと次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}}$$

ここから、指数法則を使って（すなわち）と（すなわち）を次のように 関連付けることができます。 ${\displaystyle b^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}}$$

対数を復元するには、等式の両辺に適用します。 ${\displaystyle \log _{b}}$

$${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}\left(b^{m-n}\right)}$$

右辺は、前に述べた対数の性質の一つを使って簡略化することができる。 ${\displaystyle \log _{b}(b^{m-n})=m-n}$

$${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n}$$

ここで、との値を方程式に再度代入します。最終的な式は、 、、 のみで構成されます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$$

これで導出は完了です。

累乗の対数

べき乗法則の対数を正式に述べると次のようになります。

$${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\forall r\in \mathbb {R} ,\log _{b}(x^{r})=r\log _{b}(x)}$$

導出：

とします。ただし、、、 とします。この導出のために、式 を簡略化します。そのために、まずより単純な式 から始めます。頻繁に使用するので、これを新しい変数 として定義します。 ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \log _{b}(x^{r})}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$

式をより簡単に操作するために、指数関数として書き直します。定義により、なので、 ${\displaystyle m=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x}$

$${\displaystyle b^{m}=x}$$

上記の導出と同様に、別の指数法則を利用します。最終的な式を とするために、等式の両辺を 乗します。 ${\displaystyle x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\\b^{mr}&=x^{r}\end{aligned}}}$$

ここでは指数法則を使用しました。 ${\displaystyle (b^{m})^{r}=b^{mr}}$

対数を復元するには、等式の両辺に適用します。 ${\displaystyle \log _{b}}$

$${\displaystyle \log _{b}(b^{mr})=\log _{b}(x^{r})}$$

等式の左側は、対数法則を使用して簡略化することができ、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \log _{b}(b^{mr})=mr}$

$${\displaystyle mr=\log _{b}(x^{r})}$$

の元の値を代入し、整理して簡略化すると、 ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\log _{b}(x)\right)r&=\log _{b}(x^{r})\\r\log _{b}(x)&=\log _{b}(x^{r})\\\log _{b}(x^{r})&=r\log _{b}(x)\end{aligned}}}$$

これで導出は完了です。

ベースの変更

ほとんどの電卓には自然対数（ln）と常用対数（logまたはlog ₁₀）のボタンがありますが、任意の底の対数ボタンがない電卓もあります。そのため、対数の底を変更すると便利な場合があります。

§ 自明な恒等式のセクションで簡単に触れたように、対数の定義は次のとおりです。指数方程式b ^x = yのx について解くことは、常用対数または自然対数を使用してほとんどの計算機で実行できます。 たとえば、コンピューター サイエンスで広く使用されている2 進対数( log ₂ ) は、ほとんどの計算機で次のように計算できます。 ${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y.}$ ${\displaystyle b^{x}=y\iff x=\log _{b}(y)={\frac {\log(y)}{\log(b)}}={\frac {\ln(y)}{\ln(b)}}.}$ ${\displaystyle 2^{x}=y\iff x=\log _{2}(y)={\frac {\log(y)}{\log(2)}}={\frac {\ln(y)}{\ln(2)}}}$

より一般的には、塩基式の変化は次のように正式に定義できます。 ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} _{+},a,b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$

証明と導出

とします。ここで、とは対数に用いる2つの底です。対数関数は1を底とする定義が不十分であるため、底は1にはなりません。^[要出典]は対数が評価する数値なので、正の数でなければなりません。この項は頻繁に扱うことになるため、新しい変数として定義します。 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle a,b\neq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$

式をもっと簡単に操作するには、指数として書き直すことができます。 $${\displaystyle b^{m}=x}$$

等式の両辺に適用すると、 ${\displaystyle \log _{a}}$

$${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=\log _{a}(x)}$$

さて、対数のべき乗の性質を使うと、 ${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=m\log _{a}(b)}$

$${\displaystyle m\log _{a}(b)=\log _{a}(x)}$$

を分離すると、次のようになります。 ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle m={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

式に代入し直すと、 ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$

$${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

これで の証明が完了します。 ${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$

この式にはいくつかの結果があります。

$${\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}$$ $${\displaystyle \log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}}$$ $${\displaystyle \log _{b}a=\log _{b}e\cdot \log _{e}a=\log _{b}e\cdot \ln a}$$ $${\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}$$ $${\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a}$$

$${\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},}$$

ここで、 は添え字1, ..., nの任意の順列である。例えば ${\textstyle \pi }$

$${\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.}$$

合計と減算

次の合計と減算の規則は、確率論において対数確率の合計を扱うときに特に役立ちます。

${\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}$	なぜなら	${\displaystyle \left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)}$
${\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}$	なぜなら	${\displaystyle \left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)}$

ゼロの対数が定義されていないため、減算恒等式は の場合定義されないことに注意してください。また、プログラミングにおいては、丸め誤差によって「1 +」が失われるのを避けるために、式の右辺で と を入れ替える必要がある場合があることにも注意してください。多くのプログラミング言語には、（が小さい場合） アンダーフローなしで計算する特定の関数が用意されています。 ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\gg a}$log1p(x) ${\displaystyle \log _{e}(1+x)}$ ${\displaystyle x}$

より一般的には：

$${\displaystyle \log _{b}\sum _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)}$$

指数

指数に関する便利な恒等式:

$${\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}$$

あるいはもっと一般的に言えば：

$${\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}$$

その他の、または結果として生じるアイデンティティ

$${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)}$$

不平等

^[4]に基づいて、

$${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}{-1}<x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ for }}0\leq x{\text{, reverse for }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}}$$

すべて 付近では正確ですが、大きな数値の場合は正確ではありません。 ${\displaystyle x=0}$

熱帯のアイデンティティ

次の恒等式は、対数半環と最小プラス半環を関連付けます。

$${\displaystyle \lim _{T\rightarrow 0}-T\log(e^{-{\frac {s}{T}}}+e^{-{\frac {t}{T}}})=\mathrm {min} \{s,t\}}$$

微積分の恒等式

制限

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{b}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}b>0}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}$$

最後の制限は、多くの場合、「対数はxの累乗または根よりもゆっくりと増加する」と要約されます。

対数関数の微分

$${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},x>0}$$ $${\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x},x\neq 0}$$ $${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a},x>0,a>0,{\text{ and }}a\neq 1}$$

積分の定義

$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\ dt}$$

積分の極限を から まで変更するには、積分の順序を変更します。これにより、積分の符号が変わります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle -\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$$

したがって：

$${\displaystyle \ln {\frac {1}{x}}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$$

リーマン和

$${\displaystyle \ln(n+1)=}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{x_{i}}}\Delta x=}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{1+{\frac {i-1}{k}}n}}\cdot {\frac {n}{k}}=}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{1+{\frac {x}{k}}}}\cdot {\frac {1}{k}}=}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{k+x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k\cdot n+k}{\frac {1}{x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{x}}}$$

は各区間のサンプル点です。 ${\displaystyle \textstyle \Delta x={\frac {n}{k}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

シリーズ表現

自然対数はよく知られたテイラー級数展開^{[5]を持ち、}開閉区間(-1, 1]内で収束する。 ${\displaystyle \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{6}}{6}}+\cdots .}$$

この区間内では、 に対して級数は条件収束 し、それ以外の値に対しては絶対収束します。またはに対しては、級数は に収束しません。これらの場合、対数を評価するには異なる表現^[6]または手法を使用する必要があります。 ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle x\leq -1}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

調和数差

高度な数学、特に解析的整数論や漸近解析においては、スケール付きインデックスにおける調和数の差や比を含む式に遭遇することは珍しくありません。^[7]スケール付きインデックスにおける調和数間の極限差と対数関数との関係に関する恒等式は、離散列が連続関数と漸近的に関連する興味深い例を提供します。この恒等式は次のように表されます。^[8]

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(H_{k(n+1)}-H_{k})=\ln(n+1)}$$これは調和数が大きくなるにつれてその振る舞いを特徴づける。この近似（極限では正確に に等しい）は、調和級数の増加部分にわたる和がいかに積分特性を示すかを反映しており、離散解析と連続解析の相互作用についての洞察を与える。また、大規模な和と級数の振る舞いを理解することが、それらの特性について洞察に満ちた結論に繋がることも示している。ここで は- 番目の調和数を表し、次のように定義される 。 ${\displaystyle \ln(n+1)}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle H_{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j}}}$$

調和数は数論と解析学における基本的な数列であり、対数増加で知られています。この結果は、整数の逆数（つまり調和数）の和が、特に大きな区間に拡張された場合、自然対数関数と定数で近似できることを利用しています。 ^{[9] [7] [10]}が無限大に近づくにつれて、調和数と の差は非ゼロの値に収束します。この持続的な非ゼロの差 は、調和級数が有限の極限に近づく可能性を排除し、その発散を数学的に明確に表現します。^{[11] [12]}和を積分で近似する手法（具体的には積分テストを使用するか、直接積分近似による）は、このような結果を導く上で基本となります。この特定の恒等式は、次のことを考慮すると、これらの近似の結果である可能性があります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{k(n+1)}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle \ln(n+1)}$

$${\displaystyle \sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}\approx \int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}}$$

調和極限導出

この極限は、指数にスケーリング係数を乗じて差分をとったときの調和数の増加を調べるものです。具体的には、 からまでの和を捉えます。 ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k(n+1)}$

$${\displaystyle H_{k(n+1)}-H_{k}=\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}}$$

これは、積分収束テストを使用して推定できます。または、より直接的には、からまでの積分と比較することで推定できます。 ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(n+1)}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}=\int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}=\ln(k(n+1))-\ln(k)=\ln \left({\frac {k(n+1)}{k}}\right)=\ln(n+1)}$$

ウィンドウの下限は から始まり、上限は まで広がり、どちらも のにつれて無限大に近づくため、和のウィンドウは調和級数の最小の項（天文学的に大きな分母を持つ項）のますます大きな部分を包含し、無限大に向かって伸びる離散和を作り出します。これは、連続積分が定義域を無限小に細かく分割して値を累積していく様子を反映しています。極限では、区間は実質的に から までとなり、その開始点はこの最小離散領域を意味します。 ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k(n+1)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$

二重級数式

の調和数差​​分公式は、の古典的な交代恒等式の拡張^[8]である。 ${\displaystyle \ln(m)}$ ${\displaystyle \ln(2)}$

$${\displaystyle \ln(2)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)}$$

これはの留数上の二重級数として一般化できる。 ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \ln(m)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }{\frac {r}{x(x-r)}}}$$

ここで はによって生成される主イデアルです。各項から減算する（つまり、各項を係数とバランスさせる）ことで、各項の寄与の大きさが減少し、が増加するにつれて級数が発散する傾向を制御することで収束が保証されます。例えば、 ${\displaystyle \langle m\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x-r}}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \ln(4)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)}$$

この手法は、密接に関連する項間の微細な差異を利用して級数を安定化します。すべての留数にわたる和を求めることで、各項ブロック内のあらゆる可能なオフセットに調整が均一に適用されます。関数によって定義される異なる区間にわたる「補正」の均一な分布は、非常に大きな数列をテレスコープするのと似ています。これにより、単純な調和級数において発散的な挙動につながる可能性のある矛盾を平坦化できます。この式の被加数の構造は、定義域と値域の両方が否定されている場合（つまり）、補間された調和数の構造と一致することに注意してください。ただし、変数の解釈と役割は異なります。 ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x-r}$ ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle -H_{-x}}$

デヴェチの証明

証明の基本的な特徴は、減数を 単位分数に累積すること、すなわちの場合 となることです。したがってではなく となります。ここでの極値はの場合であり、それ以外の場合であり、 の最小値は、証明の構造的要件により、後者の場合は暗黙的です。の濃度は2 つの可能な最小値のいずれかの選択に依存するため、集合論的手順としての積分 は、濃度（最小値のさまざまな定義のためあいまい^{[13] [14]}である）ではなく、最大値（両方の解釈で一貫している）プラス の関数です。調和数差がグローバルスライディングウィンドウで積分を計算するのに対し、二重級数は並行して、調和級数上のローカルスライディングウィンドウ（シフトする -組）で和を計算し、ウィンドウを位置だけ進めて次の -組を選択し、各組の各要素をウィンドウの絶対位置を基準として だけオフセットします。和はに対応し、これは無制限にスケーリングされます。合計は、ウィンドウの移動下限を確立するために級数から切り取られた接頭辞に対応し、スライディングウィンドウ（スケーリングされ、切り捨てられた^[15]級数）の限界である。 ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ ${\textstyle {\frac {m}{x}}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle m\mid x}$ ${\displaystyle m=\omega +1}$ ${\displaystyle m=|\mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} |}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [0,\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [1,\omega ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {1}{t}}dt}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle {\frac {1}{m}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}\sum {\frac {1}{x-r}}}$ ${\displaystyle H_{km}}$ ${\displaystyle H_{m}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \ln(m)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=1}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)&=\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{k}\left(-{\frac {1}{n}}+\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}\right)\\&=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}\\&=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{(n-1)m+m-r}}\\&=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{(n-1)m+j}}\\&=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\left(H_{nm}-H_{m(n-1)}\right)\\&=-H_{k}+H_{mk}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }H_{km}-H_{k}=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\ln(\omega +1)=\ln(m)}$$

対数関数の積分

$${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C}$$ $${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x(\ln x-1)}{\ln a}}+C}$$

高次の積分を覚えるには、次のように定義すると便利です。

$${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$$

ここでn^番目の高調波数は次のようになります。 ${\displaystyle H_{n}}$

$${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$$ $${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$$ $${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}$$ $${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}$$

それから：

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}$$ $${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$$

大きな数値の近似値

対数の恒等式は大きな数を近似するのに使えます。log b ( a ) + log b ( c ) = log b ( ac ) であることに留意してください。ここ_で、 a _、 b 、 c_は任意の定数です。44番目のメルセンヌ素数である2 ^32,582,657 −1を近似したいとします。10を底とする対数を得るには、 32,582,657 にlog ₁₀ (2)を掛けて、9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543を得ます。すると、 10 ^9,808,357 × 10 ^0.09543 ≈ 1.25 × 10 ^9,808,357が得られます。

同様に、階乗は各項の対数を合計することで近似できます。

複素対数恒等式

複素対数は、対数関数の複素数版です。複素平面上の単価関数は、対数の通常の規則を満たすことはできません。しかし、ほとんどの恒等式を満たす多価関数を定義することができます。これは通常、リーマン面上で定義された関数とみなされます。対数の主値と呼ばれる単価バージョンは、負のx軸​​上で不連続であり、単一の分岐切断上の多価バージョンと等しくなります。

定義

以下では、関数の主値には大文字の頭文字を用い、多価関数には小文字の頭文字を用います。定義と恒等式は、常に単価版を最初に示し、その後に多価版を別の節で示します。

• ln( r )は実数rの標準自然対数です。
• Arg( z )はarg関数の主値であり、その値は(− π , π ]に制限されます。これはArg( x + iy ) = atan2 ( y , x )を使用して計算できます。
• Log( z )は複素対数関数の主値であり、虚数部は(−π , π ]の範囲にあります。
• ${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$
• ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}$

log( z )の複数の値のバージョンはセットですが、中括弧なしで記述する方が簡単で、数式で使用する場合は明らかな規則に従います。

• log( z )はev = z^を満たす複素数vの集合である。
• arg( z )は、 zに適用されるarg関数の可能な値の集合です。

kが任意の整数の場合:

$${\displaystyle \log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)}$$ $${\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}$$ $${\displaystyle e^{\log(z)}=z}$$

定数

主価値形式:

$${\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}$$ $${\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}$$

任意の整数kに対する複数の値形式:

$${\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}$$ $${\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}$$

合計

主要な価値形式: ^[16]

$${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)}$$

複数の値フォーム:

$${\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}$$ $${\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}$$

パワーズ

複素数の複素累乗には、さまざまな値が可能です。

元本形式:

$${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}}$$

複数の値フォーム:

$${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}$$

ここで、k ₁、k ₂は任意の整数です。

$${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}$$ $${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}$$

漸近的恒等式

プロニック数

調和数差の結果として、自然対数は漸近的に有限級数差で近似され、^[8]は積分の切り捨てを表す： ${\displaystyle k=n}$

$${\displaystyle H_{2T[n]}-H_{n}\sim \ln(n+1)}$$

ここで、 はn次の三角数、 は最初のn個の偶数の和です。n番目のプロニック数は漸近的にn番目の完全平方数と等しいため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle T[n]}$ ${\displaystyle 2T[n]}$

$${\displaystyle H_{n^{2}}-H_{n}\sim \ln(n+1)}$$

素数定理

素数定理は次のような漸近的同値性を与える。

$${\displaystyle {\frac {n}{\pi (n)}}\sim \ln n}$$

ここでは素数関数である。この関係は次式に等しい: ^{[8] : 2} ${\displaystyle \pi (n)}$

$${\displaystyle {\frac {n}{H(1,2,\ldots ,x_{n})}}\sim \ln n}$$

ここで、 はの調和平均です。これは、番目の調和数との差が漸近的に小さな定数に近づき、 となるという事実から導き出されます。この動作は、対数の性質からも導き出されます。は の半分であり、この「最初の半分」は の根の自然対数であり、これは和 の最初の 番目、つまりにほぼ対応します。 の最初の番目と級数の後半の 番目との漸近同値は、次のように表されます。 ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln n}$ ${\displaystyle H_{n^{2}}-H_{n}\sim H_{n}}$ ${\displaystyle \ln n}$ ${\displaystyle \ln n^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle H_{n^{2}}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle H_{n^{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {n-1}{n}}}$

$${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n^{2}}}}\sim {\frac {\ln {\sqrt {n}}}{\ln n}}={\frac {1}{2}}}$$

これは次のように一般化されます。

$${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n^{k}}}}\sim {\frac {\ln {\sqrt[{k}]{n}}}{\ln n}}={\frac {1}{k}}}$$ $${\displaystyle kH_{n}\sim H_{n^{k}}}$$

そして：

$${\displaystyle kH_{n}-H_{n}\sim (k-1)\ln(n+1)}$$ $${\displaystyle H_{n^{k}}-H_{n}\sim (k-1)\ln(n+1)}$$ $${\displaystyle kH_{n}-H_{n^{k}}\sim (k-1)\gamma }$$

を固定した場合。対応は、を のべき乗に分割する単位大きさとして設定します。ここで、から、からなどの各区間は1つの単位に対応し、が として発散する級数を形成することを示しています。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n^{k}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n^{3}}}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n^{k}}}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

実際の議論

これらの近似は、補間された調和数を介して実数値領域に拡張されます。例えば、 の場合、 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H_{x^{2}}-H_{x}\sim \ln x}$$

スターリング数

自然対数は、スターリング数^[17]とグレゴリー係数^[18]によって調和数と漸近的に関連付けられている。第一種スターリング数で表される調和数差は、を固定した場合、次のように表現される。 ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\frac {s(n^{k}+1,2)}{(n^{k})!}}-{\frac {s(n+1,2)}{n!}}\sim (k-1)\ln(n+1)}$$

参照

• πを含む公式一覧 – 定数の用途
• 対数関数の積分一覧
• 数学的恒等式の一覧
• 数学のトピックのリスト
• 三角関数の恒等式の一覧

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「対数」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月29日閲覧。
2. “4.3 - 対数の性質”. people.richland.edu . 2020年8月29日閲覧。
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6. メルカトル級数の有用性を従来の限界を超えて拡張するには、 とを計算し、その結果を否定してを導出することができます。例えば、 と設定すると となります。 ${\textstyle \ln(1+x)}$ ${\textstyle x=-{\frac {n}{n+1}}}$ ${\textstyle n\geq 0}$ ${\textstyle \ln \left({\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \ln(n+1)}$ ${\textstyle x=-{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n2^{n}}}}$
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14. Barton, N. (2020). 「不在知覚とゼロの哲学」. Synthese . 197 (9): 3823– 3850. doi :10.1007/s11229-019-02220-x. PMC 7437648. PMID  32848285 . セクション3.1を参照
15. このシフトは、積分が調和級数に退化することを防ぎ、それによって発散を回避するために用いられる右リーマン和の特徴である。ここで、 は同様に機能し、級数を規制する役割を果たす。後続演算は、絶対値（ から省略された領域）が暗黙的に含まれていることを示す。公理的な観点からのこの重要性は、 の留数が と定式化されるときに明らかになる。ここで、は絶対値の留数を生成するために によってブートストラップされる。したがって、 はこの文脈において極限値を表す。 ${\displaystyle k+1}$ ${\textstyle -{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle m=\omega +1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{\ln(\omega +1)}}$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle m=\omega =\omega _{0}+1=1}$ ${\displaystyle \omega }$
16. アブラモウィッツ、ミルトン (1965).数学関数ハンドブック（公式、グラフ、数学表付き）. アイリーン・A・ステガン. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-61272-4. OCLC  429082。
17. Khristo N. Boyadzhiev (2022). 「コーシー数、スターリング数、調和数、ラゲール多項式を用いた新しい級数恒等式」pp. 2, 6. arXiv : 1911.00186 [math.NT].
18. コムテット、ルイ (1974).上級組合せ論. クルーワー.

外部リンク

• 対数に関するレッスンはWikiversityで見つかります
• Mathwordsにおける対数

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