直接極限

Special case of colimit in category theory

数学において、直接極限とは、特定の方法で組み立てられた多数の（通常はより小さな）オブジェクトから、（通常はより大きな）オブジェクトを構築する方法です。これらのオブジェクトは、群、環、ベクトル空間、または一般に任意のカテゴリのオブジェクトです。それらの組み立て方は、それらのより小さなオブジェクト間の準同型系（群準同型、環準同型、または一般にカテゴリの射）によって指定されます。オブジェクトの直接極限（ただし、 はある有向集合上の範囲）は で表されます。この表記法は準同型系を抑制しますが、極限は準同型系に依存します。 ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

直接極限は、圏論における余極限の概念の特殊なケースです。直接極限は、圏論における極限の特殊なケースである逆極限と双対です。

正式な定義

まず、群や加群のような代数構造の定義を示し、次に任意のカテゴリで使用できる一般的な定義を示します

代数的対象の直接的な極限

このセクションでは、オブジェクトは、群、環、 （固定された環上の）加群、（固定された体上の）代数など、与えられた代数構造を備えた基礎集合から構成されると理解されます。これを念頭に置いて、準同型は対応する設定（群準同型など）で理解されます。

を有向集合とします。をで添え字付けされたオブジェクトの族とし、 をすべての に対して準同型とし、以下の性質 を持つものとします。 ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$は 上の恒等写像であり、 ${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$すべての に対して。 ${\displaystyle i\leq j\leq k}$

このとき、このペアは上の直系と呼ばれます。 ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle I}$

直系の直極限はで表され、次のように定義されます。その基礎集合は、特定の同値関係 を法とするの の素和です ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

ここで、 かつ であるとき、かつであって となるものが存在する場合と同値である。直感的に、素和集合における2つの元が同値であるのは、それらが直接体系において「最終的に等しくなる」場合と同値である。逆極限との双対性を強調する同値な定式化は、元が直接体系の写像の下でそのすべての像と同値である、つまり であるときである。 ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$ ${\displaystyle i\leq j}$

この定義から、各元をその同値類に送る正準関数 が得られる。 に対する代数演算は、これらの写像が準同型になるように定義される。正式には、直接体系の直接極限は、対象と正準準同型から構成される。 ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

任意のカテゴリにおける直接極限

直接極限は、任意のカテゴリにおいて 普遍的性質を用いて定義できます。 を（上で定義したように）オブジェクトと における射の直接システムとします。ターゲットとは、が におけるオブジェクトであり、が各 に対する射であるペアのことです。この場合、 は常に となります 。直接システムの直接極限は、がターゲットであり、各ターゲット に対して、各iに対して となる一意の射が存在するという意味で、普遍的に反発するターゲットです。次の図 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

すると、すべてのi、jについて可換になります。

直接極限はしばしば

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

直接系と標準射（より正確には、標準射）を理解した上で、次のように表されます。 ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \iota _{i}}$

代数的対象とは異なり、任意のカテゴリ内のすべての直接系が直接極限を持つわけではありません。しかし、もし直接極限を持つ場合、その直接極限は強い意味で一意です。つまり、別の直接極限X ′ が与えられた場合、標準射と可換な同型 X ′ → X が一意に存在します。

例

• 集合の部分集合の集まりは、包含によって部分的に順序付けることができます。集まりが有向である場合、その直接極限は和です ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• 同様に、与えられた群の有限生成部分群の集合は、包含によって部分的に順序付けることができます。有限生成部分群の有限集合は有限生成部分群に含まれるため、添字集合は確かに有向です。包含射を用いると、直接極限は単に（と同型）です。環、加群、代数などについても同様の結果が得られます。添字集合が有向である限り、有限生成の要件は弱められる可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$ ${\displaystyle G}$
• CW複体の弱位相は、直接極限として定義されます。
• を最大元を持つ任意の有向集合とします。対応する任意の直接系の直接極限は と同型であり、標準射は同型です ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Kを体とする。正の整数nに対して、Kからの要素を持つn x nの可逆行列で構成される一般線型群GL( n;K ) を考える。群準同型 GL( n;K ) → GL( n +1; K ) があり、これは行列を右下隅に 1 を置き、最後の行と列の他の場所に 0 を置くことで拡大する。この系の直接の極限はKの一般線型群であり、GL( K ) と表記される。 GL( K )の元は、無限単位行列と有限個の要素のみが異なる無限可逆行列と考えることができる。群 GL( K ) は代数 K 理論において極めて重要である。
• pを素数とする。因子群 とによる乗法によって誘導される準同型写像からなる直接系を考える。この系の直接極限は のべき乗の位数を持つすべての単位根から成り、プリューファー群と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• 変数の対称多項式環から変数の対称多項式環への（自明ではない）単射環準同型写像が存在する。この直接系の直接極限を形成すると、対称関数の環が得られる ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• 位相空間X上のC値層をFとする。X上の点xを固定する。xの開近傍は包含によって順序付けられた有向集合を形成する（U ≤ VかつU がVを含む場合のみ）。対応する直接系は ( F​​ ( U ), r _{U , V} )であり、 rは制限写像である。この系の直接極限はFのxにおける茎 ( stalk ) と呼ばれ、F _xと表記される。xの各近傍Uについて、標準射F ( U ) → F _{x は}、 U上のFの切断sに、茎 F x の元s x_{を関連付ける。これはx}におけるsの芽と呼ばれる。
• 位相空間のカテゴリにおける直接極限は最終的な位相を基礎となる集合論的直接極限に置くことによって与えられる。
• 帰納スキームはスキームの帰納的極限である。

性質

直接極限は逆極限と次のように結びついている

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

重要な性質は、加群のカテゴリにおける直極限は完全関数であるということです。これは、任意の短完全列 の有向系に対して、直極限の列もまた完全であることを意味します ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

関連する構成と一般化

圏の直接系は、関手を用いた別の記述が可能であることに注意してください。任意の有向集合は、その対象が要素である小さな圏と見なすことができ、射が存在するのは の場合に限ります 。したがって、 上の直接系は共変関手と同じになります。この関手の余極限は、元の直接系の直接極限と同じです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

直接極限と密接に関連する概念は、フィルターされた余極限です。ここでは、フィルターされたカテゴリから何らかのカテゴリへの共変関手から始め、この関手の余極限を形成します。カテゴリがすべての有向極限を持つ場合と、それがすべてのフィルターされた余極限を持つ場合とで同値であり、そのようなカテゴリ上で定義された関手がすべての直接極限と可換である場合と、それがすべてのフィルターされた余極限と可換である場合とで同値であることを示すことができます。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

任意の圏 が与えられたとき、 に直接極限を持たない に直接的な系が存在する可能性があります（例えば、有限集合の圏、または有限生成アーベル群の圏を考えてみましょう）。この場合、すべての直接極限が存在する圏に埋め込むことができます。 の対象は の ind-対象と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

直接極限の圏的双対は逆極限と呼ばれます。上記のように、逆極限は特定の関数の極限と見なすことができ、コフィルタード圏上の極限と密接に関連しています。

用語

文献では、上記で定義した直接極限の概念について、「有向極限」、「直接帰納的極限」、「有向余極限」、「直接余極限」、「帰納的極限」という用語が見られます。ただし、「帰納的極限」という用語は曖昧であり、一部の著者はこれを余極限の一般的な概念に使用しています。

参照

• 群の直接極限

注釈

1. Adamek, J.; Rosicky, J. (1994). Locally Presentable and Accessible Categories. Cambridge University Press. p. 15. ISBN 9780521422611。

参考文献

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of math. Theory of sets.フランス語からの翻訳、パリ：Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), 『Categories for the Working Mathematician』 , Graduate Texts in Mathematics , vol. 5 (第2版), Springer-Verlag

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Direct_limit&oldid=1316774176"