電磁テンソル

Mathematical object that describes the electromagnetic field in spacetime

電磁気学において、電磁テンソルまたは電磁場テンソル（場強度テンソル、ファラデーテンソル、マクスウェル双ベクトルとも呼ばれる）は、時空における電磁場を記述する数学的対象である。場テンソルは、ヘルマン・ミンコフスキーが特殊相対論の4次元テンソル定式化を導入した後、アーノルド・ゾンマーフェルトによって開発された。^{[1] : 22}このテンソルは、関連する物理法則を簡潔に記述することを可能にし、後述するラグランジアン定式化によって電磁場を量子化することを可能にする。

意味

電磁テンソルは慣例的にFと表記され、電磁4元ポテンシャルAの外微分として定義され、微分1形式である：^{[2] [3]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

したがって、Fはミンコフスキー空間上の微分2形式、つまり反対称階数2のテンソル体である。成分形式では、

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

ここでは4 次元勾配、は4 次元ポテンシャルです。 ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$

この記事では、マクスウェル方程式の SI 単位系とミンコフスキー空間の符号を表す素粒子物理学者の符号規則(+ − − −) を使用します。

古典分野との関係

ファラデー微分2形式は次のように与えられる。

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

ここで、時間要素と光速の積です。 ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle c}$

これはその1次反微分の外微分であり、4次ポテンシャルの共変形である^{[4] ：315 である。}

${\displaystyle A=(\phi /c)\ dt-A_{x}\ dx-A_{y}\ dy-A_{z}\ dz,}$

ここで、 （は非回転/保存ベクトル場のスカラーポテンシャル）であり、 （はソレノイドベクトル場のベクトルポテンシャル）です。 ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

電場と磁場は電磁テンソルの成分から得ることができます。この関係は直交座標系で最も単純です。

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

ここでcは光速であり、

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

ここで、 はレヴィ・チヴィタテンソルです。これは特定の基準系における場を与えます。基準系が変更されると、電磁テンソルの成分は共変的に変換され、新しい基準系における場は新しい成分によって与えられます。 ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

計量符号(+,-,-,-)を持つ反変行列形式では、 ^{[4] : 313}

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

共変形式は指数を下げることによって与えられ、

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

ファラデーテンソルのホッジ双対は

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

この記事で今後、電界や磁界について言及する場合は、直交座標系を前提とし、電界と磁界は上記の式のように、座標系の参照フレームを基準とします。

プロパティ

場テンソルの行列形式は以下の性質を与える：^[5]

1. 反対称性: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. 6 つの独立した成分:デカルト座標では、これらは単に電場 ( E _x、 E _y、 E _z ) と磁場 ( B _x、 B _y、 B _z ) の 3 つの空間成分です。
3. 内積:場の強度テンソルの内積を形成すると、ローレンツ不変量が形成されます。つまり、この数値は参照フレーム間で変化しません。 $${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$
4. 擬スカラー不変量：テンソルとそのホッジ双対の積はローレンツ不変量を与える。ここで は階数4のレヴィ・チヴィタ記号である。上記の の符号は、レヴィ・チヴィタ記号の慣例に依存する。ここで用いられる慣例は である。この不変量と前述のローレンツ不変量は、交差体の場合では消滅する。 ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$ ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. 行列式： これは上記の不変量の2乗に比例します。 $${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. トレース: ゼロに等しい。 $${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

意義

このテンソルは、4つのベクトル解析方程式であるマクスウェル方程式を2つのテンソル場方程式に簡約します。静電気学と電気力学において、ガウスの法則とアンペールの回路法則はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

非同次マクスウェル方程式に帰着する。

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$、ここで は4 元電流 です。 ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

静磁気学と磁気力学における磁気に関するガウスの法則とマクスウェル・ファラデー方程式はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

これはビアンキ恒等式に帰着する。

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

あるいは、テンソルの反対称部分に角括弧付きのインデックス表記^{[注1]を使用する：}

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

ファラデーテンソルと四元ポテンシャルを関連付ける式を用いることで、上記の反対称量がゼロに等しい（）ことを証明できる。このテンソル方程式は、同次マクスウェル方程式を再現する。 ${\displaystyle \equiv 0}$

相対性理論

場テンソルは、電磁場がテンソル変換則に従うことが発見されたことに由来します。この物理法則の一般的な性質は、特殊相対性理論の出現後に認識されました。この理論は、すべての物理法則がすべての座標系において同じ形をとるべきであると規定し、これがテンソルの導入につながりました。テンソル形式論はまた、物理法則を数学的により簡潔に表現することにもつながります。

非同次マクスウェル方程式は連続方程式を導く。

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

電荷の保存を意味します。

上記のマクスウェルの法則は、偏微分を共変微分に置き換えるだけで、曲がった時空に一般化できます。

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$そして ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

ここで、セミコロン表記は偏微分ではなく共変微分を表します。これらの方程式は、曲がった空間のマクスウェル方程式と呼ばれることもあります。ここでも、2番目の方程式は（曲がった時空における）電荷保存則を意味します。

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

電磁気学の応力エネルギーテンソル

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,}$

満足する

${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0\,.}$

古典電磁気学のラグランジアン定式化

古典電磁気学とマクスウェル方程式は、作用から導くことができます。ここで、作用は空間と時間に対して行われます。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

これはラグランジアン密度が

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

括弧内の2つの中間項は同じであり、外側の2つの項も同じなので、ラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

これをオイラー・ラグランジュの運動方程式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

したがって、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります。

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

上記の括弧内の量は場のテンソルなので、最終的には次のように簡略化されます。

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

この方程式は、置換を使用して2 つの不同次マクスウェル方程式(つまり、 ガウスの法則とアンペールの回路法則) を書き表す別の方法です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

ここで、i、j、kは値 1、2、3 を取ります。

ハミルトン形式

ハミルトン密度は通常の関係で得られる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}\,.}$

ここに電磁場と運動量密度は ${\displaystyle \phi ^{i}=A^{i}}$

${\displaystyle \pi _{i}=T_{0i}={\frac {1}{\mu _{0}}}F_{0}{}^{\alpha }F_{i\alpha }={\frac {1}{\mu _{0}c}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$

ノイマンの定理から並進運動に関連する保存量は全運動量となる。

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {1}{\mu _{0}c}}\int _{\mathcal {V}}\mathrm {d} ^{3}x\,\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$

電磁場のハミルトニアン密度は電磁応力エネルギーテンソルと関係がある

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

として

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T_{00}={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$

ここで、物質のエネルギー密度は無視し、電磁場のみを仮定している。また、最後の式はCGS系を仮定している。クーロンゲージ （）において電磁場と相互作用する非相対論的電荷の運動量は ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A^{i}=0}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{\alpha }=m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\,.}$

物質＋電磁場系の全ハミルトニアンは

${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,T_{00}=H_{\rm {mat}}+H_{\rm {em}}\,.}$

クーロンゲージにおける非相対論的点粒子の場合

${\displaystyle H_{\rm {mat}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }|{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }|^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }|}}=\sum _{\alpha }{\frac {1}{2m_{\alpha }}}\left[\mathbf {p} _{\alpha }-{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\right]^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }|}}\,.}$

ここで最後の項は 、 ${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\mathbf {E} _{\parallel }^{2}}$ ${\displaystyle {E}_{\parallel i}={\nabla _{i}}A_{0}}$

${\displaystyle H_{\rm {em}}={\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\left(\mathbf {E} _{\perp }^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$

ここで、および 。 ${\displaystyle {E}_{\perp i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{0}A_{i}}$

量子電磁力学と場の理論

量子電気力学のラグランジアンは、相対性理論で確立された古典的なラグランジアンを超えて、光子（および電子）の生成と消滅を組み込んでいます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

ここで、右辺の最初の部分はディラックスピノルを含み、 ディラック場を表す。量子場の理論では、これはゲージ場強度テンソルのテンプレートとして用いられる。局所相互作用ラグランジアンに加えて用いられることで、QEDにおける通常の役割を果たす。 ${\displaystyle \psi }$

参照

• 電磁場の分類
• 古典電磁気学の共変定式化
• 電磁応力エネルギーテンソル
• グルーオン場強度テンソル
• リッチ計算
• リーマン・ジルベシュタインベクトル

注記

1. ^ 定義によれば、

   ${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

   だからもし

   ${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

   それから

   ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

1. Darrigol, O. (2005). 相対性理論の起源. アインシュタイン 1905–2005: ポアンカレ・セミナー 2005 (pp. 1-31). バーゼル: バーゼル・ビルクハウザー
2. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。
3. DJグリフィス（2007年）『電気力学入門（第3版）』ピアソン・エデュケーション、ドーリング・キンダースリー、ISBN 978-81-7758-293-2。
4. Vanderlinde, Jack (2005). 古典電磁気理論. ドルドレヒト: Springer Netherlands. doi :10.1007/1-4020-2700-1. ISBN 978-1-4020-2699-7。
5. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。

参考文献

• ブラウ、チャールズ・A.（2004年）『古典電気力学における現代的諸問題』オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-514665-4。
• ジャクソン、ジョン・D. (1999).古典電気力学. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X。
• ペスキン、マイケル・E.、シュローダー、ダニエル・V. (1995). 『量子場の理論入門』 パーセウス出版. ISBN 0-201-50397-2。

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