分数の体

Abstract algebra concept

抽象代数学において、整域の分数体とは、それを埋め込むことができる最小の体である。分数体の構成は、整数の整域と有理数の体との関係に基づいている。直感的には、分数体は整域の元同士の比から構成される。

整域の分数体 はまたはと表記されることもあり、その構成は分数体、商体、あるいは の商体とも呼ばれる。これら4つはいずれもよく用いられるが、イデアル による環の商と混同しないように注意する必要がある。イデアル による環の商は全く異なる概念である。整域ではない可換環の場合、同様の構成は局所化あるいは商環と呼ばれる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ ${\displaystyle R}$

意味

整域が与えられ、 とするとき、 のときはいつでもとすることで、 上の同値関係を定義する。の同値類を で表す。この同値の概念は、有理数に由来する。有理数は、整数環に関して同じ性質を持つ。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle R\times R^{*}}$ ${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$ ${\displaystyle nb=md}$ ${\displaystyle (n,d)}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

すると分数体とは、加法が次のように与えられる集合である。 ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

そして、乗算は

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

これらの演算が明確に定義されており、任意の整域 に対して が体であることを確認することができる。特に に対して、 の逆数は予想通り となる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle n,d\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

の埋め込みは、任意の非零に対して、の各を分数 に写像します（同値類は の選択に依存しません）。これは恒等式 をモデル化したものです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$ ${\displaystyle e\in R}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

分数の体は次の普遍的性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle R}$

が体 からへの入射的な環準同型である場合、を拡張する唯一の環準同型が存在する。 ${\displaystyle h:R\to F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$ ${\displaystyle h}$

この構成には圏論的な解釈がある。を整域と入射環写像の圏とする。任意の整域をその分数体へ、また任意の準同型写像を体上の誘導写像（普遍性によって存在する）へ写す体の圏への関手は、体の圏から への包含関手の左随伴である。したがって、体の圏（これは完全な部分圏である）はの鏡映部分圏である。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

積分域の役割には乗法単位元は必要なく、この構成は、零因子を持たない零でない任意の可換乱数rng に適用できる。埋め込みは、零でない任意の rng に対してrng で与えられる。^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$ ${\displaystyle s\in R}$

例

• 整数環の分数体は有理数体である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• をガウス整数環とする。すると、ガウス有理数体体となる。 ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• 体の分数体は、体自体と標準的に同型です。
• 体 が与えられたとき、1つの不定元（整域）における多項式環の分数体は、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X]}$有理関数体、有理分数体、または有理式体^[2][3][4][5]であり、と表記される。 ${\displaystyle K(X)}$
• 半直線関数の畳み込み環の分数体からは、ディラックのデルタ関数、微分作用素、積分作用素を含む作用素空間が得られる。この構成は、積分変換に明示的に依存しないラプラス変換の別の表現を与える。^[6]

一般化

ローカリゼーション

の任意の可換環 と任意の乗法集合に対して、局所化は分数からなる可換環である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

および の場合、が存在する場合に限り、は と同等になります。 ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r',s')}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

注目すべき 2 つの特殊なケースを以下に示します。

• が素イデアルの補集合である場合、 はとも表記されます。が整域でが零イデアルである場合、は の分数体です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{P}}$
  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{P}}$ ${\displaystyle R}$
• が の非零因子全体の集合であるとき、 は全商環と呼ばれる。整域の全商環はその分数体であるが、全商環は任意の可換環に対して定義される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
  

に0 を含めることは許されますが、その場合には は自明な環になります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

分数の半体

すべての非零元が（乗法的に）相殺的である可換半環の分数の半体は、を埋め込むことができる最小の半体です。（環の場合とは異なり、零因子を持たない半環でも、相殺的ではない非零元を持つことができます。たとえば、 が熱帯半環を表し、 が上の多項式半環であるとします。すると には零因子はありませんが、 であるため、元は相殺的ではありません）。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle R=\mathbb {T} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1+X}$ ${\displaystyle (1+X)(1+X+X^{2})=1+X+X^{2}+X^{3}=(1+X)(1+X^{2})}$

可換半環 の分数の半体の元は、次のように書かれる同値類である。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

およびおよびで。​ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

参照

• 鉱石条件; 非可換な場合の分数の構成に関連する条件。
• 分数の全環

参考文献

1. ハンガーフォード, トーマス・W. (1980).代数学（改訂第3版）. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  142– 144. ISBN 3540905189。
2. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). 『代数学講座』アメリカ数学会. p. 131. ISBN 978-0-8218-8394-5。
3. フォルデス、ステファン (1994). 『代数学と離散数学の基本構造』 ワイリー社. p. 128. ISBN 0-471-57180-6。
4. グリエ、ピエール・アントワーヌ (2007). 「3.5 環：一変数多項式」抽象代数、シュプリンガー、124頁、ISBN 978-0-387-71568-1。
5. Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (2020年5月6日). 中級代数2e. OpenStax . §7.1.
6. ミクシンスキ、ヤン（2014年7月14日）『オペレーショナル・カルキュラス』エルゼビア、ISBN 9781483278933。

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