分数イデアル

Submodule of fractions in abstract algebra

数学、特に可換代数学において、分数イデアルの概念は整域の文脈で導入され、特にデデキント域の研究において有益である。ある意味で、整域の分数イデアルは、分母が許されるイデアルに似ている。分数イデアルと通常の環イデアルの両方が議論される文脈では、明確化のため後者を整域イデアルと呼ぶことがある。

定義と基本的な結果

を整域とし、をその分数体とします。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

の分数イデアルは、 となる非零元が存在するような の-部分加群です。同様に、がの非零元でありが のイデアルであるとき、は の分数イデアルです。 元はの分母を消去したものと考えられるため、分数イデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle rI\subseteq R}$ ${\displaystyle I\subseteq K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=r^{-1}J}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$

主分数イデアルとは、の単一の非零元によって生成される の-部分加群である。分数イデアルが に含まれる場合、かつそれが の（整）イデアルである場合に限る。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

分数イデアルは、別の分数イデアルが存在し、そのイデアルが ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

どこ

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

2つの分数イデアルの積です。

この場合、分数イデアルは一意に決定され、一般化イデアル商に等しい。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

可逆分数イデアルの集合は、上記の積に関して可換群を形成し、単位元は単位イデアル 自身である。この群はの分数イデアル群と呼ばれる。主分数イデアルは部分群を形成する。（非零）分数イデアルが可逆であるためには、それが-加群として射影的であることが必要である。幾何学的には、これは可逆分数イデアルがアフィンスキーム上の階数1のベクトル束として解釈できることを意味する。 ${\displaystyle (1)=R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Kのすべての有限生成 R部分加群は分数イデアルであり、がネーターである場合、これらはすべて の分数イデアルです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

デデキント領域

デデキント域では状況ははるかに単純です。特に、すべての非零分数イデアルは逆元を持ちます。実際、この性質はデデキント域の特徴です。

整域は、すべての非ゼロ分数イデアルが逆である場合にのみ、デデキント域となります。

デデキント領域上の分数イデアルの集合はと表記される。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

分数イデアルのその商群を主分数イデアルの部分群で割ったものは、イデアル類群と呼ばれるデデキント域の重要な不変量である。

数値フィールド

数体 の特殊な場合（例えば円分体）には、の整数環と呼ばれる環が付随する。例えば、は平方自由で と合同である。これらの環の重要な性質は、デデキント域であることだ。したがって、分数イデアルの理論は数体の整数環に対して記述できる。実際、類体論はそのような類環の群の研究である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

関連構造

数体の整数環^{[1] pg 2} に対して、分数イデアル群は と表記される群を形成し、主分数イデアルの部分群は と表記される。イデアル類群は主分数イデアルを法とする分数イデアル群であるので、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

そして、その類数は群の位数である。ある意味では、類数は整数環が一意因数分解域（UFD）からどれだけ「遠い」かを示す尺度である。これは、 が一意因数分解域である場合に限って成り立つからである。 ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

理想的なクラスグループの正確な順序

正確な順序がある

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

すべての数値フィールドに関連付けられます。

分数イデアルの構造定理

数体の分数イデアルに関する重要な構造定理の一つは、すべての分数イデアルは次のように順序付けを除けば一意に分解できること を述べている。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

主要な理想のために

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$。

のスペクトルにおいて。例えば、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$要因として ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

もう一つの有用な構造定理は、整分数イデアルは最大2つの元によって生成されるというものです。整分数イデアルの部分集合を分数イデアルと呼びます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

例

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$は分数イデアルである ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 理想的な分割のために ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle (5)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• 因数分解が成り立つ。これを掛け算すると、 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$ ${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

は を満たすので、因数分解は意味を成します。 ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• なぜなら、分数イデアルを掛け合わせることができるからだ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=\left(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}}\right)}$そして ${\displaystyle J=\left(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}\right)}$

理想を得るために

${\displaystyle IJ=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}\right).}$

除数イデアル

非ゼロ分数イデアルを含むすべての主分数イデアルの交差を とします。 ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle I}$

同様に、

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

上記の通り

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

ならば、Iは除数イデアルと呼ばれる。^[2]言い換えれば、除数イデアルは分数主イデアルの空でない集合の非零交差である。 ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Iが除数であり、Jが非ゼロの分数イデアルである場合、( I  : J ) は除数です。

R を局所 クルル整域（例えば、ノイザン 整閉局所整域）とする。Rが離散値環となるための必要十分条件は、Rの極大イデアルが除数的であることである。^[3]

除数イデアルの上昇連鎖条件を満たす整域は森整域と呼ばれる。^[4]

参照

• 除数束
• デデキント・クンマーの定理

注記

1. チルドレス、ナンシー（2009年）『類体理論』ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC  310352143。
2. ブルバキ 1998, §VII.1
3. ブルバキ 1998、Ch. VII、§ 1、n. 7. 提案 11。
4. バルッチ 2000.

参考文献

• バルッチ、ヴァレンティーナ (2000)、「森領域」、グラズ、サラ、チャップマン、スコット・T. (編)、『非ノイザー可換環論』、数学とその応用、第520巻、ドルドレヒト：クルワー・アカデミー出版、pp.  57– 73、ISBN 978-0-7923-6492-4、MR  1858157
• スタイン、ウィリアム『代数的数論への計算入門』（PDF）
• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1994）『可換代数入門』第9章、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
• ブルバキの第 VII.1 章、Nicolas (1998)、可換代数(第 2 版)、Springer Verlag、ISBN 3-540-64239-0
• 松村英之（1989）『可換環論』第11章、ケンブリッジ数学高等研究第8巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6、MR  1011461

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