ルベーグ測度

Concept of area in any dimension

数学の一分野である測度論において、フランスの数学者アンリ・ルベーグにちなんで名付けられたルベーグ測度は、高次元ユークリッドn空間のサブセットに測度を割り当てる標準的な方法です。より低い次元では、長さ、面積、または体積の標準的な測度と一致します。一般に、n次元体積、n体積、超体積、または単に体積とも呼ばれます。^[1]これは実解析全体で使用され、特にルベーグ積分を定義するために使用されます。ルベーグ測度を割り当てることができる集合はルベーグ可測と呼ばれ、ルベーグ可測集合の測度はここで と表されます。 ${\displaystyle n=1,2,{\text{or }}3}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (A)}$

アンリ・ルベーグは1901年にこの測度を記述し、その翌年にはルベーグ積分を記述しました。これらはいずれも1902年に博士論文「積分、長きに渡って、空気」の一部として出版されました。 ^[2]

定義

実数集合における任意の区間 、 、またはについて、 がその長さを表すものとする。任意の部分集合 について、ルベーグ外測度^[3]は下限として定義される ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell (I)=b-a}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

上記の定義は、高次元に一般化できる。^[4]開区間の直積である任意の直方体 について、 （実数積）をその体積とする。任意の部分集合について、 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$$

集合は、任意の に対して次の条件が満たされるときはいつでも、カラテオドリー基準を満たします。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{\complement }).}$$

ここで、は の補集合である。カラテオドリ基準を満たす集合はルベーグ可測集合と呼ばれる。そのような集合全体の集合はσ -代数 を形成する。 ${\displaystyle E^{\complement }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

このような集合のルベーグ測度は、そのルベーグ外部測度として定義されます。

${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$。

ZFCは非測定集合が存在することを証明します。 例としてはヴィタリ集合が挙げられます

直感

定義の最初の部分は、実数の部分集合が開区間の集合による被覆によってその外部測度に縮小されると述べています。これらの区間の集合はそれぞれ、ある意味でを被覆します。なぜなら、これらの区間の和集合には が含まれるからです。 は区間の和集合の部分集合であり、そのため、区間には に含まれない点が含まれる可能性があるため、被覆区間集合の全長は の測度を過大評価する可能性があります。ルベーグ外部測度は、そのようなすべての可能な集合の中から、長さの最大の下限（最小値）として現れます。直感的には、最も密に適合し、重なり合わない区間集合の全長です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

これがルベーグ外測度の特徴である。この外測度がルベーグ測度そのものに変換されるかどうかは、追加の条件に依存する。この条件は、実数の部分集合を を として二つの分割、すなわち と交差する部分と に含まれない部分に分割することによって検証される。すなわち、と の差集合である。これらの の分割は外測度の影響を受ける。このような実数の部分集合のすべてについて、によって分割されたの分割の外測度の和が の外測度となる場合、 の外ルベーグ測度はそのルベーグ測度を与える。直感的に、この条件は、 を「マスク」として別の集合を「切り取る」際に、その集合の測度に矛盾を生じさせるような奇妙な性質をその集合が持っていないことを意味し、ルベーグ外測度がルベーグ測度を与えない集合が存在することを示唆している。（そのような集合は実際にはルベーグ測度ではない。） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

例

• 実数の任意の閉区間 はルベーグ測定可能であり、そのルベーグ測度は長さです。2つの集合の差は端点とのみで構成され、それぞれ測度が0であるため、開区間は同じ測度を持ちます ${\textstyle [a,b]}$ ${\textstyle b-a}$ ${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• 区間 と の任意の直積はルベーグ測定可能であり、そのルベーグ測度は、つまり対応する長方形の面積です。 ${\textstyle [a,b]}$ ${\textstyle [c,d]}$ ${\textstyle (b-a)(d-c)}$
• さらに、すべてのボレル集合はルベーグ可測である。しかし、ルベーグ可測集合でありながらボレル集合ではない集合も存在する。^{[5] [6]}
• 実数の可算集合はどれもルベーグ測度0を持つ。特に、代数的数の集合のルベーグ測度は、その集合がにおいて稠密であっても0である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• カントール集合とリウヴィル数の集合は、ルベーグ測度が0である不可算集合の例です。
• 決定性公理が成り立つ場合、実数のすべての集合はルベーグ測定可能である。しかし、決定性は選択公理とは両立しない。
• ヴィタリ集合は、ルベーグ測度に関して測度不可能な集合の例である。その存在は選択公理に依存している。
• オスグッド曲線は、正のルベーグ測度を持つ単純な平面曲線である^{[7] （}ペアノ曲線の構成を少し変形することで得られる）。ドラゴン曲線もまた、珍しい例である。
• の任意の直線は、 に対して、ルベーグ測度が零である。一般に、任意の真超平面は、その周囲空間においてルベーグ測度が零である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• n球の体積はオイラーのガンマ関数で計算できます。

性質

並進不変性：とのルベーグ測度は同じである ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+t}$

上のルベーグ測度には次の特性があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. が区間の直積である場合、Aはルベーグ測定可能であり、 ${\textstyle A}$ ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times ...\times I_{n}}$ ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot _{\;\dots }\cdot |I_{n}|.}$
2. が可算な数の互いに素なルベーグ可測集合の和である場合、自体もルベーグ可測であり、 は含まれる可測集合の測度の和（または無限級数）に等しくなります。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle \lambda (A)}$
3. がルベーグ測定可能であれば、その補集合もルベーグ測定可能です。 ${\textstyle A}$
4. ${\textstyle \lambda (A)\geq 0}$あらゆるルベーグ可測集合 に対して。 ${\textstyle A}$
5. およびがルベーグ測定可能であり、が のサブセットである場合、が成り立ちます。(2 の結果。) ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$
6. ルベーグ可測集合の可算和集合と積集合はルベーグ可測である。（補集合と互いに素な可算和集合に関して閉じている集合族は、可算和集合に関して閉じている必要はないため、2と3の帰結ではない。） ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$
7. が の開集合または閉集合である場合（またはボレル集合、距離空間を参照）、 はルベーグ測定可能です。 ${\textstyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle A}$
8. がルベーグ測定可能な集合である場合、それはルベーグ測定の意味で「近似的に開集合」かつ「近似的に閉集合」である。 ${\textstyle A}$
9. ルベーグ可測集合は、包含開集合と包含閉集合の間に「挟まれる」ことができる。この性質は、ルベーグ可測性の代替定義として用いられてきた。より正確には、がルベーグ可測であるためには、任意の に対して かつ となる開集合と閉集合が存在することが必要である。^[8] ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\subset E\subset G}$ ${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$
10. ルベーグ可測集合は、G _δ集合とF _σ集合の間に「挟まれる」可能性があります。つまり、がルベーグ可測であれば、 G _δ集合とF _σが存在し、かつとなります。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle F\subseteq A\subseteq G}$ ${\textstyle \lambda (G\setminus A)=\lambda (A\setminus F)=0}$
11. ルベーグ測度は局所有限かつ内部正則なので、ラドン測度です。
12. ルベーグ測度は空でない開集合上では厳密に正なので、その台は全体になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
13. がルベーグ可測集合で（空集合）である場合、のすべての部分集合も空集合である。ましてやのすべての部分集合は可測である。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle \lambda (A)=0}$ ${\textstyle A}$ ${\displaystyle A}$
14. がルベーグ測定可能で、x がの要素である場合、によって定義される による の変換もルベーグ測定可能であり、 と同じ測定基準を持ちます。 ${\textstyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle A+x:=\{a+x:a\in A\}}$ ${\textstyle A}$
15. がルベーグ測定可能でならば、によって定義されるの拡大もルベーグ測定可能であり、測度は ${\textstyle A}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. より一般的には、が線型変換であり、が の測定可能な部分集合である場合、もルベーグ測定可能であり、測度 を持ちます。 ${\textstyle T}$ ${\textstyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T(A)}$ ${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$

上記のすべてを簡潔にまとめると次のようになります (ただし、最後の 2 つの主張は次の主張と密接に関連しています)。

ルベーグ測定可能集合は区間の積をすべて含むσ代数を形成し、そのσ代数上の唯一の完全な並進不変測度である。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

ルベーグ測度はσ有限であるという性質も持ちます。

空集合

の部分集合が空集合であるとは、任意の に対して、その部分集合がn個の区間の積で覆われ、その積の総体積が最大で 個になるような場合を言う。すべての可算集合は空集合である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

の部分集合がハウスドルフ次元をn未満とする場合、それはn次元ルベーグ測度に関して空集合である。ここでハウスドルフ次元は、上のユークリッド計量（またはそれと同値なリプシッツ計量）を基準とする。一方、集合はn未満の位相次元を持ちながら、正のn次元ルベーグ測度を持つ場合がある。この例として、位相次元が0でありながら正の1次元ルベーグ測度を持つスミス・ヴォルテラ・カントール集合が挙げられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

与えられた集合がルベーグ測定可能であることを示すために、通常は、 とヌル集合のみが異なる(対称差がヌル集合であるという意味で) 「よりよい」集合を見つけ、次に、開集合または閉集合から可算な和集合と積集合を使用して が生成できることを示します。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$ ${\textstyle B}$

ルベーグ測度の構築

ルベーグ測度の現代的な構築は、カラテオドリの拡大定理の応用である。それは以下のように進められる。

を固定します。の箱はの形の集合であり、ここで積の記号は直積を表します。この箱の体積は と定義されます。 の任意の部分集合について、その外測度は次のように定義できます。次に、のすべての部分集合について、 が成り立つとき、その集合はルベーグ可測であると定義します。これらのルベーグ可測集合はσ -代数を形成し、任意のルベーグ可測集合 について、ルベーグ測度は によって定義されます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$$ ${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$ $${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)}$ $${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$$ ${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{\!*\!}(A)}$ ${\displaystyle A}$

ルベーグ測度不可能な集合の存在は、集合論における選択公理の帰結であり、これは集合論における従来の公理体系の多くとは独立している。この公理から導かれるヴィタリの定理は、 の部分集合のうちルベーグ測度不可能な集合が存在することを述べている。選択公理を仮定すると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスに見られるような、多くの驚くべき性質を持つ非測度集合が実証されている。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1970年、ロバート・M・ソロヴェイは、ルベーグ測定不可能な集合の存在は、選択公理がない場合にはツェルメロ-フランケル集合論の枠組みでは証明できないことを示した（ソロヴェイのモデルを参照）。^[9]

他の指標との関係

ボレル測度は、それが定義されている集合上ではルベーグ測度と一致する。しかし、ルベーグ測度可能な集合はボレル測度可能な集合よりもはるかに多い。 上のルベーグ測度は自動的に局所有限ボレル測度となるが、 上のすべての局所有限ボレル測度が必ずしもルベーグ測度となるわけではない。ボレル測度は並進不変であるが、完全ではない。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ハール測度は任意の局所コンパクト群上で定義でき、ルベーグ測度の一般化です（さらに局所コンパクト群もあります）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ハウスドルフ測度はルベーグ測度の一般化であり、 nより低次元の部分集合、例えば部分多様体、例えば やフラクタル集合の曲面や曲線を測定するのに有用である。ハウスドルフ測度はハウスドルフ次元の概念と混同しないように注意する必要がある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ルベーグ測度の無限次元類似物は存在しないことが示される。

参照

• 全4巻
• エジソン・ファラー
• ルベーグの密度定理
• リウヴィル数の集合のルベーグ測度
• 測定不可能な集合
  • ヴィタリ集合
• ペアノ・ジョルダン尺度

参考文献

1. 体積という用語は、より厳密には3次元体積の同義語としても使用される。
2. ルベーグ、H. (1902)。 「インテグラル、ロングウール、エール」。Annali di Matematica Pura ed Applicata。7 : 231–359。土井:10.1007/BF02420592。S2CID  121256884。
3. ロイデン, HL (1988).実分析（第3版）. ニューヨーク: マクミラン. p. 56. ISBN 0-02-404151-3。
4. 「ルベーグ＝マス」。2022年8月29日。 2023年3月9日閲覧– Wikipedia経由
5. Asaf Karagila. 「ルベーグ測定可能な集合は何か？」math stack exchange . 2015年9月26日閲覧。
6. Asaf Karagila. 「R 上に、ボレル代数とルベーグ代数の中間に位置するシグマ代数は存在するか？」math stack exchange . 2015年9月26日閲覧。
7. Osgood, William F. (1903年1月). 「正の面積を持つジョルダン曲線」.アメリカ数学会誌. 4 (1). アメリカ数学会誌: 107–112 . doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
8. Carothers, NL (2000). 実分析. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp. 293. ISBN 9780521497565。
9. Solovay, Robert M. (1970). 「実数のすべての集合がルベーグ可測となる集合論のモデル」Annals of Mathematics . Second Series. 92 (1): 1– 56. doi :10.2307/1970696. JSTOR  1970696

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