理想（環理論）

数学、特に環論において、環のイデアルとは、環の元の特別な部分集合のことである。イデアルは、偶数や3の倍数など、整数の特定の部分集合を一般化する。偶数の加減は偶数性を保ち、偶数に任意の整数（偶数または奇数）を掛けると偶数になる。これらの閉包性と吸収性は、イデアルを定義する性質である。群論において正規部分群を用いて商群を構成するのと同様に、イデアルを用いて商環を構成することができる。

整数のうち、イデアルは非負整数と1対1に対応する。つまり、この環では、すべてのイデアルは、単一の非負数の倍数からなる主イデアルである。しかし、他の環では、イデアルは環の元に直接対応しない可能性があり、整数の特定の性質は、環に一般化されると、環の元よりもイデアルに自然に伴う。例えば、環の素イデアルは素数に類似しており、中国剰余定理はイデアルに一般化できる。デデキント域（数論で重要な環の一種）のイデアルには、一意に素因数分解できるバージョンが存在する。

順序論におけるイデアルという、関連性はあるものの異なる概念は、環論におけるイデアルの概念から派生したものである。分数イデアルはイデアルの一般化であり、通常のイデアルは明確にするために整数イデアルと呼ばれることもある。

歴史

エルンスト・クンマーは、一意因数分解ができない数環において「欠けている」因数として機能するイデアル数の概念を発明した。ここでの「イデアル」という言葉は、無限遠点などの幾何学における「イデアル」オブジェクトとの類似性において、想像の中にのみ存在するという意味である。 ^[1] 1876年、リヒャルト・デデキントは、ディリクレの著書『数論のための理論』第3版において、クンマーの定義されていない概念を、彼がイデアルと呼んだ具体的な数の集合に置き換えた。この第3版には、デデキントが多くの補足を加えた。^[1]^[2]^{[3]その後、この概念は}、ダフィト・ヒルベルト、特にエミー・ネーターによって、数環を超えて多項式環やその他の可換環の設定にまで拡張された。

定義

環が与えられたとき、左イデアルとはの加法群の部分群であり、の元による左乗法で閉じているの部分集合である。つまり、任意のと任意のに対して、次が成り立つ: ^[4] $R$ $I$ $R$ $R$ $R$ $r\in R$ $x,y\in I$

⁠ ⁠ $x+y\in I$
⁠ ⁠ $-x\in I$
⁠ ⁠ $rx\in I$

言い換えれば、左イデアルはの左部分加群であり、それ自身の上の左加群として考えられる。^[5] $R$

右イデアルも同様に定義されますが、条件は⁠ ⁠に置き換えられます。両側イデアルは、左イデアルでありながら右イデアルでもあるものです。 $rx\in I$ $xr\in I$

環が可換である場合、左イデアル、右イデアル、および両側イデアルの定義は一致し、単にイデアルについて話すだけでよい。非可換の場合、「両側イデアル」の代わりに「イデアル」という言葉がよく使われる。

イデアルはアーベル部分群なので、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の関係は次のように定義されます。 $I$ $x$ $y$

x-y\in I

は上の同値関係であり、同値類の集合は⁠ ⁠と表記され ⁠ ⁠ によるの商と呼ばれるアーベル群である。^[6]が左または右イデアルの場合、商⁠ ⁠はそれぞれ左または右⁠ ⁠ -加群である。 $R$ $R/I$ $R$ $I$ $I$ $R/I$ $R$

イデアルが両側の場合、商は環となり^[7]、関数 $I$ $R/I$

R\to R/I

同値類の各元に付随する環準同型は、そのイデアルを核とする射影環準同型である。^[8]逆に、環準同型の核は両側イデアルである。したがって、両側イデアルは環準同型の核と全く同じである。 $R$

条約に関する注記

慣例により、環は乗法単位元を持つ。しかし、環が乗法単位元を持つことを要求しない著者もいる。つまり、彼らにとって環はrngである。 rng に対して、左イデアルは、任意のおよび任意のに対してが成り立つという追加の性質を持つ部分 rng である。（右イデアルと両側イデアルも同様に定義される。）環に対して、イデアル（例えば左イデアル）が部分環となることは稀である。部分環は周囲の環と同じ乗法単位元を共有するため、が部分環であれば、任意のに対して、すなわちが成り立つ。 $R$ $I$ $rx$ $I$ $r\in R$ $x\in I$ $I$ $R$ $I$ $r\in R$ $r=r1\in I;$ $I=R$

イデアルの概念には結合性は含まれません。したがって、イデアルは、リー代数などの非結合環（乗法単位元を持たないことが多い）に対しても定義されます。

伝統的に、イデアルはフラクトゥール小文字で表記されます。一般的に、最初の数文字（、など）は一般イデアル、最大イデアル、そして（場合によっては）は素イデアルを表します。現代のテキストでは、または（または最大イデアルと素イデアルをそれぞれと）のような大文字も一般的に使用されます。 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ $I$ $J$ $M$ $P$

例と特性

(簡潔にするために、一部の結果は左イデアルについてのみ述べられていますが、通常は適切な表記の変更により右イデアルにも当てはまります。)

環Rにおいて、集合R自体はRの両面イデアルを形成し、単位イデアルと呼ばれます。これは単位イデアル⁠ ⁠によって生成される両面イデアルとまったく同じであるため (下記参照)、 ⁠ ⁠と表記されることもよくあります。また、加法単位元 0 _Rのみからなる集合は零点イデアルと呼ばれる両面イデアルを形成し、 ⁠ ⁠と表記されます。^{[注 1]}すべての (左、右、両面) イデアルは零点イデアルを含み、単位イデアルに含まれます。^[9] $(1)$ $1_{R}$ $\{0_{R}\}$ $(0)$
単位イデアルではない（左、右、または両側）イデアルは、真イデアルと呼ばれます（真部分集合であるため）。^[10]注：左イデアルが真であるのは、単位元を含まない場合のみです。が単位元である場合、すべての⁠ ⁠に対してとなるためです。通常、真イデアルは多数存在します。実際、Rが歪体である場合、はその唯一のイデアルであり、逆もまた同様です。つまり、が唯一の左（または右）イデアルである場合、非零環Rは歪体です。（証明：が非零元である場合、主左イデアル（以下を参照）は非零であるためです。つまり、何らかの非零⁠ ⁠に対してとなります。同様に、何らかの非零に対してとなります。その場合となります。） ${\mathfrak {a}}$ $u\in {\mathfrak {a}}$ $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ $r\in R$ $(0),(1)$ $(0),(1)$ $x$ $Rx$ $Rx=(1)$ $yx=1$ $y$ $zy=1$ $z$ $z=z(yx)=(zy)x=x$
偶数はすべての整数の環においてイデアルを形成する。なぜなら、任意の2つの偶数の和は偶数であり、任意の整数と偶数の積も偶数であるからである。このイデアルは通常⁠ ⁠と表記される。より一般的には、固定された整数で割り切れるすべての整数の集合は⁠ ⁠ と表記されるイデアルである。実際、環の非ゼロのイデアルはすべて、ユークリッドの除算の結果としてその最小の正の元によって生成されるため、主イデアル領域もイデアルとなる。^[9] $\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z}$ $n$ $n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
多項式で割り切れる実係数を持つすべての多項式の集合は、すべての実係数多項式の環におけるイデアルです。 $x^{2}+1$ $\mathbb {R} [x]$
環と正の整数⁠ ⁠を取ります。各⁠ ⁠に対して、 - 行目の要素が 0 である行列全体の集合は、⁠ ⁠の要素を持つすべての行列全体の環において右イデアルです。これは左イデアルではありません。同様に、各⁠ ⁠に対して、 -列目の要素が 0 である行列全体の集合は左イデアルですが、右イデアルではありません。 $R$ $n$ $1\leq i\leq n$ $n\times n$ $R$ $i$ $M_{n}(R)$ $n\times n$ $R$ $1\leq j\leq n$ $n\times n$ $j$
から点ごとの乗算の下での連続関数の環には、 ⁠ ⁠となるすべての連続関数のイデアルが含まれます。^[11]における別のイデアルは、十分に大きな引数に対して零となる関数、つまり、⁠ ⁠のときはいつでもとなる数が存在するような連続関数によって与えられます。 $C(\mathbb {R} )$ $f$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $f$ $f(1)=0$ $C(\mathbb {R} )$ $f$ $L>0$ $f(x)=0$ $\vert x\vert >L$
環が非零であり、 ⁠ ⁠以外の両側イデアルを持たない場合、その環は単純環と呼ばれる。したがって、歪体（skew-field）は単純環であり、単純可換環は体である。歪体上の行列環は単純環である。 $(0),(1)$
が環準同型である場合、核は⁠ ⁠の両側イデアルです。^[9]定義により⁠ ⁠であり、したがってが零環でない場合（つまり⁠ ⁠）、は真イデアルです。より一般的には、Sの各左イデアルIに対して、逆像は左イデアルです。IがRの左イデアルである場合、はSの部分環の左イデアルです。fが射影的でない限り、はSのイデアルである必要はありません。「§ イデアルの拡大と縮小」も参照してください。 $f:R\to S$ $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ $R$ $f(1_{R})=1_{S}$ $S$ $1_{S}\neq 0_{S}$ $\ker(f)$ $f^{-1}(I)$ $f(I)$ $f(R)$ $f(I)$
イデアル対応：射影環準同型⁠ ⁠ $f:R\to S$ が与えられたとき、の核を含むの左（それぞれ右、両側）イデアルとの左（それぞれ右、両側）イデアルの間には、順序を保存する全単射対応が存在します。この対応は、 ⁠ ⁠と逆像⁠ ⁠によって与えられます。さらに、可換環の場合、この全単射対応は素イデアル、極大イデアル、および根基イデアルに制限されます（これらのイデアルの定義については、「イデアルの種類のセクション」を参照してください）。 $R$ $f$ $S$ $I\mapsto f(I)$ $J\mapsto f^{-1}(J)$
Mが左R加群かつ部分集合である場合、Sの消滅子は左イデアルとなる。可換環Rのイデアルが与えられたとき、Rの消滅子はRのイデアルであり、のイデアル商と呼ばれ、 ⁠ ⁠で表記される。これは可換代数におけるイデアル化子の例である。 $S\subset M$ $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$ $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$
環Rの左イデアルの昇順連鎖をとする。すなわち、は全順序集合であり、各⁠ ⁠に対してとなる。このとき、和集合はRの左イデアルとなる。（注：この事実は、 R が単位元 1 を持たない場合でも成り立つ。） ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ $S$ ${\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}$ $i<j$ $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$
上記の事実とゾルンの補題を合わせると、次のことが証明されます。が空の部分集合である可能性があり、がEと素な左イデアルである場合、 E を含みEと素なイデアルの中で最大のイデアルが存在します。 (この場合も、環Rに単位元 1 がない場合でも、これは有効です。) のとき、特におよび⁠ ⁠をとると、真左イデアルの中で最大の左イデアル (単に最大左イデアルと呼ばれることが多い) が存在します。詳細については、クルルの定理を参照してください。 $E\subset R$ ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ ${\mathfrak {a}}_{0}$ $R\neq 0$ ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ $E=\{1\}$
単一の元xによって生成される左イデアル（または右、両側イデアル）は、 xによって生成される主左イデアル（または右、両側イデアル）と呼ばれ、 (または⁠ ⁠ )と表記されます。主両側イデアルは、 ⁠ ⁠またはと表記されることもあります。 $Rx$ $xR,RxR$ $RxR$ $(x)$ $\langle x\rangle$
イデアルの任意の和集合は必ずしもイデアルである必要はありませんが、以下は依然として成り立ちます。Rの空である可能性のある部分集合Xが与えられたとき、 Xを含む最小の左イデアルが存在し、これはXによって生成される左イデアルと呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記されます。このようなイデアルは、Xを含むすべての左イデアルの積であるため存在します。同様に、はR上のXの元のすべての(有限) 左 R 線形結合の集合です。 (このような範囲はXを含む最小の左イデアルであるため)。^{[注 2]}Xによって生成される右(それぞれ両側)イデアルも同様の方法で定義されます。「両側」の場合、両側からの線形結合を使用する必要があります。つまり、が有限集合である場合、は⁠ ⁠またはとも表記されます。より一般的には、インデックス付き環元の (有限または無限) 集合によって生成される両側イデアルはまたはと表記されます。 $RX$ $RX$
$RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}$
$RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.$ $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ $RXR$ $(x_{1},\dots ,x_{n})$ $\langle x_{1},...,x_{n}\rangle$ $X=\{x_{i}\}_{i\in I}$ $(X)=(x_{i})_{i\in I}$ $\langle X\rangle =\langle x_{i}\rangle _{i\in I}$
環上のイデアルと合同関係（環構造を尊重する同値関係）の間には全単射対応があります。環⁠ ⁠のイデアルが与えられたとき、⁠ ⁠とします。すると、⁠ ⁠上の合同関係になります。逆に、 ⁠ ⁠上の合同関係が与えられたとき、⁠ ⁠とします。すると、⁠ ⁠のイデアルになります。 $I$ $R$ $x\sim y$ $x-y\in I$ $\sim$ $R$ $\sim$ $R$ $I=\{x\in R:x\sim 0\}$ $I$ $R$

理想の種類

説明を簡略化するため、すべての環は可換であると仮定する。非可換環の場合は、それぞれの論文で詳細に議論する。

イデアルは環準同型の核として現れ、因子環を定義することを可能にするため重要です。様々な種類のイデアルは、様々な種類の因子環を構成するために使用できるため、研究されています。

極大イデアル：真イデアル $Iが$ 極大イデアルと呼ばれるの $は、 I$ が $J$ の真部分集合 $となるような真イデアルJ が$ 他に存在しないときである。極大イデアルの因子環は一般に単純環であり、可換環の体である。 ^[12]
最小イデアル: 非ゼロイデアルは、他の非ゼロイデアルを含まない場合、最小イデアルと呼ばれます。
ゼロ理想：理想^[13 ] $\{0\}$
単位イデアル：環全体（によって生成されるイデアル）。^[9] $1$
素イデアル: 真イデアルが素イデアルと呼ばれるのは、任意のおよびに対してがに属する場合、がに属する場合およびの少なくとも一方がに属するときである。素イデアルの因子環は一般に素環であり、可換環の整域となる。 ^[14] $I$ $a$ $b$ $R$ $ab$ $I$ $a$ $b$ $I$
根基イデアルまたは半素イデアル：真イデアル $Iが$ 根基イデアルまたは半素であるとは任意し、ある n に対して $a$ $n$ $が$ $I$ に存在し、かつ $a が$ $I$ に存在すること。根基イデアルの因数環は、一般環に対しては半素環であり $、$ 可換環に対しては被約環である。 $R$
一次イデアル：イデアル $Iが$ 一次イデアルと呼ばれるの $は、 R の$ 任意の $a$ と $b$ に対し、 $ab$ $がI$ に属するある自然数 $nに対して$ $a$ と $b$ $n$ の少なくとも一方が $I$ に属する。すべての素イデアルは一次イデアルであるが、その逆は成り立たない。半素数の一次イデアルは素数である。
主イデアル：一つの要素によって生成されるイデアル^{。 [15]}
有限生成イデアル: このタイプのイデアルは、モジュールとして有限生成されます。
原始イデアル: 左原始イデアルは、単純左加群の消滅子です。
既約イデアル: イデアルは、それが適切に含まれるイデアルの交差として表すことができない場合に、既約であると言われます。
共最大イデアル: 2 つのイデアル $I$ 、 $J は$ 、あるイデアルと⁠ ⁠に対して、共最大であると言われます。 $x+y=1$ $x\in I$ $y\in J$
正則理想：この用語には複数の用法があります。一覧については記事をご覧ください。
零イデアル: イデアルの各要素が零である場合、そのイデアルは零イデアルです。
べき零イデアル: その一部のべき乗はゼロです。
パラメータ理想:パラメータのシステムによって生成される理想。
完全イデアル:ネーター環の真イデアル $Iは、その$ 位数が付随する商環の射影次元に等しいとき、完全イデアルと呼ばれる。^[16]⁠ ⁠。完全イデアルは非混合である。 $R$ ${\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)$
非混合イデアル:ネーター環の真イデアル $Iは、$ $I$ の高さがのすべての関連する素数 $P$ の高さに等しいとき、高さに関して非混合イデアルと呼ばれます。(これは、が等次元であると言うことよりも強いです。等次元環も参照してください。) $R$ $R/I$ $R/I$

「イデアル」という語句を用いる他の2つの重要な用語は、必ずしもその環のイデアルとは限りません。詳細はそれぞれの記事を参照してください。

分数イデアル：これは通常、が商体を持つ可換域である。名前に反して、分数イデアルは必ずしもイデアルではありません。の分数イデアルとの-部分加群であり、となる非零元が存在するものです。分数イデアルがに完全に含まれる場合、それはの真のイデアルです。 $R$ $K$ $R$ $R$ $I$ $K$ $r\in R$ $rI\subseteq R$ $R$ $R$
可逆イデアル：通常、可逆イデアル $Aは、$ $AB$ $=$ $BA$ $=$ $R$ を $満たす別の分数イデアルB$ が存在するような分数イデアルとして定義されます領域以外の環においてAB $=$ $BA$ $=$ $R$ $を満たす通常の環イデアル$ $A$ と $B$ にも「可逆イデアル」を適用することがあります

理想的な運用

イデアルの和と積は次のように定義される。環Rの左イデアル (右イデアルともいう)と⁠ ⁠について、それらの和は ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

、

これは左イデアル（右イデアル）であり、両側イデアルの場合は、 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$

{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},

つまり、積は、 aが ⁠ ⁠ 、bが⁠ ⁠である形式abのすべての積によって生成されるイデアルです。 ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$

は、と(または和集合⁠ ⁠ )の両方を含む最小の左 (または右) イデアルであることに注意してください。一方、積は、と⁠ ⁠の積集合に含まれます。 ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$

分配法則は両側イデアルに対して成り立ち、 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$

⁠ ⁠ ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ 、
⁠ ⁠ $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ .

積を交差に置き換えると、部分分配法則が成り立ちます。

{\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}

ここで、またはが含まれる場合、等式が成立します。 ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {c}}$

注：イデアルの和と交差もまたイデアルである。これらの2つの演算、すなわちjoinとmeetにより、与えられた環のすべてのイデアルの集合は完全なモジュラー格子を形成する。この格子は一般に分配格子ではない。交差、和（またはjoin）、積という3つの演算は、可換環のイデアルの集合を量子体に変換する。

が可換環Rのイデアルである場合、次の 2 つのケースでは（少なくとも） ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)$
${\mathfrak {a}}$ ⁠ ⁠を法とする正規のシーケンスを形成する要素によって生成されます。 ${\mathfrak {b}}$

（より一般的には、イデアルの積と交差の差はTor関数によって測定される：⁠ ⁠ $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ [ ^17]）

整域は、イデアルの各ペアに対して、 ⁠ ⁠となるイデアルが存在するとき、デデキント域と呼ばれる。^{[18]このとき、デデキント域のすべての非零イデアルは、}算術の基本定理の一般化として、最大イデアルの積として一意に表すことができることが示される。 ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$

理想的な操作の例

私たちには $\mathbb {Z}$

(n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z}

はと⁠ ⁠の両方で割り切れる整数の集合です。 $(n)\cap (m)$ $n$ $m$

とします。すると、 $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ そして ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)$
${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})$
${\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})$
${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ その間 ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$

最初の計算では、2つの有限生成イデアルの和をとる一般的なパターンを見る。これは、それらの生成元の和集合によって生成されるイデアルである。最後の3つの計算では、2つのイデアルが零イデアルで交差する場合には必ず積と交点が一致することがわかる。これらの計算はMacaulay2を用いて検証できる。^[19]^[20]^[21]

環の根号

モジュールの研究において、イデアルは、特に根号の形で自然に現れます。

簡単にするために、ここでは可換環を扱いますが、いくつか変更を加えると、非可換環の場合にも結果は当てはまります。

R を可換環とする。定義により、Rの原始イデアルは（非零）単純 R -加群の消滅子である。Rのヤコブソン根基は、すべての原始イデアルの共通部分である。これは、 $J=\operatorname {Jac} (R)$

J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.

実際、が単純加群でx がMの非零元である場合、およびは最大イデアルを意味します。逆に、が最大イデアルである場合、は単純R -加群⁠ ⁠の消滅子です。また、別の特徴付けもあります（証明は難しくありません）。 $M$ $Rx=M$ $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ $\operatorname {Ann} (M)$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}}$ $R/{\mathfrak {m}}$

J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.

必ずしも可換ではない環の場合、が単位元である場合に限りであるというのは一般的な事実です(リンクを参照)。したがって、この最後の特徴付けは、根号が左と右の両方の原始イデアルに関して定義できることを示しています。 $1-yx$ $1-xy$

ヤコブソン根基の定義には、次の単純だが重要な事実（中山の補題）が組み込まれている。Mが⁠ ⁠ $JM=M$ となるような加群である場合、M は最大部分加群を許容しない。なぜなら、最大部分加群⁠ ⁠ $L\subsetneq M$ が存在する場合、⁠ ⁠となるので矛盾が生じるからである。非零有限生成加群は最大部分加群を許容するため、特に、次のことが成り立つ。 $J\cdot (M/L)=0$ $M=JM\subset L\subsetneq M$

かつMが有限生成であれば、⁠ ⁠。

JM=M

M=0

最大イデアルは素イデアルであり、したがって

\operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)

ここで、左側の交点はRの冪根基と呼ばれます。そして、はRの冪零元の集合でもあります。 $\operatorname {nil} (R)$

Rがアルティン環の場合、は冪零であり⁠ ⁠です。(証明: まず、DCC はあるnに対してとなることに注意します。(DCC) が後者の上で真に極小なイデアルである場合、となります。つまり、⁠ ⁠、矛盾です。) $\operatorname {Jac} (R)$ $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ $J^{n}=J^{n+1}$ ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ $J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0$

理想の拡大と縮小

AとB を二つの可換環とし、を環準同型とする。がAのイデアルである場合、はBのイデアルである必要はない（例えば、f を整数環の有理数体への包含とみなす）。Bにおけるの拡大は、 ⁠ ⁠によって生成されるBのイデアルとして定義される。明示的に、 $f:A\to B$ ${\mathfrak {a}}$ $f({\mathfrak {a}})$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ ${\mathfrak {a}}$ $f({\mathfrak {a}})$

{\mathfrak {a}}^{e}=f({\mathfrak {a}})B={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}.

表記法の乱用により、この理想的な拡張に対する別の一般的な表記法が存在します。 ${\mathfrak {a}}B$

がBのイデアルである場合、は常にAのイデアルであり、これをAへの縮約と呼びます。 ${\mathfrak {b}}$ $f^{-1}({\mathfrak {b}})$ ${\mathfrak {b}}^{c}$ ${\mathfrak {b}}$

が環準同型、がAのイデアル、がBのイデアルであると仮定すると、次のようになります。 $f:A\to B$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {b}}$

${\mathfrak {b}}$ B では素数であり、 Aでは素数である、 $\Rightarrow$ ${\mathfrak {b}}^{c}$
${\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}},$
${\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}.$

一般に、Aにおいてが素数（または最大値）であるからといって、がBにおいてもが素数（または最大値）であるというのは誤りです。この典型的な例の多くは代数的整数論に由来します。例えば、におけるの埋め込みを考えてみましょう。この場合、元 2 はの因数となりますが、（示すことができるように）はどちらもBにおいて単位元ではありません。したがって、はBにおいて素数ではありません（したがって最大値でもありません）。実際、は、、であることを示しており、したがってです。 ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack .$ $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ $2=(1+i)(1-i)$ $1+i,1-i$ $(2)^{e}$ $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ $(2)^{e}=(1+i)^{2}$

一方、fが射影的である場合は、次のようになります。 ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$

${\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}$ そして ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}},$
${\mathfrak {a}}$ はAの素イデアルであり、 Bの素イデアルである。 $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$
${\mathfrak {a}}$ はAにおける最大イデアルであり、はBにおける最大イデアルです。 $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$

注：K をLの体拡大とし、BとAをそれぞれKとLの整数環とする。BはAの整拡大であり、fをAからBへの包含写像とする。Aの素イデアルの拡大下における振る舞いは、代数的整数論における中心的な問題の一つである。 ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$

以下は時々役に立つ: ^[22]素イデアルが素イデアルの縮約である場合、かつその場合のみ。(証明: 後者を仮定すると、がと交差するため矛盾が生じることに注意。ここで、の素イデアルは、と交わらないBの素イデアルに対応する。したがって、と交わらないBの素イデアルが存在し、はを含む極大イデアルである。次に、が上にあることを確認する。逆は明らかである。) ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ $A-{\mathfrak {p}}$ $B_{\mathfrak {p}}$ $A-{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ $A-{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$

一般化

イデアルは任意のモノイドオブジェクト ⁠ ⁠ $(R,\otimes )$ に一般化できます。ここで⁠ ⁠ はモノイド構造が忘れられたオブジェクトです。の左イデアルは、「 ⁠ ⁠の要素による左からの乗算を吸収する」サブオブジェクトです。つまり、が左イデアルである場合、次の2つの条件を満たします。 $R$ $R$ $I$ $R$ $I$

$I$ は、 $R$
あらゆる⁠ ⁠について、製品は⁠ ⁠です。 $r\in (R,\otimes )$ $x\in (I,\otimes )$ $r\otimes x$ $(I,\otimes )$

右イデアルは、条件「⁠ ⁠ $r\otimes x\in (I,\otimes )$ 」を「' ⁠ ⁠ $x\otimes r\in (I,\otimes )$ 」に置き換えて定義されます。両側イデアルは、左イデアルでありながら右イデアルでもあるため、単にイデアルと呼ばれることもあります。がそれぞれ可換モノイドオブジェクトである場合、左イデアル、右イデアル、両側イデアルの定義は一致し、イデアルという用語が単独で使用されます。 $R$

参照

注記

^ 一部の著者は環Rの零イデアルと単位イデアルをRの自明イデアルと呼んでいます。
^ Rに単位がない場合、上記の内部記述を若干修正する必要がある。X 内の要素とR内の要素の積の有限和に加えて、 X内の任意の xと自然数内の任意のnに対して、x + x + ... + xの形のn重和と、(− x ) + (− x ) + ... + (− x )の形の n 重和の加算を許容する必要がある。Rに単位がある場合、この追加要件は不要になる。

参考文献

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^ Dummit & Foote 2004、§ 10.1、命題3。
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外部リンク

レビンソン、ジェイク（2014年7月14日）「イデアルの拡張に対する幾何学的解釈？」Stack Exchange

[9] 一部の著者は環Rの零イデアルと単位イデアルをRの自明イデアルと呼んでいます。

[13] Rに単位がない場合、上記の内部記述を若干修正する必要がある。X 内の要素とR内の要素の積の有限和に加えて、 X内の任意の xと自然数内の任意のnに対して、x + x + ... + xの形のn重和と、(− x ) + (− x ) + ... + (− x )の形の n 重和の加算を許容する必要がある。Rに単位がある場合、この追加要件は不要になる。

[Stillwell-1] ジョン・スティルウェル (2010).数学とその歴史. p. 439.

[flt-2] ハロルド・M・エドワーズ (1977).フェルマーの最終定理. 代数的数論への遺伝的入門. p. 76.

[everest_ward-3] Everest G., Ward T. (2005).数論入門. p. 83.

[4] ダミット＆フット 2004、242ページ

[5] Dummit & Foote 2004, § 10.1.、例（1）。

[6] Dummit & Foote 2004、§ 10.1、命題3。

[7] Dummit & Foote 2004、第7章、命題6。

[8] Dummit & Foote 2004、第7章、定理7。

[FOOTNOTEDummitFoote2004243-10] Dummit & Foote (2004)、243ページ。

[FOOTNOTELang2005Section_III.2-11] Lang（2005）、セクションIII.2。

[FOOTNOTEDummitFoote2004244-12] ダミット＆フット（2004年）、244ページ。

[14] 単純可換環は体であるから。Lam (2001). A First Course in Noncommutative Rings. p. 39を参照。

[15] 「零理想」. Math World . 2024年8月22日.

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[Matsumura1-18] 松村秀之(1987). 可換環論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 132. ISBN 9781139171762。

[19] アイゼンバッド 1995、演習A 3.17

[FOOTNOTEMilnor19719-20] ミルナー（1971）、9ページ。

[21] “ideals”. www.math.uiuc.edu . 2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年1月14日閲覧。

[22] 「イデアルの和、積、べき乗」www.math.uiuc.edu . 2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年1月14日閲覧。

[23] 「イデアルの交差」www.math.uiuc.edu . 2017年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年1月14日閲覧。

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Proposition_3.16-24] アティヤとマクドナルド (1969)、命題 3.16。

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